專題09全等三角形的五種幾何模型全攻略(原卷版+解析)

專題09全等三角形的五種模幾何型全攻略模型一、截長(zhǎng)補(bǔ)短模型①截長(zhǎng)：在較長(zhǎng)的線段上截取另外兩條較短的線段。如圖所示，在BF上截取BM=DF，易證△BMC≌△DFC（SAS），則MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF為等腰直角三角形，又可證∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，F(xiàn)G∥CM，可得四邊形CGFM為平行四邊形，則CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.②補(bǔ)短：選取兩條較短線段中的一條進(jìn)行延長(zhǎng)，使得較短的兩條線段共線并尋求解題突破。如圖所示，延長(zhǎng)GC至N，使CN=DF，易證△CDF≌△BCN（SAS），可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，又知∠FGC=45°，可證BN∥FG，于是四邊形BFGN為平行四邊形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.例1．已知：如圖，在中，，、分別為、上的點(diǎn)，且、交于點(diǎn)．若、為的角平分線．(1)求的度數(shù)；(2)若，，求的長(zhǎng)．例2．如圖1，在等邊三角形中，于于與相交于點(diǎn)O．(1)求證：；(2)如圖2，若點(diǎn)G是線段上一點(diǎn)，平分，，交所在直線于點(diǎn)F．求證：．(3)如圖3，若點(diǎn)G是線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），連接，在下方作，邊交所在直線于點(diǎn)F．猜想：三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式訓(xùn)練1】閱讀下面材料：【原題呈現(xiàn)】如圖1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的長(zhǎng)．【思考引導(dǎo)】因?yàn)镃D平分∠ACB，所以可在BC邊上取點(diǎn)E，使EC＝AC，連接DE．這樣很容易得到DEC≌DAC，經(jīng)過(guò)推理能使問(wèn)題得到解決（如圖2）．【問(wèn)題解答】（1）參考提示的方法，解答原題呈現(xiàn)中的問(wèn)題；（2）拓展提升：如圖3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練2】等邊中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，連接、交于點(diǎn)．（1）如圖1，求的度數(shù)；圖1（2）連接，若，求的值；（3）如圖2，若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，且，則的大小是___________．圖2【變式訓(xùn)練3】已知在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC（1）如圖1，連接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的長(zhǎng)度．（2）如圖2，點(diǎn)P、Q分別在線段AD、DC上，滿足PQ＝AP＋CQ，求證：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC（3）若點(diǎn)Q在DC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在DA的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足PQ＝AP＋CQ，請(qǐng)寫(xiě)出∠PBQ與∠ADC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過(guò)程．模型二、倍長(zhǎng)中線模型例1．如圖，為的中線，在上，交于，且．求證：．例2.（1）如圖1，已知中，AD是中線，求證：；（2）如圖2，在中，D，E是BC的三等分點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，在中，D，E在邊BC上，且．求證：．【變式訓(xùn)練1】課堂上，老師出示了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，求的取值范圍．（1）小明的想法是，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖2，從而通過(guò)構(gòu)造全等解決問(wèn)題，請(qǐng)你按照小明的想法解決此問(wèn)題；（2）請(qǐng)按照上述提示，解決下面問(wèn)題：在等腰中，，，點(diǎn)邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，且，連接交于點(diǎn)，連接，求證．【變式訓(xùn)練2】在中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，直線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，連接，．（1）如圖1，若點(diǎn)，在直線的異側(cè)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．求證：．（2）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)，，，求的長(zhǎng)度．（3）若過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn)．試探究線段、和的關(guān)系．【變式訓(xùn)練3】（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），①延長(zhǎng)AD到M，使得DM＝AD；②連接BM，通過(guò)三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是；方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長(zhǎng)中線法”．“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．（2）請(qǐng)你寫(xiě)出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請(qǐng)直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．模型三、手拉手全等模型例1．在中，，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)為線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，連接，，．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，則______°；(2)當(dāng)時(shí)，①如圖2，連接，判斷的形狀，并證明；②如圖3，直線與交于點(diǎn)，滿足．為直線上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，用等式表示，與之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____，并證明．例2．已知在中，，過(guò)點(diǎn)B引一條射線，D是上一點(diǎn)【問(wèn)題解決】(1)如圖1，若，射線在內(nèi)部，，求證：，小明同學(xué)展示的做法是：在上取一點(diǎn)E使得，通過(guò)已知的條件，從而求得的度數(shù)，請(qǐng)你幫助小明寫(xiě)出證明過(guò)程；【類比探究】(2)如圖2，已知．①當(dāng)射線在內(nèi)，求的度數(shù)②當(dāng)射線在下方，如圖3所示，請(qǐng)問(wèn)的度數(shù)會(huì)變化嗎?若不變，請(qǐng)說(shuō)明理由，若改變，請(qǐng)求出的度數(shù)；【變式訓(xùn)練1】（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)、、在同一條直線上，則的度數(shù)為_(kāi)_________，線段、之間的數(shù)量關(guān)系__________；（2）拓展探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)、、不在一條直線上，請(qǐng)判斷線段、之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）解決問(wèn)題：如圖3，和均為等腰三角形，，則直線和的夾角為_(kāi)_________．（請(qǐng)用含的式子表示）【變式訓(xùn)練2】如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，BD與CE交于點(diǎn)O，BD與AC交于點(diǎn)F．（1）求證：BD＝CE．（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度數(shù)．（3）若G為CE上一點(diǎn)，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求證：BD⊥AC．【變式訓(xùn)練3】如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一點(diǎn)，且DE＝CE，連接BD，CD．（1）試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，若將△DCE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，若將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變．①試猜想BD與AC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②你能求出BD與AC的夾角度數(shù)嗎？如果能，請(qǐng)直接寫(xiě)出夾角度數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．模型四、一線三等角全等模型例1．如圖1，，垂足分別為D，E．(1)若，求的長(zhǎng)．(2)在其它條件不變的前提下，將所在直線變換到的外部（如圖2），請(qǐng)你猜想三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，將（1）中的條件改為：在中，，D，C，E三點(diǎn)在同一條直線上，并且有，其中α為任意鈍角，那么（2）中你的猜想是否還成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．例2.通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：[模型呈現(xiàn)]如圖1，，，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E．求證：．[模型應(yīng)用]如圖2，且，且，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積為_(kāi)_______________．[深入探究]如圖3，，，，連接，，且于點(diǎn)F，與直線交于點(diǎn)G．若，，則的面積為_(kāi)____________．【變式訓(xùn)練1】在中，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①；②．(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．【變式訓(xùn)練2】已知：CD是經(jīng)過(guò)∠BCA的頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB，E、F是直線CD上兩點(diǎn)，∠BEC＝∠CFA＝∠α．（1）若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的內(nèi)部，∠BCD＞∠ACD．①如圖1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，寫(xiě)出BE，EF，AF間的等量關(guān)系：．②如圖2，∠α與∠BCA具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，能使①中的結(jié)論仍然成立？寫(xiě)出∠α與∠BCA的數(shù)量關(guān)系．（2）如圖3．若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的結(jié)論是否成立？若成立，進(jìn)行證明；若不成立，寫(xiě)出新結(jié)論并進(jìn)行證明．【變式訓(xùn)練3】（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在中，，，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，直線l，直線l，垂足分別為點(diǎn)D，E．求證：．（2）組員小明想，如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，D，A，E三點(diǎn)都在直線l上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問(wèn)結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題：如圖3，過(guò)的邊AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高．延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)I．若，則______．模型五、半角型全等模型例1．問(wèn)題背景：“半角模型”問(wèn)題．如圖1，在四邊形中，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且，連接，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．(1)探究發(fā)現(xiàn)：小明同學(xué)的方法是延長(zhǎng)到點(diǎn)G．使．連結(jié)，先證明，再證明，從而得出結(jié)論：_____________；(2)拓展延伸：如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊上的點(diǎn)，且，請(qǐng)問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)嘗試應(yīng)用：如圖3，在四邊形中，，，E、F分別是邊延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，請(qǐng)?zhí)骄烤€段具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．例2．已知：邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點(diǎn)E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝度，……根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．類比探究：(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程；拓展應(yīng)用：(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．【變式訓(xùn)練1】問(wèn)題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______．實(shí)際應(yīng)用：如圖2，在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化ABCD，四周修有步行小徑，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小徑BC，CD上各修一涼亭E，F(xiàn)，在涼亭E與F之間有一池塘，不能直接到達(dá)，經(jīng)測(cè)量得，BE＝10米，DF＝15米，試求兩涼亭之間的距離EF．【變式訓(xùn)練2】綜合與實(shí)踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長(zhǎng)線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為．【變式訓(xùn)練3】（1）如圖①，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且．請(qǐng)直接寫(xiě)出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：__________；（2）如圖②，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；（3）在四邊形中，，，，分別是邊，所在直線上的點(diǎn)，且．請(qǐng)畫(huà)出圖形（除圖②外），并直接寫(xiě)出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．專題09全等三角形的五種模幾何型全攻略模型一、截長(zhǎng)補(bǔ)短模型①截長(zhǎng)：在較長(zhǎng)的線段上截取另外兩條較短的線段。如圖所示，在BF上截取BM=DF，易證△BMC≌△DFC（SAS），則MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF為等腰直角三角形，又可證∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，F(xiàn)G∥CM，可得四邊形CGFM為平行四邊形，則CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.②補(bǔ)短：選取兩條較短線段中的一條進(jìn)行延長(zhǎng)，使得較短的兩條線段共線并尋求解題突破。如圖所示，延長(zhǎng)GC至N，使CN=DF，易證△CDF≌△BCN（SAS），可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，又知∠FGC=45°，可證BN∥FG，于是四邊形BFGN為平行四邊形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.例1．已知：如圖，在中，，、分別為、上的點(diǎn)，且、交于點(diǎn)．若、為的角平分線．(1)求的度數(shù)；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)10【詳解】（1）解：、分別為的角平分線，，，，；（2）解：在上截取，連接．、分別為的角平分線，，，，在和中，，，，，在和中，，，，．例2．如圖1，在等邊三角形中，于于與相交于點(diǎn)O．(1)求證：；(2)如圖2，若點(diǎn)G是線段上一點(diǎn)，平分，，交所在直線于點(diǎn)F．求證：．(3)如圖3，若點(diǎn)G是線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），連接，在下方作，邊交所在直線于點(diǎn)F．猜想：三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，∴，，∵，，∴平分，平分，∴，∴，在中，，，∴，∴；（2）證明：∵，，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（3）解：．理由如下：連接，在上截取，連接，∵，，∴，∴，∴，∴，，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，，∵，

∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴．【變式訓(xùn)練1】閱讀下面材料：【原題呈現(xiàn)】如圖1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的長(zhǎng)．【思考引導(dǎo)】因?yàn)镃D平分∠ACB，所以可在BC邊上取點(diǎn)E，使EC＝AC，連接DE．這樣很容易得到DEC≌DAC，經(jīng)過(guò)推理能使問(wèn)題得到解決（如圖2）．【問(wèn)題解答】（1）參考提示的方法，解答原題呈現(xiàn)中的問(wèn)題；（2）拓展提升：如圖3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的長(zhǎng)．【答案】（1）5.8；（2）4.3【詳解】解：（1）如圖2，在BC邊上取點(diǎn)E，使EC＝AC，連接DE．在△ACD與△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，∵∠A＝2∠B，∴∠DEC＝2∠B，∴∠B＝∠EDB，∴△BDE是等腰三角形；∴BE＝DE＝AD＝2.2，AC＝EC＝3.6，∴BC的長(zhǎng)為5.8；（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，∴∠ABC＝∠C＝80°，∵BD平分∠B，∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°，在BA邊上取點(diǎn)E，使BE＝BC＝2，連接DE，在△DEB和△DBC中，，∴△DEB≌△DBC（SAS），∴∠BED＝∠C＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA邊上取點(diǎn)F，使DF＝DB，連接FE，同理可得△BDE≌△FDE，∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2，∵∠A＝20°，∴∠6＝20°，∴AF＝EF＝2，∵BD＝DF＝2.3，∴AD＝BD+BC＝4.3．【變式訓(xùn)練2】等邊中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，連接、交于點(diǎn)．（1）如圖1，求的度數(shù)；圖1（2）連接，若，求的值；（3）如圖2，若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，且，則的大小是___________．圖2【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】（1）∵是等邊三角形，∴，，在和中，，，，∴，∴，∴，∴．（2）在上取點(diǎn)，使．由（1）知，又，∴．在和中，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．（3）．提示：目測(cè)即得答案．詳細(xì)理由如下：由（1）知．延長(zhǎng)至，使為等邊三角形．延長(zhǎng)交于．∵，∴，在和中，,∴，∴．∴，∴．∴，在和中，，∴，∴．∵，，∴，∵∴為等邊三角形，∴∴．【變式訓(xùn)練3】已知在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC（1）如圖1，連接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的長(zhǎng)度．（2）如圖2，點(diǎn)P、Q分別在線段AD、DC上，滿足PQ＝AP＋CQ，求證：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC（3）若點(diǎn)Q在DC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在DA的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足PQ＝AP＋CQ，請(qǐng)寫(xiě)出∠PBQ與∠ADC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過(guò)程．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3），證明見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：如圖1，∵，，∴，在和中，∴，∴，∴；（2）如圖2，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴；（3）；如圖3，在延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)，使得，連接，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴．模型二、倍長(zhǎng)中線模型例1．如圖，為的中線，在上，交于，且．求證：．【答案】見(jiàn)解析【詳解】證明：延長(zhǎng)至P，使，連接，在與中，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．例2.（1）如圖1，已知中，AD是中線，求證：；（2）如圖2，在中，D，E是BC的三等分點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，在中，D，E在邊BC上，且．求證：．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【詳解】證：（1）如圖所示，延長(zhǎng)AD至P點(diǎn)，使得AD=PD，連接CP，∵AD是△ABC的中線，∴D為BC的中點(diǎn)，BD=CD，在△ABD與△PCD中，，∴△ABD≌△PCD(SAS)，∴AB=CP，在△APC中，由三邊關(guān)系可得AC+PC＞AP，∴；（2）如圖所示，取DE中點(diǎn)H，連接AH并延長(zhǎng)至Q點(diǎn)，使得AH=QH，連接QE和QC，∵H為DE中點(diǎn)，D、E為BC三等分點(diǎn)，∴DH=EH，BD=DE=CE，∴DH=CH，在△ABH和△QCH中，∴△ABH≌△QCH(SAS)，同理可得：△ADH≌△QEH，∴AB=CQ，AD=EQ，此時(shí)，延長(zhǎng)AE，交CQ于K點(diǎn)，∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，∴AC+CQ＞AK+QK，又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，∴AK+QK＞AE+QE，∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE，∵AB=CQ，AD=EQ，∴；（3）如圖所示，取DE中點(diǎn)M，連接AM并延長(zhǎng)至N點(diǎn)，使得AM=NM，連接NE，CE，∵M(jìn)為DE中點(diǎn)，∴DM=EM，∵BD=CE，∴BM=CM，在△ABM和△NCM中，∴△ABM≌△NCM(SAS)，同理可證△ADM≌△NEM，∴AB=NC，AD=NE，此時(shí)，延長(zhǎng)AE，交CN于T點(diǎn)，∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，∴AC+CN＞AT+NT，又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，∴AT+NT＞AE+NE，∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE，∵AB=NC，AD=NE，∴．【變式訓(xùn)練1】課堂上，老師出示了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，求的取值范圍．（1）小明的想法是，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖2，從而通過(guò)構(gòu)造全等解決問(wèn)題，請(qǐng)你按照小明的想法解決此問(wèn)題；（2）請(qǐng)按照上述提示，解決下面問(wèn)題：在等腰中，，，點(diǎn)邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，且，連接交于點(diǎn)，連接，求證．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析【詳解】（1），，，，即，（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，,,,,即，又,【變式訓(xùn)練2】在中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，直線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，連接，．（1）如圖1，若點(diǎn)，在直線的異側(cè)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．求證：．（2）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)，，，求的長(zhǎng)度．（3）若過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn)．試探究線段、和的關(guān)系．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）線段、和的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為或或【詳解】（1）證明：如圖1，直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，，，，又為邊中點(diǎn)，，在和中，，，．（2）解：如圖2，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，，，，，又為中點(diǎn)，，又，∴在和中，，，，，，∵，，，，，，，．（3）位置關(guān)系：，數(shù)量關(guān)系：分四種情況討論∵直線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，∴，①如圖3，當(dāng)直線與線段交于一點(diǎn)時(shí)，由（1）可知，，即，，，，∵，．②當(dāng)直線與線段交于一點(diǎn)時(shí)，如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，，，，又為邊中點(diǎn)，，在和中，，，．，即，，，，∵，．③如圖4，當(dāng)直線與線段的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)時(shí)．由（2）得：，，，∴，即，．④當(dāng)直線與線段的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)時(shí)，如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，，，，，又為中點(diǎn)，，又，∴在和中，，，，，∴，即，．綜上所述，線段、和的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為或或．【變式訓(xùn)練3】（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），①延長(zhǎng)AD到M，使得DM＝AD；②連接BM，通過(guò)三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是；方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長(zhǎng)中線法”．“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．（2）請(qǐng)你寫(xiě)出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請(qǐng)直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，證明見(jiàn)解析；（3）EF＝2AD，證明見(jiàn)解析．【詳解】（1）如圖2，延長(zhǎng)AD到M，使得DM＝AD，連接BM，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△MDB和△ADC中，，∴△MDB≌△ADC（SAS），∴BM＝AC＝6，在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，∴1＜AD＜7，故答案為：1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，∴AC∥BM；（3）EF＝2AD，理由：如圖2，延長(zhǎng)AD到M，使得DM＝AD，連接BM，由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），∴BM＝AC，∵AC＝AF，∴BM＝AF，由（2）知：AC∥BM，∴∠BAC+∠ABM＝180°，∵∠BAE＝∠FAC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABM＝∠EAF，在△ABM和△EAF中，，∴△ABM≌△EAF（SAS），∴AM＝EF，∵AD＝DM，∴AM＝2AD，∵AM＝EF，∴EF＝2AD，即：EF＝2AD．模型三、手拉手全等模型例1．在中，，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)為線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，連接，，．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，則______°；(2)當(dāng)時(shí)，①如圖2，連接，判斷的形狀，并證明；②如圖3，直線與交于點(diǎn)，滿足．為直線上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，用等式表示，與之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____，并證明．【答案】(1)100；(2)①時(shí)等邊三角形，證明見(jiàn)解析；②．證明見(jiàn)解析．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)為線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案為：100．（2）解：①結(jié)論：時(shí)等邊三角形．理由：∵點(diǎn)是線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴時(shí)等邊三角形；②結(jié)論：．理由：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，．∵則，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，的值最大，此時(shí)，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴時(shí)等邊三角形，∴，，∴，∵，∴（SAS），∴，∵，，∴，∴．故答案為：．例2．已知在中，，過(guò)點(diǎn)B引一條射線，D是上一點(diǎn)【問(wèn)題解決】(1)如圖1，若，射線在內(nèi)部，，求證：，小明同學(xué)展示的做法是：在上取一點(diǎn)E使得，通過(guò)已知的條件，從而求得的度數(shù)，請(qǐng)你幫助小明寫(xiě)出證明過(guò)程；【類比探究】(2)如圖2，已知．①當(dāng)射線在內(nèi)，求的度數(shù)②當(dāng)射線在下方，如圖3所示，請(qǐng)問(wèn)的度數(shù)會(huì)變化嗎?若不變，請(qǐng)說(shuō)明理由，若改變，請(qǐng)求出的度數(shù)；【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①②；的度數(shù)會(huì)變化，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：如圖1，在上取一點(diǎn)E，使，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，即，∵在和中，∴，∴，∴；（2）證明：①在上取一點(diǎn)E，，如圖所示：∵，，∴，，∴，∴，∵在和中，∴，∴，∴；②的度數(shù)會(huì)變化，理由如下：在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使得，如圖所示：同理①的方法可證：，∴，∴．【變式訓(xùn)練1】（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)、、在同一條直線上，則的度數(shù)為_(kāi)_________，線段、之間的數(shù)量關(guān)系__________；（2）拓展探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)、、不在一條直線上，請(qǐng)判斷線段、之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）解決問(wèn)題：如圖3，和均為等腰三角形，，則直線和的夾角為_(kāi)_________．（請(qǐng)用含的式子表示）【答案】（1）90°，AD=BE；（2）AD=BE，AD⊥BE；（3）【詳解】（1）∵和均為等腰直角三角形，，∴，，∠CDE=45°∴∠CDA=135°∵∠ACB?∠DCB＝∠DCE?∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠BEC=∠ADC＝135°，AD＝BE∴∠AEB=90°故答案為：90°，AD＝BE（2）AD=BE，AD⊥BE，理由如下，同理可得△ACD≌△BCE，則AD=BE，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，設(shè)∠FAB=α，則∠CAD=∠CBE=45°-α∴∠ABE=45°+45°-α=90°-α∴∠AFB=180°-∠FAB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90°∴AD⊥BE（3）如圖，延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)G，∵和均為等腰三角形，∴，，∵∠ACB=∠DCE=α，∵∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠CAD∵∴∠CBA=∠CAB=∴∠GAB+∠GBA=，，∴∠AGB=180°-(∠GAB+∠GBA)，即直線和的夾角為．故答案為：．【變式訓(xùn)練2】如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，BD與CE交于點(diǎn)O，BD與AC交于點(diǎn)F．（1）求證：BD＝CE．（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度數(shù)．（3）若G為CE上一點(diǎn)，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求證：BD⊥AC．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）132°；（3）見(jiàn)解析【詳解】（1）證：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即：∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE；（2）解：∵∠COD=∠OBC+∠BCO，∠BCO=∠BCA+∠ACE，∴∠COD=∠OBC+∠BCA+∠ACE，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴∠COD=∠OBC+∠BCA+∠ABD=∠ABC+∠BCA，∵∠BAC＝48°，∴∠ABC+∠BCA=180°-48°=132°，∴∠COD=132°；（3）證：如圖所示，連接AO，∵△BAD≌△CAE，∴∠ADO=∠AEG，在△ADO和△AEG中，∴△ADO≌△AEG(SAS)，∴∠OAD=∠GAE，AO=AG，∴∠AOG=∠AGO，∴∠OAD+∠DAG=∠GAE+∠DAG，即：∠OAG=∠DAE，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAC=∠OAG，在△ABF和△COF中，∠BAC=180°-∠ABD-∠AFB，∠BOC=180°-∠ACE-∠CFO，由（2）知∠ABD=∠ACE，∵∠AFB=∠CFO，∴∠BAC=∠BOC，∴∠BOC=∠OAG，∵AG∥BD，∴∠BOA=∠OAG，∴∠BOA=∠BOC，∵AO=AG，AG=CO，∴AO=CO，即：△AOC為等腰三角形，∵∠BOA=∠BOC，∴OF⊥AC，∴BD⊥AC．【變式訓(xùn)練3】如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一點(diǎn)，且DE＝CE，連接BD，CD．（1）試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，若將△DCE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，若將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變．①試猜想BD與AC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②你能求出BD與AC的夾角度數(shù)嗎？如果能，請(qǐng)直接寫(xiě)出夾角度數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）BD＝AC，BD⊥AC，理由見(jiàn)解析；（2）不變，理由見(jiàn)解析；（3）①BD＝AC，理由見(jiàn)解析；②能，60°或120°．【詳解】（1）BD＝AC，BD⊥AC，理由：延長(zhǎng)BD交AC于F．∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，在△BED和△AEC中∴，∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，∵∠BED＝90°，∴∠EBD+∠BDE＝90°，∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF+∠CAE＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（2）不發(fā)生變化，理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∵∠DEC＝90°，∴∠ACE+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝∠DOF，∴∠BDE+∠DOF＝90°，∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（3）①∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，②能．設(shè)與交于點(diǎn)，如下圖：理由：∵△ABE和△DEC是等邊三角形，∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴∠BDE＝∠ACE，BD＝AC．∴，即BD與AC所成的角的度數(shù)為60°或120°．模型四、一線三等角全等模型例1．如圖1，，垂足分別為D，E．(1)若，求的長(zhǎng)．(2)在其它條件不變的前提下，將所在直線變換到的外部（如圖2），請(qǐng)你猜想三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，將（1）中的條件改為：在中，，D，C，E三點(diǎn)在同一條直線上，并且有，其中α為任意鈍角，那么（2）中你的猜想是否還成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)0.8cm(2)，證明見(jiàn)解析(3)結(jié)論成立，證明見(jiàn)解析【詳解】（1）解：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；（2）．證明：∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）結(jié)論成立，證明：，∴，在和中，，∴，∴，∴；即結(jié)論成立；例2.通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：[模型呈現(xiàn)]如圖1，，，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E．求證：．[模型應(yīng)用]如圖2，且，且，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積為_(kāi)_______________．[深入探究]如圖3，，，，連接，，且于點(diǎn)F，與直線交于點(diǎn)G．若，，則的面積為_(kāi)____________．【答案】[模型呈現(xiàn)]見(jiàn)解析；[模型應(yīng)用]50；[深入探究]63【詳解】[模型呈現(xiàn)]證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；[模型應(yīng)用]解：由[模型呈現(xiàn)]可知，，∴，則，故答案為：50；[深入探究]過(guò)點(diǎn)D作于P，過(guò)點(diǎn)E作交AG的延長(zhǎng)線于Q，由[模型呈現(xiàn)]可知，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：63．【變式訓(xùn)練1】在中，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①；②．(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)，證明見(jiàn)解析【詳解】（1）解：如圖①∵，∴，∴．又∵，，∴．②∵，∴，，∴．（2）∵，∴，∴．又∵，∴，∴，∴．（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，所滿足的等量關(guān)系是（或等）．∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．【變式訓(xùn)練2】已知：CD是經(jīng)過(guò)∠BCA的頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB，E、F是直線CD上兩點(diǎn)，∠BEC＝∠CFA＝∠α．（1）若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的內(nèi)部，∠BCD＞∠ACD．①如圖1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，寫(xiě)出BE，EF，AF間的等量關(guān)系：．②如圖2，∠α與∠BCA具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，能使①中的結(jié)論仍然成立？寫(xiě)出∠α與∠BCA的數(shù)量關(guān)系．（2）如圖3．若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的結(jié)論是否成立？若成立，進(jìn)行證明；若不成立，寫(xiě)出新結(jié)論并進(jìn)行證明．【答案】（1）①EF=BE-AF；②∠α+∠BCA=180°，理由見(jiàn)解析；（2）不成立，EF=BE+AF，證明見(jiàn)解析【詳解】（1）①EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系：EF=BE-AF，證明：當(dāng)α=90°時(shí)，∠BEC=∠CFA=90°，∵∠BCA=90°,∴∠BCE＋∠ACF=90°,∵∠BCE＋∠CBE=90°，∴∠ACF=∠CBE，∵AC=BC,∴△BCE≌△CAF,∴BE=CF,CE=AF,∵CF=CE＋EF,∴EF=CF-CE=BE-AF；②∠α與∠BCA關(guān)系：∠α+∠BCA=180°當(dāng)∠α+∠BCA=180°時(shí)，①中結(jié)論仍然成立;理由是：如題圖2，∵∠BEC=∠CFA=∠α,,∠α+∠ACB=180°,又∵∴∠CBE=∠ACF,在△BCE和△CAF中∴△BCE≌△CAF(AAS),∴BE=CF,CE=AF，∴EF=CF-CE=BE-AF;故答案為:∠α+∠BCA=180°；（2）EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系:EF=BE+AF，理由如下∵∠BEC=∠CFA=∠α,∠α=∠BCA,又∵∠EBC+∠BCE＋∠BEC=180°,∠BCE＋∠ACF+∠ACB=180°,∴∠EBC＋∠BCE=∠BCE＋∠ACF∴∠EBC=∠ACF，在△BEC和△CFA中∴△ABE≌△CFA(AAS)∴AF=CE，BE=CF∵EF=CE+CF,∴EF=BE＋AF．【變式訓(xùn)練3】（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在中，，，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，直線l，直線l，垂足分別為點(diǎn)D，E．求證：．（2）組員小明想，如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，D，A，E三點(diǎn)都在直線l上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問(wèn)結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題：如圖3，過(guò)的邊AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高．延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)I．若，則______．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）結(jié)論成立，理由見(jiàn)解析；（3）3.5【詳解】解：（1）證明：如圖1中，∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．（2）解：成立．理由：如圖2中，∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，∴∠DBA=∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．（3）如圖3，過(guò)E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延長(zhǎng)線于N．∴∠EMI=∠GNI=90°由（1）和（2）的結(jié)論可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI和△GNI中，，∴△EMI≌△GNI（AAS），∴EI=GI，∴I是EG的中點(diǎn)．∴S△AEI=S△AEG=3.5．故答案為：3.5．模型五、半角型全等模型例1．問(wèn)題背景：“半角模型”問(wèn)題．如圖1，在四邊形中，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且，連接，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．(1)探究發(fā)現(xiàn)：小明同學(xué)的方法是延長(zhǎng)到點(diǎn)G．使．連結(jié)，先證明，再證明，從而得出結(jié)論：_____________；(2)拓展延伸：如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊上的點(diǎn)，且，請(qǐng)問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)嘗試應(yīng)用：如圖3，在四邊形中，，，E、F分別是邊延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，請(qǐng)?zhí)骄烤€段具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)(2)成立，理由見(jiàn)解析(3)，證明見(jiàn)解析【詳解】（1）解：．延長(zhǎng)到點(diǎn)G．使．連接，∵，∴．∴．∴．∴．又∵，∴．∴．∵．∴．故答案為：；（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立．證明：如圖②中，延長(zhǎng)至M，使，連接．∵，∴，在與中，，∴．∴．∵，∴．∴，即．在與中，，∴．∴，即，∴；（3）解：結(jié)論：．證明：如圖③中，在上截取，使，連接．∵，∴．在與中，，∴．∴．∴．∴．∵，∴，

∴，∵，∴．例2．已知：邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點(diǎn)E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝度，……根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．類比探究：(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程；拓展應(yīng)用：(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．【答案】(1)45(2)DF＝BE+EF，證明見(jiàn)解析(3)2【詳解】（1）解：如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，則F、D、在一條直線上，≌△ABE，∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE，∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°，則∠＝∠﹣∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠，∴△AEF≌△（SAS），∴，∵，∴EF＝BE+DF．故答案為：45；（2）解：DF＝BE+EF

理由如下：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△，∴△≌△ABE，∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE，∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°，則∠＝∠﹣∠EAF＝45°，∴∠＝∠EAF＝45°，在△AEF和△中，，∴△AEF≌△（SAS），∴，∵，∴DF＝BE+EF；（3）解：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，則△≌△ABD，∴CD'＝BD，∴，同（2）得：△ADE≌△（SAS），∴，，∴BD、DE、EC圍成的三角形面積為、、EC圍成的三角形面積．【變式訓(xùn)練1】問(wèn)題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______．實(shí)際應(yīng)用：如圖2，在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化ABCD，四周修有步行小徑，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小徑BC，CD上各修一涼亭E，F(xiàn)，在涼亭E與F之間有一池塘，不能直接到達(dá)，經(jīng)測(cè)量得，BE＝10米，DF＝15米，試求兩涼亭之間的距離EF．【答案】問(wèn)題背景：EF＝BE＋FD；實(shí)際應(yīng)用：兩涼亭之間的距離EF為25米【詳解】解：?jiǎn)栴}背景：∵∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠ADG=90°，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE