專題01一元二次方程的根(原卷版+解析)

專題01一元二次方程的根考點(diǎn)1：一元二次方程相關(guān)概念；考點(diǎn)2：一元二次方程的根；考點(diǎn)3：由實(shí)際問題抽象出一元二次方程。題型01一元二次方程相關(guān)概念題型01一元二次方程相關(guān)概念1．下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．x﹣2y＝1 B．x2+3=2x C．x2﹣2y+4＝0 D．x2．（易錯(cuò)題）關(guān)于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，則m的值是（）A．﹣1 B．3 C．1 D．1或﹣13．將方程3x2＝5x﹣1化為一元二次方程一般式后得（）A．3x2﹣5x﹣1＝0 B．3x2+5x﹣1＝0 C．3x2﹣5x+1＝0 D．3x2+5x+1＝04．（易錯(cuò)題）若(a?1)x2+a+1x=2是關(guān)于x5．一元二次方程x2+2x＝1的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和等于．6．將方程2x（x﹣1）＝3（x﹣5）化為一般形式．7．已知關(guān)于x的方程（m2﹣9）x2+（m+3）x﹣5＝0．①當(dāng)m為何值時(shí)，此方程是一元一次方程？并求出此時(shí)方程的解．②當(dāng)m為何值時(shí)，此方程是一元二次方程？并寫出這個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．題型02一元二次方程的根題型02一元二次方程的根8．若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一個(gè)根為﹣1，則k的值為（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．99．若a是關(guān)于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則2023+2a﹣6a2的值是（）A．4046 B．﹣4046 C．﹣2023 D．010．（易錯(cuò)題）若x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一個(gè)根，設(shè)M＝2﹣ac，N＝（ax0+1）2，則下列關(guān)于M與N的關(guān)系正確的為（）A．M＝N B．M＝N+1 C．M+N＝3 D．M＝2N11．設(shè)a是方程x2+x﹣2023＝0的一個(gè)根，則a2+a+1的值為．12．若關(guān)于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一個(gè)解是x＝﹣1，則m﹣n＝．13．設(shè)α，β是方程x2﹣2023x﹣3＝0的兩個(gè)根，則（a2﹣2023α﹣1）（β2﹣2023β+2）＝．14．（易錯(cuò)題）定義：如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足a﹣b+c＝0，那么我們稱這個(gè)方程為“黃金方程”．（1）判斷一元二次方程2x2+5x+3＝0是否為黃金方程，并說明理由．（2）已知3x2﹣ax+b＝0是關(guān)于x的黃金方程，若a是此黃金方程的一個(gè)根，求a的值．題型03由實(shí)際問題抽象出一元二次方程題型03由實(shí)際問題抽象出一元二次方程15．為執(zhí)行國(guó)家藥品降價(jià)政策，給人民群眾帶來實(shí)惠，某藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，每盒零售價(jià)由16元降為9元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是x，則根據(jù)題意，下列方程正確的是（）A．16（1﹣x）2＝9 B．16（1﹣x2）＝9 C．9（1﹣x）2＝16 D．9（1+x2）＝1616．（易錯(cuò)題）某校在操場(chǎng)東邊開發(fā)出一塊長(zhǎng)、寬分別為18m、10m的矩形菜園（如圖），作為勞動(dòng)教育系列課程的實(shí)驗(yàn)基地之一，為了便于管理，現(xiàn)要在中間開辟一橫兩縱三條等寬的小道，剩下的用于種植，且種植面積為144m2，設(shè)小道的寬為xm，根據(jù)題意可列方程為（）A．（18﹣2x）（10﹣x）＝144 B．2x2＝144 C．（18﹣x）（10﹣2x）＝144 D．（18﹣2x）（10﹣2x）＝14417．某產(chǎn)品每件的生產(chǎn)成本為50元，原定銷售價(jià)65元，經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，從現(xiàn)在開始的第一季度銷售價(jià)格將下降10%，第二季度又將回升5%．若要使半年以后的銷售利潤(rùn)不變，設(shè)每個(gè)季度平均降低成本的百分率為x，根據(jù)題意可列方程是．18．為了加快數(shù)字化城市建設(shè)，某市計(jì)劃新建一批智能充電樁，第一個(gè)月新建了301個(gè)充電樁，第三個(gè)月新建了500個(gè)充電樁，設(shè)該市新建智能充電樁個(gè)數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，請(qǐng)列出方程．19．某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，為了擴(kuò)大銷售、增加盈利盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出4件，若商場(chǎng)平均每天盈利2100元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？請(qǐng)完成下列問題：（1）未降價(jià)之前，某商場(chǎng)襯衫的總盈利為元；（2）降價(jià)后，設(shè)某商場(chǎng)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，則每件襯衫盈利元，平均每天可售出件（用含x的代數(shù)式進(jìn)行表示）；（3）請(qǐng)列出方程，求出x的值．

專題01一元二次方程的根考點(diǎn)1：一元二次方程相關(guān)概念；考點(diǎn)2：一元二次方程的根；考點(diǎn)3：由實(shí)際問題抽象出一元二次方程。題型01一元二次方程相關(guān)概念題型01一元二次方程相關(guān)概念1．下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．x﹣2y＝1 B．x2+3=2x C．x2﹣2y+4＝0 D．x解：A．方程x﹣2y＝1是二元一次方程，選項(xiàng)A不符合題意；B．方程x2+3=2x是分式方程，選項(xiàng)C．方程x2﹣2y+4＝0是二元二次方程，選項(xiàng)C不符合題意；D．方程x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，選項(xiàng)D符合題意．答案：D．2．（易錯(cuò)題）關(guān)于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，則m的值是（）A．﹣1 B．3 C．1 D．1或﹣1解：∵關(guān)于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，∴|m|+1＝2且m+1≠0，解得m＝1．答案：C．3．將方程3x2＝5x﹣1化為一元二次方程一般式后得（）A．3x2﹣5x﹣1＝0 B．3x2+5x﹣1＝0 C．3x2﹣5x+1＝0 D．3x2+5x+1＝0解：將方程3x2＝5x﹣1化成一元二次方程的一般形式得3x2﹣5x+1＝0．答案：C．4．（易錯(cuò)題）若(a?1)x2+a+1x=2是關(guān)于x的一元二次方程，則a的取值范圍為解：∵(a?1)x2+∴a﹣1≠0，a+1≥0，解得：a≥﹣1且a≠1．答案：a≥﹣1且a≠1．5．一元二次方程x2+2x＝1的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和等于2．解：x2+2x＝1的一般形式為x2+2x﹣1＝0，∴二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別為1，2，﹣1，∴1+2﹣1＝2，答案：2．6．將方程2x（x﹣1）＝3（x﹣5）化為一般形式2x2﹣5x+15＝0．解：2x（x﹣1）＝3（x﹣5），去括號(hào)，得2x2﹣2x＝3x﹣15，移項(xiàng)，得2x2﹣2x﹣3x+15＝0，合并同類項(xiàng)，得2x2﹣5x+15＝0，答案：2x2﹣5x+15＝0．7．已知關(guān)于x的方程（m2﹣9）x2+（m+3）x﹣5＝0．①當(dāng)m為何值時(shí)，此方程是一元一次方程？并求出此時(shí)方程的解．②當(dāng)m為何值時(shí)，此方程是一元二次方程？并寫出這個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．解：①根據(jù)一元一次方程的定義可知：m2﹣9＝0，m+3≠0，解得：m＝3，此時(shí)化簡(jiǎn)方程為：6x﹣5＝0，解得：x=5②根據(jù)一元二次方程的定義可知：m2﹣9≠0，解得：m≠±3．該方程的二次項(xiàng)系數(shù)為：m2﹣9（m≠±3）；一次項(xiàng)系數(shù)為：m+3；常數(shù)項(xiàng)為：﹣5．題型02一元二次方程的根題型02一元二次方程的根8．若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一個(gè)根為﹣1，則k的值為（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．9解：由題意得：把x＝﹣1代入方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0，得：（k﹣3）﹣6+k2﹣k＝0，解得：k＝±3，∵k﹣3≠0，∴k≠3，∴k＝﹣3，答案：A．9．若a是關(guān)于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則2023+2a﹣6a2的值是（）A．4046 B．﹣4046 C．﹣2023 D．0解：∵a是關(guān)于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，∴3a2﹣a﹣2023＝0，∴3a2﹣a＝2023，∴2023+2a﹣6a2＝2023﹣2（3a2﹣a）＝2023﹣2×2023＝﹣2023．答案：C．10．（易錯(cuò)題）若x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一個(gè)根，設(shè)M＝2﹣ac，N＝（ax0+1）2，則下列關(guān)于M與N的關(guān)系正確的為（）A．M＝N B．M＝N+1 C．M+N＝3 D．M＝2N解：∵x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一個(gè)根，∴ax02+2x0∴ax02+2x0∴N＝（ax0+1）2＝a2x02+2ax0+1＝a（ax02+∵M(jìn)＝2﹣ac，∴M＝N+1．答案：B．11．設(shè)a是方程x2+x﹣2023＝0的一個(gè)根，則a2+a+1的值為2024．解：把x＝a代入x2+x﹣2023＝0中得：a2+a﹣2023＝0．∴a2+a＝2023，把a(bǔ)2+a＝2023代入a2+a+1＝2023+1＝2024，答案：2024．12．若關(guān)于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一個(gè)解是x＝﹣1，則m﹣n＝1．解：∵關(guān)于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一個(gè)解是x＝﹣1，∴m﹣n﹣1＝0，∴m﹣n＝1．答案：1．13．設(shè)α，β是方程x2﹣2023x﹣3＝0的兩個(gè)根，則（a2﹣2023α﹣1）（β2﹣2023β+2）＝10．解：由題意知，α2﹣2023α＝3，β2﹣2023β＝3，∴（a2﹣2023α﹣1）（β2﹣2023β+2）＝（3﹣1）×（3+2）＝2×5＝10．答案：10．14．（易錯(cuò)題）定義：如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足a﹣b+c＝0，那么我們稱這個(gè)方程為“黃金方程”．（1）判斷一元二次方程2x2+5x+3＝0是否為黃金方程，并說明理由．（2）已知3x2﹣ax+b＝0是關(guān)于x的黃金方程，若a是此黃金方程的一個(gè)根，求a的值．解：（1）一元二次方程2x2+5x+3＝0是黃金方程，理由如下：由題意得，a＝2，b＝5，c＝3，∴a﹣b+c＝2+3﹣5＝0，∴一元二次方程2x2+5x+3＝0是黃金方程；（2）∵3x2﹣ax+b＝0是關(guān)于x的黃金方程，∴3+b﹣（﹣a）＝0，∴b＝﹣a﹣3，∴原方程為3x2﹣ax﹣a﹣3＝0，∵a是此黃金方程的一個(gè)根，∴3a2﹣a2﹣a﹣3＝0，即2a2﹣a﹣3＝0，∴（a+1）（2a﹣3）＝0，解得a＝﹣1或a=3題型03由實(shí)際問題抽象出一元二次方程題型03由實(shí)際問題抽象出一元二次方程15．為執(zhí)行國(guó)家藥品降價(jià)政策，給人民群眾帶來實(shí)惠，某藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，每盒零售價(jià)由16元降為9元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是x，則根據(jù)題意，下列方程正確的是（）A．16（1﹣x）2＝9 B．16（1﹣x2）＝9 C．9（1﹣x）2＝16 D．9（1+x2）＝16解：根據(jù)題意得：16（1﹣x）2＝9，答案：A．16．（易錯(cuò)題）某校在操場(chǎng)東邊開發(fā)出一塊長(zhǎng)、寬分別為18m、10m的矩形菜園（如圖），作為勞動(dòng)教育系列課程的實(shí)驗(yàn)基地之一，為了便于管理，現(xiàn)要在中間開辟一橫兩縱三條等寬的小道，剩下的用于種植，且種植面積為144m2，設(shè)小道的寬為xm，根據(jù)題意可列方程為（）A．（18﹣2x）（10﹣x）＝144 B．2x2＝144 C．（18﹣x）（10﹣2x）＝144 D．（18﹣2x）（10﹣2x）＝144解：∵小道的寬為xm，∴剩下的用于種植的部分可合成長(zhǎng)為（18﹣2x）m，寬為（10﹣x）m的矩形．根據(jù)題意得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144．答案：A．17．某產(chǎn)品每件的生產(chǎn)成本為50元，原定銷售價(jià)65元，經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，從現(xiàn)在開始的第一季度銷售價(jià)格將下降10%，第二季度又將回升5%．若要使半年以后的銷售利潤(rùn)不變，設(shè)每個(gè)季度平均降低成本的百分率為x，根據(jù)題意可列方程是65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．解：設(shè)每個(gè)季度平均降低成本的百分率為x，依題意，得：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．答案：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．18．為了加快數(shù)字化城市建設(shè)，某市計(jì)劃新建一批智能充電樁，第一個(gè)月新建了301個(gè)充電樁，第三個(gè)月新建了500個(gè)充電樁，設(shè)該市新建智能充電樁個(gè)數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，請(qǐng)列出方程301（1+x）2＝500．解：設(shè)該市新建智能充電樁個(gè)數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x，依題意得：301（1+x）2＝500．答案：301（1+x）2＝500．19．某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，為了擴(kuò)大銷售、增加盈利盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出4件，若商場(chǎng)平均每天盈利2100元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少