二項(xiàng)式定理（5類(lèi)）-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)分類(lèi)集訓(xùn)系列（北師大版2019選擇性必修第一冊(cè)）（解析版）

專(zhuān)題5.4二項(xiàng)式定理

【考點(diǎn)1：二項(xiàng)展開(kāi)式與通項(xiàng)】......................................................................1

【考點(diǎn)2：二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)系數(shù)】....................................................................5

【考點(diǎn)3：二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)和】.................................................................8

【考點(diǎn)4：二項(xiàng)式系數(shù)或展開(kāi)式系數(shù)的最值問(wèn)題】....................................................14

【考點(diǎn)5：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用】.....................................................................17

【考點(diǎn)1：二項(xiàng)展開(kāi)式與通項(xiàng)】

【知識(shí)點(diǎn)：二項(xiàng)展開(kāi)式與通項(xiàng)】

二項(xiàng)公式3+b)"=C如"+CQ”-ib+……+CM"(/iWN")叫

展開(kāi)式做二項(xiàng)式定理

二項(xiàng)式

元+尸為展開(kāi)式的第土+1項(xiàng)

的通項(xiàng)

［方法技巧］

二項(xiàng)展開(kāi)式問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解法

(1)求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或其系數(shù).可依據(jù)條件寫(xiě)出第A+1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出A值即可.

(2)巳知展開(kāi)式的某項(xiàng)或其系數(shù)求參數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)公式寫(xiě)出第九+1項(xiàng)，由特定項(xiàng)

得出A值，最后求出其參數(shù).

求解形如(a+〃)〃(c+d產(chǎn)的展開(kāi)式問(wèn)題的思路

(1)若w,m中一個(gè)比較小，可考慮把它展開(kāi)得到多個(gè)，如(a+b)2(c+J)/M=(a2+2/必+b2)(c+dy”，然后

展開(kāi)分別求解.

(2)觀察(a+〃)(c+d)是否可以合并，如(l+x)5。-4)7=［(1+工)(1一切5(1-X)2=(1一/)5(1一2)2；

(3)分別得到(。+力〃，(c+d產(chǎn)的通項(xiàng)公式，綜合考慮.

求形如(〃+〃+c)"展開(kāi)式中特定項(xiàng)的步驟

第二藝]一；我三流而而二不%率【著彷石；而演而君

根據(jù)二項(xiàng)式定理求出[(a+b)+c丁的展開(kāi)式的

第二步一

通項(xiàng)

對(duì)特定項(xiàng)的次數(shù)進(jìn)行分析，弄清特定項(xiàng)是由(。+

第三步

ml的展開(kāi)式中的哪些項(xiàng)和/相乘得到的

第四步|一；把相乘后的項(xiàng)相加減即可得到特定項(xiàng)

1.(2007?全國(guó)?高考真題(文))二項(xiàng)式(或+V5x)5。的展開(kāi)式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有()

A.6項(xiàng)B.7項(xiàng)C.8項(xiàng)D.9項(xiàng)

【答窠】D

【分析】由二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式結(jié)合有理項(xiàng)的性質(zhì)即可求解.，

5rr25r

【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)4+1=C￡0(V2)°-(V3x)=2-h^0x,

若要系數(shù)為有理數(shù)，則256Z,^eZ,0WrW50,且rWZ,

即:WZ,；EZ,易知滿(mǎn)足條件的re{0,6,12,18,24,30,36,42,48},

故系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有9項(xiàng).

故選：D

2.(2022?江蘇?南京田家炳高級(jí)中學(xué)高二期中)化簡(jiǎn)(％+I)4-4(%+I)3+6(%+一4(X4-1)+1的結(jié)果

為()

A.x4B.(%-1)4C.(x+l)4D.%4-1

【答案】A

【分析】逆用二項(xiàng)展開(kāi)式定理即可得答案.

【詳解】(X+I)4-4a+I)3+6a+l)2-4(x4-1)+1

=(x+I)4+Cj(x+I)3x(-1)+Ci(x+l)2x(-1)2+C|(x+l)x(-1)3+(-1)4

=[(%+1)-l]4=x4

故選：A.

3.(2007?四川?高考真題(文))(1一2%)1。展開(kāi)式中的％3的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

【答案】-960

【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令》的指數(shù)為3求出展開(kāi)式中爐的系數(shù)即可.

r

【詳解】解:設(shè)求的項(xiàng)為。+1=C［0(-2x),

令r=3.北=一/023.丫3=一960'3....(1一2幻1。展開(kāi)式中的爐的系數(shù)為一960.

故答案為：一960

4.(2007?四川?高考真題(文))1一3”的展開(kāi)式中的第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，那么正整數(shù)〃的值是.

【答案】8

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得第5項(xiàng)為7；+i=(-l)4C"n-8,垢合題意即可求解.

【詳解】由題意知，八展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為

Tr+i==(-1)并2，

所以第5項(xiàng)為北+1=(-1)4心肝-8,

由第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，得九一8=0,解得九=8.

故答案為：8.

5.(2007?安徽?高考真題(理))若卜+：-2)”的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為一20,則自然數(shù)〃=.

【答案】3

【分析】先湊二項(xiàng)式，再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令文的指數(shù)是0得常數(shù)項(xiàng)，列出方程

即可求解.

［詳解］由題意得(％+=(依—白「(依―專(zhuān))如的展開(kāi)式為7r+1=③(⑨2…(_白了=

rnr

(-l)CJnx-,令九一r=0得到n=r

???展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為(一l)nC%,(-1)”C%=-20,解得幾=3

故答案為：3

6.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))展開(kāi)式卜z+q+r+yio中，常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】12600

【分析】要使展開(kāi)式中出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，則二項(xiàng)展開(kāi)式中4+1="03+J中+J-與

(y3+ym的二項(xiàng)展開(kāi)式均為常數(shù)，結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式理解運(yùn)算.

［詳解］(/+1+/+=［(/+m+(y3+的二項(xiàng)展開(kāi)式4+］=c；o8+(y3+；)「，r=

0,1,…,10,

22ior_/c2Q2r3k

x+3的二項(xiàng)展開(kāi)式為T(mén)Z+1=Cfo-r(^)-G)=C^-rx--,k=0,1,...,10-r,

（y3+]"’的二項(xiàng)展開(kāi)式為T(mén)〃m+i=C^（y3）r-mQ）m=C^y3r-4m,m=0,1,

20—2r—3k=0（r=4

若展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)滿(mǎn)足，則可得3r-4m=0，解得m=3,

r,k,mEN（k=4

故常數(shù)項(xiàng)為：Cfo-Cj-C?=12600.

故答案為：12600.

7.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）（1-3（工-y）8的展開(kāi)式中，含％5y3項(xiàng)的系數(shù)為

【答案】-84

【分析】將多項(xiàng)式按第一項(xiàng)展開(kāi)，再將各項(xiàng)通過(guò)二項(xiàng)式定理拼成%5y3的形式，計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】解：由題知（l-9a—y）8=Q—y）8—（Q—y）8,

將含爐y3項(xiàng)記為M,則M=Clx5（-y）3-^Cix6（-y）2=一56%5y3_28%5y3=一84%5y3,

故含%5y3項(xiàng)的系數(shù)為-84.

故答案為：-84

8.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）（5?3x+2y）n展開(kāi)式中不含y的項(xiàng)的系數(shù)和為64,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為

【答案】15625

【分析】根據(jù)題意，令y的指數(shù)為0,得（5-3%產(chǎn)，再令%=1,得（5-3%+2y產(chǎn)的展開(kāi)式中不含y的項(xiàng)的系數(shù)和

為（5-3尸，解得〃，再求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).

【詳解】（5-3%+2y）n展開(kāi)式中不含），的項(xiàng)，即展開(kāi)式中），的指數(shù)為0,即（5-3》尸的展開(kāi)式，

再令》=1,得（5-3%+2y）n展開(kāi)式中不含y的項(xiàng)的系數(shù)和為（5-3尸=64,酊1=6,

求（5-3x+2y）6展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，由（5-3丫+2y）6=[5-（3x-2y）]6,

所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為叱x56=15625.

故答案為：15625

9.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）求展開(kāi)式（京f一高）—5）中的常數(shù)項(xiàng).

【答案】-15

【分析】原式可化為（依-[）6-3廣3（石一36,然后寫(xiě)出（?一》6的通項(xiàng)，結(jié)合常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零，求

出結(jié)果.

【詳解】由題知:原式=2一（《一》6一3尸3（疝一》6,

（《一》6的通項(xiàng)為T(mén)k+1=C，（a）6-k.=（-1/C^X3-~2,k=0,1,…,6

令3—半=',得k=1；令3—學(xué)=3,得k=0.

即原式展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為：-2c-3瑪=-15.

10.（2022?黑龍江?大慶市東風(fēng)中學(xué)高二期中）記（24+》"展開(kāi)式中第m項(xiàng)的系數(shù)為瓦

⑴求姐的表達(dá)式；

⑵若n二6,求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；

⑶若%=2b4,求兒

nm+11

【答案】（l）bm=2-C^-

（2）160

（3）5

【分析】（1）利用二項(xiàng)式定理寫(xiě)出（2'+》一展開(kāi)式的第m項(xiàng)即可求解；（2）結(jié)合二項(xiàng)式定理，寫(xiě)出（2%+》”展

開(kāi)式中的通項(xiàng)，然后令自變量的幕數(shù)為。即可求解；（3）結(jié)合⑴中結(jié)論，利用組合數(shù)性質(zhì)即可求解.

（1）

由題意，（2%+>”=（2%+%T）n展開(kāi)式中第m項(xiàng)為優(yōu)一】（2乃時(shí)6-1）（%-1）時(shí)1=2n-m+lcm-lxn-2m+21

故6帆=2n-m+1C^-1.

（2）

當(dāng)71=6時(shí)，（2%+?=（2x+XT）6展開(kāi)式通項(xiàng)為CK2%）6-r（%T）「=26-rC^X6-2r,

令6-2r=0,即r=3,此時(shí)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)26-3《=160,

即展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為160.

（3）

因?yàn)?3=2%,由⑴中知，

2n-2鬃=2-2”-3%,即鬣=髭，

由組合數(shù)性質(zhì)可知，n=5.

【考點(diǎn)2：二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)】

【知識(shí)點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)】

二項(xiàng)式二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)C〃r￡{0,1,…，〃}）叫做第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系

系數(shù)數(shù)

項(xiàng)的項(xiàng)的系數(shù)是該項(xiàng)中非字母因數(shù)部分，包括符號(hào)等，與二項(xiàng)式系數(shù)是兩個(gè)不

系數(shù)同的概念.如3+云)”的展開(kāi)式中，第r+1項(xiàng)的系數(shù)是0；/一力「

1.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))若(24-2)n的展開(kāi)式中第2項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該展開(kāi)式

中的常數(shù)項(xiàng)為()

A.-160B.160C.-1120D.1120

【答窠】A

【分析】根據(jù)第2項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等可構(gòu)造方程求得n,由此可得展開(kāi)式通項(xiàng)，令r=3即可求得

常數(shù)項(xiàng)

【詳解】因?yàn)?2代-2丫展開(kāi)式中的第2項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，

?0?Cj=C?,解得：n=6,

6r

6Tr6-r3r

(24-弓)展開(kāi)式通項(xiàng)公式為:Tr+1=CJ(2Vx)(-^)=CJ-(-l)-2-x~,

令3-丁=0,解得：r=3,??.該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為底?(-1)3X23=-160,

故選：A

2.(2022?浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高三期中)已知(：+my)(2x—y)s的展開(kāi)式中％2y4的系數(shù)為40,則m的值

為()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】首先變形得G+my)(2%—y)5=[(2x-y)5+my(2*-y)5,然后利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式

Tl+1=好d-7「求出/y4的系數(shù)即可

【詳解】由題意可得&+my)(2x一yT=1(2x-y)5+my(2x-y)5,

在-y)s的展開(kāi)式中，由％-1仁(2%)5-「(一,)「=(-l)r?25~rC^x^~ryr,

令｛4；1；2無(wú)解，gyl(2x_y)5的展開(kāi)式?jīng)]有%2y4項(xiàng)；

在my[2為—y)5的展開(kāi)式中，^myC^2x)5~r(-y)r=(-l)r-25-rmCjx5-ryrM?

令｛:；；二；解得r=3,即my(2x-y7的展開(kāi)式中/y，的項(xiàng)的系數(shù)為(_劫3.25-3mC5=-40m,又/y，的

系數(shù)為40,所以—40m=40,解得m=-1.

故選：B

3.(2007?全國(guó)?高考真題(理))(ax+1)7的展開(kāi)式中，爐的系數(shù)是％2的系數(shù)與一的系數(shù)的等差中項(xiàng)若實(shí)

數(shù)a>1.那么a=.

【答案】1+噂

【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式求得所需系數(shù)，再利用等差中項(xiàng)公式得到關(guān)于a的方程，求解即可得到a的

值.

7kk

【詳解】因?yàn)?ar+I)=(1+ax)7的二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式為北+1=C打】一"(ax)"=aCyXf

故%3的系數(shù)為Q3G=35Q3,/的系數(shù)為a2G=21Q2,義4的系數(shù)為04G=35Q4,

3

所以由題意可得21a2+35a4=2x35a,整理得Q2(5Q2_ioa+3)=0,

解得Q=0或a=l±￥，

因?yàn)閍>l,所以

故答案為：l+日.

4.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))(%代+盤(pán))”的展開(kāi)式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)比第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)大44,

則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是第一項(xiàng).

【答案】4

【分析】根據(jù)題中條件求出九的值，寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)，令》的指數(shù)為零，求出參數(shù)值，即可得解.

【詳解】由題意可得鬣一聒=若也-71=學(xué)=44,即n2-3n-88=0,

vneN",解得？i=11,

(xVx+1的展開(kāi)式通項(xiàng)為7〃+i=Cjj-(X2)x~4k=C%?J2■歲，

由亞產(chǎn)=0,可得k=3,因此，展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是第4項(xiàng).

故答案為：4.

5.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知(％+m)(2x-1］的展開(kāi)式中小的系數(shù)是20,則實(shí)數(shù)m=.

【答案】卷

【分析】根據(jù)多項(xiàng)式中前一項(xiàng)進(jìn)行展開(kāi)，然后用二項(xiàng)式定理將兩個(gè)項(xiàng)中關(guān)于/的找出相加等于20即可求出？n.

(詳解］解:由題知,(％+m)(2x-I)6=x(2x-l)6+m(2x-I)6,

所以展開(kāi)式中/系數(shù)是a?2?(一1)5+髭?2?.(-1)4?m=20,

解得：m=*

故答案為：1

6.（2022?云南?昆明一中高三階段練習(xí)）若（3%+4）7*的展開(kāi)式的所有項(xiàng)的系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和的比值

是32,則展開(kāi)式中二項(xiàng)的系數(shù)是.

【答案】15

【分析】先賦值求出所有項(xiàng)的系數(shù)，進(jìn)而計(jì)算出n,再根據(jù)二項(xiàng)式定理計(jì)算展開(kāi)式中/項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】令x=1,得所有項(xiàng)的系數(shù)和為鏟,二項(xiàng)式系數(shù)和為”,所以營(yíng)=2n=32,即n=5,（3x+4產(chǎn)的第r+

1項(xiàng)為備?（3x）5一.（xl）r=C-35T.%5-g

令5=3,得r=4

所以爐項(xiàng)的系數(shù)是Cgx3=15

故答案為：15

7.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）（％+梟下的展開(kāi)式中％2y2的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

【答案】7

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.

8rr83rrr

【詳解】二項(xiàng)式（％+者）8的通項(xiàng)公式為：Tr+1=C5-x--（^）=CJ-x-y-Q）,

令r=2,所以/y2的系數(shù)為CQG）2=7,

故答案為：7

【考點(diǎn)3：二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)和】

【知識(shí)點(diǎn)：賦值法在求各項(xiàng)系數(shù)和中的應(yīng)用】

（1）形如3工+6）",（如2+加；+<0叫。，b,c￡R）的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令

x=l即可.

（2）對(duì)形如（〃上+加）"（°,bWR）的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x=y=l即可.

（3）若人x）=ao+“ix+a2x2+…則人幻展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為41）.

①奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為ao+〃2+“4+~='"+^~2

②偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為田+內(nèi)+匹+…美整2^.

［易錯(cuò)提醒］

⑴利用賦值法求解時(shí)，注意各項(xiàng)的系數(shù)是指某一項(xiàng)的字母前面的數(shù)值（包括符號(hào)）;

(2)在求各項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值的和時(shí)，首先要判斷各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，然后將絕對(duì)值去掉，再進(jìn)行賦值.

?廣西?梧州市黃埔雙語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三期中(理))4234則

1.CO"(1+r)=a0++n2r+a3r+n4r.

a0—+a2—a3+a4=()

A.1B.3C.0D.-3

【答案】C

【分析】根據(jù)展開(kāi)式，利用賦值法取%=-1即得.

4234

【詳解】因?yàn)?14-%)=的+atx+a2x+a3x+a4x,

令#=-1,可得—%+。2—+。4=(1-1)4=0.

故選：C.

nax2n

2.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知髭=盤(pán)，設(shè)(2%-3)=a0+i(-D+。2(%-I)+,?,+%1(%-l)?

則為+。2+…+%1=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】利用組合數(shù)的性質(zhì)可求得九的值，再利用賦值法可求得的和的+%+。2+-+即的值，作差可得出

所求代數(shù)式的值.

【詳解】因?yàn)橐?C＞所以由組合數(shù)的性質(zhì)得n=3+6=9,

所以(2%—3)9=a。+Qi(X-1)+0,2(X—1尸+…+Qg(x—1)。,

令%=2,得(2X2—3)9=QQ+%+。2+…+的，即。0+%+。2+…+。9=1,

9

令％=1,得(2x1—3)=a0=—1,

所以4+a2+…+。9=(。0+%+。2+…+。9)一。0=1—(-1)=2,

故選：D.

3.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知(2+3)(1—2%)5=40+。八+。2/+。3/+出/+念/+。川，則()

A.的值為2

B.45的值為16

C.to+az+as+oz+as+w的值為-5

D.。/+田+的的值為120

【答案】ABC

【分析】對(duì)于A,利用賦值法，令％=0即可求解；

對(duì)于B,利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)進(jìn)行求解；

對(duì)于C,利用賦值法，令％=1得到ao+aj+az+as+w+as+as，再減去即可；

對(duì)于D,利用賦值法，分別令、=1與工=-1.得到兩個(gè)式子聯(lián)立即可求解.

【詳解】對(duì)于A,令x=0,得知=2x1=2,故A正確；

對(duì)于亂(1一〃)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為。+1=CJ-(-2x)r=仁(一2)3「,所以的=2x(-2)5熊+1x(一2>讖=

—64+80=16>故B正確；

對(duì)于C,令x=l,得(2+l)(l—2X1)5=40+°/+〃2+。3+。4+。5+。6①，即a/+a2+a3+〃4+a5+a6=-3—

4o=-3—2=-5,故C正確；

對(duì)于D,令X=-1,得(2—1)[1—2x(—1)]5=的-4/+。2—編+3一“5+的②，由①②解得。/+〃3+。5=一

123,故D不正確.

故選：ABC

4.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知一項(xiàng)式(g-壺廣則下列說(shuō)法正確的是()

A.若。=1,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為15

B.若a=2,則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1

C.若展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為60,則a=2

D.若展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64,則〃=2

【答案】AB

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式通項(xiàng)，代入或求解驗(yàn)證，即可得到答案.

【詳解】二項(xiàng)式觸一專(zhuān))6,

對(duì)于A,若4=1,則卜一白)6展開(kāi)式的通項(xiàng)7；+1=/(-1)"6一久

令6-扛=0,得r=4,故所求常數(shù)項(xiàng)為第=15,故A正確；

對(duì)于B,若。=2,令41,則卜工一表)6展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為(2一1)6,故B正確；

對(duì)于C,由通項(xiàng)7；+]=CJ?(ax)6-r.(一+丫=CJ-(-l)r-.--久

令6—|r=0,得r=4,

故所求常數(shù)項(xiàng)為C-a2=i5a2=60,解得a=±2,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,令x=l,則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為(a-1)6,

由已知得，(。-1)6=64,解得。=?1或。=3,故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

5.(2022?廣東佛山?高三期中)設(shè)(2%-1戶(hù)=%+%%+…+”5妙，則下列說(shuō)法正確的是()

A.a0=1B.Q]+。2+。3++。5=1

C.aQ+a2+a4=-121D.+a3+a5=122

【答案】CD

【分析】賦值令％=0,x=lfx=一1,代入整理運(yùn)算，逐項(xiàng)判斷.

【詳解】令X=0，則(一1)5=Qo，即％=—1,A錯(cuò)誤；

令％=1,則Is=。0+%+。2+。3+即。0+Q1+。2+。3+a4+Q5=1①，

則%+。2+。3+。4+。5=2，B錯(cuò)誤；

令％=~1?則(-3)5=劭一a1+心一。3+。4一。5，即。0—+。2—。3+一。5=-243②，

由①②可得：劭+a2+*=-121，%+。3+。5=122，C、D正確；

故選：CD.

6.(2022?江蘇?南京田家炳高級(jí)中學(xué)高二期中)若(2人-1)10=。0+。/+。2%2+?+01。-°，XER,則

()

A.%+。2+…+Qio=1B.|Q()|+|%|+|劭1+…+Miol=31°

C.a=160D.?+黑+號(hào)+.?.+黑=一1

2(22^2^21。

【答案】BD

【分析】利用賦值法和二項(xiàng)式項(xiàng)的系數(shù)性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.

10210

[詳解]對(duì)選項(xiàng)A,(2x-I)=4)+arx+a2x+…+a10x,

令％=0,得。0=1,令％=1,得。0+%+02+…+。10=1，

所以Qi+。2+…+Qio=0，故A錯(cuò)誤.

10210

對(duì)選B,因?yàn)?2%-I)=a04-arx4-a2x+…+a10x,

所以Mol+M+&l+…+%ol表示(2%+1)1°的各項(xiàng)系數(shù)之和，

令x=l,則El+|aj+|a2H----卜Miol=31°,故B正確.

2282

對(duì)選項(xiàng)Ca2x=C?0(2x)-(-1)=180x,所以a?=180,故C錯(cuò)誤.

10

對(duì)選項(xiàng)D,因?yàn)?2%-l)i°=a。+a/+七/H------1-a10x?a0=1,

令#=；，則(2.?1戶(hù)=]+年+黃+墨+…+瑞=0，

則費(fèi)+%+*+???+瑞=-1，故D正確.

故選：BD

3234

7.(2023,全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)(％-1)(2+%)=劭+arx+a2x+a3x+a4xt則出=,2a2+

3a3+4a4=.

【答窠】-431

【分析】的即為(％—1)(2+x)3中％系數(shù)，

3

又(x-1)(2+幻3=%(2+X)3-(2+X),分別求武2+幻3與(2+%)3一次項(xiàng)即可.注意到-1)(2+

323

X)]'=(a04-axx+a2x+a3x4-a*)'

32

=Qi+2a2%+3a3/+4a4x=(x+2)(4x-1),令x=1,結(jié)合/可得答案.

【詳解】因(％—1)(2+x)3=x(2+x)3-(2+幻3,

則%=Cf-23-Cf-22=-4.

3234

注意到K%-1)(2+x)]'=(a0+arx+a2x+a3x4-a4x),

232

=%+2a2%+3a3x+4a4x=(x+2)(4x—1),令x=1,

得a1+2a2+3a3+4a4=27,又加=-4,得2a2+3a3+4a4=31.

故答案為：-4；31.

8.(2022?貴州?貴陽(yáng)一中高三階段練習(xí)(理))已知(1+3伽一的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則該

展開(kāi)式中一次項(xiàng)系數(shù)為.

【答案】80

【分析】先運(yùn)用賦值法求出a的值，然后運(yùn)用二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式求一次項(xiàng)系數(shù).

【詳解】令％=1,可得(1+號(hào)(2%-1》的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為(i+0).(2一1)5=2,.?“=1.

(1+凱2%一，==(1+(32xs-80x3+80x-40?^+10?妥―喪)，故該展開(kāi)式

中一次項(xiàng)為80%,故答案為80.

故答案為：80.

9.(2023?江西景德鎮(zhèn)?模擬預(yù)測(cè)(理))已知(ax+l)s的展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)的和為243,則其展開(kāi)

式中項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】40

【分析】根據(jù)題意，令％=1,求出a,再利用公式求出/項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】令％=1,貝I](Q+1)5=243,得a=2,

對(duì)于(2x+l)s,其展開(kāi)式中/項(xiàng)的系數(shù)為：4Cj=40.

故答案為：40

10.(2022?上海市向明中學(xué)高一期末)已知對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)%,都有(1一2%)1°°=為+%(X+1)+

2

a2(x+I)+…+a100(x+1)1。。.求值：

⑴劭+%+。2++。100；

(2)。]+。3+。5+…+。99.

【答案】(1)1

⑵『

【分析】(1)利用賦值法求解，令％=0可得結(jié)果；

(2)利用賦值法求解，令％=-2可得結(jié)果；

【詳解】(1)因?yàn)?1一2%)1°°=劭+%(%+1)+。2(%+1)2+…+。100(%+1)10°，

令％=0,則劭+Q1+。2+…+a100=1；

(2)令x——2,則%—%+。2—…+aioo=5100,

由(1)知的+%+做+…+a1oo=1?

「51°°

兩式相減可得%+a3+a5+???+a99=―--.

11.(2022?上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高二期末)已知(3—2x)ii=的+a6+a?/+…+求：

⑴％+做---1■%1；

(2)%|+\a2\H----FIflnl；

(3)4+2a2+…+

【答案】⑴1一311

(2曲一311

⑶一22

【分析】(1)利用賦值法即可得解；

(2)先由二項(xiàng)式定理判斷系數(shù)的正負(fù)情況，再由賦值法求得奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之差，從而得解；

(3)利用導(dǎo)數(shù)及賦值法即可得解.

【詳解】(1)因?yàn)?3-2x)11=%)+。逐+?。?+…+

所以令％=0,得(3—2x0)11=劭+%x0+a2x。2+...+a1]xOU,即a。=3”，

令％=1?得。0+Q1+a2+…+an=(3—2xI)11=1,

所以+。2+…+=1-311.

(2)因?yàn)?3-2%產(chǎn)的二項(xiàng)式展開(kāi)通項(xiàng)為7小1=嗚3”(-=(一2)iif3*嗚-17,

所以小,。2,…，。10>°，…，<。，

故1。11+lflzl+…+1?111=(。2++…+flio)—(fll+。3+…+?！?).

令4=-1,得%-為+&+---An=(3+2)11=511,即(。0+。2+04+…+。10)-(?！?+…+

。11)=5”,

又因?yàn)榈?311,

所以Mil+1^21+…+10111=(。2+a4T---卜。10)—31+。3T----卜『11)=511—311.

2

(3)令/(%)=(3-2x)ii=a。+axx+a2x+…+%逐”，

1010210

則((力=11(3-2x)X(-2)=-22(3-2%),且((%)=%+2a2x+3a2x+…+llanx,

令％=1,則f(1)=-22(3-2XI)'=-22,且尸(1)=%+2a2+302+“+11%1，

所以對(duì)+2a2+…+11%1=-22.

【考點(diǎn)4：二項(xiàng)式系數(shù)或展開(kāi)式系數(shù)的最值問(wèn)題】

【知識(shí)點(diǎn)：求解二項(xiàng)式系數(shù)或展開(kāi)式系數(shù)的最值問(wèn)題的一般步驟】

第一步，要弄清所求問(wèn)題是“展開(kāi)式系數(shù)最大”、“二項(xiàng)式系數(shù)最大”兩者中的哪一個(gè).

第二步，若是求二項(xiàng)式系數(shù)的最大值，則依據(jù)(。十方尸中〃的奇偶及二次項(xiàng)系數(shù)的性質(zhì)求解.若是求展

開(kāi)式系數(shù)的最大值，有兩個(gè)思路，如下：思路一：由于二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)是關(guān)于正整數(shù)〃的式子，可以

看作關(guān)于n的數(shù)列，通過(guò)判斷數(shù)列單調(diào)性的方法從而判斷系數(shù)的增減性，并根據(jù)系數(shù)的單調(diào)性求出系數(shù)的

最值.

思路二：由于展開(kāi)式系數(shù)是離散型變量，因此在系數(shù)均為正值的前提二，求最大值只需解不等式組

ak^ak-if.―一

、即可求得答案.

1.(2022?河南安陽(yáng)?高三階段練習(xí)(理))己知(依的展開(kāi)式中只有第5項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大，則該展

開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的最小值為()

A.-448B.-1024C.-1792D.-5376

【答案】C

【分析】先根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得n二8,再結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)求各項(xiàng)系數(shù)冊(cè)=(-2)「篇，分析列式求

系數(shù)最小項(xiàng)時(shí)r的值，代入求系數(shù)的最小值.

【詳解】團(tuán)展開(kāi)式中只有第5項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n=8

團(tuán)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=CK《)=(-2)「篇》亍/=0,1,...,8

則該展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)Qr=(-2)rCS，r=0,l,“.,8

若求系數(shù)的最小值，則r為奇數(shù)且憶尸黑，即修y2蓼）；*，解得丁=5

rr22

（ar-ar.2<0（（-2）Cj-（-2）CS<0

團(tuán)系數(shù)的最小值為。5=（-2）5喘=-1792

故選：C.

2.（2022?黑龍江?哈爾濱七十三中高三階段練習(xí)）已知（?+真）”的展開(kāi)式中，第3項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第3項(xiàng)

的系數(shù)之比為白，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第（）項(xiàng).

16

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】先求出二項(xiàng)式展開(kāi)的通項(xiàng)公式，分別求出第3項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)，由題意得到關(guān)于"的

方程，即可確定其展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng).

【詳解】（F+晝曠的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為*i=以“琛-「（專(zhuān)了=CS-2「r等.

則第3項(xiàng)的系數(shù)為鬣-22,倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)為Ch?,2n-2,

因?yàn)榈?項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)之比為白，

16

所以碧奈7=白=2-4,所以鬣?22=cr2.2-6,解得n=8,

所以展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，

故選：C

3.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）已知m為正整數(shù)，（%+y）2m展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為?。▁+y）2m+i

展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b,且13a=7b,則m的值為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)確定a,b,由關(guān)系13a=7b列方程求m的值.

【詳解】由題意可知C%=a,C%+】=b,'：13a=lb,

13C吼=7C%+i，即13生竺=_（2m+i）!

zm+1m!m!7m!（m+l）!

/.13=7X^-,解得m=6.

m+1

故選：c.

102

4.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)（1+2x）=a0+a6+a2x+…+—貝U下列說(shuō)法正確的是（）

10

A.a0=1B.at+a2H----Fa10=3

C.勾=9%D.展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)

【答案】AC

【分析】利用賦值法判斷A、B：寫(xiě)出展尸式的通項(xiàng)，即可求出修、。2,進(jìn)而判斷C；根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性

質(zhì)判斷D.

【詳解】因?yàn)?1+2%)】°=---令X=0得Qo=(1+2x0)1°=1,故A正確；

令X=1得%+Qi+&+…+Qio=(1+2xI)10=310,所以的+。2■1------bQio=310-1?故B錯(cuò)誤；

rr

二項(xiàng)式(1+2x)1°展開(kāi)式的通項(xiàng)為4+1=C[0(2x)=Cfo?2-

2

所以為=C；o?21=20,a2=Cio-2=180,所以&=9%,故C正確；

因?yàn)槎?xiàng)式(1+2乃1。展開(kāi)式共11項(xiàng)，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)，為C",故D錯(cuò)誤；

故選：AC.

5.(2022?上海市洋涇中學(xué)高三階段練習(xí))已知二項(xiàng)式(43-2尸，在其展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)

為.

【答案】-160

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可知第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，寫(xiě)出展開(kāi)式的第4項(xiàng)即可得到.

【詳解】由題意知，九=6.根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得，第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大.

〃=筮?(爐)6-3x(—2)3=一160/,所以展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為口60.

故答案為：?160.

6.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知(X+a)/kWN",awR)的展開(kāi)式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且爐

項(xiàng)的系數(shù)為-160,則a/=.

【答案】-12

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出土的值，再利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，結(jié)合已知條件求出Q的值，即可得

出答案.

【詳解】0(x+a)”的展開(kāi)式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，.??北=6

13二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)4+1=C2,-—?a「，令6-丁=3,得r=3

取3項(xiàng)的系數(shù)為Q3瑤=20a3=-160,Sa=-2

則Q/=-12.

故答案為：-12.

7.(2022?江蘇?南通市通州區(qū)石港中學(xué)高二階段練習(xí))在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為64.

⑴求正整數(shù)n的值;

⑵求（，+茅

的二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).

【答案】（1）3；（2）540

【分析】（1）由題意利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求得n的值.

⑵由題意利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).

（1）

???在（x+習(xí)2n的二項(xiàng)展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為22n=64,，2n=6,n=3.

（2）

由⑴小問(wèn)可知n=3,（%+]”=的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí)r=3,

故二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為7；=底?33=540.

?.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）已知（打+完的展開(kāi)式中，前二項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列.

⑴求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；

⑵求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).

【答案】畤⑵7■

【分析】（1）利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)和等差中項(xiàng)解出n.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)金最大，當(dāng)n為

奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)c；y,相等且最大.

（2）求系數(shù)最大的項(xiàng)，則只需比較相鄰兩項(xiàng)系數(shù)的大小即可.

（1）（版+定）:'的展開(kāi)式的通項(xiàng)小1=&（夜）—（赤丫=耳（）/芳.因?yàn)檎归_(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)成

等差數(shù)列，所以2all=喘+髭即九=1+若乜，整理得n2—9n+8=0,解得n=8或九=1.又因

為nN2,所以n=8,所以第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為羽=禺（）/？=字

2

（2）由⑴得展開(kāi)式中系數(shù)為喘針由m二得:依獷整理得產(chǎn)9t182二，

解得2<r<3所以當(dāng)r=2或3時(shí)項(xiàng)的系數(shù)最大.因此，展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)3=C|=74和尼=

Ci（丁藍(lán)=7x1.

【考點(diǎn)5：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用】

【知識(shí)點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用】

1.（2022?全國(guó)?高二單元測(cè)試）0.997的計(jì)算結(jié)果精確到o.ooi的近似值是（）

A.0.930B.0.931C.0.932D.0.933

【答案】C

【分析】由二項(xiàng)式定理求解

【詳解】0.997=（1-ooi）7=cox1-C；x0.01+C；x0.012-…=1-0.07+0.0021—??0.932.

故選：C

2.（2022?全國(guó)?高二單元測(cè)試）關(guān)于（石-I）?。?】及其二項(xiàng)展開(kāi)式，下列說(shuō)法正確的是（）

A.該二項(xiàng)展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為22。21

B.該二項(xiàng)展開(kāi)式中第8項(xiàng)為一以。21-007

C.當(dāng)工=100時(shí)，（返一1）2021除以100的余數(shù)是9

D.該二項(xiàng)展開(kāi)式中不含有理項(xiàng)

【答案】BC

【分析】對(duì)于A,由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，由公式可得答案；

對(duì)于B,根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，令r=7時(shí)，可得答案；

對(duì)于C,根據(jù)二項(xiàng)式定理，結(jié)合帶余除法的變換等式，可得答案；

對(duì)于D,利用二項(xiàng)式定理通項(xiàng)，使％的指數(shù)為整數(shù)，可得答案.

【詳解】偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為22。2。，故A錯(cuò)誤；

20147loO7

展開(kāi)式中第8項(xiàng)為寫(xiě)+1=Cj02i（V^）（-1）=-Clo2iX>故B正確；

20212021

當(dāng)%=100時(shí)，（4-1）=（10-1）2021=c%21-1O-?021?102021+_C2019.1Q2+嚼翁?

10】一輜

1

=100（C%21-1（）2019_C1O21.102018+???一c嬲-10°）+CfJi?10-1,

tacfgf??IO1-1=20209=20200+9,除以100的余數(shù)是9,

團(tuán)當(dāng)笈二100時(shí)，（①一1）2021除以100的余數(shù)是9,故C正確；

2021-rr

（石一1）2°21的展開(kāi)式的通項(xiàng)為7；+1=CJC21?（V?）（-l）=（一1）氣21K華，

當(dāng)型羅為整數(shù)，即r=1,3,5,…,2021時(shí)，7；+i為有理項(xiàng)，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

26

3.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/'（%）=（1-2x）6=a0+atx4-a2x+???4-a6x（afER,i=0,1,2,3,-

??,6)的定義域?yàn)镽.()

A.CIQ+Q]+Q2+。6=-1

B.a1+。3+。5=-364

C.m+2a2+3a3---F6a6=12

D.f(5)被8整除余數(shù)為7

【答案】BC

【分析】利用賦值x=l或％=-1，判斷AB；對(duì)函數(shù)兩邊求導(dǎo)，再賦值x=l,判斷C；*5)=96=(8+1》,

展開(kāi)后可判斷余數(shù)，判斷D.

6

【詳解】A.當(dāng)％=1時(shí)，a0++a2+...-ka6=(1-2)=1,①故A錯(cuò)誤；

B.當(dāng)％=-1.時(shí)