專題02勾股定理的經(jīng)典實際應(yīng)用(五大題型)(原卷版+解析)

專題02勾股定理的經(jīng)典實際應(yīng)用（五大題型）重難點題型歸納【題型1梯子滑落問題】【題型2樹枝旗子折斷問題】【題型3航海是否有影響問題】【題型4風(fēng)吹荷花問題】【題型5垂美四邊形問題】（1）構(gòu)造直角三角形解決問題；（2）垂美四邊形【定義】對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.【結(jié)論】如圖，四邊形ABCD的對角線AC⊥BD，則①AB2＋CD2＝AD2＋BC2.②S四ABCD＝AC·BD【題型1梯子滑落問題】【典例1】（2023春?隨縣期末）如圖，一架長25米的梯子，斜靠在豎直的墻上，這時梯子底端離墻7米．（1）此時梯子頂端離地面多少米？（2）若梯子頂端下滑4米，那么梯子底端將向左滑動多少米？【變式1-1】（2023春?鄖陽區(qū)期末）如圖，某工人在兩墻AB，CD之間施工（兩墻與地面垂直），架了一架長為2.5m的梯子DE，此時梯子底端E距離墻角C點0.7m，由于E點沒有固定好，向后滑動到墻角B處，使梯子頂端D沿墻下滑了0.4m到F處，求梯子底端E向后滑動的距離BE的長．【變式1-3】（2022秋?雁塔區(qū)校級期中）如圖，一架13米長的梯子AB斜靠在墻上，剛好梯頂A與地面的距離AO為12米．如果梯子底部水平滑動的距離BB′為3米，求梯頂下滑的距離AA′為多少米？【變式1-4】（2023春?淮南期末）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米．如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米．則小巷的寬度為（）A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米【變式1-5】（2023春?廬陽區(qū)校級期中）如圖，梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時BO為7m．如果梯子的頂端A沿墻下滑4m，那么梯子底端B也外移8m，則梯子AB的長為（）A．24 B．25 C．15 D．20【變式1-6】（2022秋?黔江區(qū)期末）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離BC為0.7m，梯子頂端到地面的距離AC為2.4m．如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地面的距離A'D為1.5m，則小巷的寬為（）A．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m【題型2樹枝旗子折斷問題】【典例2-1】（2023春?鶴山市校級期中）在一棵樹的10米高的B處有兩只猴子．一只猴子爬下樹走到離樹20米的池塘的A處．另一只爬到樹頂D后直接躍到A處．距離以直線計算．如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等．則這棵樹高多少米？【典例2-2】（2023春?南寧期中）如圖1，同學(xué)們想測量旗桿的高度．他們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩子的長度未知．小明和小亮同學(xué)應(yīng)用勾股定理分別提出解決這個問題的方案如下：小明：①測量出繩子垂直落地后還剩余1.5米，如圖1；②把繩子拉直，繩子末端在地面上離旗桿底部6米，如圖2．小亮：先在旗桿底端的繩子上打了一個結(jié)，然后舉起繩結(jié)拉到如圖3點D處．（1）請你按小明的方案求出旗桿的高度；（2）已知小亮舉起繩結(jié)離旗桿6.75米遠(yuǎn)，此時繩結(jié)離地面多高？?【變式2-1】（2023春?東港區(qū)校級期中）由于大風(fēng)，山坡上的一棵樹甲被從A點處攔腰折斷，如圖所示，其樹頂端恰好落在另一棵樹乙的根部C處，已知AB＝4米，BC＝13米，兩棵樹的水平距離為12米，求這棵樹原來的高度．【變式2-2】（2021秋?臨渭區(qū)期末）如圖，小旭放風(fēng)箏時，風(fēng)箏線斷了，風(fēng)箏掛在了樹上．他想知道風(fēng)箏距地面的高度．于是他先拉住風(fēng)箏線垂直到地面上，發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線多出1米，然后把風(fēng)箏線沿直線向后拉開5米，發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線末端剛好接觸地面（如圖為示意圖）．請你幫小旭求出風(fēng)箏距離地面的高度AB．【變式2-3】（2022秋?常州期末）數(shù)學(xué)興趣小組要測量旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端A的繩子沿旗桿垂到地面時，測得多出部分BC的長為2m（如圖1），再將繩子拉直（如圖2），測得繩子末端的位置D到旗桿底部B的距離為6m，求旗桿AB的長．【變式2-4】（2022秋?城關(guān)區(qū)期末）如圖所示，小剛想知道學(xué)校的旗桿有多高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了0.8m，當(dāng)他把繩子下端拉開4m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，小剛算了算就知道了旗桿的高度．你知道他是怎樣算出來的嗎？【題型3航海是否有影響問題】【典例3-1】（2023春?黃岡期中）如圖所示，某港口位于東西方向的海岸線上．“遠(yuǎn)航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里．它們離開港口小時后相距30海里．如果知道“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？【典例3-2】（2023春?邢臺期中）如圖，經(jīng)過A村和B村（將A，B村看成直線l上的點）的筆直公路1旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)需要在C處進行爆破．已知C處與A村的距離為900米，C處與B村的距離為1200米，且AC⊥BC．（1）求A，B兩村之間的距離；（2）為了安全起見，爆破點C周圍半徑750米范圍內(nèi)不得進入，在進行爆破時，公路AB段是否有危險而需要封鎖？如果需要，請計算需要封鎖的路段長度；如果不需要，請說明理由．【變式3-1】（2023春?千山區(qū)期中）如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔截，6分鐘后同時到達C處將其攔截．已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，航向為北偏西23°．（1）求甲巡邏艇的航行方向；（2）成功攔截后，甲、乙兩艘巡邏艇同時沿原方向返回且速度不變，3分鐘后甲、乙兩艘巡邏艇相距多少海里？【變式3-2】（2023?灞橋區(qū)校級模擬）如圖，海中有一小島P，它的周圍12海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在M處測得小島P在北偏東60°方向上，航行16海里到N處，這時測得小島P在北偏東30°方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，是否有觸礁危險，并說明理由．【變式3-3】（2022春?天元區(qū)期中）某島C周圍4海里內(nèi)有暗礁，一輪船沿正東方向航行，在A處測得該島在東偏南15°處，繼續(xù)航行10海里到達B處，又測得該島位于東偏南30°處，若該船不改變航向，有無觸礁危險？【變式3-4】（2021?黃州區(qū)校級自主招生）南海諸島自古以來都是中國的領(lǐng)土，4月12日，中央軍委在南海海域隆重舉行海上閱兵，軍委主席習(xí)近平登上長沙艦檢閱海軍艦艇編隊，包括遼寧號航母在內(nèi)的48艘艦艇參加了閱兵儀式．如圖，A、B是兩處海港，其中A在B東偏南30?方向千米處，遼寧號航母從海港A出發(fā)，沿東偏北45?方向，以15千米/小時的速度勻速航行，兩小時后，長沙艦從海港B出發(fā)，沿東偏北15?的方向勻速航行，兩艦恰好同時到達閱兵地點C．（1）長沙艦從海港出發(fā)航行到達閱兵地點用了多少時間？（2）求長沙艦的航行速度．（結(jié)果保留根號）【變式3-5】（2023春?青陽縣期末）在甲村至乙村的公路旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)有一C處需要爆破，已知點C與公路上的?？空続的距離為300米，與公路上另一?？空綛的距離為400米，且CA⊥CB，如圖，為了安全起見，爆破點C周圍半徑250米范圍內(nèi)不得進入，問在進行爆破時，公路AB段是否有危險，是否而需要暫時封鎖？請通過計算進行說明．【變式3-6】（2022春?大方縣期中）如圖第4號臺風(fēng)“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省紹興市境內(nèi)的B處，最大風(fēng)力有9級（23m/s），中心最低氣壓為990百帕，臺風(fēng)中心沿大約東北（BC）方向以25km/h的速度向D移動在距離B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距離AD＝70km，那么臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點？如果在距臺風(fēng)中心70km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風(fēng)破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風(fēng)警報后的幾個小時內(nèi)撤離才可脫離危險？【題型4風(fēng)吹荷花問題】【典例4】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，水池中離岸邊D點4米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是2米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點，則水池的深度AC為多少米．【變式4-1】（2022秋?朝陽區(qū)期末）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm．若這支鉛筆長為18cm，則這只鉛筆在筆筒外面部分長度不可能的是（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm【變式4-2】（2022秋?興平市期末）在平靜的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一陣強風(fēng)吹來把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上離開原來的位置2尺遠(yuǎn)，則這個湖的水深是尺．【變式4-3】（2023春?新化縣期末）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝1m，將它往前推送4m（水平距離BC＝4m）時，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝2m，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長度．【題型5垂美四邊形問題】【典例5】（2022春?潁上縣校級期末）我們定義：對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）如圖1，垂美四邊形ABCD的對角線AC，BD交于O．求證：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接BE，CG，GE．①求證：四邊形BCGE是垂美四邊形；②若AC＝4，AB＝5，求GE的長．【變式5-1】（2023?瀘縣校級三模）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．若AD＝5，BC＝12，則AB2+CD2＝．【變式5-2】（2022秋?臥龍區(qū)校級期末）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O．若AD＝2，BC＝4，則AB2+CD2＝．【變式5-3】（2022秋?達川區(qū)校級月考）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．若AD＝，BC＝3，則AB2+CD2＝23．

專題02勾股定理的經(jīng)典實際應(yīng)用（五大題型）重難點題型歸納【題型1梯子滑落問題】【題型2樹枝旗子折斷問題】【題型3航海是否有影響問題】【題型4風(fēng)吹荷花問題】【題型5垂美四邊形問題】（1）構(gòu)造直角三角形解決問題；（2）垂美四邊形【定義】對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.【結(jié)論】如圖，四邊形ABCD的對角線AC⊥BD，則①AB2＋CD2＝AD2＋BC2.②S四ABCD＝AC·BD【題型1梯子滑落問題】【典例1】（2023春?隨縣期末）如圖，一架長25米的梯子，斜靠在豎直的墻上，這時梯子底端離墻7米．（1）此時梯子頂端離地面多少米？（2）若梯子頂端下滑4米，那么梯子底端將向左滑動多少米？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵AB＝25米，BE＝7米，梯子距離地面的高度AE＝＝24米．答：此時梯子頂端離地面24米；（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距離地面的高度CE＝（24﹣4）＝20米，∴BD+BE＝DE＝＝＝15，∴DB＝15﹣7＝8（米），即下端滑行了8米．答：梯子底端將向左滑動了8米．【變式1-1】（2023春?鄖陽區(qū)期末）如圖，某工人在兩墻AB，CD之間施工（兩墻與地面垂直），架了一架長為2.5m的梯子DE，此時梯子底端E距離墻角C點0.7m，由于E點沒有固定好，向后滑動到墻角B處，使梯子頂端D沿墻下滑了0.4m到F處，求梯子底端E向后滑動的距離BE的長．【答案】梯子底端E向后滑動的距離BE的長為0.8m．【解答】解：由題意得：∠DCE＝90°，BF＝DE＝2.5m，CE＝0.7m，DF＝0.4m，在Rt△DCE中，由勾股定理得：DC＝＝＝2.4（m），∴CF＝DC﹣DF＝2.4﹣0.4＝2（m）在Rt△BCF中，由勾股定理得：BC＝＝＝1.5（m），∴BE＝BC﹣CE＝1.5﹣0.7＝0.8（m），答：梯子底端E向后滑動的距離BE的長為0.8m．【變式1-3】（2022秋?雁塔區(qū)校級期中）如圖，一架13米長的梯子AB斜靠在墻上，剛好梯頂A與地面的距離AO為12米．如果梯子底部水平滑動的距離BB′為3米，求梯頂下滑的距離AA′為多少米？【答案】梯頂下滑的距離AA′為（12﹣）米．【解答】解：在直角三角形AOB中，根據(jù)勾股定理，得：OB＝＝＝5（米），根據(jù)題意，得：OB′＝5+3＝8（米），又∵梯子的長度不變，在Rt△A′OB′中，根據(jù)勾股定理，得：OA′＝＝（米）．則AA′＝（12﹣）米，答：梯頂下滑的距離AA′為（12﹣）米．【變式1-4】（2023春?淮南期末）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米．如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米．則小巷的寬度為（）A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米【答案】C【解答】解：如圖，∠ACB＝∠ACB＝90°，CB＝0.7m，AC＝2.5m，DE＝2m．在Rt△ABC中，AB＝＝＝2.5（m）．∵AB＝BE，∴BE＝2.5（m），∴BD＝＝＝1.5（m），∴CD＝CB+BD＝0.7+1.5＝2.2（m），即小巷的寬度為2.2米．故選：C．【變式1-5】（2023春?廬陽區(qū)校級期中）如圖，梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時BO為7m．如果梯子的頂端A沿墻下滑4m，那么梯子底端B也外移8m，則梯子AB的長為（）A．24 B．25 C．15 D．20【答案】B【解答】解：設(shè)AO＝xm，依題意，得AC＝4，BD＝8，在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理AB2＝AO2+OB2＝x2+72在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理CD2＝CO2+OD2＝（x﹣4）2+（7+8）2，x2+72＝（x﹣4）2+（7+8）2，解得x＝24，∴，故選：B．【變式1-6】（2022秋?黔江區(qū)期末）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離BC為0.7m，梯子頂端到地面的距離AC為2.4m．如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地面的距離A'D為1.5m，則小巷的寬為（）A．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝2.5（m），∴A′B＝AB＝2.5米，在Rt△A′BD中，由勾股定理得：BD＝＝＝2（m），∴CD＝BC+BD＝2+0.7＝2.7（m），即小巷的寬為2.7米，故選：D．【題型2樹枝旗子折斷問題】【典例2-1】（2023春?鶴山市校級期中）在一棵樹的10米高的B處有兩只猴子．一只猴子爬下樹走到離樹20米的池塘的A處．另一只爬到樹頂D后直接躍到A處．距離以直線計算．如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等．則這棵樹高多少米？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，設(shè)樹的高度為x米，因兩只猴子所經(jīng)過的距離相等都為30米．由勾股定理得：x2+202＝[30﹣（x﹣10）]2，解得x＝15m．故這棵樹高15m【典例2-2】（2023春?南寧期中）如圖1，同學(xué)們想測量旗桿的高度．他們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩子的長度未知．小明和小亮同學(xué)應(yīng)用勾股定理分別提出解決這個問題的方案如下：小明：①測量出繩子垂直落地后還剩余1.5米，如圖1；②把繩子拉直，繩子末端在地面上離旗桿底部6米，如圖2．小亮：先在旗桿底端的繩子上打了一個結(jié)，然后舉起繩結(jié)拉到如圖3點D處．（1）請你按小明的方案求出旗桿的高度；（2）已知小亮舉起繩結(jié)離旗桿6.75米遠(yuǎn)，此時繩結(jié)離地面多高？?【答案】（1）11.25米；（2）2.25米．【解答】解：（1）如圖2，設(shè)旗桿的長度為x米，則繩子的長度為（x+1.5）米，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+62＝（x+1.5）2，解得：x＝11.25，故旗桿的高度為11.25米；（2）由題可知，BD＝BC＝11.25米，DE＝6.75米．在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+6.752＝11.252，解得：BE＝9，∴EC＝BC﹣BE＝11.25﹣9＝2.25（米），∴DF＝EC＝2.25米．故繩結(jié)離地面2.25米高．【變式2-1】（2023春?東港區(qū)校級期中）由于大風(fēng)，山坡上的一棵樹甲被從A點處攔腰折斷，如圖所示，其樹頂端恰好落在另一棵樹乙的根部C處，已知AB＝4米，BC＝13米，兩棵樹的水平距離為12米，求這棵樹原來的高度．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖所示：延長AB，過點C作CD⊥AB延長線于點D，由題意可得：BC＝13m，DC＝12m，故BD＝＝5（m），即AD＝9m，則AC＝＝＝15（m），故AC+AB＝15+4＝19（m）．答：這棵樹原來的高度是19米．【變式2-2】（2021秋?臨渭區(qū)期末）如圖，小旭放風(fēng)箏時，風(fēng)箏線斷了，風(fēng)箏掛在了樹上．他想知道風(fēng)箏距地面的高度．于是他先拉住風(fēng)箏線垂直到地面上，發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線多出1米，然后把風(fēng)箏線沿直線向后拉開5米，發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線末端剛好接觸地面（如圖為示意圖）．請你幫小旭求出風(fēng)箏距離地面的高度AB．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)AB＝x，則AC＝x+1，由圖可得，∠ABC＝90°，BC＝5，∴Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即x2+52＝（x+1）2，解得x＝12，答：風(fēng)箏距離地面的高度AB為12米．【變式2-3】（2022秋?常州期末）數(shù)學(xué)興趣小組要測量旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端A的繩子沿旗桿垂到地面時，測得多出部分BC的長為2m（如圖1），再將繩子拉直（如圖2），測得繩子末端的位置D到旗桿底部B的距離為6m，求旗桿AB的長．【答案】8m．【解答】解：設(shè)旗桿AB的長為xm．根據(jù)題意，得∠ABD＝90°，BD＝6m，AD＝（x+2）m．在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∴AB2+BD2＝AD2．∴x2+62＝（x+2）2．解方程，得x＝8．答：旗桿AB的長為8m．【變式2-4】（2022秋?城關(guān)區(qū)期末）如圖所示，小剛想知道學(xué)校的旗桿有多高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了0.8m，當(dāng)他把繩子下端拉開4m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，小剛算了算就知道了旗桿的高度．你知道他是怎樣算出來的嗎？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)旗桿高為xm，那么繩長為（x+0.8）m，由勾股定理得x2+42＝（x+0.8）2，解得x＝9.6．答：旗桿的高度為9.6m．【題型3航海是否有影響問題】【典例3-1】（2023春?黃岡期中）如圖所示，某港口位于東西方向的海岸線上．“遠(yuǎn)航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里．它們離開港口小時后相距30海里．如果知道“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)題意，得PQ＝16×1.5＝24（海里），PR＝12×1.5＝18（海里），QR＝30（海里），∵242+182＝302，即PQ2+PR2＝QR2，∴∠QPR＝90°．由“遠(yuǎn)航號”沿東北方向航行可知，∠QPS＝45°，則∠SPR＝45°，即“海天”號沿西北方向航行．【典例3-2】（2023春?邢臺期中）如圖，經(jīng)過A村和B村（將A，B村看成直線l上的點）的筆直公路1旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)需要在C處進行爆破．已知C處與A村的距離為900米，C處與B村的距離為1200米，且AC⊥BC．（1）求A，B兩村之間的距離；（2）為了安全起見，爆破點C周圍半徑750米范圍內(nèi)不得進入，在進行爆破時，公路AB段是否有危險而需要封鎖？如果需要，請計算需要封鎖的路段長度；如果不需要，請說明理由．【答案】（1）A，B兩村之間的距離為1500米；（2）AB段公路需要封鎖，需要封鎖的路段長度為420米．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝900米，BC＝1200米，∴AB＝＝＝1500（米）．答：A，B兩村之間的距離為1500米；（2）公路AB有危險而需要封鎖．理由如下：如圖，過C作CD⊥AB于D．以點C為圓心，750米為半徑畫弧，交AB于點E，F(xiàn)，連接CE，CF，∵S△ABC＝AB?CD＝BC?AC，∴CD＝＝＝720（米）．由于720米＜750米，故有危險，因此AB段公路需要封鎖．∴EC＝FC＝750米，∴ED＝＝210（米），故EF＝420米，則需要封鎖的路段長度為420米．【變式3-1】（2023春?千山區(qū)期中）如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔截，6分鐘后同時到達C處將其攔截．已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，航向為北偏西23°．（1）求甲巡邏艇的航行方向；（2）成功攔截后，甲、乙兩艘巡邏艇同時沿原方向返回且速度不變，3分鐘后甲、乙兩艘巡邏艇相距多少海里？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由題意得：∠CBA＝90°﹣23°＝67°，AC＝120×＝12（海里），BC＝50×＝5（海里），∵AB＝13（海里），∵AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∵∠CBA＝67°，∴∠CAB＝23°，∴甲的航向為北偏東67°；（2）甲巡邏船航行3分鐘的路程為：120×＝6（海里），乙巡邏船航行3分鐘的路程為：50×＝2.5（海里），3分鐘后，甲乙兩巡邏船相距為：＝6.5（海里）．【變式3-2】（2023?灞橋區(qū)校級模擬）如圖，海中有一小島P，它的周圍12海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在M處測得小島P在北偏東60°方向上，航行16海里到N處，這時測得小島P在北偏東30°方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，是否有觸礁危險，并說明理由．【答案】漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，不會有觸礁危險，理由見解析．【解答】解：漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，不會有觸礁危險，理由如下：過點P作PA⊥MN，交MN的延長線于點A，由題意得：∠PMA＝90°﹣60°＝30°，∠PNA＝90°﹣30°＝60°，∴∠APN＝90°﹣∠PNA＝30°，設(shè)AN＝x海里，則PN＝2x海里，∴AP＝＝＝x（海里），AM＝MN+AN＝（16+x）海里，∵∠PMA＝30°，∴PM＝2AP＝2x（海里），在Rt△MAP中，PM2＝AP2+AM2，即（2x）2＝（x）2+（x+16）2，解得：x1＝8，x2＝﹣4（不合題意，舍去）；∴AP＝x＝8（海里），∵（8）2＝192，122＝144，∴8＞12，∴漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，不會有觸礁危險．【變式3-3】（2022春?天元區(qū)期中）某島C周圍4海里內(nèi)有暗礁，一輪船沿正東方向航行，在A處測得該島在東偏南15°處，繼續(xù)航行10海里到達B處，又測得該島位于東偏南30°處，若該船不改變航向，有無觸礁危險？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：作CD⊥AB于D，則Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，∴BC＝2CD．又∵∠CAB＝15°，∴∠ACB＝15°．∴AB＝BC＝10．∴CD＝5＞4．故該輪船沒有觸礁的危險．【變式3-4】（2021?黃州區(qū)校級自主招生）南海諸島自古以來都是中國的領(lǐng)土，4月12日，中央軍委在南海海域隆重舉行海上閱兵，軍委主席習(xí)近平登上長沙艦檢閱海軍艦艇編隊，包括遼寧號航母在內(nèi)的48艘艦艇參加了閱兵儀式．如圖，A、B是兩處海港，其中A在B東偏南30?方向千米處，遼寧號航母從海港A出發(fā)，沿東偏北45?方向，以15千米/小時的速度勻速航行，兩小時后，長沙艦從海港B出發(fā)，沿東偏北15?的方向勻速航行，兩艦恰好同時到達閱兵地點C．（1）長沙艦從海港出發(fā)航行到達閱兵地點用了多少時間？（2）求長沙艦的航行速度．（結(jié)果保留根號）【答案】（1）2；（2）（15+15）千米/小時．【解答】解：（1）由題意得：AB＝30千米，∠ABC＝30°+15°＝45°，∠BAC＝（90°﹣30°）+45°＝105°，∴∠C＝180°﹣45°﹣105°＝30°，過點A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ABD中，AD＝BD＝×30＝30（千米），在Rt△ADC中，∠C＝30°，∴AC＝2AD＝60，CD＝AD＝30（千米），∴BC＝（30+30）千米，∴遼寧號航母從A到C的時間為60÷15＝4（小時），則長沙艦從B到C所用時間為4﹣2＝2（小時），答：長沙艦從海港出發(fā)航行到達閱兵地點用了2小時．（2）長沙艦的速度為（30+30）÷2＝（15+15）千米/小時，答：長沙艦的航行速度為（15+15）千米/小時．【變式3-5】（2023春?青陽縣期末）在甲村至乙村的公路旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)有一C處需要爆破，已知點C與公路上的?？空続的距離為300米，與公路上另一?？空綛的距離為400米，且CA⊥CB，如圖，為了安全起見，爆破點C周圍半徑250米范圍內(nèi)不得進入，問在進行爆破時，公路AB段是否有危險，是否而需要暫時封鎖？請通過計算進行說明．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，過C作CD⊥AB于D，∵BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，∴根據(jù)勾股定理得AB＝500米，∵AB?CD＝BC?AC，∴CD＝240米．∵240米＜250米，故有危險，因此AB段公路需要暫時封鎖．【變式3-6】（2022春?大方縣期中）如圖第4號臺風(fēng)“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省紹興市境內(nèi)的B處，最大風(fēng)力有9級（23m/s），中心最低氣壓為990百帕，臺風(fēng)中心沿大約東北（BC）方向以25km/h的速度向D移動在距離B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距離AD＝70km，那么臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點？如果在距臺風(fēng)中心70km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風(fēng)破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風(fēng)警報后的幾個小時內(nèi)撤離才可脫離危險？【答案】臺風(fēng)中心經(jīng)過9.6小時從B移動到D點；游人在6.8小時內(nèi)撤離才可脫離危險．【解答】解：在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，得BD＝＝＝240（km），∴240÷25＝9.6（小時），則臺風(fēng)中心經(jīng)過9.6小時從B移動到D點；如圖，∵距臺風(fēng)中心70km的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到不同程度的影響，∴人們要在臺風(fēng)中心到達E點之前撤離，∵BE＝BD﹣DE＝240﹣70＝170（km），∴170÷25＝6.8（小時），答：游人在6.8小時內(nèi)撤離才可脫離危險．【題型4風(fēng)吹荷花問題】【典例4】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，水池中離岸邊D點4米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是2米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點，則水池的深度AC為多少米．【答案】3米．【解答】解：設(shè)水池的深度為x米，由題意得：x2+42＝（x+2）2，解得：x＝3．答：水池的深度為3米．【變式4-1】（2022秋?朝陽區(qū)期末）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm．若這支鉛筆長為18cm，則這只鉛筆在筆筒外面部分長度不可能的是（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】D【解答】解：根據(jù)題意可得圖形：AB＝12cm，BC＝9cm，在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．則這只鉛筆在筆筒外面部分長度在3cm～6cm之間．觀察選項，只有選項D符合題意．故選：D．【變式4-2】（2022秋?興平市期末）在平靜的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一陣強風(fēng)吹來把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上離開原來的位置2尺遠(yuǎn)，則這個湖的水深是3.75尺．【答案】3.75．【解答】解：若設(shè)湖水的深度x尺．則荷花的長是（x+0.5）米．在直角三角形中，根據(jù)勾股定理，得：（x+0.5）2＝x2+22，解之得：x＝3.75，∴湖水的深度為3.75尺．故答案為：3.75．【變式4-3】（2023春?新化縣期末）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝1m，將它往前推送4m（水平距離BC＝4m）時，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝2m，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長度．【答案】8.5m．【解答】解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，設(shè)秋千的繩索長為xm，則AC＝（x﹣1）m，故x2＝42+（x﹣1）2，解得：x＝8.5，答：繩索AD的長度是8.5m．【題型5垂美四邊形問題】【典例5】（2022春?潁上縣校級期末）我們定義：對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）如圖1，垂美四邊形ABCD的對角線AC，BD交于O．求證：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接BE，CG，GE．