題型06最值問(wèn)題之瓜豆原理(原卷版+解析)

06最值問(wèn)題之瓜豆原理知識(shí)解讀瓜豆原理是主從動(dòng)點(diǎn)聯(lián)動(dòng)問(wèn)題，也叫旋轉(zhuǎn)相似，這類問(wèn)題在解答的時(shí)候需要有軌跡思想，就是先要明確主動(dòng)點(diǎn)的軌跡，然后要搞清楚主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，進(jìn)而確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡來(lái)解決問(wèn)題．瓜豆原理：一個(gè)主動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)從動(dòng)點(diǎn)（根據(jù)某種約束條件，跟著主動(dòng)點(diǎn)動(dòng)），當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)的軌跡相同．（古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”．）滿足條件：1.兩動(dòng)一定；2.動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的連線夾角是定角；3.動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比值是定值．方法：第一步：找主動(dòng)點(diǎn)的軌跡；第二步：找從動(dòng)點(diǎn)與主動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系；第三步：找主動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)；第四步：通過(guò)相似確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡；第五步：根據(jù)軌跡確定點(diǎn)線、點(diǎn)圓最值．“瓜豆原理”其實(shí)質(zhì)就是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)、相似．涉及的知識(shí)和方法：知識(shí)：①相似；②三角形的兩邊之和大于第三邊；③點(diǎn)到直線之間的距離垂線段最短；④點(diǎn)到圓上點(diǎn)共線有最值．模型一：運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧引例1：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)．考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】觀察動(dòng)圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接AO，取AO中點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時(shí)刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小結(jié)】確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點(diǎn)共線，由Q為AP中點(diǎn)可得：AM=1/2AO．Q點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放．根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系分析圓心的相對(duì)位置關(guān)系；根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系．引例2：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，可理解為將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點(diǎn)軌跡與P點(diǎn)軌跡都是圓．接下來(lái)確定圓心與半徑．考慮AP⊥AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP=AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APO≌△AQM．引例3：如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】考慮AP⊥AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP:AQ=2:1，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1．即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．【模型總結(jié)】為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)P、Q，可稱點(diǎn)P為“主動(dòng)點(diǎn)”，點(diǎn)Q為“從動(dòng)點(diǎn)”．此類問(wèn)題的必要條件：兩個(gè)定量；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．【結(jié)論】（1）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．按以上兩點(diǎn)即可確定從動(dòng)點(diǎn)軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮．模型二：運(yùn)動(dòng)軌跡為線段引例：如圖，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線．可以這樣理解：分別過(guò)A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線．【引例】如圖，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Q點(diǎn)軌跡？【分析】當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形．當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段．【模型總結(jié)】必要條件：主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．結(jié)論：P、Q兩點(diǎn)軌跡所在直線的夾角等于∠PAQ（當(dāng)∠PAQ≤90°時(shí)，∠PAQ等于MN與BC夾角）P、Q兩點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）針對(duì)訓(xùn)練一、單選題1．如圖，A是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C在外，已知是等邊三角形，則的面積的最大值為（

）A． B．4 C． D．62．如圖，在矩形紙片ABCD中，，，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿EF所在直線翻折，得到，則的長(zhǎng)的最小值是A． B．3 C． D．3．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，△ADC與△ABC關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)E、F分別是邊DC、BC上的任意一點(diǎn)，且DE＝CF，BE、DF相交于點(diǎn)P，則CP的最小值為(

)A．1 B． C． D．24．如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為2，O為AB的中點(diǎn)，P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，OQ⊥OP交BC于點(diǎn)Q，M為PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為（）A． B． C．1 D．25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=﹣x+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將Q繞點(diǎn)P(1，0)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)，連接，則的最小值為()A． B． C． D．二、填空題6．如圖，等邊三角形ABC中，AB=4，高線AH=2，D是線段AH上一動(dòng)點(diǎn)，以BD為邊向下作等邊三角形BDE，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H的過(guò)程中，點(diǎn)E所經(jīng)過(guò)的路徑為線段CM，則線段CM的長(zhǎng)為_(kāi)______，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H，此時(shí)線段BE的長(zhǎng)為_(kāi)_________．7．如圖，在平面內(nèi)，線段AB=6，P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，三角形紙片CDE的邊CD所在的直線與線段AB垂直相交于點(diǎn)P，且滿足PC=PA．若點(diǎn)P沿AB方向從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，則點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_______．8．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，為上一點(diǎn)，且，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為_(kāi)______．9．如圖，在Rt△ABC中，，，BC＝2，線段BC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到BD，連AD，E為AD的中點(diǎn)，連接CE，則CE的最大值是________．10．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，，點(diǎn)F沿線段AO從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，連接DF，以DF為邊作等邊三角形DFE，點(diǎn)E和點(diǎn)A分別位于DF兩側(cè)，連接OE．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①；②；③直線；④點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程是．其中正確的結(jié)論是______．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）11．如圖，已知，平面內(nèi)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離為2，連接AP，若且，連接AB，BC，則線段BC的最小值為_(kāi)_________．12．如圖，線段為的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊在的上方作Rt，且使，連接，則長(zhǎng)的最大值為_(kāi)_________．三、解答題13．如圖，過(guò)拋物線上一點(diǎn)A作軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)B，交軸于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為．（1）求拋物線的對(duì)稱軸和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）在AB上任取一點(diǎn)P，連結(jié)OP，作點(diǎn)C關(guān)于直線OP的對(duì)稱點(diǎn)D；①連接BD，求BD的最小值；②當(dāng)點(diǎn)D落在拋物線的對(duì)稱軸上，且在軸上方時(shí)，求直線PD的函數(shù)表達(dá)式．14．如圖①，在中，，，D是BC的中點(diǎn)．小明對(duì)圖①進(jìn)行了如下探究：在線段AD上任取一點(diǎn)P，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，連接BE，得到．小明發(fā)現(xiàn)，隨著點(diǎn)P在線段AD上位置的變化，點(diǎn)E的位置也在變化，點(diǎn)E可能在直線AD的左側(cè)，也可能在直線AD上，還可能在直線AD的右側(cè)．請(qǐng)你幫助小明繼續(xù)探究，并解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)點(diǎn)E在直線AD上時(shí)，如圖②所示．①；②連接CE，直線CE與直線AB的位置關(guān)系是．（2）請(qǐng)?jiān)趫D③中畫(huà)出，使點(diǎn)E在直線AD的右側(cè)，連接CE，試判斷直線CE與直線AB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AE的最小值．15．如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D是直線AB上一點(diǎn)．將線段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連結(jié)BE．（1）若點(diǎn)D在AB邊上（不與A，B重合）請(qǐng)依題意補(bǔ)全圖并證明AD=BE；（2）連接AE，當(dāng)AE的長(zhǎng)最小時(shí)，求CD的長(zhǎng)．

16．如圖所示，在中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，以為一邊向右下方作等邊，當(dāng)由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．17．在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0）、B（b，0），且a，b滿足，C、D兩點(diǎn)分別是y軸正半軸、x軸負(fù)半軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)；（1）如圖1，若C（0，4），求△ABC的面積；（2）如圖1，若C（0，4），BC=5，BD=AE，且∠CBA=∠CDE，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，若∠CBA=60°，以CD為邊，在CD的右側(cè)作等邊△CDE，連接OE，當(dāng)OE最短時(shí)，求A，E兩點(diǎn)之間的距離．18．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，連接BD，將△ABD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的三角形為△A′B′D，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°且α≠180°）．(1)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)A′落在線段BC上時(shí)，求A′B的長(zhǎng)；(2)連接A′A、A′B，當(dāng)∠BA′B'＝90°時(shí)，求tan∠A′AD；(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若△DAA′的重心為G，則CG的最小值＝___________．19．如圖所示，在矩形中，，，為的中點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，求的最小值．20．如圖所示，在扇形中，，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，以為邊作正方形，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．21．如圖1，在中，，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓．點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，連接，作，使點(diǎn)落在直線的上方，且滿足，連接，．（1）求的度數(shù)，并證明；（2）如圖2，若點(diǎn)在上時(shí)，連接，求的長(zhǎng)；（3）點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否有最大值或最小值？若有，請(qǐng)求出當(dāng)取得最大值或最小值時(shí)，的度數(shù)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．如圖所示，為等腰直角三角形，，直角頂點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)在軸上移動(dòng)，以為斜邊向上作等腰直角，我們發(fā)現(xiàn)直角頂點(diǎn)點(diǎn)隨著點(diǎn)的移動(dòng)也在一條直線上移動(dòng)，求這條直線的函數(shù)解析式．23．如圖所示，點(diǎn)，的半徑為2，，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的最小值．24．如圖所示，在等腰中，，點(diǎn)在以斜邊為直徑的半圓上，為的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)沿半圓從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．25．如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形點(diǎn)分別在軸和軸的正半軸上，連結(jié)，，，是的中點(diǎn).(1)求OC的長(zhǎng)和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖2，是線段上的點(diǎn)，，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的拋物線交軸的正半軸于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)①將沿所在的直線翻折，若點(diǎn)恰好落在上，求此時(shí)的長(zhǎng)和點(diǎn)的坐標(biāo)；②以線段為邊，在所在直線的右上方作等邊，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng).26．在等邊三角形中，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，連接，將繞D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度得到，連接，已知，；(1)如圖1，若，，連接，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，若，分別取的中點(diǎn)H，的中點(diǎn)F，連接，，求證：；(3)如圖3，若，P為上一點(diǎn)，且滿足，連接，將沿著所在直線翻折得到，連接，當(dāng)最大時(shí)，直接寫(xiě)出的面積．27．在菱形中，，是對(duì)角線上的一點(diǎn)，連接．（1）當(dāng)在的中垂線上時(shí)，把射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后交于，連接．如圖①，若，求的長(zhǎng)．（2）在（1）的條件下，連接，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到如圖②，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，求的最大值．28．在中，D為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接與相交于點(diǎn)F．(1)如圖1，若D為的中點(diǎn)，，，，連接，求線段的長(zhǎng)；(2)如圖2，G是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，D在線段上，連接，，若，，，，證明；(3)如圖3，若為等邊三角形，，點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)，且，點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)最小時(shí)的面積．06最值問(wèn)題之瓜豆原理知識(shí)解讀瓜豆原理是主從動(dòng)點(diǎn)聯(lián)動(dòng)問(wèn)題，也叫旋轉(zhuǎn)相似，這類問(wèn)題在解答的時(shí)候需要有軌跡思想，就是先要明確主動(dòng)點(diǎn)的軌跡，然后要搞清楚主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，進(jìn)而確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡來(lái)解決問(wèn)題．瓜豆原理：一個(gè)主動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)從動(dòng)點(diǎn)（根據(jù)某種約束條件，跟著主動(dòng)點(diǎn)動(dòng)），當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)的軌跡相同．（古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”．）滿足條件：1.兩動(dòng)一定；2.動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的連線夾角是定角；3.動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比值是定值．方法：第一步：找主動(dòng)點(diǎn)的軌跡；第二步：找從動(dòng)點(diǎn)與主動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系；第三步：找主動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)；第四步：通過(guò)相似確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡；第五步：根據(jù)軌跡確定點(diǎn)線、點(diǎn)圓最值．“瓜豆原理”其實(shí)質(zhì)就是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)、相似．涉及的知識(shí)和方法：知識(shí)：①相似；②三角形的兩邊之和大于第三邊；③點(diǎn)到直線之間的距離垂線段最短；④點(diǎn)到圓上點(diǎn)共線有最值．模型一：運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧引例1：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)．考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】觀察動(dòng)圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接AO，取AO中點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時(shí)刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小結(jié)】確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點(diǎn)共線，由Q為AP中點(diǎn)可得：AM=1/2AO．Q點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放．根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系分析圓心的相對(duì)位置關(guān)系；根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系．引例2：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，可理解為將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點(diǎn)軌跡與P點(diǎn)軌跡都是圓．接下來(lái)確定圓心與半徑．考慮AP⊥AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP=AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APO≌△AQM．引例3：如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】考慮AP⊥AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP:AQ=2:1，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1．即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．【模型總結(jié)】為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)P、Q，可稱點(diǎn)P為“主動(dòng)點(diǎn)”，點(diǎn)Q為“從動(dòng)點(diǎn)”．此類問(wèn)題的必要條件：兩個(gè)定量；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．【結(jié)論】（1）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．按以上兩點(diǎn)即可確定從動(dòng)點(diǎn)軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮．模型二：運(yùn)動(dòng)軌跡為線段引例：如圖，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線．可以這樣理解：分別過(guò)A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線．【引例】如圖，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Q點(diǎn)軌跡？【分析】當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形．當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段．【模型總結(jié)】必要條件：主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．結(jié)論：P、Q兩點(diǎn)軌跡所在直線的夾角等于∠PAQ（當(dāng)∠PAQ≤90°時(shí)，∠PAQ等于MN與BC夾角）P、Q兩點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）針對(duì)訓(xùn)練一、單選題1．如圖，A是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C在外，已知是等邊三角形，則的面積的最大值為（

）A． B．4 C． D．6【答案】A【詳解】解：如圖，以為邊向上作等邊三角形，連接，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)M為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓，要使的面積最大，則求出點(diǎn)D到線段的最大距離，∵是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，∴點(diǎn)M到的距離為，∴點(diǎn)D到的最大距離為，∴的面積最大值是，故選A．2．如圖，在矩形紙片ABCD中，，，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿EF所在直線翻折，得到，則的長(zhǎng)的最小值是A． B．3 C． D．【答案】D【詳解】以點(diǎn)E為圓心，AE長(zhǎng)度為半徑作圓，連接CE，當(dāng)點(diǎn)在線段CE上時(shí)，的長(zhǎng)取最小值，如圖所示，根據(jù)折疊可知：．在中，，，，，的最小值．故選D．3．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，△ADC與△ABC關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)E、F分別是邊DC、BC上的任意一點(diǎn)，且DE＝CF，BE、DF相交于點(diǎn)P，則CP的最小值為(

)A．1 B． C． D．2【答案】D【詳解】解：連接AD，因?yàn)椤螦CB＝30°，所以∠BCD＝60°，因?yàn)镃B＝CD，所以△CBD是等邊三角形，所以BD＝DC因?yàn)镈E＝CF，∠EDB＝∠FCD＝60°，所以△EDB≌△FCD，所以∠EBD＝∠FDC，因?yàn)椤螰DC＋∠BDF＝60°，所以∠EBD＋∠BDF＝60°，所以∠BPD＝120°，所以點(diǎn)P在以A為圓心，AD為半徑的弧BD上，直角△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2，所以AB＝2，AC＝4，所以AP＝2當(dāng)點(diǎn)A，P，C在一條直線上時(shí)，CP有最小值，CP的最小值是AC－AP＝4－2＝2故選D．4．如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為2，O為AB的中點(diǎn)，P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，OQ⊥OP交BC于點(diǎn)Q，M為PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為（）A． B． C．1 D．2【答案】C【詳解】連接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如圖，∵△ACB為等腰直角三角形，∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，∵O為AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都為等腰直角三角形，∴PE=AP=CQ，QF=BQ，∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1，∵M(jìn)點(diǎn)為PQ的中點(diǎn)，∴MH為梯形PEFQ的中位線，∴MH=（PE+QF）=，即點(diǎn)M到AB的距離為，而CO=1，∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路線為△ABC的中位線，∴當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)=AB=1，故選C．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=﹣x+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將Q繞點(diǎn)P(1，0)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)，連接，則的最小值為()A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：作QM⊥x軸于點(diǎn)M，Q′N⊥x軸于N，設(shè)Q(，)，則PM=，QM=，∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N，在△PQM和△Q′PN中，，∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，∴PN=QM=，Q′N=PM=，∴ON=1+PN=，∴Q′(，)，∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，當(dāng)m=2時(shí)，OQ′2有最小值為5，∴OQ′的最小值為，故選：B．二、填空題6．如圖，等邊三角形ABC中，AB=4，高線AH=2，D是線段AH上一動(dòng)點(diǎn)，以BD為邊向下作等邊三角形BDE，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H的過(guò)程中，點(diǎn)E所經(jīng)過(guò)的路徑為線段CM，則線段CM的長(zhǎng)為_(kāi)______，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H，此時(shí)線段BE的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】

【詳解】解：如圖，連接EC．∵△ABC，△BDE都是等邊三角形，∴BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，∴∠ABD=∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD=EC，∵點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為，當(dāng)重合，而（即）為等邊三角形，故答案為：．7．如圖，在平面內(nèi)，線段AB=6，P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，三角形紙片CDE的邊CD所在的直線與線段AB垂直相交于點(diǎn)P，且滿足PC=PA．若點(diǎn)P沿AB方向從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，則點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】．【詳解】解：如圖，由題意可知點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑為線段AC′，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑為EE′，由平移的性質(zhì)可知AC′=EE′，在Rt△ABC′中，易知AB=BC′=6，∠ABC′=90°，∴EE′=AC′==，故答案為．8．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，為上一點(diǎn)，且，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為_(kāi)______．【答案】【詳解】由題意可知，點(diǎn)是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是從動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)也一定在直線軌跡上運(yùn)動(dòng)將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，從而可知為等邊三角形，點(diǎn)在垂直于的直線上，作，則即為的最小值，作，可知四邊形為矩形，則.故答案為．9．如圖，在Rt△ABC中，，，BC＝2，線段BC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到BD，連AD，E為AD的中點(diǎn)，連接CE，則CE的最大值是________．【答案】3【詳解】解：∵BC＝2，線段BC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到BD，∴BD＝2，∴．由題意可知，D在以B為圓心，BD長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵E為AD的中點(diǎn)，∴E在以BA中點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，CE的最大值即C到BA中點(diǎn)的距離加上長(zhǎng)．∵，，BC＝2，∴C到BA中點(diǎn)的距離即，又∵，∴CE的最大值即．故答案為3．10．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，，點(diǎn)F沿線段AO從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，連接DF，以DF為邊作等邊三角形DFE，點(diǎn)E和點(diǎn)A分別位于DF兩側(cè)，連接OE．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①；②；③直線；④點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程是．其中正確的結(jié)論是______．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①②③【詳解】解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，∴△OAD為等邊三角形，∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，∵△DFE為等邊三角形，∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°，∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，∴∠ADF＝∠EFC，∴∠BDE＝∠EFC，故結(jié)論①正確；②如圖，連接OE，在△DAF和△DOE中，，∴△DAF≌△DOE（SAS），∴∠DOE＝∠DAF＝60°，∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，∴∠COE＝∠DOE，在△ODE和△OCE中，，∴△ODE≌△OCE（SAS），∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，故結(jié)論②正確；③∵∠ODE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，故結(jié)論③正確；④如圖，延長(zhǎng)OE至，使＝OD，連接，∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，∴點(diǎn)F在線段AO上從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)O沿線段運(yùn)動(dòng)到，∵＝OD＝AD＝AB?tan∠ABD＝4?tan30°＝，∴點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程是，故結(jié)論④錯(cuò)誤．故答案為①②③．11．如圖，已知，平面內(nèi)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離為2，連接AP，若且，連接AB，BC，則線段BC的最小值為_(kāi)_________．【答案】【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)PB到D使得PB=DB，∵，∴，又∵∠APB=60°，∴△APD是等邊三角形，∵B為PD的中點(diǎn)，∴AB⊥DP，即∠ABP=90°，∴∠BAP=30°，以AO為斜邊在AC下方作Rt△AMO，使得∠MAO=30°，連接CM，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AC于H，∴，同理可得，∵∠OAM=30°=∠PAB，∴∠BAM=∠PAO，又∵，∴△AMB∽△AOP，∴，∵點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離為2，即OP=2，∴，∴點(diǎn)B在以M為圓心，以為半徑的圓上，連接CM交圓M（半徑為）于，∴當(dāng)M、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)B在點(diǎn)的位置時(shí)，BC有最小值，∵AC=2AO=8，∴AO=4，∴，∴，，∴，∴，∴，∴BC的最小值為，故答案為：．12．如圖，線段為的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊在的上方作Rt，且使，連接，則長(zhǎng)的最大值為_(kāi)_________．【答案】【詳解】解：如圖，作，使得，，則，，，，，，，，，即（定長(zhǎng)），點(diǎn)是定點(diǎn)，是定長(zhǎng)，點(diǎn)在半徑為1的上，，的最大值為，故答案為：．三、解答題13．如圖，過(guò)拋物線上一點(diǎn)A作軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)B，交軸于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為．（1）求拋物線的對(duì)稱軸和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）在AB上任取一點(diǎn)P，連結(jié)OP，作點(diǎn)C關(guān)于直線OP的對(duì)稱點(diǎn)D；①連接BD，求BD的最小值；②當(dāng)點(diǎn)D落在拋物線的對(duì)稱軸上，且在軸上方時(shí)，求直線PD的函數(shù)表達(dá)式．【答案】（1）對(duì)稱軸為直線x=4；B（10，5）．（2）①．②．【詳解】解：（1）把x=-2代入，得，∴A（﹣2，5），對(duì)稱軸為直線x=﹣=4，∵A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴B（10，5）．（2）①如圖1中，由題意點(diǎn)D在以O(shè)為圓心OC為半徑的圓上，∴當(dāng)O、D、B共線時(shí)，BD的最小值=OB﹣OD=．②如圖2中，圖2當(dāng)點(diǎn)D在對(duì)稱軸上時(shí)，在Rt△ODE中，OD=OC=5，OE=4，∴DE==3，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，3）．設(shè)PC=PD=x，在Rt△PDK中，，∴x=，∴P（，5），設(shè)直線PD的解析式為y=kx+b，由題意得，∴，∴直線PD的解析式為．14．如圖①，在中，，，D是BC的中點(diǎn)．小明對(duì)圖①進(jìn)行了如下探究：在線段AD上任取一點(diǎn)P，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，連接BE，得到．小明發(fā)現(xiàn)，隨著點(diǎn)P在線段AD上位置的變化，點(diǎn)E的位置也在變化，點(diǎn)E可能在直線AD的左側(cè)，也可能在直線AD上，還可能在直線AD的右側(cè)．請(qǐng)你幫助小明繼續(xù)探究，并解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)點(diǎn)E在直線AD上時(shí)，如圖②所示．①；②連接CE，直線CE與直線AB的位置關(guān)系是．（2）請(qǐng)?jiān)趫D③中畫(huà)出，使點(diǎn)E在直線AD的右側(cè)，連接CE，試判斷直線CE與直線AB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AE的最小值．【答案】（1）①50；②；（2）；（3）AE的最小值．【詳解】（1）①如圖②中，∵，，∴，②結(jié)論：．理由：∵，，∴，∴，∴，∵AE垂直平分線段BC，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案為50，．（2）如圖③中，以P為圓心，PB為半徑作⊙P．∵AD垂直平分線段BC，∴，∴，∵，∴．（3）如圖④中，作于H，∵點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)A重合時(shí)，AE的值最小，此時(shí)AE的最小值．15．如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D是直線AB上一點(diǎn)．將線段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連結(jié)BE．（1）若點(diǎn)D在AB邊上（不與A，B重合）請(qǐng)依題意補(bǔ)全圖并證明AD=BE；（2）連接AE，當(dāng)AE的長(zhǎng)最小時(shí)，求CD的長(zhǎng)．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】解：（1）補(bǔ)全圖形如圖1所示，AD=BE，理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥EB交EB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠A=60°，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線BE，根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)E與F重合時(shí)，AE的值最小，此時(shí)CD=CE=CF，∵∠ACB=∠CBE=60°，∴AC∥EF，∵AF⊥BE，∴AF⊥AC，在Rt△ACF中，∴CF===，∴CD=CF=.16．如圖所示，在中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，以為一邊向右下方作等邊，當(dāng)由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．【答案】點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．【詳解】點(diǎn)為定點(diǎn)，可以看作是繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°而來(lái)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)等于點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)，即為的長(zhǎng)，，，．點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．17．在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0）、B（b，0），且a，b滿足，C、D兩點(diǎn)分別是y軸正半軸、x軸負(fù)半軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)；（1）如圖1，若C（0，4），求△ABC的面積；（2）如圖1，若C（0，4），BC=5，BD=AE，且∠CBA=∠CDE，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，若∠CBA=60°，以CD為邊，在CD的右側(cè)作等邊△CDE，連接OE，當(dāng)OE最短時(shí)，求A，E兩點(diǎn)之間的距離．【答案】（1）△ABC的面積為12；（2）D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0）；（3）A，E兩點(diǎn)之間的距離為【詳解】解：（1）∵，∴，由非負(fù)性可知，，解得：，∴，，，∵，∴，∴；（2）由（1）知，，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∵，，∴，在和中，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴；（3）由（2）可知CB=CA，∵∠CBA=60°，∴△ABC為等邊三角形，∠BCA=60°，∠DBC=120°，∵△CDE為等邊三角形，∴CD=CE，∠DCE=60°，∵∠DCE=∠DCB+∠BCE，∠BCA=∠BCE+∠ECA，∴∠DCB=∠ECA，在△DCB和△ECA中，∴，∴，∵，∴，即：隨著D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E在過(guò)點(diǎn)A且平行于BC的直線PQ上運(yùn)動(dòng)，∵要使得OE最短，∴如圖所示，當(dāng)OE⊥PQ時(shí)，滿足OE最短，此時(shí)∠OEA=90°，∵，，∴，，∵，∴，∴，∴當(dāng)OE最短時(shí)，A，E兩點(diǎn)之間的距離為．18．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，連接BD，將△ABD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的三角形為△A′B′D，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°且α≠180°）．(1)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)A′落在線段BC上時(shí)，求A′B的長(zhǎng)；(2)連接A′A、A′B，當(dāng)∠BA′B'＝90°時(shí)，求tan∠A′AD；(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若△DAA′的重心為G，則CG的最小值＝___________．【答案】(1)4；(2)tan∠A′AD＝3或；(3)【詳解】（1）解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD矩形，AB＝3，AD＝4，∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，∠C＝90°，當(dāng)A′落在線段BC上時(shí)，由旋轉(zhuǎn)得A′D＝AD＝4，∴A′C，∴A′B＝BC﹣A′C＝4，∴A′B的長(zhǎng)為4．（2）（2）如圖2，點(diǎn)B′與點(diǎn)C在直線BD的同側(cè)，作A′E⊥AD于點(diǎn)E，則∠A′EA＝90°，由旋轉(zhuǎn)得∠B′A′D＝∠BAD＝90°，A′D＝AD＝4，∵∠BA′B'＝90°，∴∠B′A′D+∠BA′B'＝180°，∴點(diǎn)B、A′、D在同一條直線上，∵∠A′ED＝∠BAD＝90°，∴BD5，∴sin∠ADB，cos∠ADB，∴A′EA′D4，EDA′D4，∴AE＝AD﹣ED＝4，∴tan∠A′AD3；如圖3，點(diǎn)B′與點(diǎn)C在直線BD的異側(cè)，作A′E⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則∠E＝90°，由旋轉(zhuǎn)得∠B′A′D＝∠BAD＝90°，A′D＝AD＝4，∵∠BA′B'＝90°，∴∠B′A′D＝∠BA′B'，∴A′D與A′B重合，∴點(diǎn)B、A′、D在同一條直線上，∵∠EDA′＝∠ADB，∴sin∠EDA′＝sin∠ADB，cos∠EDA′＝cos∠ADB，∴A′EA′D，EDA′D，∴AE＝AD+ED＝4，

∴tan∠A′AD，綜上所述，tan∠A′AD＝3或．（3）（3）如圖4，在AD上截取DF，則，作DH⊥AA′于點(diǎn)H，在DH上截取DGDH，連接FG、CG，則，∵A′D＝AD，∴H為AA′的中點(diǎn)，∴DH為△DAA′的中線，∴點(diǎn)G為△DAA′的重心，∵，∠FDG＝∠ADH，∴△DFG∽△DAH，∴∠FGD＝∠AHD＝90°，取DF的中點(diǎn)O，連接OC交⊙O于點(diǎn)P，連接OG，則OG＝OP＝ODDF，∴點(diǎn)G在以點(diǎn)O為圓心、半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，∵CG+OG≥OC，即CG+OG≥CP+OP，∴CGCP，∴CG≥CP，∴當(dāng)CG＝CP時(shí)，CG的長(zhǎng)最小，

∵OC，∴CP＝OC﹣OP，∴CG的最小值是，故答案為：．19．如圖所示，在矩形中，，，為的中點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，求的最小值．【答案】的最小值為．【詳解】解：如圖：當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P在P1處，CP1=DP1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)P在P2處，EP2=DP2，∴P1P2∥CE且P1P2=CE．當(dāng)點(diǎn)F在EC上除點(diǎn)C、E的位置處時(shí)，有DP=FP．由中位線定理可知：P1P∥CE且P1P=CF．∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段P1P2，∴當(dāng)BP⊥P1P2時(shí)，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E為AB的中點(diǎn)，∴△CBE、△ADE、△BCP1為等腰直角三角形，CP1=2．∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°．∴∠DP2P1=90°．∴∠DP1P2=45°．∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值為BP1的長(zhǎng)．在等腰直角BCP1中，CP1=BC=2，∴BP1=∴PB的最小值是．故答案是：．20．如圖所示，在扇形中，，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，以為邊作正方形，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．【答案】點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．【詳解】解：如圖，由此BO交⊙O于F，取的中點(diǎn)H，連接FH、HB、BD．易知△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90°，∵∠FDB＝45°＝∠FHB，∴點(diǎn)D在⊙H上運(yùn)動(dòng)，軌跡是（圖中紅線），易知∠HFG＝∠HGF＝15°，∴∠FHG＝150°，∴∠GHB＝120°，易知HB＝3，∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)為＝2π．21．如圖1，在中，，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓．點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，連接，作，使點(diǎn)落在直線的上方，且滿足，連接，．（1）求的度數(shù)，并證明；（2）如圖2，若點(diǎn)在上時(shí)，連接，求的長(zhǎng)；（3）點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否有最大值或最小值？若有，請(qǐng)求出當(dāng)取得最大值或最小值時(shí)，的度數(shù)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）有．①當(dāng)取得最大值時(shí)，；②當(dāng)取得最小值時(shí)，．【詳解】（1）在中，，，，，，，，，，，；（2）由（1）知，，，，，，，，，，在中，，，由勾股定理得；（3）有．由（1）知，，，，是定值，點(diǎn)是在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，取得最大值，．，．當(dāng)取得最大值時(shí)，；②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，取得最小值，，，當(dāng)取得最小值時(shí)，．22．如圖所示，為等腰直角三角形，，直角頂點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)在軸上移動(dòng)，以為斜邊向上作等腰直角，我們發(fā)現(xiàn)直角頂點(diǎn)點(diǎn)隨著點(diǎn)的移動(dòng)也在一條直線上移動(dòng)，求這條直線的函數(shù)解析式．【答案】直線的函數(shù)解析式為．【詳解】如圖所示．當(dāng)與軸平行時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，是等腰直角三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，又是等腰直角三角形，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)與原點(diǎn)重合時(shí)，在軸上，此時(shí)，即，設(shè)所求直線解析式為：，將、代入得解直線的函數(shù)解析式為．23．如圖所示，點(diǎn)，的半徑為2，，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的最小值．【答案】的最小值為．【詳解】解：如圖所示，連接交于點(diǎn)，連接，，，由勾股定理得：，，，．當(dāng)最小時(shí)，最小當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，最小．此時(shí)的最小值為．24．如圖所示，在等腰中，，點(diǎn)在以斜邊為直徑的半圓上，為的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)沿半圓從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．【答案】點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．【詳解】解：如圖所示，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、、、、，在等腰中，，．．為的中點(diǎn)，．．點(diǎn)在以為直徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，易得四邊形為正方形，，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為以為直徑的半圓．點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．25．如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形點(diǎn)分別在軸和軸的正半軸上，連結(jié)，，，是的中點(diǎn).(1)求OC的長(zhǎng)和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖2，是線段上的點(diǎn)，，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的拋物線交軸的正半軸于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)①將沿所在的直線翻折，若點(diǎn)恰好落在上，求此時(shí)的長(zhǎng)和點(diǎn)的坐標(biāo)；②以線段為邊，在所在直線的右上方作等邊，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到