專題10類比、拓展探究題-（全國通 用）（原卷版）

專題10類比、拓展探究題考向1圖形旋轉(zhuǎn)引起的探究【母題來源】2021年中考日照卷【母題題文】問題背景：如圖1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，點E是邊AB的中點，過點E作EF⊥AB交BD于點F．實驗探究：（1）在一次數(shù)學活動中，小王同學將圖1中的△BEF繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，如圖2所示，得到結(jié)論：①；②直線AE與DF所夾銳角的度數(shù)為30°．（2）小王同學繼續(xù)將△BEF繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置．請問探究（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．拓展延伸：在以上探究中，當△BEF旋轉(zhuǎn)至D、E、F三點共線時，則△ADE的面積為QUOTEQUOTE．【試題解析】解：（1）如圖1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，∴cos∠ABD，如圖2，設(shè)AB與DF交于點O，AE與DF交于點H，∵△BEF繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，∴∠DBF＝∠ABE＝90°，∴△FBD∽△EBA，∴，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOB＝∠AOF，∴∠DBA＝∠AHD＝30°，∴直線AE與DF所夾銳角的度數(shù)為30°，故答案為：，30°；（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖3，設(shè)AE與BD交于點O，AE與DF交于點H，∵將△BEF繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，∴∠ABE＝∠DBF，又∵，∴△ABE∽△DBF，∴，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOH＝∠AOB，∴∠ABD＝∠AHD＝30°，∴直線AE與DF所夾銳角的度數(shù)為30°．拓展延伸：如圖4，當點E在AB的上方時，過點D作DG⊥AE于G，∵AB＝2，∠ABD＝30°，點E是邊AB的中點，∠DAB＝90°，∴BE，AD＝2，DB＝4，∵∠EBF＝30°，EF⊥BE，∴EF＝1，∵D、E、F三點共線，∴∠DEB＝∠BEF＝90°，∴DE，∵∠DEA＝30°，∴DGDE，由（2）可得：，∴，∴AE，∴△ADE的面積AE×DG；如圖5，當點E在AB的下方時，過點D作DG⊥AE，交EA的延長線于G，同理可求：△ADE的面積AE×DG；故答案為：或．【命題意圖】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；圖形的相似；推理能力。【命題方向】本題是幾何變換綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵，一般為壓軸題型?！镜梅忠c】類比、拓展探究題的解題通法:1.類比、拓展探究題一般會有三問,每一問都是對前一問的升華和知識遷移應用,解題的一般思路:(1)第一問通過操作發(fā)現(xiàn),找到解決問題的思路和方法;(2)第二問通常是在第一問的基礎(chǔ)上,改變其中的一個條件,只需觀察改變的條件,即可利用同樣的思路解決問題;(3)第三問通常將原題中的特殊情況推廣到一般情況,利用前兩問的做題思路進行求解.2.關(guān)于探究兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系:(1)兩條線段相等,通常通過特殊四邊形和三角形全等來證明.(2)兩條線段有倍數(shù)關(guān)系,通常通過構(gòu)造基本圖形模型來證明:①利用三角形的中位線或含有30°角的直角三角形證明2倍關(guān)系;②利用等腰直角三角形證明倍關(guān)系;③利用含有30°角的直角三角形證明倍關(guān)系.3.關(guān)于探究兩條線段之間的位置關(guān)系:(1)平行,通常用以下方法進行證明:①平行線判定定理;②平行四邊形對邊平行;③三角形中位線的性質(zhì).(2)垂直,通常用以下方法進行證明:①兩線段所在直線夾角為90°;②兩線段是矩形的鄰邊;③兩線段是菱形的對角線;④勾股定理的逆定理;⑤等腰三角形三線合一的性質(zhì).考向2動點引起的探究【母題來源】2021年中考重慶卷【母題題文】在等邊△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足為D，點E為AB邊上一點，點F為直線BD上一點，連接EF．（1）將線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG，連接FG．①如圖1，當點E與點B重合，且GF的延長線過點C時，連接DG，求線段DG的長；②如圖2，點E不與點A，B重合，GF的延長線交BC邊于點H，連接EH，求證：BE+BHBF；（2）如圖3，當點E為AB中點時，點M為BE中點，點N在邊AC上，且DN＝2NC，點F從BD中點Q沿射線QD運動，將線段EF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EP，連接FP，當NPMP最小時，直接寫出△DPN的面積．【試題解析】（1）①過D作DH⊥GC于H，如圖：∵線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG，點E與點B重合，且GF的延長線過點C，∴BG＝BF，∠FBG＝60°，∴△BGF是等邊三角形，∴∠BFG＝∠DFC＝60°，BF＝GF，∵等邊△ABC，AB＝6，BD⊥AC，∴∠DCF＝180°﹣∠BDC﹣∠DFC＝30°，∠DBC∠ABC＝30°，CDACAB＝3，∴∠BCG＝∠ACB﹣∠DCF＝30°，∴∠BCG＝∠DBC，∴BF＝CF，∴GF＝CF，Rt△FDC中，CF2，∴GF＝2，Rt△CDH中，DH＝CD?sin30°，CH＝CD?cos30°，∴FH＝CF﹣CH，∴GH＝GF+FH，Rt△GHD中，DG；②過E作EP⊥AB交BD于P，過H作MH⊥BC交BD于M，連接PG，作BP中點N，連接EN，如圖：∵EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG，∴△EGF是等邊三角形，∴∠EFG＝∠EGF＝∠GEF＝60°，∠EFH＝120°，EF＝GF，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠ABC+∠EFH＝180°，∴B、E、F、H共圓，∴∠FBH＝∠FEH，而△ABC是等邊三角形，BD⊥AC，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，即∠FBH＝30°，∴∠FEH＝30°，∴∠FHE＝180°﹣∠EFH﹣∠FEH＝30°，∴EF＝HF＝GF①，∵EP⊥AB，∠ABD＝30°，∴∠EPB＝60°，∠EPF＝120°，∴∠EPF+∠EGF＝180°，∴E、P、F、G共圓，∴∠GPF＝∠GEF＝60°，∵MH⊥BC，∠DBC＝30°，∴∠BMH＝60°，∴∠BMH＝∠GPF②，而∠GFP＝∠HFM③，由①②③得△GFP≌△HFM（AAS），∴PF＝FM，∵EP⊥AB，BP中點N，∠ABD＝30°，∴EPBP＝BN＝NP，∴PF+NP＝FM+BN，∴NFBM，Rt△MHB中，MHBM，∴NF＝MH，∴NF+BN＝MH+EP，即BF＝MH+EP，Rt△BEP中，EP＝BE?tan30°BE，Rt△MHB中，MH＝BH?tan30°BH，∴BFBEBH，∴BE+BHBF；（2）以M為頂點，MP為一邊，作∠PML＝30°，ML交BD于G，過P作PH⊥ML于H，設(shè)MP交BD于K，如圖：Rt△PMH中，HPMP，∴NPMP最小即是NP+HP最小，此時N、P、H共線，∵將線段EF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EP，∴F在射線QF上運動，則P在射線MP上運動，根據(jù)“瓜豆原理”，F(xiàn)為主動點，P是從動點，E為定點，∠FEP＝60°，則F、P軌跡的夾角∠QKP＝∠FEP＝60°，∴∠BKM＝60°，∵∠ABD＝30°，∴∠BMK＝90°，∵∠PML＝30°，∴∠BML＝60°，∴∠BML＝∠A，∴ML∥AC，∴∠HNA＝180°﹣∠PHM＝90°，而BD⊥AC，∴∠BDC＝∠HNA＝∠PHM＝90°，∴四邊形GHND是矩形，∴DN＝GH，∵等邊△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，∴CD＝3，又DN＝2NC，∴DN＝GH＝2，∵等邊△ABC中，AB＝6，點E為AB中點時，點M為BE中點，∴BM，BD＝AB?sinA＝6×sin60°＝3，Rt△BGM中，MGBM，BG＝BM?cos30°，∴MH＝MG+GH，GD＝BD﹣BG，Rt△MHP中，HP＝MH?tan30°，∴PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP，∴S△DPNPN?DN．【命題意圖】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；推理能力；模型思想；應用意識【命題方向】本題考查等邊三角形性質(zhì)及應用，涉及旋轉(zhuǎn)變換、解直角三角形、三角形全等的判定及性質(zhì)、矩形的判定及性質(zhì)等知識，難度較大，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線，一般為壓軸位置．考向3圖形變化引起的探究【母題來源】2021年中考赤峰卷【母題題文】數(shù)學課上，有這樣一道探究題．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝m，BC＝n，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），點P為平面內(nèi)不與點A、C重合的任意一點，連接CP，將線段CP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)α，得線段PD，連接CD、AP點E、F分別為BC、CD的中點，設(shè)直線AP與直線EF相交所成的較小角為β，探究的值和β的度數(shù)與m、n、α的關(guān)系．請你參與學習小組的探究過程，并完成以下任務：（1）填空：【問題發(fā)現(xiàn)】小明研究了α＝60°時，如圖1，求出了的值和β的度數(shù)分別為，β＝；小紅研究了α＝90°時，如圖2，求出了的值和β的度數(shù)分別為，β＝；【類比探究】他們又共同研究了α＝120°時，如圖3，也求出了的值和β的度數(shù)；【歸納總結(jié)】最后他們終于共同探究得出規(guī)律：（用含m、n的式子表示）；β＝（用含α的式子表示）．（2）求出α＝120°時的值和β的度數(shù)．【試題解析】（1）如圖1，連接AE，PF，延長EF、AP交于點Q，當α＝60°時，△ABC和△PDC都是等邊三角形，∴∠PCD＝∠ACB＝60°，PC＝CD，AC＝CB，∵F、E分別是CD、BC的中點，∴，，∴，又∵∠ACP＝∠ECF，∴△ACP∽△ECF，∴，∠CEF＝∠CAP，∴∠Q＝β＝∠ACB＝60°，當α＝90°時，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，∴∠PCD＝∠ACB＝45°，PCCD，ACCB，∵F、E分別是CD、BC的中點，∴，，∴，又∵∠ACP＝∠ECF，∴△ACP∽△ECF，∴，∠CEF＝∠CAP，∴∠Q＝β＝∠ACB＝45°，由此，可歸納出，β＝∠ACB；（2）當α＝120°，連接AE，PF，延長EF、AP交于點Q，∵AB＝AC，E為BC的中點，∴AE⊥BC，∠CAE＝60°∴sin60°，同理可得：，∴，∴，又∵∠ECF＝∠ACP，∴△PCA∽△FCE，∴，∠CEF＝∠CAP，∴∠Q＝β＝∠ACB＝30°．【命題意圖】圖形的相似；模型思想．【命題方向】考查學生的探究能力，綜合性較強，一般為壓軸題.【得分要點】本題主要考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，通過解決本題感受到：圖形在變化但解決問題的方法不變，體會“變中不變”的思想．1．（2021?范縣模擬）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D為△ABC內(nèi)一點，將△CAD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△CBE，點A，D的對應點分別為點B，E．（1）如圖1，若A，D，E三點在同一直線上，則∠CDE＝（用含α的代數(shù)式表示）；（2）如圖2，若A，D，E三點在同一直線上，α＝60°，過點C作CF⊥AE于點F，然后探究線段CF，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）圖3中，若CA＝2，CD＝2，將△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)，當時，△CAD的面積最大，最大面積是．2．（2021?宛城區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，過A作AD⊥BC于點D，點E為直線AD上一動點，把線段CE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)α，得到線段EF，連接FC、FB，直線AD與BF相交于點G．（1）[發(fā)現(xiàn)]如圖1，當α＝60°時，填空：①的值為；②∠AGB的度數(shù)為；（2）[探究]如圖2，當α＝120°時，請寫出的值及∠AGB的度數(shù)，并就圖2的情形給出證明；（3）[應用]如圖3，當α＝90°時，若AB＝2，∠ACE＝15°，請直接寫出△DFG的面積．3．（2021?南關(guān)區(qū)校級一模）【教材呈現(xiàn)】華師版九年級上朋數(shù)學教材第77頁的部分內(nèi)容：如圖1，在△ABC中，點D、E分別是AB，AC的中點，可以猜想：DE∥BC且DEBC．請根據(jù)教材內(nèi)容，結(jié)合圖1，寫出證明過程．【結(jié)論應用】如圖2，在△ABC中AD垂直于∠ABC的平分線BE于點E，且交BC邊于點D，點F為AC的中點．若AB＝5，BC＝9，求EF的長．【拓展廷仲】如圖3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3，D為AC中點，將AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度α（0°＜α＜360°），得到線段AD1，連結(jié)CD1，取CD1的中點E，連結(jié)BE．則△BEC面積的最大值為．4．（2021?市南區(qū)校級二模）如圖，等腰三角形△ABC的腰長AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，動點P從B出發(fā)沿BC向C運動，速度為2cm/s．動點Q從C出發(fā)沿CA向A運動，速度為1cm/s，當一個點到達終點時兩個點同時停止運動．點P'是點P關(guān)于直線AC的對稱點，連接PP′和P′Q，P′P和AC相交于點E．設(shè)運動時間為t秒．（1）若當t的值是多少時，P'P恰好經(jīng)過點A？（2）設(shè)△P′PQ的面積為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式（0＜t≤4）；（3）是否存在某一時刻t，使PQ平分∠P′PC？若存在，求出相應的t值，若不存在，請說明理由．（4）是否存在某一時刻t，使點Q在PC的垂直平分線上？若存在，求出相應的t值，若不存在，請說明理由．5．（2021?朝陽二模）如圖：△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，經(jīng)過點A的直線MN∥BC，D是直線MN上的一個動點，射線DB繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°交直線AC于點E．（1）若∠ABC＝45°．①如圖1，當點E在線段AC上時，直接寫出線段AB，AE，AD之間的數(shù)量關(guān)系，不用證明；②如圖2，當點E在線段AC的延長線上時，①中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明：若不成立，請寫出正確結(jié)論，并證明．（2）如圖3，若∠ABC＝60°，BC＝8，AE＝2，其他條件不變，直接寫出AD的長．6．（2021?尋烏縣模擬）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，點A關(guān)于直線BC的對稱點為A′，連接A′B，點P為直線BC上的動點（不與點B重合），連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段PD，連接A′D，BD．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，當點D在直線BC上時，線段BP與A′D的數(shù)量關(guān)系為，∠DA′B＝；【拓展探究】（2）如圖2，當點P在BC的延長線上時，（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；【問題解決】（3）當∠BDA′＝30°時，求線段AP的長度．7．（2021?太原二模）綜合與實踐問題背景數(shù)學小組在一次課外學習交流時，組內(nèi)一同學提出如下問題：在△ABC中，∠ACB＝90°，D為BC邊上一點，但不與點B，點C重合，過點D作DE⊥AB于點E．連接AD，M為AD的中點，連接EM，CM．觀察發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，EM與CM之間的數(shù)量關(guān)系是EM＝CM；思考分享（2）如圖2，將△BDE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論還成立，請證明．小明是這樣思考的：延長DE至點D'，使得ED′＝DE，連接AD′運用三角形中位線定理，…，按照他的思路或采用其他方法證明；探究計算（3）若∠ABC＝30°，AC＝4，DE＝2，在△BDE繞點B旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當直線DE經(jīng)過點A時，線段AD的長為．8．（2021?重慶模擬）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，以正方形的邊長BC為斜邊在正方形內(nèi)作Rt△BEC，∠BEC＝90°．（1）求證：BE﹣CEOE；（2）若CE＝3，BE＝4，①△OBE的面積為（直接寫出結(jié)果）；②點P為BC邊上的動點，則△OPE周長的最小值為（直接寫出結(jié)果）．9．（2021?環(huán)翠區(qū)模擬）在△ABC中，AB＝AC，點P在平面內(nèi)，連接AP并將線段AP繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)與∠BAC相等的角度，得到線段AQ，連接BQ．（1）發(fā)現(xiàn)問題如圖1，如果點P是BC邊上任意一點，則線段BQ和線段PC的數(shù)量關(guān)系是BQ＝PC；（2）類比探究如圖2，如果點P為平面內(nèi)任意一點，前面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．請僅以圖2所示的位置關(guān)系加以證明；（3）遷移應用如圖3，在△ABC中，AC＝2，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，P是線段BC上的任意一點．連接AP，將線段AP繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到線段AQ，連接BQ，試求線段BQ長度的最小值．10．（2021?寧波