滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)知識(shí)總結(jié)

滬科版八級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)知識(shí)總結(jié)第十六單元二次根式二次根式知識(shí)點(diǎn)：知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開(kāi)放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒(méi)有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知識(shí)點(diǎn)二：取值范圍1.二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a≧0時(shí)，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開(kāi)方數(shù)大于或等于零即可。2.二次根式無(wú)意義的條件：因負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a﹤0時(shí)，沒(méi)有意義。知識(shí)點(diǎn)三：二次根式（）的非負(fù)性（）表示a的算術(shù)平方根，也就是說(shuō)，（）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即0（）。注：因?yàn)槎胃剑ǎ┍硎綼的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，所以非負(fù)數(shù)（）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即0（），這個(gè)性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對(duì)值、偶次方類(lèi)似。這個(gè)性質(zhì)在解答題目時(shí)應(yīng)用較多，如若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。知識(shí)點(diǎn)四：二次根式（）的性質(zhì)（）文字語(yǔ)言敘述為：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)。注：二次根式的性質(zhì)公式（）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過(guò)來(lái)應(yīng)用：若，則，如：，.知識(shí)點(diǎn)五：二次根式的性質(zhì)文字語(yǔ)言敘述為：一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。注意：1、化簡(jiǎn)時(shí)，一定要弄明白被開(kāi)方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是正數(shù)或0，則等于a本身，即；若a是負(fù)數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a,即；2、中的a的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論a取何值，一定有意義；3、化簡(jiǎn)時(shí)，先將它化成，再根據(jù)絕對(duì)值的意義來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn)。知識(shí)點(diǎn)六：與的異同點(diǎn)1、不同點(diǎn)：與表示的意義是不同的，表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)。但與都是非負(fù)數(shù)，即，。因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的，，而2、相同點(diǎn)：當(dāng)被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，=；時(shí)，無(wú)意義，而.知識(shí)點(diǎn)七：二次根式的性質(zhì)和最簡(jiǎn)二次根式如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y等；含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有√4、√9、√a2、√（x+y）2、√x2+2xy+y2等（3）最終結(jié)果分母不含根號(hào)。滿足最簡(jiǎn)二次根式的條件：（1）被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是因式是整式。（2）被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)的盡方的因數(shù)或因式。知識(shí)點(diǎn)八：二次根式的乘法和除法1.積的算數(shù)平方根的性質(zhì)√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）2.乘法法則√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）二次根式的乘法運(yùn)算法則，用語(yǔ)言敘述為：兩個(gè)因式的算術(shù)平方根的積，等于這兩個(gè)因式積的算術(shù)平方根。注意：兩個(gè)二次根式相乘，如果兩個(gè)被開(kāi)方數(shù)有公因數(shù)或公因式，就直接用乘法法則，若沒(méi)有公因數(shù)或公因式，就分別化為最簡(jiǎn)二次根式，再利用乘法法則。3.除法法則√a÷√b=√a÷b（a≥0，b>0）二次根式的除法運(yùn)算法則，用語(yǔ)言敘述為：兩個(gè)數(shù)的算數(shù)平方根的商，等于這兩個(gè)數(shù)商的算數(shù)平方根。4.有理化根式。如果兩個(gè)含有根式的代數(shù)式的積不再含有根式，則這兩個(gè)代數(shù)式叫做有理化根式,也稱有理化因式。知識(shí)點(diǎn)九：二次根式的加法和減法1同類(lèi)二次根式一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式。2合并同類(lèi)二次根式把幾個(gè)同類(lèi)二次根式合并為一個(gè)二次根式就叫做合并同類(lèi)二次根式。3二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的進(jìn)行合并。知識(shí)點(diǎn)十：二次根式的混合運(yùn)算1確定運(yùn)算順序2靈活運(yùn)用運(yùn)算定律3正確使用乘法公式4大多數(shù)分母有理化要和時(shí)5在有些簡(jiǎn)便運(yùn)算中也許可以約分，不要盲目有理化知識(shí)點(diǎn)十一：分母有理化分母有理化有兩種方法I.分母是單項(xiàng)式如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/bII.分母是多項(xiàng)式要利用平方差公式如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b注意：1.根式中不能含有分母2.分母中不能含有根式。第十七單元勾股定律勾股定理知識(shí)總結(jié)：一．基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：1：勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2＝c2）要點(diǎn)詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在中，，則，，）（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問(wèn)題2：勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)：a、b、c，則有關(guān)系a2+b2＝c2，則這個(gè)三角形是直角三角形。要點(diǎn)詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)應(yīng)注意：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為：c；（2）驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2＝a2+b2，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形（若c2>a2+b2，則△ABC是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c2<a2+b2，則△ABC為銳角三角形）。（定理中，，和只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)，，滿足，則以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊）3：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。4：互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，則另一個(gè)叫做它的逆命題。5：勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是拼圖的方法，用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是：①圖形進(jìn)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見(jiàn)方法如下：方法一：，，化簡(jiǎn)可證．方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為所以方法三：，，化簡(jiǎn)得證方法一方法二方法三6：勾股數(shù)①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時(shí)，稱，，為一組勾股數(shù)②記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25等③用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）二、規(guī)律方法指導(dǎo)

1．勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。2．勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。3．勾股定理在應(yīng)用時(shí)一定要注意弄清誰(shuí)是斜邊誰(shuí)直角邊，這是這個(gè)知識(shí)在應(yīng)用過(guò)程中易犯的主要錯(cuò)誤。4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長(zhǎng)a，b，c有下列關(guān)系：a2+b2＝c2，則這個(gè)三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的判定方法．5.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的過(guò)程主要是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，通過(guò)學(xué)習(xí)加深對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的理解．我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，則另一個(gè)叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）第十八單元一元二次方程一元二次方程知識(shí)點(diǎn)：1.一元二次方程的一般形式:a≠0時(shí)，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，多數(shù)習(xí)題要先化為一般形式，目的是確定一般形式中的a、b、c；其中a、b,、c可能是具體數(shù)，也可能是含待定字母或特定式子的代數(shù)式.2.一元二次方程的解法:一元二次方程的四種解法要求靈活運(yùn)用，其中直接開(kāi)平方法雖然簡(jiǎn)單，但是適用范圍較小；公式法雖然適用范圍大，但計(jì)算較繁，易發(fā)生計(jì)算錯(cuò)誤；因式分解法適用范圍較大，且計(jì)算簡(jiǎn)便，是首選方法；配方法使用較少.3.一元二次方程根的判別式:當(dāng)ax2+bx+c=0(a≠0)時(shí)，Δ=b2-4ac叫一元二次方程根的判別式.請(qǐng)注意以下等價(jià)命題：Δ＞0<=>有兩個(gè)不等的實(shí)根；Δ=0<=>有兩個(gè)相等的實(shí)根；Δ＜0<=>無(wú)實(shí)根；Δ≥0<=>有兩個(gè)實(shí)根（等或不等）.4.一元二次方程的根系關(guān)系：當(dāng)ax2+bx+c=0(a≠0)時(shí)，如Δ≥0，有下列公式：5.一元二次方程的解法（1）直接開(kāi)平方法（也可以使用因式分解法）=1\*GB3①解為：=2\*GB3②解為：=3\*GB3③解為：=4\*GB3④解為：（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如：此類(lèi)方程適合用提供因此，而且其中一個(gè)根為0（3）配方法=1\*GB3①二次項(xiàng)的系數(shù)為“1”的時(shí)候：直接將一次項(xiàng)的系數(shù)除于2進(jìn)行配方，如下所示：示例：=2\*GB3②二次項(xiàng)的系數(shù)不為“1”的時(shí)候：先提取二次項(xiàng)的系數(shù)，之后的方法同上：示例：（4）公式法：一元二次方程，用配方法將其變形為：=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，右端是正數(shù)．因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根：=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，右端是零．因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根：=3\*GB3③當(dāng)時(shí)，右端是負(fù)數(shù)．因此，方程沒(méi)有實(shí)根。備注：公式法解方程的步驟：=1\*GB3①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：，并確定出、、=2\*GB3②求出，并判斷方程解的情況。=3\*GB3③代公式：（要注意符號(hào)）※5．當(dāng)ax2+bx+c=0(a≠0)時(shí)，有以下等價(jià)命題：(以下等價(jià)關(guān)系要求會(huì)用公式；Δ=b2-4ac分析，不要求背記)（1）兩根互為相反數(shù)=0且Δ≥0b=0且Δ≥0；（2）兩根互為倒數(shù)=1且Δ≥0a=c且Δ≥0；（3）只有一個(gè)零根=0且≠0c=0且b≠0；（4）有兩個(gè)零根=0且=0c=0且b=0；（5）至少有一個(gè)零根=0c=0；（6）兩根異號(hào)＜0a、c異號(hào)；（7）兩根異號(hào)，正根絕對(duì)值大于負(fù)根絕對(duì)值＜0且＞0a、c異號(hào)且a、b異號(hào)；（8）兩根異號(hào)，負(fù)根絕對(duì)值大于正根絕對(duì)值＜0且＜0a、c異號(hào)且a、b同號(hào)；（9）有兩個(gè)正根＞0，＞0且Δ≥0a、c同號(hào)，a、b異號(hào)且Δ≥0；（10）有兩個(gè)負(fù)根＞0，＜0且Δ≥0a、c同號(hào)，a、b同號(hào)且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三項(xiàng)式公式：注意：當(dāng)Δ＜0時(shí)，二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解.ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)或ax2+bx+c=.7．求一元二次方程的公式：x2-（x1+x2）x+x1x2=0.注意：所求出方程的系數(shù)應(yīng)化為整數(shù).8．平均增長(zhǎng)率問(wèn)題--------應(yīng)用題的類(lèi)型題之一（設(shè)增長(zhǎng)率為x）：(1)第一為a,第二為a(1+x),第三為a(1+x)2.（2）常利用以下相等關(guān)系列方程：第三=第三或第一+第二+第三=總和.9．分式方程的解法例如：(x+1/x)+(3x/x+1)-2=010、最簡(jiǎn)公分母的求法（1）、將分母系數(shù)化為整數(shù)后取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)；（2）、凡單獨(dú)出現(xiàn)的字母或多項(xiàng)式,連同它的指數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的一個(gè)因式；（3）、同底數(shù)冪取次數(shù)最高的,這樣得到的因式的積就是分式方程的最簡(jiǎn)公分母；（4）、分母是多項(xiàng)式的要先進(jìn)行因式分解。列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟如下：（1）審題：讀懂題目,審清題意,明確哪些是已知量,哪些是未知量,以和它們之間的關(guān)系（2）設(shè)元：就是設(shè)未知數(shù),根據(jù)題意,選擇適當(dāng)?shù)奈粗?并用字母（X)表示出來(lái),設(shè)元又分直接設(shè)元和間接設(shè)元（3）列方程：根據(jù)題目中給出的等量關(guān)系,列出符合題意的一元二次方程（4）解方程：求出所列方程的解（5）驗(yàn)根：檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否符合題意（6）寫(xiě)出答案11．幾個(gè)常見(jiàn)轉(zhuǎn)化：√（χ1＋χ2）2＝，等第十九章四邊形關(guān)系結(jié)構(gòu)圖：二、知識(shí)點(diǎn)講解：1．平行四邊形的性質(zhì)（重點(diǎn)）：ABCD是平行四邊形2.平行四邊形的判定（難點(diǎn)）：3.矩形的性質(zhì)：因?yàn)锳BCD是矩形(4)是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸．4矩形的判定：矩形的判定方法：(1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形；

(2)有三個(gè)角是直角的四邊形；

(3)對(duì)角線相等的平行四邊形；

(4)對(duì)角線相等且互相平分的四邊形．四邊形ABCD是矩形.5.菱形的性質(zhì)：因?yàn)锳BCD是菱形6.菱形的判定：四邊形四邊形ABCD是菱形.7.正方形的性質(zhì)：ABCD是正方形8.正方形的判定：四邊形ABCD是正方形.名稱定義性質(zhì)判定面積平

行

四

邊

形兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。對(duì)邊平行；②對(duì)邊相等；③對(duì)角相等④鄰角互補(bǔ)；⑤對(duì)角線互相平分；⑥是中心對(duì)稱圖形①定義；

②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形；③一組對(duì)邊平行且相等的四邊形；

④兩組對(duì)角分別相等的四邊形；

⑤對(duì)角線互相平分的四邊形。S=ah(a為一邊長(zhǎng)，h為這條邊上的高)矩

形有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形除具有平行四邊形的性質(zhì)外，還有：①四個(gè)角都是直角；②對(duì)角線相等；③既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形。①有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；②對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；③定義。S=ab(a為一邊長(zhǎng)，b為另一邊長(zhǎng))菱

形有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。除具有平行四邊形的性質(zhì)外，還有①四邊形相等；②對(duì)角線互相垂直，且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；③既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形。①四條邊相等的四邊形是菱形；②對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形；③定義。①S=ah(a為一邊長(zhǎng)，h為這條邊上的高)；②(b、c為兩條對(duì)角線的長(zhǎng))正

方

形有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)：①四個(gè)角是直角，四條邊相等；②對(duì)角線相等，互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；③既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形。①有一組鄰邊相等的矩形是正方形；②有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；③定義。①(a為邊長(zhǎng))；

②(b為對(duì)角線長(zhǎng))正n邊形的內(nèi)角的和等于：（n－2）×180°(n大于等于3且n為整數(shù)）；任意多邊形的外角和等于360°若n是多邊形的邊數(shù)，則對(duì)角線條數(shù)公式是：1/2n﹙n－3﹚從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作對(duì)角線,則做（n-3）條,這（n-3）條對(duì)角線把n邊形分成了（n-2）三角形.一、基本概念：四邊形，四邊形的內(nèi)角，四邊形的外角，多邊形，平行線間的距離，平行四邊形，矩形，菱形，正方形，中心對(duì)稱，中心對(duì)稱圖形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位線，梯形中位線.二定理：中心對(duì)稱的有關(guān)定理1．關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形.2．關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分.3．如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱.中心對(duì)稱：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，則就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心．中心對(duì)稱圖形把一個(gè)圖形繞它的某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來(lái)的圖形互相重合，則這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形．中心對(duì)稱是指兩個(gè)全等圖形之間的相互位置關(guān)系，這兩個(gè)圖形關(guān)于一點(diǎn)對(duì)稱，其中一個(gè)上所有點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)都在另一個(gè)圖形上，中心對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形本身成中心對(duì)稱，表示某個(gè)圖形的特性，它上面所有點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)都在這個(gè)圖形本身上．如圖1中△ABC和△A′B′C′關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，就是中