福建省福州市部分高中2024-2025學年高二上學期開學聯(lián)考數(shù)學試題（解析）

福建省福州市2024-2025學年上學期部分區(qū)縣高二開學聯(lián)考數(shù)學試卷【滿分：150】一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.1.已知函數(shù)，若對任意的實數(shù)，在區(qū)間上的值域均為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)余弦型函數(shù)的值域與周期性可得解.【詳解】由，函數(shù)值域，又對任意的實數(shù)，在區(qū)間上的值域均為，則，解得，故選：D.2.已知復數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)共軛復數(shù)和除法法則進行計算，得到答案.【詳解】因為，所以，所以．故選：A．3.在中，角的對邊分別為，若，則為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形【答案】B【解析】【分析】利用誘導公式及正弦定理將角化邊即可判斷.【詳解】因為，又，即，由正弦定理可得，即，所以為直角三角形且為直角.故選：B4.在三棱錐中，，，E，F(xiàn)分別是，的中點，，則直線與所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先作出輔助線，得到或其補角為線與所成的角，求出，結(jié)合，利用余弦定理求出余弦值.【詳解】取的中點，連接，因為E，F(xiàn)分別是，的中點，所以，故或其補角為直線與所成的角，，又，故，故直線與所成的角的余弦值為.故選：A5.已知平面向量滿足，則的最大值為（）A.2 B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量加減法的平行四邊形法則作圖，問題轉(zhuǎn)化為求的最值，利用外接圓數(shù)形結(jié)合可求最值.【詳解】設，如圖，由題意，即在平行四邊形中，，，求的最大值.延長至，使，則，由正弦定理，三點所在外接圓的直徑，所以，設圓心為，如圖，所以可知，又，所以由余弦定理可得，則由圖象可知，故選：C6.已知函數(shù)，若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若關于的方程在上有且僅有兩個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象平移的原則得的表達式，根據(jù)的范圍得出的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)列出不等式即可得結(jié)果.【詳解】將函數(shù)向左平移個單位長度后得到函數(shù)，即，∵，∴，∵在上有且僅有兩個不相等的實根，∴，解得，即實數(shù)的取值范圍是，故選：B.7.如圖，正方體中，點E、F、G、H分別為棱的中點，點M為棱上的動點，則下列說法中正確的個數(shù)是（）①AM與異面；②平面AEM；③平面AEM截正方體所得的截面圖形始終是四邊形；④平面平面.A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)逐項分析.【詳解】對于①，連接，四邊形是平行四邊形，平面，平面，平面，平面，又，所以與AM是異面直線，正確；對于②，連接EH，則四邊形是平行四邊形，，又平面AEM，平面AEM，平面AEM，正確；對于③，取的中點T，當M與T重合時，連接，則有四點共面，即平面AEM截正方體的圖形是四邊形，如下圖：當M點在線段上時，在平面內(nèi)作直線，交的延長線于U，交于V，連接UM，四點共面，平面，，即平面AEM截正方體的圖形是五邊形，如下圖：錯誤；對于④，在正方形ABCD內(nèi)，所以，又平面ABCD，平面ABCD，，平面，平面，平面AEM，平面平面，正確；故選：C.【點睛】難點點睛：本題的難點在于當M點移動時，平面AEM與正方體的交面需要在平面內(nèi)尋找到與直線EM平行的直線AV，從而確定交面的形狀.8.已知為雙曲線的左焦點，是的右頂點，點在過點且斜率為的直線上，且線段的垂直平分線經(jīng)過點，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意，，由兩角差的正切公式計算可得，根據(jù)正弦定理建立a與c的方程，結(jié)合離心率的定義即可求解.【詳解】因為且的垂直平分線經(jīng)過點A，所以為等腰三角形且，在中，，由，得，解得，由正弦定理可知：，即，有，整理得，即，解得.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是根據(jù)和，結(jié)合正弦定理建立關于a與c的方程，解方程即可.二、選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得補部分分，有選錯的得0分.9.已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），復數(shù)的共軛復數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（）A.在復平面內(nèi)復數(shù)所對應的點位于第四象限 B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的乘方以及除法運算化簡復數(shù)，即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】,在復平面內(nèi)復數(shù)所對應的點為，位于第四象限，A正確，，B錯誤，，C正確，，故D錯誤，故選：AC10.已知空間中三點，，，則下列說法正確的是（）A.與是共線向量 B.與同向的單位向量是C.和夾角的余弦值是 D.平面的一個法向量是【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)向量共線定理可判斷A；根據(jù)單位向量的概念可判斷B；由向量夾角的余弦公式可判斷C；根據(jù)法向量的特征可判斷D.【詳解】因為，，，所以，，，對于A：若存在實數(shù)使得，則，顯然方程組無解，所以不存在使得，即與不共線，故A錯誤；對于B：因為，所以與同向的單位向量，故B正確；對于C：，故C錯誤；對于D：設平面的法向量，則，取，得，故D正確；故選：BD11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象的對稱軸方程為直線C.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為D.若對于任意，都有成立，實數(shù)的取值范圍為.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定的圖象，結(jié)合五點法作圖，求出，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項分析判斷即得.【詳解】對于A，函數(shù)的周期，，解得，A正確；對于B，由，得，而，則，即，由，解得，函數(shù)的圖象的對稱軸方程為直線，B正確；對于C，由，得，因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，C錯誤；對于D，當時，，，即，由，顯然，，因此，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知角，為銳角，且，，則角______．【答案】【解析】【分析】由于，由兩角差的正切公式求解.【詳解】由為銳角，，且，則，，所以，又為銳角，所以.故答案為：13.已知，是不共線的向量，，，，若A，B，C三點共線，則實數(shù)，滿足__________．【答案】.【解析】分析】方法1：運用三點共線，再運用向量相等列方程消去m可得結(jié)果.方法2：先計算、，再運用A，B，C三點共線則列方程可得結(jié)果.【詳解】方法1：因為A，B，C三點共線，所以設，即：，所以，消去m得：.方法2：，，因為A，B，C三點共線，所以，故，所以．故答案為：.14.若曲線與圓恰有4個公共點，則取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線和圓有兩個公共點可列出不等式，從而求出的取值范圍.【詳解】因為曲線與圓恰有4個公共點，所以直線，均與圓相交，且兩直線的交點不在該圓上，則有,解得．故答案為:.四、解答題：本題共5分，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知向量滿足．（1）若，求||的值；（2）若，求的值．【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）將兩邊平方化簡求解即可；（2）將兩邊平方化簡得到，根據(jù)求解即可【小問1詳解】∵∴，∴，即【小問2詳解】，∴，即．16.已知圓過點，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）設點在圓上運動，點，記為線段的中點，求的軌跡方程；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求垂直平分線方程為，與的交點即圓心，圓心到點的距離即為半徑，即可得圓的標準方程.（2）由為線段的中點得到坐標與坐標的關系，代入圓方程可得軌跡方程.【小問1詳解】，的中點坐標為，直線的斜率為，故線段的垂直平分線方程為，即，聯(lián)立得，即圓的圓心為，半徑為，故圓的方程為【小問2詳解】設，，因為線段的中點，所以，則，因點在圓上運動，所以，則，即的軌跡方程為.17.已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）應用同角三角函數(shù)關系求值再根據(jù)角的范圍判斷符號即可；（2）先根據(jù)同角三角函數(shù)關系求值再應用誘導公式求值.【小問1詳解】因為，所以，所以，即.因為，則，所以，，因為，所以.【小問2詳解】由解得，，所以；所以.18.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角的對邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】詳見解析【解析】【分析】方法一：由題意結(jié)合所給的條件，利用正弦定理角化邊，得到a,b的比例關系，根據(jù)比例關系，設出長度長度，由余弦定理得到的長度，根據(jù)選擇的條件進行分析判斷和求解.【詳解】［方法一］【最優(yōu)解】：余弦定理由可得：，不妨設，則：，即.若選擇條件①：據(jù)此可得：，，此時.若選擇條件②：據(jù)此可得：，則：，此時：，則：.若選擇條件③：可得，，與條件矛盾，則問題中的三角形不存在.［方法二］：正弦定理由，得．由，得，即，得．由于，得．所以．若選擇條件①：由，得，得．解得．所以，選條件①時問題中的三角形存在，此時．若選擇條件②：由，得，解得，則．由，得，得．所以，選條件②時問題中三角形存在，此時．若選擇條件③：由于與矛盾，所以，問題中的三角形不存在．【整體點評】方法一：根據(jù)正弦定理以及余弦定理可得的關系，再根據(jù)選擇的條件即可解出，是本題的通性通法,也是最優(yōu)解；方法二：利用內(nèi)角和定理以及兩角差的正弦公式，消去角，可求出角，從而可得，再根據(jù)選擇條件即可解出．19.如圖是函數(shù)圖象的一部分．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）記方程在上的根從小到大依次為，若，試求與的值．【答案】（1）（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，（3），【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可得，由周期求出，再根據(jù)函數(shù)過點求出，即可得到函數(shù)解析式；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（3）依題意可得，由的取值范圍求出的取值范圍，令，，即，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象及對稱性計算可得.【小問1詳解】由圖可得，函數(shù)的最小正周期為，又，則，所以，又函數(shù)