安徽省蕪湖市2025屆高三數(shù)學(xué)5月模擬考試試題理（含解析）

蕪湖市2024-2025學(xué)年度其次學(xué)期高三模擬考試

數(shù)學(xué)（理科）試題

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的）

1.已知集合人={刈乂<1},5={耳2*）1},則（）

A.A<JB={X\X<V\B.A3={x|x'O}

C.A5={x[O<x<l}D,AB={x|x<0}

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出集合8,再利用交集定義和并集定義能求出結(jié)果.

【詳解】由2*>1得x>。，所以6={x|x>0}.

所以/C8={x|0〈水1}.ADB=R,

故選：C.

【點睛】本題考查交集、并集的求法及應(yīng)用，涉及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

7+1

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿意——=i,則下列說法正確的是（）

Z

A.z為純虛數(shù)B.z的虛部為-工，

2

C.在復(fù)平面內(nèi)，z對應(yīng)的點位于其次象限D(zhuǎn).忖=乎

【答案】D

【解析】

【分析】

設(shè)z=a+bi,利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的概念建立方程，解得z,然后逐一核對四個選項得

答案.

【詳解】Vz+l=z7,設(shè)z=a+bi,則（a+1）+bi=-b+ai,

1

(1jCl——

???〈a+l=，-b，解得1?7

a=b,I

'b=—

[2

._II.

..z-......1.

22

1z1=Y2,復(fù)數(shù)z的虛部為—L,

22

復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(-!，在第三象限.

22

.?.正確的是〃

故選：D.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的概念，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基

礎(chǔ)題.

3.已知向量a=(l,—I),b=(-2,3))且a,(a+mb),則m=()

22I

A.-B.---C.0D.一

555

【答案】A

【解析】

【分析】

結(jié)合向量垂直滿意數(shù)量積為0,代入坐標(biāo)，建立等式，計算參數(shù)，即可。

【詳解】a+znZ?=(I,-I)+(-2m,3m)=(l-2w,3m-1),結(jié)合向量垂直判定，建立方程,

2

可得1一2加一3加+1=0,解得加=g,故選A。

【點睛】考查了向量垂直的判定，考查了向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，難度中等。

4.設(shè)｛風(fēng)｝是等差數(shù)列，下列結(jié)論肯定正確的是()

A.若4+4>0，貝U4+%>。B.若％+q<。，則。2+。3<0

C.若0<%<。2，則%>D.若q<0,貝!J(出一%)(華一%)<0

【答案】C

【解析】

【分析】

對選項分別進(jìn)行推斷，即可得出結(jié)論.

【詳解】若a"2>0,貝|2a+心>0,a2+a,=2ax+3d>^d,40時，結(jié)論成立，即/不正確；

對于B選項，當(dāng)q,a2,%分別為Y,T,2時，滿意ai+a3<0,但a2+a3=l>0,故6不正確；

又｛aj是等差數(shù)列，0<ai<az,2a2=a、+aa>2小￡1僧3,；?a?>Jqg，即。正確；

若ai<0,貝！|（a2-ai）（a2-a3）=-t/WO,即，不正確.

故選：C.

【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，考查分析問題的實力，比較基礎(chǔ).

5.直線1過拋物線C:x'=4y的焦點且與y軸垂直，則1與C所圍成的圖形的面積等于（）

4816.J2

A.-B.2C.-D.—

333

【答案】C

【解析】

試題分析：拋物線。的焦點為（0/），直線/：y=l與拋物線的交點為（土2,1）,因此

考點：積分的幾何意義.

2Hx2

6.若函數(shù)/(x)='”的最小值為/(2),則實數(shù)a的取值范圍為()

log2(x+a),x>2

A.a<0B.a>0C.a,,0D.a>0

【答案】D

【解析】

【分析】

由分段函數(shù)分別探討函數(shù)在不同區(qū)間上的最值，從而可得/og2（x+a）?l恒成立，可解得a

的范圍.

【詳解】當(dāng)x<2時，f（x）=2"Z=22r,單調(diào)遞減，；"（X）的最小值為f（2）=l,

當(dāng)x>2時，/（x）=。2（*+。）單調(diào)遞增，若滿意題意，只需。2（兀+。）21恒成立，

即x+a?2恒成立，

/.a>（2-x）m；n,；.a20,

故選：D.

【點睛】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及分段函數(shù)的最值的求法，考查了指對函數(shù)的單調(diào)性，

屬于中檔題.

7.已知Q>Z?>0,且。+辦=1,，z=iogb—,則x,y,z

a

的大小關(guān)系是()

A.z>x>yB.x>y>zc,z>y>xD.

x>z>y

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意a>6>0,a+6=l,可得l>a>,>6>0,利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比

2

較大小.

【詳解】?:a>b>0,a+b^\,Al>a>->Z?>0,

2

.?」<二,

ab

；.x=(-)”>(-)0=1,

aa

111

y=log(aZ>)(--F-)=log(a6)--=-1,

abab

>

z=log/,—=—logbd^—logbb=-1.

a

x>z>y.

故選：D.

【點睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查了推理實力與計算實力，屬于中檔題.

8.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的為長為1,粗實線面出的是某幾何體的三視圖，該幾何體的各個

面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為()

I...

15D.6+逑

A.6B.9C.—

22

【答案】A

【解析】

【分析】

畫出幾何體直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解即可.

【詳解】由三視圖可知該幾何體的各個面分別為，兩個梯形PQCD和PQBA,一個矩形ABCD,

兩個三角形PDA和三角形QCB,

所以兩個梯形的面積相等，和為S=2xgx(l+2)義2=6.

故選：A.

【點睛】本題考查三視圖與直觀圖的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是幾何體的直觀圖的形態(tài)，考查空間

想象實力以及計算實力.

9.中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝飾生活或協(xié)作其他民俗活動的民間

藝術(shù)；蘊(yùn)含了極致的數(shù)學(xué)美和豐富的傳統(tǒng)文化信息，現(xiàn)有一幅剪紙的設(shè)計圖，其中的4個小

圓均過正方形的中心，且內(nèi)切于正方形的兩鄰邊.若在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點，則該點取自黑色

部分的概率為()

AAK兀

3%(3-2/2)r(2—0)左

32248

【答案】B

【解析】

【分析】

如圖所示，設(shè)正方形的邊長為2,其中的4個圓過正方形的中心，且內(nèi)切正方形的兩鄰邊的小

圓的半徑為r,求出圓的面積，依據(jù)概率公式計算即可

【詳解】如圖所示，設(shè)正方形的邊長為2,其中的4個圓過正方形的中心，且內(nèi)切正方形的兩

鄰邊的小圓的半徑為r,

故龐

BOz=r,

1

■:86+30=80=—BD=受

22

:?正仔r=顯,

2

,_2-72

2

???黑色部分面積s=n(2ZY1)2=1Z述兀，正方形的面積為1,

22

，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點，則該點取自黑色部分的概率為上"1n，

故選：B.

【點睛】本題考查了幾何概型的概率計算問題，確定面積為測度是關(guān)鍵.

10.已知函數(shù)/(x)=sin(s:+。)，其中。>0,至，-乙為/(x)的零點：且

24

/(%)?二]恒成立，A尤)在區(qū)間(一二，三]上有最小值無最大值，則0的最大值是

14J11224J

()

A.11B.13C.15D.17

【答案】C

【解析】

【分析】

7T7T

先依據(jù)x=—為y=F(X)圖象的對稱軸，x=---為f(X)的零點，推斷3為正奇數(shù)，再

44

結(jié)合/"(X)在區(qū)間一二，7^上單調(diào)，求得3的范圍，對選項檢驗即可.

I1224)

【詳解】由題意知函數(shù)/(x)=s加(°x+G)[o>0,[d<]}x=(為尸/'(x)圖象的對

稱軸，x=-二為f(x)的零點，.也=三，“ez,3=2加1.

44co2

I7T7T\7171TC24TC

F(X)在區(qū)間一二，二上有最小值無最大值，，周期9(―+—)=-,即——N丁，

I1224J24128G8

A0^16.

.?.要求①的最大值，結(jié)合選項，先檢驗3=15,

兀兀兀

當(dāng)3=15時，由題意可得---x15+6=?兀,。=---，函數(shù)為y=f(JT)=sin(15x----),

444

I7171\7L3萬377"TT

在區(qū)間—二，777上，15x——e(——，——)，此時f(x詼x=——時取得最小值，a=15

I1224J4282

滿意題意.

則3的最大值為15,

故選：C.

【點睛】本題考查的學(xué)問點是正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了分析轉(zhuǎn)化的實力，難度較大.

11.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知A(-2,0),〃以及動點C是AA5C的三個頂點，且

sinAsinB-2cosC=0,則動點C的軌跡曲線「的離心率是()

A.與B.與C.72D.V3

【答案】A

【解析】

【分析】

將sinAsinB-2cosC=0,化簡得tanAtanB=2,即ZAC'%BC=-2,設(shè)C(x,y),依題意得

kAc-kBc=-2'由4(-2,。)，6(2,0),得“....-=-2(y^0),由此能求出動點C

的軌跡方程，進(jìn)而求得離心率.

【詳解】??，sinAsinB-2cosc=0,sinAsinB=2cosC=-2cos(A+B)二一2(cosAcosB-sinAsinB),

sinAsinB=2cosAcosB,即tanAtanB=2,kAC-kBC=-2,

設(shè)C(x,y),又力(-2,0),B(2,0),

所以有3.G=—2,(yw0),

x+2x—2

整理得土+匕=l(yw0),，a=2"?=2,離心率是9=正

48a2

故選A.

【點睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡，考查了點的軌跡方程的求法及橢圓的離心率，屬于中

檔題.

x2+x,x,,0,

12.已知函數(shù)f(x)=<Inx八g(x)=f(x)-ax,若g(x)有4個零點，則〃的取值范

-----,%>0,

、龍

圍為()

。加

【答案】B

【解析】

【分析】

x+1,x<0x+1,x<0

由題意可得x=0為1個零點，只須要xWO時，a=<加x即y=a與y=<｛加；八

—,x>0—,尤〉0

x+1,x<0

有3個交點且交點的橫坐標(biāo)不為0,作出y=/小的圖象，即可得出結(jié)論.

—,x>0

%+1,%<0

【詳解】當(dāng)x=o時，g(O)=f(O)-O=O,當(dāng)xwO時，由題意可得a=]/nx，即y=a與

—,尤>0

x+1,x<0

v=<Inx有3個交點且交點的橫坐標(biāo)不為0,

—,%>0

IriXI—/1r?v111

令h(x)=F，x〉0,則h，(x)=-==0,則x=j，且在(0,。5)單增，在(。5+/)

上單減，

x+l,x<0

**?y—<Inx的大致圖像如圖:

—,x>0

又h（A$

%+1,%<0

1

若y=a與y=<bvc有3個交點且交點的橫坐標(biāo)不為0,則0<a<一,

—,x>02e

.x'

故選B.

【點睛】本題考查分段函數(shù)的零點，考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點的問題，考查了分析轉(zhuǎn)化

問題的實力，屬于中檔題.

第n卷（非選擇題，共9。分）

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.在二項式+的綻開式中，常數(shù)項的數(shù)值為.

【答案】60

【解析】

【分析】

通過二項式綻開式的通項，令8的指數(shù)等于零，求得廠的值，從而求得常數(shù)項.

【詳解】==禺2:十

當(dāng)3—7=0,即r=2時，常數(shù)項為此?22=60,故填60.

【點睛】本小題主要考查二項式綻開式的通項公式.須要將二項綻開式公式化簡后，再來求指

定項的值.屬于基礎(chǔ)題.

x-y-L,0,

14.若X,y滿意約束條件<2x+y-2..0,則z=x+y的最大值為.

J,2,

【答案】5

【解析】

分析】

首先畫出平面區(qū)域，利用z的幾何意義求最大值.

【詳解】x,y滿意平面區(qū)域如圖：

、’?

*7alx/

?yf

z=x+y代表直線y=-x+z,其中z為直線的截距，

當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過/(3,2)時，z最大，

所以z的最大值為5；

故答案為5.

【點睛】本題考查了簡潔線性規(guī)劃問題，正確畫出平面區(qū)域及利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最

值是關(guān)鍵.

15.已知數(shù)列｛a“｝的各項均為正數(shù)，記S“為｛4,｝的前"項和，若％=.￡(〃eN*),

%=1,則使不等式S”>2019成立的〃的最小值是.

【答案】11

【解析】

【分析】

r\2

由。用=—「可得數(shù)列｛aj是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式計算S“，解不等式即可.

an+\~an

2Q2

2

【詳解】由an+1=——@—可得a?+1-an+ian-2。/=0,貝ij(all+l-2an)(an+l+an)=0,

an+\~an

又?jǐn)?shù)列｛an｝的各項均為正數(shù)，，an+1-2an=0,

即可+i=2%,可得數(shù)列｛aj是首項為%=1公比為°=2的等比數(shù)列，

2"-1

/.Sn=-----=2"—1〉2019,貝Un>10,又“cN*，，n的最小值是11,

"2-1

故答案為11.

【點睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了等比數(shù)列的推斷及求和公式，考查了指數(shù)

不等式的解法，屬于中檔題.

16.已知正三棱柱ABC-的底面邊長為2百，。為8片的中點，平面ADG與平面

ABC所成的銳二面角的正切值是g,則四棱錐A-3CC］與外接球的表面積為.

【答案】19%

【解析】

【分析】

延長CjD與CB的延長線交于點M,連接AM.推導(dǎo)出D也是CiM的中點，AM〃DE,AM，平面ACCjAi,

可得Cq=有；再依據(jù)四棱錐A-BCC】B|外接球即為正三棱柱ABC-A|B|G的外接球，找到

球心位置，依據(jù)勾股數(shù)求得半徑，即可得到表面積.

【詳解】如圖，延長GD與CB的延長線交于點M,連接AM.

：BC〃BC,D為BBi的中點，；.D也是CM的中點，

又取E是AG的中點，，AM〃DE.

：DEJ_平面ABBA,；.AM_L平面ACCA.

/.ZCM為平面A3D與平面ABC所成二面角的平面角.

]CC1

；.tanNCiAC=一,；.—L=-,又AC=，則CC]=￡

2A.C2

又四棱錐A-BCC]B]外接球即為正三棱柱ABC-A]B]G的外接球，其球心在底面ABC中心正

上方的正處，又底面外接圓的半徑為2r=工3=4...R2=1+(且)2=12,

2sm§24

四棱錐A-BCQBi外接球的表面積為4兀艮2=19?，

故答案為19兀.

【點睛】本題考查球的組合體問題，考查了線面垂直的證明，考查四棱錐外接球半徑的求法,

考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，是中檔題.

三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

,B

17.已知A45C中，內(nèi)角4，B,C所對的邊分別為。，b,c,若sin(A+C)=4siir—.

2

(1)求cosB；

(2)若b=2,AABC面積為2,求a+c的值.

【答案】(1)-；(2)2亞.

【解析】

【分析】

(1)化簡已知sin(A+C)=4S%2_,平方得到關(guān)于cosB的方程，解之即可.

2

(2)由三角形面積公式可得ac,再由余弦定理解得a+c.

,B

【詳解】（1）由題設(shè)及4+3+。=萬，得sinB=4siir—,

2

故sinB=2（l-cosB）.上式兩邊平方，整理得5cos2B-8cos5+3=0，

3

解得cos5=l（含去），cosB=-.

341

（2）由COSB=M，得siaB=w，XSMBC=—acsinB=2,則ac=5.

由余弦定理，b1-a1+C1-laccosB=（?+c）2-2?c（l+cosB）=（?+c）--16=4.

所以a+c=2,\/5-

【點睛】本題考查了三角形面積公式及余弦定理的運(yùn)用，考查了二倍角公式的應(yīng)用，屬于基

礎(chǔ)題.

18.為建立健全國家學(xué)生體質(zhì)健康監(jiān)測評價機(jī)制，激勵學(xué)生主動參與身體熬煉，教化部印發(fā)《國

家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)（2014年修訂）》，要求各學(xué)校每學(xué)年開展覆蓋本校各年級學(xué)生的《標(biāo)準(zhǔn)》

測試工作.為做好全省的迎檢工作，某市在高三年級開展了一次體質(zhì)健康模擬測試（健康指數(shù)

滿分100分），并從中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的數(shù)據(jù)，依據(jù)他們的健康指數(shù)繪制了如圖所示的

頻率分布直方圖.

（1）估計這200名學(xué)生健康指數(shù)的平均數(shù)元和樣本方差S?（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值

作代表）；

（2）由頻率分布直方圖知，該市學(xué)生的健康指數(shù)X近似聽從正態(tài)分布N（〃,b2）,其中〃近

似為樣本平均數(shù)%,4近似為樣本方差52.

①求P（63.4<X<98.2）；

②已知該市高三學(xué)生約有10000名，記體質(zhì)健康指數(shù)在區(qū)間（63.4,98.2）的人數(shù)為鼠試求

附：參考數(shù)據(jù)g?土1.16，

若隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(〃,er?),則尸(〃-b<X<〃+b)80.683,

P(〃-2cr<X</n+2cr)?0.955尸(〃-3cr<X<〃+3cr)?0.997.

【答案】(1)75,135；(2)①0.819；②8190.

【解析】

【分析】

(1)以組中值代替小組平均值，依據(jù)加權(quán)平均數(shù)公式計算平均數(shù)元，依據(jù)方差公式計算$2；

(2)①利用正態(tài)分布的性質(zhì)求得尸(63.4<X<98.2)；

②依據(jù)二項分布的期望公式得出.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖可知，各區(qū)間對應(yīng)的頻數(shù)分布表如下：

分值區(qū)間[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數(shù)51540754520

??—(45x5+55x15+65x40+75x75+85x45+95x20)噎=75,

52=(45-75)2x^-+(55-75)2x巨+(65-75丫義型+(85-75)?x色

[7200v7200v720017200

+(95-75)2X^-=135.

17200

(2)①由(1)知X聽從正態(tài)分布N(75,135),且b^ll.6,

/.P(63.4<X<98.2)=P。<X<〃+2。)=1x0.955+1x0.683=0.819.

②依題意，匕聽從二項分布，即&?80()4,0.819),則EJ=〃p=8190.

【點睛】本題考查了正態(tài)分布的性質(zhì)與應(yīng)用，考查了二項分布的期望公式，考查了頻率平均

數(shù)與方差的運(yùn)算，屬于中檔題.

19.如圖，已知圓柱。O],底面半徑為1,高為2,ABCD是圓柱的一個軸截面，動點”從

點3動身沿著圓柱的側(cè)面到達(dá)點。，其路徑最短時在側(cè)面留下的曲線記為：T：將軸截面

ABCD圍著軸。?！改鏁r針旋轉(zhuǎn)。(0＜。＜萬)角到ABCQ位置，邊用G與曲線「相交于

點、P.

TT

(1)當(dāng)。二—時,求證：直線。］用_L平面AP5；

2

7T

(2)當(dāng)。=一時,求二面角?！狝5—。的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)2叵

13

【解析】

【分析】

(1)法一：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，寫出各點坐標(biāo)，求得平面A3P的法向量，可

得結(jié)論；

法二：由已知條件推導(dǎo)出48,481,46，陽,得到/員1平面4氐0〃，可得相，64，結(jié)合OPLB\D\

由此能證明直線6i0_L平面PAB.

(2)以AB所在直線為V軸，過點。與AB垂直的直線為％軸，。。1所在的直線為z軸建立

空間直角坐標(biāo)系，分別求得兩個面的法向量，利用向量法能求出二面角2-46-尸的余弦值.

7T

【詳解】(1)方法一：當(dāng)6=一時，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

2

則有4(0,—1,0),3(0」,0),尸(-1,0,1),G(—1,0,2),

4(-1,0,0),2(1,0,2)

AB=(0,2,0),AP=(-1,1,1).

設(shè)平面ABF的法向量為〃=(x,y,z),貝乂,

'[―x+y+z=0

可取x=l,得”=(1,0,1),0百=(—2,0,—2),D\BJIn.

所以直線〃片，平面APR

方法二：在正方形中，OP//AG，：.OPLBXDX,

AB±OOX'

AB±\BX>=>A3，平面4月。1，，又42<=平面A]5IG2

OO{cA[B]=O

所以又OPIBQ],ABcOP=O,AB，QPu平面APB

所以直線2月，平面APB.

7T

(2)當(dāng)。=—時，以AB所在直線為V軸，過點。與A5垂直的直線為1軸，0。1所在的直

6

線為z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，4(0,-1,0)

、

所以AP=

223

7

設(shè)平面A3P的法向量為加=(%,%,4)，則

2%=0

1J1「可取石=2,得沆=(2,0,3),

--------X]+y-------F1H—Z]—U

223

又平面ABD的一個法向量為n=(1,0,0),則k°s(辦n)\="3

所以二面角O—A3—P的余弦值為名叵.

13

【點睛】本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小等基礎(chǔ)學(xué)問，考查了利用空間

向量解決線面關(guān)系及空間角度問題，考查空間想象實力、推理論證實力和運(yùn)算求解實力，屬

于中檔題.

20.如圖，已知橢圓「：「+[=13＞沙＞0)的長軸44,長為4,過橢圓的右焦點/作斜

a"b’

3

率為左(左W0)的直線交橢圓于3、C兩點，直線BA1，的斜率之積為-

(1)求橢圓P的方程；

(2)已知直線/：%=4,直線A3,4。分別與/相交于M、N兩點，設(shè)E為線段的

中點，求證：BCLEF.

22

【答案】(1)—+^-1；(2)證明見解析.

43

【解析】

【分析】

3h23

(1)由長軸長為4可得a,設(shè)出點B,C坐標(biāo)，利用斜率之積為-一，可得—勺=—2,即

4a24

可得到?jīng)r可得橢圓方程；

(2)設(shè)直線歐的方程為：y=k(x-1)與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，直線45的

Vi

方程為：尸會52）與日聯(lián)立，可得點肌兒的坐標(biāo)，可得線段?的中點￡.利用根

與系數(shù)的關(guān)系及其斜率計算公式可得左EF，只要證明人左EF=-1即可.

22

【詳解】（1）設(shè)5（%,%）,。（々，%），因點5在橢圓上，所以烏+4=1，

ab

72

故y；=—.又4（―a,。）,

av）一

,22

所以“明?&&―即1=3,又。=2,所以b=G

再+〃再-aaa24

故橢圓P的方程為土+上=1.

43

（2）設(shè)直線8c的方程為：y=k（x-l）,6（%,yj,C（x2,y2）,

f22

%.丁-i

聯(lián)立方程組：43,消去y并整理得，

y=攵（％-1）

8k24/一12

（4左2+3）尤2—8左2%+4左2—12=0,則X]

+九2=4492+3

y6%

直線站方程為"我x+2）,令x=4得%=

玉+2

同理，2言之

/、

6kxx左（芯+%2）一左

所以為=3（%+%）=3M?%r2+312

、國+x

22+2?再入2+2（再+x2）+4

代入化簡得力=-；3,即點七3-￡|,又尸（1,0）,

k

_3

所以,,一"1,所以3C，￡F.

kEFkBC=--k=~l

【點睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、斜率計算公式、相互

垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理實力與計算實力，屬于難題.

21.已知函數(shù)/(x)=(l—x)*—x—1(左〉0).

(1)若/(x)在R上單調(diào)遞減，求左的取值范圍；

(2)若尤>0,求證：(2-x)e*-(2+x)ef<2x.

【答案】(1)0<匕,2；(2)證明見解析.

【解析】

【分析】

⑴令F(x)W0在R上恒成立，令g(x)=/'(X)，探討單調(diào)性求得g(x)的最小值,

令其小于等于0，即可得出A的范圍；

(2)由⑴知當(dāng)左=2時，/(%)在R上單調(diào)遞減，可得x〉0時，則〃力</(0)=0,

—尤)>〃0)=0,從而(l+x)e+x—1>(1—x)e-'—x—1,化簡后令r=2x,構(gòu)造新函

數(shù)可證得結(jié)論.

【詳解】(1)因/(%)在R上單調(diào)遞減，所以/'(%)=6及(左—丘—1)—L,。恒成立.

令g(x)=/'(x)=e丘(左_而_1)_1,則g'(x)=屁依(左一Ax—2)

k-2k-2

因左>0,當(dāng)九〉----時，g'(%)<0；當(dāng)%<-----時，g'(x)〉o,

kk

所以g(x)在］k-2k-2\

上單調(diào)遞增，在卜.，+8I上單調(diào)遞減,

所以g(%)max=g[^J=e"2_L,0,即0<鼠2.

(2)由(1)知當(dāng)左=2時，在R上單調(diào)遞減，當(dāng)x>0時，則/(%)v〃o)=o,

即(1一刈瞪一元一1<0,又%>0時,-x<0,則x)>/(o)=o,

即(1+X)€之，+X-1>0,

從而(1+2A+x—1>(1—x)/'—x—1,

即(l+x)e2'+(%—+2%>0,也即(2+2x)e2a+(2%—2)e"+4x>0

令方=2兀>0,則(2+%)e，+?—2)e'+2%>0,

即x>0時，(2—％)/—(2+1)""<2x.

【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，考查了利用函數(shù)單調(diào)性解決不等式的證明問

題，運(yùn)用了構(gòu)造函數(shù)的技巧，屬于較難題.

請考生在第22、23兩題中任選一題作答.留意：只能做所選定的題目.假如多做，則按所做的

第一個題目計分.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

22.以坐標(biāo)原點。為極點，以x軸正半軸為極軸，建立的極坐標(biāo)系中，直線

q-.psm(0+^]=--,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C?4“=：。?！?/p>

(。為參數(shù),