專題9直線與圓的位置關(guān)系問題(原卷版+解析)

專題9直線與圓的位置關(guān)系問題目錄一、熱點(diǎn)題型歸納【題型一】證明直線是圓的切線【題型二】切線性質(zhì)定理的應(yīng)用【題型三】圓的弧長和面積的計(jì)算【題型四】多邊形與圓二、最新?？碱}組練【題型一】證明直線是圓的切線【典例分析】（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，如圖，點(diǎn)A、B、C在圓O上，，直線，，點(diǎn)O在BD上．(1)判斷直線AD與圓O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若圓的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．【提分秘籍】基本規(guī)律證明直線與圓相切有如下三知途徑：(1)證直線和圓有唯一公共點(diǎn)(運(yùn)用定義)；(2)證直線過半徑外端且垂直于這條半徑(運(yùn)用判定定理)；(3)證圓心到直線的距離等于圓的半徑(證d=r)。當(dāng)題目已知直線與圓的公共點(diǎn)時(shí)，一般用方法(2)，當(dāng)題目未知直線與圓的公共點(diǎn)時(shí)，一般用方法(3)，方法(1)運(yùn)用較少?！咀兪窖菥殹?．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是的直徑，AC是弦，D是的中點(diǎn)，CD與AB交于點(diǎn)E．F是AB延長線上的一點(diǎn)，且．(1)求證：為的切線；(2)連接BD，取BD的中點(diǎn)G，連接AG．若，，求AG的長．2．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的弦，交于點(diǎn)，交過點(diǎn)的直線于點(diǎn)，且．(1)試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，求的長．【題型二】切線性質(zhì)定理的應(yīng)用【典例分析】（2021·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，與交于點(diǎn)E，切于點(diǎn)B．（1）求證：；（2）若，，求證：．【提分秘籍】基本規(guī)律切線的性質(zhì)定理1.切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；2.有圓的切線時(shí)，常常連接圓心和切點(diǎn)得切線垂直于半徑，這是圓中常用到的作輔助線的方法?！咀兪窖菥殹?．如圖，分別是半的直徑和弦，于點(diǎn)，過點(diǎn)作半的切線與的延長線交于點(diǎn)．連接并延長與的延長線交于點(diǎn)．（1）求證：是半的切線；（2）若，求線段的長．2.（2020·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，過的圓心，交于點(diǎn)、，是的切線，點(diǎn)是切點(diǎn)，已知，．（1）求證：；（2）求的周長．【題型三】圓的弧長和面積的計(jì)算【典例分析】（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，，經(jīng)過圓心交于點(diǎn)，連接，．(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，求圖中陰影部分的面積．【提分秘籍】基本規(guī)律1．弧長和扇形面積的計(jì)算：扇形的弧長l=；扇形的面積S==．2．圓錐與側(cè)面展開圖1）圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長．2）若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr，圓錐的側(cè)面積為S圓錐側(cè)=．圓錐的表面積：S圓錐表=S圓錐側(cè)+S圓錐底=πrl+πr2=πr·（l+r）．在求不規(guī)則圖形的面積時(shí)，注意利用割補(bǔ)法與等積變化方法歸為規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的公式求解．【變式演練】1．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，∠=45°，，以為直徑的⊙與邊交于點(diǎn)．(1)判斷直線與⊙的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，求圖中陰影部分的面積．2.（2021·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，弦的延長線與過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D，，連接．（1）求的度數(shù)；（2）若，求的長．【題型三】多邊形與圓【典例分析】如圖，在正六邊形中，以為對角線作正方形，、與分別交于、．(1)(2)若，求的長．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到，可以直接利用（1）的結(jié)論）【提分秘籍】基本規(guī)律1．三角形的外接圓相關(guān)概念經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形．外心是三角形三條垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．2．三角形的內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三條邊的距離相等．八、正多邊形的有關(guān)概念正多邊形中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心．正多邊形半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形半徑．正多邊形中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形中心角．正多邊形邊心距：正多邊形中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．【變式演練】1．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上的一點(diǎn)，連接DP，CP．(1)求∠CPD的度數(shù)；(2)當(dāng)點(diǎn)P為的中點(diǎn)時(shí)，CP是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．2．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點(diǎn)A的三條對角線四等分∠BAF．(2)設(shè)⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結(jié)果保留π）．1．（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，內(nèi)接于，AB是直徑，的平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接，作，交的延長線于點(diǎn)F(1)試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求的半徑和的長．2．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，是角平分線，以D為圓心，為半徑作，交于點(diǎn)E．(1)直線與相切嗎？為什么？(2)若，，求的長．3．（2023·江蘇徐州·?？家荒＃┤鐖D，是的弦，C是外一點(diǎn)，，交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)D，且．(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，求圖中陰影部分的面積．4．（2023·江蘇常州·?？级＃┤鐖D，在中，，，．延長至點(diǎn)C，使，連接，以O(shè)為圓心，長為半徑作，延長，與交于點(diǎn)E，作弦，連接，與的延長線交于點(diǎn)D．(1)求證：是的切線；(2)求的長．5．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，已知中，，，是的外接圓，點(diǎn)在的延長線上，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，是的切線，交于點(diǎn)．(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)若，求的長度．6．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）已知：為的直徑，為圓心，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交的延長線于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)為內(nèi)部一點(diǎn)，連接．若的半徑為，求的長．7．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）已知：為的直徑，為圓心，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交的延長線于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)為內(nèi)部點(diǎn)，連接，．若，的半徑為，，求的長．8．（2023·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）如圖，在中，，為上一點(diǎn)，作，與交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)、、的與相切于點(diǎn)，連接．(1)求證：平分；(2)若，，求的長．9．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，中，，為上的一點(diǎn)，以為直徑的交于，連接交于，交于，連接，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．10．（2023·江蘇徐州·校聯(lián)考一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)C在上，點(diǎn)D在的延長線上．連接、．滿足．求證：(1)是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．11．（2023·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖，已知：以的邊為直徑作的外接圓，的平分線交于，交于，過作交的延長線于．，(1)求證：是切線；(2)求的半徑長；(3)求的值．12．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，為的直徑，點(diǎn)B是弧的中點(diǎn)，在線段的延長線上取一點(diǎn)E，使.(1)求證：為的切線；(2)若，，求線段的長．13．（2023·江蘇南通·校考一模）如圖，為的直徑，弦于點(diǎn)P，連接，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)連接，F(xiàn)是延長線上一點(diǎn)，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．14．（2022·江蘇鹽城·校聯(lián)考一模）如圖，是的直徑，是的弦，點(diǎn)是外一點(diǎn)，．(1)求證：是的切線；(2)連接，若OP∥BC，且，的半徑為，求的長．15．（2023·江蘇宿遷·沭陽縣懷文中學(xué)統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)B在上，連接，過圓心O作，連接并延長，交延長線于點(diǎn)A，滿足．(1)求證：是的切線；(2)若F是的中點(diǎn)，的半徑為3，求陰影部分的面積．專題9直線與圓的位置關(guān)系問題目錄一、熱點(diǎn)題型歸納【題型一】證明直線是圓的切線【題型二】切線性質(zhì)定理的應(yīng)用【題型三】圓的弧長和面積的計(jì)算【題型四】多邊形與圓二、最新?？碱}組練【題型一】證明直線是圓的切線【典例分析】（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，如圖，點(diǎn)A、B、C在圓O上，，直線，，點(diǎn)O在BD上．(1)判斷直線AD與圓O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若圓的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)直線AD與圓O相切，理由見解析(2)【分析】（1）連接OA，根據(jù)和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，從而得到∠BAD=120°，再由OA=OB，可得∠BAO=∠ABD=30°，從而得到∠OAD=90°，即可求解；（2）連接OC，作OH⊥BC于H，根據(jù)垂徑定理可得，進(jìn)而得到，再根據(jù)陰影部分的面積為，即可求解．【詳解】（1）解：直線AD與圓O相切，理由如下：如圖，連接OA，∵，∴∠D=∠DBC，∵AB=AD，∴∠D=∠ABD，∵，∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，∴∠BAD=120°，∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABD=30°，∴∠OAD=90°，∴OA⊥AD，∵OA是圓的半徑，∴直線AD與園O相切，（2）解：如圖，連接OC，作OH⊥BC于H，∵OB=OC=6，∴∠OCB=∠OBC=30°，∴∠BOC=120°，∴，∴，∴，∴扇形BOC的面積為，∵，∴陰影部分的面積為．【提分秘籍】基本規(guī)律證明直線與圓相切有如下三知途徑：(1)證直線和圓有唯一公共點(diǎn)(運(yùn)用定義)；(2)證直線過半徑外端且垂直于這條半徑(運(yùn)用判定定理)；(3)證圓心到直線的距離等于圓的半徑(證d=r)。當(dāng)題目已知直線與圓的公共點(diǎn)時(shí)，一般用方法(2)，當(dāng)題目未知直線與圓的公共點(diǎn)時(shí)，一般用方法(3)，方法(1)運(yùn)用較少。【變式演練】1．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是的直徑，AC是弦，D是的中點(diǎn)，CD與AB交于點(diǎn)E．F是AB延長線上的一點(diǎn)，且．(1)求證：為的切線；(2)連接BD，取BD的中點(diǎn)G，連接AG．若，，求AG的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）方法一：如圖1，連接OC，OD．由，，可得，由是的直徑，D是的中點(diǎn)，，進(jìn)而可得，即可證明CF為的切線；方法二：如圖2，連接OC，BC．設(shè)．同方法一證明，即可證明CF為的切線；（2）方法一：如圖3，過G作，垂足為H．設(shè)的半徑為r，則．在Rt△OCF中，勾股定理求得，證明，得出，根據(jù)，求得，進(jìn)而求得，根據(jù)勾股定理即可求得；方法二：如圖4，連接AD．由方法一，得．，D是的中點(diǎn)，可得，根據(jù)勾股定理即可求得．【詳解】（1）（1）方法一：如圖1，連接OC，OD．∵，∴．∵，∴．

∵，∴．∵是的直徑，D是的中點(diǎn)，∴．∴．∴，即．∴．∴CF為的切線．方法二：如圖2，連接OC，BC．設(shè)．∵AB是的直徑，D是的中點(diǎn)，∴．∴．∵，∴．

∴．∵，∴．∴．∵AB是的直徑，∴．∴．∴，即．∴．∴CF為的切線．（2）解：方法一：如圖3，過G作，垂足為H．設(shè)的半徑為r，則．在Rt△OCF中，，解之得．∵，∴．

∵，∴．∴．∴．∵G為BD中點(diǎn)，∴．∴，．∴．∴．方法二：如圖4，連接AD．由方法一，得．∵AB是的直徑，∴．∵，D是的中點(diǎn)，∴．∵G為BD中點(diǎn)，∴．∴．2．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的弦，交于點(diǎn)，交過點(diǎn)的直線于點(diǎn)，且．(1)試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，求的長．【答案】(1)相切，證明見詳解(2)6【分析】（1）連接OB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，，從而求出，再根據(jù)切線的判定得出結(jié)論；（2）分別作交AB于點(diǎn)M，交AB于N，根據(jù)求出OP，AP的長，利用垂徑定理求出AB的長，進(jìn)而求出BP的長，然后在等腰三角形CPB中求解CB即可．【詳解】（1）證明：連接OB，如圖所示：，，，，，，即，，，為半徑，經(jīng)過點(diǎn)O，直線與的位置關(guān)系是相切．（2）分別作交AB于點(diǎn)M，交AB于N，如圖所示：，，，，，，，，，，．【題型二】切線性質(zhì)定理的應(yīng)用【典例分析】（2021·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，與交于點(diǎn)E，切于點(diǎn)B．（1）求證：；（2）若，，求證：．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）由圓周角定理的推論，可知∠ABC=90°，由切線的性質(zhì)可知∠OBP=90°，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）先推出，從而得∠AOB=40°，繼而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，進(jìn)而即可得到結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵是的直徑，∴∠ABC=90°，∵切于點(diǎn)B，∴∠OBP=90°，∴，∴；（2）∵，，∴，∵OB=OC，∴，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA，∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，∴∠ADB=∠AOB=20°，∵是的直徑，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°-20°=70°，∴∠CDE=∠OAB，∵，∴，∴．【提分秘籍】基本規(guī)律切線的性質(zhì)定理1.切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；2.有圓的切線時(shí)，常常連接圓心和切點(diǎn)得切線垂直于半徑，這是圓中常用到的作輔助線的方法?！咀兪窖菥殹?．如圖，分別是半的直徑和弦，于點(diǎn)，過點(diǎn)作半的切線與的延長線交于點(diǎn)．連接并延長與的延長線交于點(diǎn)．（1）求證：是半的切線；（2）若，求線段的長．【答案】（1）見解析；（2）5．【分析】（1）連接OC，可以證得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的對應(yīng)角相等，以及切線的性質(zhì)定理可得∠OCP＝90°，即可證得結(jié)論；（2）依據(jù)切線的性質(zhì)定理可知OC⊥PF，由可得，再利用直角三角形兩銳角互余求得，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求OF的值，再減去圓的半徑即可．【詳解】（1）證明：如解圖，連接，∵，經(jīng)過圓心，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，即，∴是的切線．（2）解：∵是半圓的直徑，，∴，，∵，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，∴，∴．2.（2020·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，過的圓心，交于點(diǎn)、，是的切線，點(diǎn)是切點(diǎn)，已知，．（1）求證：；（2）求的周長．【答案】（1）見解析；（2）的周長為【分析】（1）由切線的性質(zhì)可得，由外角的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)，可得，可得結(jié)論；（2）由直角三角形的性質(zhì)可得，，即可求解．【詳解】證明：（1）是的切線，，，，，，，；（2），，，，，，，，，的周長．【題型三】圓的弧長和面積的計(jì)算【典例分析】（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，，經(jīng)過圓心交于點(diǎn)，連接，．(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)直線與相切，理由見解析(2)圖中陰影部分的面積【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理得到，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)圓周角定理得到，解直角三角形得到，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：直線與相切，理由：如圖，連接，∵，∴，連接，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵是的半徑，∴直線與相切；（2）解：如（1）中圖，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴圖中陰影部分的面積．【提分秘籍】基本規(guī)律1．弧長和扇形面積的計(jì)算：扇形的弧長l=；扇形的面積S==．2．圓錐與側(cè)面展開圖1）圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長．2）若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr，圓錐的側(cè)面積為S圓錐側(cè)=．圓錐的表面積：S圓錐表=S圓錐側(cè)+S圓錐底=πrl+πr2=πr·（l+r）．在求不規(guī)則圖形的面積時(shí)，注意利用割補(bǔ)法與等積變化方法歸為規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的公式求解．【變式演練】1．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，∠=45°，，以為直徑的⊙與邊交于點(diǎn)．(1)判斷直線與⊙的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理證明從而可得結(jié)論；（2）如圖，連接OD，先證明再利用陰影部分的面積等于三角形ABC的面積減去三角形BOD的面積，減去扇形AOD的面積即可．【詳解】（1）證明：∠=45°，，即在上，為的切線．（2）如圖，連接OD，，，，，，，．2.（2021·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，弦的延長線與過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D，，連接．（1）求的度數(shù)；（2）若，求的長．【答案】（1）55°；（2）．【分析】（1）連接OC，如圖，利用切線的性質(zhì)得到OC⊥CD，則判斷OC∥AE，所以∠DAC=∠OCA，然后利用∠OCA=∠OAC得到∠OAB的度數(shù)，即可求解；（2）利用（1）的結(jié)論先求得∠AEO∠EAO70°，再平行線的性質(zhì)求得∠COE=70°，然后利用弧長公式求解即可．【詳解】解：（1）連接OC，如圖，∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∵AE⊥CD，∴OC∥AE，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∠CAD=35°，∴∠OAC=∠OCA=∠CAD=35°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠OAC=55°；（2）連接OE，OC，如圖，由（1）得∠EAO=∠OAC+∠CAD=70°，∵OA=OE，∴∠AEO∠EAO70°，∵OC∥AE，∴∠COE=∠AEO=70°，∴AB=2，則OC=OE=1，∴的長為．【題型三】多邊形與圓【典例分析】如圖，在正六邊形中，以為對角線作正方形，、與分別交于、．(1)(2)若，求的長．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到，可以直接利用（1）的結(jié)論）【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正六邊形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)分別求出，即可．（2）連接交于點(diǎn)，連接交于．證明是等邊三角形，然后解直角三角形可求出，，再求出、，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵是正六邊形和正方形的對角線，∴，，∴，故答案為：．（2）解：連接交于點(diǎn)，連接交于．在正六邊形中，，，、分別平分、，，∴，∴是等邊三角形，，∴，，∴，在正方形中，，，∵，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴．【提分秘籍】基本規(guī)律1．三角形的外接圓相關(guān)概念經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形．外心是三角形三條垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．2．三角形的內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三條邊的距離相等．八、正多邊形的有關(guān)概念正多邊形中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心．正多邊形半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形半徑．正多邊形中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形中心角．正多邊形邊心距：正多邊形中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．【變式演練】1．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上的一點(diǎn)，連接DP，CP．(1)求∠CPD的度數(shù)；(2)當(dāng)點(diǎn)P為的中點(diǎn)時(shí)，CP是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接OD，OC，根據(jù)正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，結(jié)合圓周角定理可得∠CPD；（2）結(jié)合正多邊形的性質(zhì)以及圓周角定理得出∠COP的度數(shù)，進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）解：連接OD，OC，∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DOC＝90°，∴．（2）解：連接PO，OB，如圖所示：∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵點(diǎn)P為的中點(diǎn)，∴，∴，∴n＝360÷45＝8．2．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點(diǎn)A的三條對角線四等分∠BAF．(2)設(shè)⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結(jié)果保留π）．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）如圖，連接AE，AD，AC，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到結(jié)論；（2）如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，設(shè)⊙O的半徑為r，推出△ODE是等邊三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根據(jù)勾股定理得到OGr，根據(jù)三角形和圓的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，連接AE，AD，AC，∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，∴EF＝ED＝CD＝BC，∴，∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，∴過頂點(diǎn)A的三條對角線四等分∠BAF；（2）解：如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，設(shè)⊙O的半徑為r，∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，∴△ODE是等邊三角形，∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，∴∠EOG＝30°，∴EGr，∴OGr，∴正六邊形ABCDEF的面積＝6rrr2，∵⊙O的面積＝πr2，∴．1．（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，內(nèi)接于，AB是直徑，的平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接，作，交的延長線于點(diǎn)F(1)試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求的半徑和的長．【答案】(1)相切，理由見解析(2)的半徑為3.5，【分析】（1）如圖：連接OE，OC，根據(jù)角平分線的定義可得，即，則；再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再由是的半徑即可證明結(jié)論；（2）設(shè)的半徑為x，則，，再在中運(yùn)用勾股定理求得x，即可求得半徑；由AB是的直徑可得、結(jié)合可得，進(jìn)而說明，再結(jié)合可得，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)列式可求得；在中運(yùn)用勾股定理可得，即；最后運(yùn)用平行線等分線段定理即可解答．【詳解】（1）證明：如圖：連接OE，OC∵平分，∴∴，∴∵∴∵，∴∵是的半徑∴是的切線．（2）解：設(shè)的半徑為x，則，，在中，由勾股定理可得，∴，解得：，∴的半徑為3.5∵AB是的直徑，∴，∵∴∵∴∴∵，∴，∴，∴，在中，，即，解得，∴∵，∴，即，∴．2．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，是角平分線，以D為圓心，為半徑作，交于點(diǎn)E．(1)直線與相切嗎？為什么？(2)若，，求的長．【答案】(1)直線與相切，理由見解析(2)【分析】（1）過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出，根據(jù)切線的判定得出即可；（2）由，，可得，，，由勾股定理可得，可得，由，可得，進(jìn)而求得．【詳解】（1）解：直線與相切，理由如下：過點(diǎn)作，垂足為，∵平分，，，∴，又∵為半徑，∴點(diǎn)在上，又∵，∴直線與相切；（2）∵，，∴，，，∵，由勾股定理可得，∴，又∵，∴，∴．3．（2023·江蘇徐州·?？家荒＃┤鐖D，是的弦，C是外一點(diǎn)，，交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)D，且．(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)直線與的位置關(guān)系是相切，理由見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，求出，再根據(jù)切線的判定得出即可；（2）根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)求出，求出，求出，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)求出，求出，再求出答案即可．【詳解】（1）直線與的位置關(guān)系是相切，理由是：連接，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∵過點(diǎn)O，∴直線與的位置關(guān)系是相切；（2）∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，由勾股定理得：，即，解得：，∴陰影部分的面積．4．（2023·江蘇常州·?？级＃┤鐖D，在中，，，．延長至點(diǎn)C，使，連接，以O(shè)為圓心，長為半徑作，延長，與交于點(diǎn)E，作弦，連接，與的延長線交于點(diǎn)D．(1)求證：是的切線；(2)求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，，以此推出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，以此得到，即可證明；（2）過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，根據(jù)題意可證明，以此得到平分，則，，再根據(jù)，以此即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，∵，∴，∴，；∴，∵，∴，即，∵為半徑，∴是的切線；（2）解：如圖，過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，如圖所示，∵，，弦，∴，∵，∴，∴，∵，即為等腰三角形，∴，，∵，，∴，在中，，在中，，∴，∴．5．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，已知中，，，是的外接圓，點(diǎn)在的延長線上，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，是的切線，交于點(diǎn)．(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)若，求的長度．【答案】(1)等邊三角形，見解析(2)【分析】（1）如圖：連接，先說明是的直徑，則，即；根據(jù)是的切線可得，即；再根據(jù)結(jié)合直角三角形的性質(zhì)和對頂角的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到即可；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)是等邊三角形和可得，然后解直角三角形可得，最后根據(jù)即可解答．【詳解】（1）解：是等邊三角形，理由如下：如圖：連接，∵，，是的外接圓，∴是的直徑，∴,∴，∵是的切線，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴是等邊三角形；（2）解：∵，，，∴，∴，∵是等邊三角形，，∴，∴，∵，，∴，∴．6．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）已知：為的直徑，為圓心，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交的延長線于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)為內(nèi)部一點(diǎn)，連接．若的半徑為，求的長．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）由為的直徑，得出，由是的切線，得出，則，根據(jù)，得出，根據(jù)等弧所對的圓周角得出，等量代換即可求解；（2）連接，證明，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：為的直徑，，，是的切線，，，，，，，；（2）如圖，連接，，，，，，，即，，，，，，的半徑為，，，．7．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）已知：為的直徑，為圓心，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交的延長線于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)為內(nèi)部點(diǎn)，連接，．若，的半徑為，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由為的直徑，得出，由是的切線，得出，則，根據(jù)，得出，根據(jù)等弧所對的圓周角得出，等量代換即可求解；（2）連接，證明，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：為的直徑，，，是的切線，，，，，，，；（2）如圖，連接，，，，，，，即，，，，，；，，，的半徑為，，，．8．（2023·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）如圖，在中，，為上一點(diǎn)，作，與交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)、、的與相切于點(diǎn)，連接．(1)求證：平分；(2)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，與相切于點(diǎn)，推出，已知，得到，推出，進(jìn)而得到，得證平分；（2）連接，已知，得到，結(jié)合，得到，已知，得到，可求得，得到，進(jìn)一步證明，得到，即，已知，即可求得的長，進(jìn)而可得的長．【詳解】（1）證明：連接，與相切于點(diǎn)，，，，，，平分；（2）解：連接，，，又，，又，，，，，，，，又，，，，，，，，．9．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，中，，為上的一點(diǎn)，以為直徑的交于，連接交于，交于，連接，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到，由等量代換得到，由得到，則，即可得到，即可得到結(jié)論；（2）連接，，，再證明，則，設(shè)，則，，即可得到答案．【詳解】（1），，，，，，，，即，∴與相切；（2）連接，，，是的直徑，，，，，，，，設(shè)，，，．10．（2023·江蘇徐州·校聯(lián)考一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)C在上，點(diǎn)D在的延長線上．連接、．滿足．求證：(1)是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）連接，則可得出．由，得出，結(jié)合，可證，得出，從而推出．由直徑所對圓周角為直角可得出，進(jìn)而可求出，即，即證明是的切線；（2）設(shè)，則，，．根據(jù)勾股定理可得出，代入數(shù)據(jù)，可求出x的值，即得到，，從而可求出．根據(jù)銳角三角函數(shù)可求出，即說明，可求出，最后由求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．∵為直徑，∴，即，∴，∴，即．∵為半徑，∴是的切線；（2）解：設(shè)，則．∵，∴，∴．在中，，∴，解得：（舍去負(fù)值），∴，，∴．∵，∴，∴，∴．11．（2023·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖，已知：以的邊為直徑作的外接圓，的平分線交于，交于，過作交的延長線于．，(1)求證：是切線；