高中數(shù)學(xué) 第三章 直線與方程綜合檢測(cè) 新人教A版必修2

【成才之路】高中數(shù)學(xué)第三章直線與方程綜合檢測(cè)新人教A版必修2時(shí)間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的)1．直線的方程為x－eq\r(3)y＋＝0，則直線的傾斜角為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)[答案]A[解析]直線的斜率為k＝eq\f(\r(3),3)，所以直線l的傾斜角為eq\f(π,6).2．若三點(diǎn)A(3,1)，B(－2,b)，C(8,11)在同一直線上，則實(shí)數(shù)b等于()A．2 B．3C．9 D．－9[答案]D[解析]由條件知kBC＝kAC，∴eq\f(b－11,－2－8)＝eq\f(11－1,8－3)，∴b＝－9.3．過(guò)點(diǎn)P(－1,3)，且垂直于直線x－2y＋3＝0的直線方程為()A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0[答案]A[解析]根據(jù)垂直關(guān)系可知k＝－2，∴y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.4．已知過(guò)點(diǎn)A(－2，m)和B(m,4)的直線與直線2x＋y－1＝0平行，則m的值為()A．0 B．－8C．2 D．10[答案]B[解析]kAB＝eq\f(4－m,m＋2)＝－2，∴m＝－8.∵B(－8,4)不在直線2x＋y－1＝0上，∴m＝－8符合題意．5．已知ab＜0，bc＜0，則直線ax＋by＝c通過(guò)()A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限[答案]C[解析]直線ax＋by＝c可化為y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(c,b)，∵ab＜0，bc＜0，∴－eq\f(a,b)＞0，eq\f(c,b)＜0，由此可知直線過(guò)第一、三、四象限．6．直線kx－y＋1＝3k，當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，所有直線恒過(guò)定點(diǎn)()A．(0,0) B．(0,1)C．(3,1) D．(2,1)[答案]C[解析]把kx－y＋1＝3k改寫(xiě)成關(guān)于k的方程得(x－3)k－(y－1)＝0，它恒過(guò)點(diǎn)(3,1)．7．點(diǎn)P(2,5)到直線y＝－eq\r(3)x的距離d等于()A．0 B.eq\f(2\r(3)＋5,2)C.eq\f(－2\r(3)＋5,2) D.eq\f(－2\r(3)－5,2)[答案]B[解析]直線方程y＝－eq\r(3)x化為一般式eq\r(3)x＋y＝0，則d＝eq\f(2\r(3)＋5,2).8．與直線y＝－2x＋3平行，且與直線y＝3x＋4交于x軸上的同一點(diǎn)的直線方程是()A．y＝－2x＋4 B．y＝eq\f(1,2)x＋4C．y＝－2x－eq\f(8,3) D．y＝eq\f(1,2)x－eq\f(8,3)[答案]C[解析]直線y＝－2x＋3的斜率為－2，則所求直線斜率k＝－2，直線方程y＝3x＋4中，令y＝0，則x＝－eq\f(4,3)，即所求直線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(－eq\f(4,3)，0)．故所求直線方程為y＝－2(x＋eq\f(4,3))，即y＝－2x－eq\f(8,3).9．兩條直線y＝ax－2與y＝(a＋2)x＋1互相垂直，則a等于()A．2 B．1C．0 D．－1[答案]D[解析]∵兩直線互相垂直，∴a·(a＋2)＝－1，∴a2＋2a＋1＝0，∴a10．已知等腰直角三角形ABC的斜邊所在的直線是3x－y＋2＝0，直角頂點(diǎn)是C(3，－2)，則兩條直角邊AC，BC的方程是()A．3x－y＋5＝0，x＋2y－7＝0B．2x＋y－4＝0，x－2y－7＝0C．2x－y＋4＝0,2x＋y－7＝0D．3x－2y－2＝0,2x－y＋2＝0[答案]B[解析]∵兩條直角邊互相垂直，∴其斜率k1，k2應(yīng)滿足k1k2＝－1，排除A、C、D，故選B.11．直線l與兩直線y＝1和x－y－7＝0分別交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為M(1，－1)，則直線l的斜率為()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C．－eq\f(3,2) D．－eq\f(2,3)[答案]D[解析]設(shè)A(x1,1)，B(x2，y2)．由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1＋y2,2)＝－1，,\f(x1＋x2,2)＝1.))∴y2＝－3.將y2＝－3代入x－y－7＝0，得x2＝4，∴B(4，－3)．∴k＝eq\f(－3－－1,4－1)＝－eq\f(2,3).12．設(shè)點(diǎn)A(2，－3)，B(－3，－2)，直線l過(guò)點(diǎn)P(1,1)且與線段AB相交，則l的斜率k的取值范圍是()A．k≥eq\f(3,4)或k≤－4 B．－4≤k≤eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4)≤k≤4 D．以上都不對(duì)[答案]A[解析]kPA＝－4，kPB＝eq\f(3,4)，畫(huà)圖觀察可知k≥eq\f(3,4)或k≤－4.二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)13．已知點(diǎn)A(－1,2)，B(－4,6)，則|AB|等于________．[答案]5[解析]|AB|＝eq\r(－1＋42＋2－62)＝5.14．與直線7x＋24y＝5平行，并且距離等于3的直線方程是________．[答案]7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0[解析]設(shè)所求直線為7x＋24y＋m＝0.把直線7x＋24y＝5整理為一般式得7x＋24y－5＝0.由兩平行直線間的距離公式得：eq\f(|m＋5|,\r(72＋242))＝3，解得m＝70或－80，故所求直線方程為7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0.15．若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,3)且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，則直線l的方程為_(kāi)_______或________．[答案]x＋y－5＝0x－y＋1＝0[解析]設(shè)直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a|＝|b|，,\f(2,a)＋\f(3,b)＝1，))解得a＝5，b＝5或a＝－1，b＝1，即直線l的方程為eq\f(x,5)＋eq\f(y,5)＝1或eq\f(x,－1)＋eq\f(y,1)＝1，即x＋y－5＝0或x－y＋1＝0.16．(·高考全國(guó)卷Ⅰ)若直線m被兩平行線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長(zhǎng)為2eq\r(2)，則m的傾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°，其中正確答案的序號(hào)是________．(寫(xiě)出所有正確答案的序號(hào))[答案]①⑤[解析]兩平行線間的距離為d＝eq\f(|3－1|,\r(1＋1))＝eq\r(2)，由圖知直線m與l1的夾角為30°，l1的傾斜角為45°，所以直線m的傾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.[點(diǎn)評(píng)]本題考查直線的斜率、直線的傾斜角、兩條平行線間的距離，考查數(shù)形結(jié)合的思想．是高考在直線知識(shí)命題中不多見(jiàn)的較為復(fù)雜的題目，但是只要基礎(chǔ)扎實(shí)、方法靈活、思想深刻，這一問(wèn)題還是不難解決的．所以在學(xué)習(xí)中知識(shí)是基礎(chǔ)、方法是骨架、思想是靈魂，只有以思想方法統(tǒng)領(lǐng)知識(shí)才能在考試中以不變應(yīng)萬(wàn)變．三、解答題(本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)(1)當(dāng)a為何值時(shí)，直線l1：y＝－x＋2a與直線l2：y＝(a2－2)x(2)當(dāng)a為何值時(shí)，直線l1：y＝(2a－1)x＋3與直線l2：y＝4x[解析](1)直線l1的斜率k1＝－1，直線l2的斜率k2＝a2－2，因?yàn)閘1∥l2，所以a2－2＝－1且2a≠2，解得：a＝－1.所以當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l1：y＝－x＋2a與直線l2：y＝(a2－2)(2)直線l1的斜率k1＝2a－1，l2的斜率k2＝4，因?yàn)閘1⊥l2，所以k1k2＝－1，即4(2a－1)＝－1，解得a＝eq\f(3,8).所以當(dāng)a＝eq\f(3,8)時(shí)，直線l1：y＝(2a－1)x＋3與直線l2：y＝4x－3垂直．18．(本小題滿分12分)根據(jù)下列條件求直線方程：(1)已知直線過(guò)點(diǎn)P(－2,2)且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為1；(2)過(guò)兩直線3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線x＋3y＋4＝0.[解析](1)設(shè)所求直線的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－2,a)＋\f(2,b)＝1,\f(1,2)|ab|＝1))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝－2))故所求直線方程為eq\f(x,2)＋y＝1或eq\f(x,－1)＋eq\f(y,－2)＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.(2)解法一：設(shè)所求直線方程為3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋(1＋4λ)＝0.由所求直線垂直于直線x＋3y＋4＝0，得－eq\f(1,3)·(－eq\f(3＋λ,3λ－2))＝－1.解得λ＝eq\f(3,10).故所求直線方程是3x－y＋2＝0.解法二：設(shè)所求直線方程為3x－y＋m＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＋1＝0，,x＋3y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))即兩已知直線的交點(diǎn)為(－1，－1)．又3x－y＋m＝0過(guò)點(diǎn)(－1，－1)，故－3＋1＋m＝0，m＝2.故所求直線方程為3x－y＋2＝0.19．(本小題滿分12分)直線l過(guò)點(diǎn)(1,0)且被兩條平行直線l1：3x＋y－6＝0和l2：3x＋y＋3＝0所截得的線段長(zhǎng)為eq\f(9,10)eq\r(10)，求直線l的方程．[解析]解法一：當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，方程為x＝1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,3x＋y－6＝0，))得l與l1的交點(diǎn)為(1,3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,3x＋y＋3＝0，))得l與l2的交點(diǎn)為(1，－6)，此時(shí)兩交點(diǎn)間的距離d＝|－6－3|＝9≠eq\f(9,10)eq\r(10).∴直線l與x軸不垂直．設(shè)l的方程為y＝k(x－1)(k≠－3)，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,3x＋y－6＝0，))得l與l1交點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq\f(k＋6,k＋3)，eq\f(3k,k＋3))，同理，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,3x＋y＋3＝0，))得l與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(k－3,k＋3)，eq\f(－6k,k＋3))，由題意及兩點(diǎn)間距離公式得eq\f(9,10)eq\r(10)＝eq\r(\f(k－3,k＋3)－\f(k＋6,k＋3)2＋\f(－6k,k＋3)－\f(3k,k＋3)2)，即9k2－6k＋1＝0，∴k＝eq\f(1,3)，∴直線l的方程為y＝eq\f(1,3)(x－1)，即x－3y－1＝0.解法二：由兩平行線間的距離公式可得l1與l2間的距離d＝eq\f(|－6－3|,\r(32＋12))＝eq\f(9,10)eq\r(10)，而l被l1，l2截得的線段長(zhǎng)恰為eq\f(9,10)eq\r(10)，∴l(xiāng)與l1垂直，由l1的斜率k1＝－3知，l的斜率k＝eq\f(1,3)，∴l(xiāng)的方程為y＝eq\f(1,3)(x－1)，即x－3y－1＝0.20．(本小題滿分12分)當(dāng)m為何值時(shí)，直線(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝(1)傾斜角為45°；(2)在x軸上的截距為1.[解析](1)傾斜角為45°，則斜率為1.∴－eq\f(2m2＋m－3,m2－m)＝1，解得m＝－1，m＝1(舍去)直線方程為2x－2y－5＝0符合題意，∴m＝－1(2)當(dāng)y＝0時(shí)，x＝eq\f(4m－1,2m2＋m－3)＝1，解得m＝－eq\f(1,2)，或m＝2，當(dāng)m＝－eq\f(1,2)，m＝2時(shí)都符合題意，∴m＝－eq\f(1,2)或2.21．(本小題滿分12分)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(4，－6)，B(－4,0)，C(－1,4)，求(1)AC邊上的高BD所在直線方程；(2)BC邊的垂直平分線EF所在直線方程；(3)AB邊的中線的方程．[解析](1)直線AC的斜率kAC＝eq\f(－6－4,4－－1)＝－2，∴直線BD的斜率kBD＝eq\f(1,2)，∴直線BD的方程為y＝eq\f(1,2)(x＋4)，即x－2y＋4＝0(2)直線BC的斜率kBC＝eq\f(4－0,－1－－4)＝eq\f(4,3)，∴EF的斜率kEF＝－eq\f(3,4)，線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(－eq\f(5,2)，2)，∴EF的方程為y－2＝－eq\f(3,4)(x＋eq\f(5,2))，即6x＋8y－1＝0.(3)AB的中點(diǎn)M(0