5.7 三角函數(shù)的應(yīng)用（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一

5.7三角函數(shù)的應(yīng)用（精講）一.在適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系下，簡諧運(yùn)動可以用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.(1)A就是這個簡諧運(yùn)動的振幅，它是做簡諧運(yùn)動的物體離開平衡位置的最大距離；(2)簡諧運(yùn)動的周期是T＝eq\f(2π,ω)，它是做簡諧運(yùn)動的物體往復(fù)運(yùn)動一次所需要的時間；(3)簡諧運(yùn)動的頻率由公式f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)給出，它是做簡諧運(yùn)動的物體在單位時間內(nèi)往復(fù)運(yùn)動的次數(shù)；(4)ωx＋φ稱為相位；x＝0時的相位φ稱為初相.2.三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，在刻畫周期變化預(yù)測其未來等方面發(fā)揮著十分重要的作用.具體地，我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，先畫出相應(yīng)的“散點(diǎn)圖”，觀察散點(diǎn)圖，然后進(jìn)行函數(shù)擬合獲得具體的函數(shù)模型，最后利用這個函數(shù)模型來解決相應(yīng)的實(shí)際問題.3.在物理學(xué)中，當(dāng)物體做簡諧運(yùn)動時，可以用正弦型函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)來表示運(yùn)動的位移y隨時間x的變化規(guī)律，其中：(1)A稱為簡諧運(yùn)動的振幅，它表示物體運(yùn)動時離開平衡位置的最大位移；(2)T＝eq\f(2π,ω)稱為簡諧運(yùn)動的周期，它表示物體往復(fù)運(yùn)動一次所需的時間；(3)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)稱為簡諧運(yùn)動的頻率，它表示單位時間內(nèi)物體往復(fù)運(yùn)動的次數(shù).考點(diǎn)一三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用【例1-1】（2023云南）(多選)如圖所示為一簡諧運(yùn)動的圖象，則下列判斷不正確的是（

）A．該質(zhì)點(diǎn)的振動周期為B．該質(zhì)點(diǎn)的振幅為C．該質(zhì)點(diǎn)在和時的振動速度最大D．該質(zhì)點(diǎn)在和時的加速度為零【答案】ABC【解析】由圖象可知該質(zhì)點(diǎn)的振動周期為,故A是錯誤的；該質(zhì)點(diǎn)的振幅為,故B是錯誤的；該質(zhì)點(diǎn)在和時的振動速度是零，所以C是錯誤的，該質(zhì)點(diǎn)在和時處于平衡位置，速度達(dá)到最大，加速度為零，D正確，故選：D【例1-2】（2023春·北京·高一校考期中）如圖，彈簧掛著的小球上下振動，它在t（單位：s）時相對于平衡位置的高度h（單位：cm）由關(guān)系式確定，下列結(jié)論正確的是（

）A．小球的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)相距 B．小球在時的高度C．每秒鐘小球往復(fù)運(yùn)動的次數(shù)為 D．從到，彈簧長度逐漸變長【答案】D【解析】由題意彈簧掛著的小球上下振動，它相對于平衡位置的高度由關(guān)系式確定，則小球的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)相距平衡位置都是，故小球的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)相距，A錯誤；小球在時的高度，B錯誤；由知，最小正周期，則頻率為，則每秒鐘小球往復(fù)運(yùn)動的次數(shù)為，C錯誤；由題意知當(dāng)時，單調(diào)遞減，時，小球在平衡位置，因?yàn)榍遥?，所以即遞減，時，小球在平衡位置以上位置，時，小球在平衡位置以下位置，即小球此時從平衡位置以上位置逐漸向平衡位置以下位置運(yùn)動，故彈簧長度逐漸變長，D正確，故選：D【一隅三反】1．（2023春·遼寧沈陽）（多選）已知彈簧上掛的小球做上下振動，它在時間t（s）時離開平衡位置的位移s（cm）滿足函數(shù)關(guān)系式．給出的下列說法中正確的是（

）．A．小球開始時在平衡位置上方2cm處B．小球下降到最低點(diǎn)時在平衡位置下方2cm處C．經(jīng)過小球重復(fù)振動一次D．小球振動的頻率為【答案】BCD【解析】A選項(xiàng)，時，，即小球開始時在平衡位置上方cm處，故A錯誤；B選項(xiàng)，由題可知s的最小值為，即小球下降到最低點(diǎn)時在平衡位置下方2cm處，故B正確；C選項(xiàng)，由題可知，最小正周期為，即經(jīng)過小球重復(fù)振動一次，故C正確；D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)分析可知周期為，則振動的頻率為，故D正確.故選：BCD2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）（多選）如圖所示的是一質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動的圖象，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動周期為0.7sB．該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5cmC．該質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5s時運(yùn)動速度為零D．該質(zhì)點(diǎn)在0.3s和0.7s時運(yùn)動速度為零【答案】BC【解析】由題圖可知，運(yùn)動周期為，故A錯誤；該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5cm，B正確；由簡諧運(yùn)動的特點(diǎn)知，在0.1s和0.5s時運(yùn)動速度為零，質(zhì)點(diǎn)在0.3s和0.7s時運(yùn)動速度最大，故C正確，D錯誤．故選：BC．3．（2023秋·安徽阜陽）阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置.我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“定樓神器”，如圖1.由物理學(xué)知識可知，某阻尼器的運(yùn)動過程可近似為單擺運(yùn)動，其離開平衡位置的位移和時間的函數(shù)關(guān)系為，如圖2，若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)三次到達(dá)同一位置的時間分別為，，，且，，則在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為（

）

A． B． C．1s D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，，所以，又，所以，則，由可得，所以，，所以，，故，所以在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為1s.故選：C.4．（2023春·云南紅河·高一開遠(yuǎn)市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，一個質(zhì)點(diǎn)在半徑為2的圓O上以點(diǎn)P為起始點(diǎn)，沿逆時針方向運(yùn)動，每轉(zhuǎn)一圈．則該質(zhì)點(diǎn)到x軸的距離y關(guān)于時間t的函數(shù)解析式是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，由題意可得，得.因?yàn)槠鹗键c(diǎn)在第四象限，所以初相，由圖可知，所以.所以該質(zhì)點(diǎn)到x軸的距離y關(guān)于時間t的函數(shù)解析式是.故選:A.考點(diǎn)二三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用【例2】（2023秋·四川綿陽）（多選）如圖（1），筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中仍得到使用.如圖（2），一個筒車按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)，筒車上的某個盛水筒到水面的距離為(單位：m)(在水下則為負(fù)數(shù))、與時間(單位：s)之間的關(guān)系是，則下列說法正確的是（

）

A．筒車的半徑為3m，旋轉(zhuǎn)一周用時60sB．筒車的軸心距離水面的高度為C．盛水筒出水后至少經(jīng)過20s才可以達(dá)到最高點(diǎn)D．時，盛水筒處于向上運(yùn)動狀態(tài)【答案】AC【解析】對于A，的振幅為筒車的半徑，筒車的半徑為；的最小正周期，旋轉(zhuǎn)一周用時，A正確；對于B，，筒車的半徑，筒車的軸心距離水面的高度為，B錯誤；對于C，令，，，解得：，又，當(dāng)時，，即盛水筒出水后至少經(jīng)過才可以達(dá)到最高點(diǎn)，C正確.對于D，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，盛水筒處于處于向下運(yùn)動的狀態(tài)，D錯誤.故選：AC.【一隅三反】1．（2023·北京）如圖，某港口某天從到的水深（單位：m）與時間（單位：h）之間的關(guān)系可用函數(shù)近似刻畫，據(jù)此可估計當(dāng)天的水深為（

）

A． B．4mC． D．【答案】A【解析】由題圖可得，，則，當(dāng)時，取得最小值，即，解得，∵函數(shù)的圖象過點(diǎn)，∴，又，則，所以，∴，∴．當(dāng)時，，即估計當(dāng)天的水深為．故選：A.2．（2023秋·遼寧沈陽）（多選）如圖（1），筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中仍得到使用.如圖（2），一個筒車按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)，筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：m）（在水下則為負(fù)數(shù)）、與時間（單位：s）之間的關(guān)系是，則下列說法正確的是（

）

A．筒車的半徑為3m，旋轉(zhuǎn)一周用時30sB．筒車的軸心距離水面的高度為C．時，盛水筒處于向上運(yùn)動狀態(tài)D．盛水筒出水后至少經(jīng)過20s才可以達(dá)到最高點(diǎn)【答案】BD【解析】對于A，的振幅為筒車的半徑，筒車的半徑為；的最小正周期，旋轉(zhuǎn)一周用時，A錯誤；對于B，，筒車的半徑，筒車的軸心距離水面的高度為，B正確；對于C，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，盛水筒處于處于向下運(yùn)動的狀態(tài)，C錯誤；對于D，令，，，解得：，又，當(dāng)時，，即盛水筒出水后至少經(jīng)過才可以達(dá)到最高點(diǎn)，D正確.故選：BD.3．（2023秋·湖南株洲）（多選）如圖（1）是一段依據(jù)正弦曲線設(shè)計安裝的過山車軌道.建立平面直角坐標(biāo)系如圖（2），（單位：m）表示在時間（單位：s）時.過山車（看作質(zhì)點(diǎn)）離地平面的高度.軌道最高點(diǎn)距離地平面50m.最低點(diǎn)距離地平面10m.入口處距離地平面20m.當(dāng)時，過山車到達(dá)最高點(diǎn)，時，過山車到達(dá)最低點(diǎn).設(shè)，下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為12B．C．時，過山車距離地平面40mD．一個周期內(nèi)過山車距離地平面低于20m的時間是4s【答案】ACD【解析】由題意可知，周期滿足，得，所以，得，又，解得，.所以，又，即，得，因?yàn)椋裕?對于A，，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，由，得，即，，，解得，，所以一個周期內(nèi)過山車距離底面低于20m的時間是，D正確.故選：ACD.考點(diǎn)三三角函數(shù)模型的擬合【例3】（2023春·貴州遵義）彈簧振子的振動是簡諧振動.下表給出了振子在完成一次全振動的過程中的事件t與位移s之間的測量數(shù)據(jù)，那么能與這些數(shù)據(jù)擬合的振動函數(shù)的解析式為（

）t0123456789101112s0.110.31.720.017.710.30.1A．， B．C． D．，【答案】D【解析】設(shè)簡諧振動的解析式為，其中由表格可知：振幅，周期，過點(diǎn)，由周期，且，可得，由過點(diǎn)，可得，即，則，可得，所以簡諧振動的解析式為.故選：D.【一隅三反】1．（2023秋·高一課時練習(xí)）已知某海濱浴場海浪的高度（米）是時間（，單位：時）的函數(shù)，記作：，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：（時）03691215182124（米）1.51.00.51.01.51.00.50.991.5經(jīng)長期觀察，的曲線可近似地看成是函數(shù)的圖象.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)的最小正周期，振幅及函數(shù)解析式；(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)（1）中的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的10：00至20：00之間，有多少時間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動？【答案】(1)，，(2)5個小時【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)知，所以.由，，得.由，，得，故，，所以函數(shù)解析式為：.（2）由題意知，當(dāng)時才可對沖浪者開放，所以，所以，所以，，即，.又因?yàn)?，故可令得，或，?所以在規(guī)定時間10：00至20：00之間，有5個小時可供沖浪者活動，即上午10：00至下午3：00.2．（2023春·江西吉安·高一校聯(lián)考期中）某港口水深（米是時間（，單位：小時）的函數(shù)，下表是水深數(shù)據(jù)：（小時）03691215182124（米10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根據(jù)上述數(shù)據(jù)描成的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)的圖象.

(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出的表達(dá)式；(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底與水面的距離）為7米，那么該船在什么時間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間？（忽略離港所用的時間）【答案】(1)(2)16小時.【解析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，，，，，，函數(shù)的表達(dá)式為；（2）由題意，水深，即，，，，1，或；所以，該船在至或至能安全進(jìn)港，若欲于當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過16小時.3．（2023春·上海寶山·高一上海交大附中校考期中）在月亮和太陽的引力作用下，海水水面發(fā)生的周期性漲落現(xiàn)象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影響，港口的水深也會相應(yīng)發(fā)生變化．下圖記錄了某港口某一天整點(diǎn)時刻的水深y（單位：米）與時間x（單位：時）的大致關(guān)系：假設(shè)4月份的每一天水深與時間的關(guān)系都符合上圖所示．(1)請運(yùn)用函數(shù)模型，根據(jù)以上數(shù)據(jù)寫出水深y與時間x的函數(shù)的近似表達(dá)式；(2)根據(jù)該港口的安全條例，要求船底與水底的距離必須不小于3.5米，否則該船必須立即離港．一艘船滿載貨物，吃水（即船底到水面的距離）6米，計劃明天進(jìn)港卸貨．①求該船可以進(jìn)港的時間段；②該船今天會到達(dá)港口附近，明天0點(diǎn)可以及時進(jìn)港并立即開始卸貨，已知卸貨時吃水深度以每小時0.3米的速度勻速減少，卸完貨后空船吃水3米．請?jiān)O(shè)計一個卸貨方案，在保證嚴(yán)格遵守該港口安全條例的前提下，使該船明天盡早完成卸貨（不計停靠碼頭和駛離碼頭所需時間）．【答案】(1)；(2)①0點(diǎn)到4點(diǎn)以及12點(diǎn)到16點(diǎn)進(jìn)入港口；②該船在0點(diǎn)進(jìn)港開始卸貨，5點(diǎn)暫時駛離港口，11點(diǎn)返回港口繼續(xù)卸貨，16點(diǎn)完成卸貨任務(wù).【解析】（1）觀察圖形知，，解得，，，解得，顯然函數(shù)的圖