七年級(jí)數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)梳理總結(jié)

整式

第一節(jié)整式的概念

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.字母表示數(shù):字母表示數(shù)具有簡(jiǎn)明、普遍的優(yōu)越性。從具體的數(shù)過(guò)渡到用字母表示數(shù),

滲透了從特殊到一般的抽象概括的思維方式。

2.列代數(shù)式:即用字母把數(shù)字和數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)明地表示出來(lái)。

3.代數(shù)式的值:列代數(shù)式解決問(wèn)題時(shí)，往往要根據(jù)代數(shù)式里的字母的取值來(lái)確定代數(shù)式

的值，因此求代數(shù)式的值是運(yùn)用列代數(shù)式解決問(wèn)題的一個(gè)重要方面。

4.整式：最簡(jiǎn)單、最基本的代數(shù)式

(1)單項(xiàng)式：由數(shù)與字母的積或字母與字母的積組成的代數(shù)式叫單項(xiàng)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一

個(gè)字母也是單項(xiàng)式。

(2)多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式。

把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來(lái)，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)

字母降哥排列，反之按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來(lái)，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這

個(gè)字母升累排列。

如：多項(xiàng)式5x3y-y4-3xy3+2x2y2-l按y的降幕排列為

-/-3孫3+2x'y2+5x3y-7,按y的升幕排列為—7+5dy+2%2/-3xy3-y4=

1.用字母表示數(shù)

【例1】黑板的長(zhǎng)為2.5米，寬為6米，則他的面積和周長(zhǎng)分別是多少？

【分析】本題是根據(jù)長(zhǎng)方形的性質(zhì)求解的，要熟記長(zhǎng)方形的面積公式，周長(zhǎng)公式。

【解答】面積=2.5x6=2.5伏米2)周長(zhǎng)=(2.5+b)x2=2(b+2.5)(米)

【例2】請(qǐng)用字母表示已學(xué)過(guò)的四則運(yùn)算律，如加法結(jié)合律等。

【解答】加法交換律：a+b=b+a

加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

乘法交換律：axb=bxa

乘法結(jié)合律：(axb)xc=ax(bxc)

乘法分配律：(a+b)xc=ac+bc

【例3】設(shè)某數(shù)為工米，用工表示下列各數(shù)：

(1)某數(shù)的平方的相反數(shù)；(2)比某數(shù)的三倍大7；(3)7加上某數(shù)的和的三倍

(4)某數(shù)與5的和除以某數(shù)；(5)某數(shù)的1』倍減去2的差

3

【解答】(1)——；(2)3x+7；(3)3(7+x)；(4)^^；(5)-x-2；

x3

【例4】觀察下列格式：第一式：Ix2x3x4+1；第二式：2x3x4x5+4；第三式：

3x4x5x6+9；第四式：4x5x6x7+16；用含字母"的式子表示第"個(gè)式子

【例5】如圖9-1,邊長(zhǎng)為m的正方形卡片，四個(gè)角上分別剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形

m>2n,然后折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子，如圖9-1,試寫出計(jì)算這個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方

形的體積和表面積的公式

圖9-1

【解答】

由圖9-1可知，無(wú)蓋長(zhǎng)方體的底面為有陰影的正方形，它的邊長(zhǎng)為機(jī)-2〃，所以長(zhǎng)方體的

底面積為(〃?-2〃)2,該長(zhǎng)方形的高為〃，故長(zhǎng)方體的體積公式為:

V=n(tn-2?)2

無(wú)蓋長(zhǎng)方體的表面由一個(gè)正方形底面和四個(gè)矩形側(cè)面所組成。每個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬分別為

〃2-2〃和〃面積為〃(加一2")，而底面積為(相一2"y,所以其表面積的公式為：

S=(m-2nf+4n(m-2n)

2.代數(shù)式

【例1】下列各式,那些是代數(shù)式?

①x+6@b+a2="+b@4x+l>7@b⑤0

⑥——X⑦4a+3w0@23-6⑨8m+2〃<0

3

【解答】①、④、⑤、⑥、⑧是代數(shù)式

【例2】用代數(shù)式表示:

(1)汽車每小時(shí)行駛60千米，f小時(shí)行駛千米；

(2)哥哥今年。歲，比妹妹大Z?歲，妹妹今年歲；

(3)“行樹一共有機(jī)棵，平均每行數(shù)有棵；

(4)某件商品原價(jià)x元，春節(jié)期間以8折出售，則打折后售價(jià)為

____________元；

3

(5)x與y和的平方的1三倍；

(6)如圖正方形的邊長(zhǎng)為。，求陰影部分的面積S；圖9-2

【解答】(1)60r；(2)a-b；(3)—；(4)80%x；

n

(5)：(x+y)2；(6)5=2義乃仁)-a1=~a2~02

【例3】請(qǐng)展開(kāi)聯(lián)想，結(jié)合你的實(shí)際生活，設(shè)計(jì)具體情境，解釋代數(shù)式(1+20%》可表示

什么實(shí)際意義？代數(shù)式2爐又可代表什么實(shí)際意義？

【解答】本題答案不唯一，這里只給一個(gè)范例

(1)若a表示某工廠第一年的產(chǎn)值，第二年產(chǎn)值增加20%,則(1+20%必表示此工廠

第二年的產(chǎn)值

(2)若x表示正方形的邊長(zhǎng)，則/表示正方形的體積，則2/表示2個(gè)邊長(zhǎng)為x正方

形的體積；

【例4】一個(gè)三位數(shù)，他的百位上的數(shù)字式尤，十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字的2倍多3,

2

個(gè)位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字的?少2,則這個(gè)三位數(shù)可表示多少？

3

【例5】如圖，一個(gè)長(zhǎng)方形恰好被分成六個(gè)正方形，其中最小的正方

形A的變長(zhǎng)為1，求這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。

【解答】設(shè)正方形2的邊長(zhǎng)x,則正方形C、D、E、E的邊長(zhǎng)分別為(x-1)、(x—2)、(%—3)、

U-4)

由長(zhǎng)方形對(duì)邊長(zhǎng)相等，可得2(x—3)+(%—2)=%+(%—1)

解得：x=7

所以，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為7+(7—1)=13,寬為7+(7—3)=11

答：所求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為13,寬為11。

【例6】我國(guó)政府為解決人民群眾看病難，決定下調(diào)藥品價(jià)格。某種藥品在1999年漲價(jià)30%

后，2001年降價(jià)70%至a元，則這種藥品在1999年漲價(jià)前的價(jià)格為元。

【解答】因?yàn)樵撍幤方?jīng)過(guò)兩次調(diào)價(jià)后的價(jià)格是。元，而所求的問(wèn)題是第一次調(diào)價(jià)前的價(jià)格，

可

以用逆向思維的方法來(lái)解：因?yàn)?001年降價(jià)70%至。元，所以降價(jià)前的價(jià)格應(yīng)為

—--=—?,用同樣的方法可列出第一次調(diào)價(jià)前的價(jià)格為

1-70%30

100+(1+30%),整理得詈。

------CL

30

3.代數(shù)式的值

【例1】當(dāng)a=23=—1,。=一3時(shí)，求下列各代數(shù)式的值

(1)b—4ac；(2)(i+Z?+c~+2ab+2bc+2ac；(3)(ci+Z?+c)?

【解答】當(dāng)a=2力=—l,c=—3時(shí)

(1)b2-4GC=(-1)2-4x2x(-3)=1+24=25

u+b+c"+2ab+2bc+2ac

2

22+(-l)2+(-3)2+2x2x(-1)+2x(-1)x(-3)+2x2x(-3)=4

(3){a+b+cY=(2—1—3)2=4

【例2】挖一條長(zhǎng)為尤的水渠，渠道的截?cái)嗝媸堑妊菪?，如圖

9-4,梯形的底分別為a、b,水渠深72,若耳

x=200m,a=6m,b-4m,h-1.5m。求挖這條水渠的

土方量

圖9-4

【解答】水渠的土方量V=g(a+b)/zx

當(dāng)x=200m,a=6m,b=4m,h=1.5m時(shí)，

11a

v=+初而=5(6+4)X1.5X200=1500(加3)

答：求挖這條水渠的土方量為1500n?

【例3】己知葉上=4,求代數(shù)式匕4七2的值

x-yx-yx+y

3與0互為倒

【分析】本題由于無(wú)法知道蒼y的值是多少，所以只能用整體代入,

x-yx+y

數(shù),

所以上上=再將它們一起代入就可以求出代數(shù)式的值。

x+y4

【解答】^^-4^^=4-4x-=3

x-yy4

4.整式

【例1】下列代數(shù)式中，哪些是單項(xiàng)式，哪些是多項(xiàng)式，哪些是整式？

347c2714c72c,2a-b_.

——x3,——a+。，3xy,abc,---,---3b,2a+l,-----,3x2—2x+1,

53223

2

x

【解答】單項(xiàng)式有：—3%2人,--

52

AzyDa—h

多項(xiàng)式有：一一a+b,--3b2,2a+l,3x2-2x+l

323

3

整式：除巳外，其余都是整式。

X

【例2】指出下列各單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)：

123xyz°5欣3y4

—x,-----,a,

579

【分析】根據(jù)單項(xiàng)式的次數(shù)和系數(shù)的意義來(lái)確定

【解答】-工/的系數(shù)是-』，次數(shù)是2；

55

—包上的系數(shù)是-3,次數(shù)是3；

77

a的系數(shù)是1,次數(shù)是1；

y的系數(shù)是二,次數(shù)是7；

99

【例3】多項(xiàng)式5y4_/+3/丁—gj^2_5x2y3是幾次幾項(xiàng)式？并按字母x的降幕排列

和字母y的升哥排列。

【解答】5y4-x4+3x3y-1^2-5x2y3是五次五項(xiàng)式。

按字母X的降幕排列：—X4+3/y—5/y3—g沖2+5y4

按字母y的升幕排列?！獂4+3x3y—gxy2—5爐/+5y4

【例4】尤=2時(shí)，多項(xiàng)式a/—法+1的值等于一17,那么當(dāng)x=—1時(shí)，多項(xiàng)式

12辦—3施3+5的值等于多少？為什么？

【解答】因?yàn)閤=2時(shí)，多項(xiàng)式a/—+1的值等于—17,

所以ax23—6x2+1=—17,即4a—》=—9。

當(dāng)無(wú)=一1時(shí)，12?%-3笈3+5=-12a+30+5=-3(4。一5)+5=27+5=32

【例5】若多項(xiàng)式6/+2—%2-”+2是三次二項(xiàng)式，求代數(shù)式2〃+1的值。

【分析】多項(xiàng)式6%"+2-+2是三次二項(xiàng)式，但最高次項(xiàng)有兩種可能，可能是6尤"+2也

可

能是-/一〃，所以本題要分情況討論。

【解答】(1)當(dāng)6%"+2是最高次項(xiàng)，則〃+2=3,〃=1,貝U，〃2—2〃+1=0

(2)當(dāng)—是最高次項(xiàng)，則2—〃=3,〃=—1,則“2—2〃+1=4

【例6］當(dāng)a<Z?<c,x<y<z時(shí)，下面4個(gè)代數(shù)式的值的最大值()。

(A)ax+by+cz(B)ax+cy+bz(C)bx+ay+cz(D)bx+cy+az

【分析】條件和結(jié)論的聯(lián)系不明顯，題目本身很抽象，如何變抽象為具體，根據(jù)題目所給的

條

件，用一些特殊值代替抽象的字母進(jìn)行計(jì)算，從而選擇出正確的答案。

【解答】取a=x=-l,b=y=0,c=z=l,比較可得(A)選項(xiàng)是最大的。

【點(diǎn)評(píng)】特殊值法是一種化抽象為具體的數(shù)學(xué)方法。

第2節(jié)整式的加減

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.同類項(xiàng)的含義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相等的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。

所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)

2.整式的加減：

去括號(hào)法則：

①括號(hào)前是“+”號(hào)，把括號(hào)和他前面的“+”號(hào)去掉后，括號(hào)理各項(xiàng)的符號(hào)都不改變

②括號(hào)前是“一”號(hào)，把括號(hào)和他前面的“一”號(hào)去掉后，括號(hào)理各項(xiàng)的符號(hào)都要改變

如：3+(tz—Z?)=3+<7—Z?；3—(tz-b)=3—ci+b

括號(hào)前有系數(shù)時(shí)去括號(hào)的方法：

若代數(shù)式如3a+29+2),括號(hào)前有系數(shù)，應(yīng)先進(jìn)行乘法分配律，再去括號(hào)。

注意：①去括號(hào)時(shí)，括號(hào)與前面的“+”號(hào)或“一”號(hào)一起去掉

②括號(hào)前有數(shù)字因數(shù)，應(yīng)把它與括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)相乘，切忌漏乘

二、同類項(xiàng)、合并同類項(xiàng)

所含的字母相同并且字母的指數(shù)也分別相同的單項(xiàng)式叫做同類項(xiàng)。

把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)，合并的法則是系數(shù)相加，所得的結(jié)果作

為合并后的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。

兩個(gè)相同：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指數(shù)分別相同，兩者缺一不可。

兩個(gè)無(wú)關(guān)：(1)同類項(xiàng)與系數(shù)大小無(wú)關(guān)；(2)同類項(xiàng)與它們所含相同字母的順序無(wú)關(guān)。

三、去括號(hào)與添括號(hào)

(1)去括號(hào)法則：括號(hào)前是“+”號(hào)，去掉括號(hào)和它前面的“+”號(hào)，括號(hào)里各項(xiàng)都不改變

符號(hào)；括號(hào)前是去掉括號(hào)和它前面的號(hào)，括號(hào)里各項(xiàng)都改變符號(hào)。

(2)添括號(hào)法則：添括號(hào)，括號(hào)前面是“+”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)，括號(hào)前

面是括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)。

【典型例題】

1.合并同類項(xiàng)

【例1】合并同類項(xiàng)：

(1)6xy—3%2—4X2y—5yx^+；(2)x—3x2—7x—x2—5；

【分析】按照合并同類項(xiàng)的步驟進(jìn)行即可。

【解答】(1)原式=6孫+(—312+犬2)+(—4%2丁—5yx2)

=6xy+(-3+l)x2+(-4-5)/2

=6xy-lx1-9yx^

(2)原式=(九一7%)+(―3%2—%2)—5——6x—4元2—5

【例2】合并下列各式中的同類項(xiàng):

(13(〃+Z?)—5(〃+Z?)+a+b2)

2(x-2yy-4(2%—y)+(x—2y)2-3(2x-y)

【分析】分別把(a+?,(%—2y),(2尤—y)看成一個(gè)字母。比如a+)=/,那么(1)可以

化成

3t-5t+t=-t,應(yīng)用合并同類項(xiàng)就十分自然了

【解答】(1)3(。+勿一5(a+b)+a+Z?=(3—5+l)(a+b)=—(a+b)；

2(x-2y/-4(2x-y)+(x-2y)2-3(2x-y)=

⑵=(2+l)(x-2?+(-4-3)(2x-y)；

=3(x—24—7(2x—y)

【例3】求下列各式的值

(1)3x2y-2xy-10xy~-2xy~-4x2y+x~y+2xy；

(2)一x~—x+0.2%3+0.25x—0.5x~—x3+0.5x—1,算j中x=—

24513

【分析】題目中給出的多項(xiàng)式含有同類項(xiàng)，先合并同類項(xiàng)再代入數(shù)值計(jì)算比較好。

【解答】(1)原式=(3—4+l)x2y+(—2+2)孫+(—10-2)孫2=—12旬2

13

當(dāng)X=—±,y=19時(shí),

34

/一、rzzzrt、1711Q11O131<1t

(2)原式二-X----XH—X-\—X----X—X~\—X—1——X—1

24542522

121127

當(dāng)％=上時(shí)，原式=上—1=—

1321313

7—4-1勿7

【例4】如果4/Ty8與-/是同類項(xiàng)，求竺的值

4n

7-+i

【解答】???4》1：/與一13;2%3是同類項(xiàng)

〃-1二3,—1-1=8

2

〃=4,機(jī)=14,%=

n42

【例5】代數(shù)式"+2kab+b1一6次?+9不含次?項(xiàng)，求k的值。

【分析】要使代數(shù)式不含a〃項(xiàng)，將式中的2人次?與-6〃匕兩項(xiàng)看作同類項(xiàng)，合并后使ab的

系數(shù)為0,即可求出左值。

【解答】a2+2kab+b--6ab+9a2+(2k-6)ab+b2+9

因?yàn)榇鷶?shù)式中不含有ab項(xiàng)，所以2左—6=0,即左=3

【例6】在多項(xiàng)式2006。?"+2007x"'y'T+2008屋?2'—2009/+、3中（其中機(jī)、〃

為正整數(shù)），恰有兩項(xiàng)為同類項(xiàng)，求〃的值。

【分析】本題的前提先要確定多項(xiàng)式中哪兩項(xiàng)是同類項(xiàng)。觀察可知。2006。*〃與

2008a3mb2n

兩項(xiàng)不可能是同類項(xiàng)，故2007xmyn-1與-2009x,,+1y3是同類項(xiàng)。

【解答】2007%"!了一1與—2009/"、3是同類項(xiàng)，于是

m=n+1{m=5

，解得1

n-l=3[n=4

所以=5+4=9

2.整式的加減

【例1】化簡(jiǎn)：(4x-2xy-5)-(-7x+2xy+8)+(2x-6-7xy)

【分析】此題的計(jì)算實(shí)際上就是整式的加減，題中有括號(hào)，應(yīng)該先去括號(hào)再合并同類項(xiàng)

【解答】原式=4%—2孫一5+7x—2盯一8+2%—6—7町

—(4x+7x+2x)+(-2xy—2xy—7xy)+(—5—8—6)

=13%-n孫-19

【例2】化簡(jiǎn)：3x2-2x-l^|+4(x2-2x+l)

【解答】原式=3%2—2尤2+8x+4+4%2—8x+4

=(3x2-2x2+4x2)+(8x—8x)+(4+4)

=5/+8

【例3】化簡(jiǎn)求值4"—[6'—2(3p+2)—2"],其中「=—i

【解答】原式=4.2_6“+2(30+2)+2。2=602+4

當(dāng)其中p=—l時(shí)，原式=6x(—I》+4=10

【例4】一個(gè)多項(xiàng)式，當(dāng)減去2——3%+7時(shí)，因把“減去”誤認(rèn)為“加上”，得5/—2X+4,

試問(wèn)這道題的正確答案是多少？

【解答】所求多項(xiàng)式=(5——2x+4)—(2--3x+7)-(2x2-3x+7)

=(5x2-2x+4)-2(2x2-3x+7)

=5x2-2x+4-4x2+6x-14=x2+4x-10

【例5】已知：c—a=2g,b-c=-3,求代數(shù)式(a—"2—2(q—①―1的值

【解答】(c-a)+(b-c)=b-a=2^-+(-3)=

則a-b=g,M(a-/?)2-2(a-b)-l=

第3節(jié)整式的乘法

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.同底數(shù)嘉的乘法：am-an=am+n

逆用這個(gè)法則，也可以把一個(gè)暴分解為兩個(gè)同底數(shù)累的積，其中它們的底數(shù)與原來(lái)哥的

底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來(lái)募的指數(shù)。如3'=33x3】=32x32等

2.塞的乘法：(〃")”=*

逆用法則：amn=(an)m=("")"可幫助我們根據(jù)問(wèn)題的需要靈活將式子變形。

如三'4=(九3y=(/丫

3.積的乘方：(")"=屋必"

<|、2010

性質(zhì)的逆向使用，會(huì)使一些數(shù)的計(jì)算簡(jiǎn)化。如22°I°XgI2010=1

4.整式的乘法：通過(guò)乘法交換律和結(jié)合律把它轉(zhuǎn)化為塞的運(yùn)算，并用合并同類項(xiàng)得到

結(jié)果。

(1)單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的步驟如下：

①系數(shù)相乘——確定系數(shù)(特別注意符號(hào))。

②相乘字母相乘—底數(shù)不變，指數(shù)相加。

③不同字母相乘——連同它的指數(shù)照辦下來(lái)。

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)分配律用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積

相加。

即m(a+b+c)=ma+mb+me

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另外一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把

所得的積相加。

即(m+n)(a+b)=ma+mb+m+rib

【典型例題】

1.同底數(shù)暴的乘法

【例1】下列算式是否正確？對(duì)錯(cuò)誤的指出錯(cuò)誤原因，并加以改正。

(1)a2-a2^2a2(2)x3+x3=x6(3)x4-x2=x8(4)a-a2=a2

【分析】計(jì)算此類題目時(shí)應(yīng)認(rèn)真審察每個(gè)問(wèn)題的運(yùn)算形式，特別要分清累的底數(shù)和指數(shù)。

【解答】(1)錯(cuò)。錯(cuò)在將與/+/混淆，結(jié)果應(yīng)為/。

(2)錯(cuò)。錯(cuò)在將城+爐與彳3.丁混淆,結(jié)果應(yīng)為2/。

(3)錯(cuò)。錯(cuò)在把法則“底數(shù)不變，指數(shù)相加”，誤作為“底數(shù)不變，指數(shù)相乘”，結(jié)果

為X、

(4)錯(cuò)。計(jì)算時(shí)誤把。的指數(shù)當(dāng)作0,而。的指數(shù)應(yīng)為1,結(jié)果應(yīng)為

【例2】計(jì)算下列各題：

(1)(a-Z?)3-(Z?-a)2；(2)-(-a7

(3)/.1，+%.丁.+(―x).(―%).x3;(4)

(一。),(_q-)?(一。)+(-/)■(-4)

【分析】應(yīng)用同底數(shù)塞的乘法法則時(shí)，應(yīng)先把各式化為同底數(shù)幕，為此應(yīng)熟悉下列轉(zhuǎn)換等式：

(a-b)2n=(b-a)2n,(a-b)2n+1=-(b-a)2n+1；計(jì)算時(shí)，結(jié)合乘法法則確定積的

性質(zhì)符號(hào)，第(3)、(4)小題為混合運(yùn)算，應(yīng)先根據(jù)同底數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行乘法

運(yùn)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算。

【解答】(1)(Q-域=(〃_b)3.(々—6)2=(Q_,)5；

或(〃一人)3.(b一")？(人_〃)2=_(人—々)3(人—〃)2=_(6一〃)5

(2)一(-〃)3?(一〃2).(一〃)=.(一〃).(_〃2)=_(_〃)4(一〃2)=〃6

或~(~^)3?(一4)?(一[)=-(_/)?(一12).(一〃)=[3.a2al=〃6

(3)原式=三+4+x1+3+3+(-x)1+3-X3=x7+%7+x7=3x7；

(4)原式=(-a產(chǎn)+(—M)./=一=0

[例3]化簡(jiǎn)：(a+Z?-c)2"-(c-a-Z?)2"1+(a+Z?-c)^，，+1-(c-a-Z?)J

【解答】原式=(a+6—c)2"{-(a+6-c)『'+(a+6—cj"'-[-(a+6—c。?”？

=_(a+6一產(chǎn)27+(0+--422)

=-(a+b-c)4'i+(a+b-c)4"-1=0

【例4】探究這個(gè)問(wèn)題的解題技巧：(-2)2006+(-2)2007

【分析】每項(xiàng)的指數(shù)太大，所以不能直接計(jì)算?？紤]到指數(shù)2006與2007是連續(xù)整數(shù)，結(jié)合

乘

方的意義考慮，由22006x2=22007得到22007=2x22006,這是逆用同底數(shù)幕的乘

法公式。本題錯(cuò)誤的結(jié)果為一2。

[解答1(-2)2006+(-2)2007=22006-22007=22006-2x22006=22006x(1—2)=-22006

【例5】已知5A+2=a，試用含a的式子表示出5,

【分析】要用含a的代數(shù)式表示51即要把5工看成一個(gè)整體，因此,解答本題的關(guān)鍵是把5"2

轉(zhuǎn)化為含5工的式子，即5?2=5lX52=25-5*

【解答】?/5X+2=?

A5xx52=a,即25x5'=a,

..5=—

25

2.塞的乘方

【例1】計(jì)算下列各題：

⑴-(107)2(2)"邛(3)[(x-j)3]4(4)(c2)n-cn+1

【分析】首先判斷這些問(wèn)題都符合哥的乘方的結(jié)構(gòu)特征。注意在應(yīng)用公式時(shí)不要與同底數(shù)幕

的

乘法法則混淆。幕的乘方法則，是轉(zhuǎn)化指數(shù)的乘法法則(底數(shù)不變)；同底數(shù)累的

乘法，是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運(yùn)算(底數(shù)不變)。

【解答】⑴原式=-107x2=-10l4

(2)原式=，時(shí)1/=式所2

(3)原式=(x-a加=(x_y嚴(yán)

(4)原式=c2"-c"+1=c2n+n+l=c3n+1

【例2】計(jì)算：

(1)一22儼「卜2)4_卜2)5.仁)2

(2).(行產(chǎn)1)2(6)

【分析】判斷題目的特征，正確選用公式，注意將結(jié)果化簡(jiǎn)。

【解答】(1)原式=一4f.X8-?0.d=-4XI4-.?4=-5X14

41414

(2)原式=一4尤$?丁一尤|。.%=-4X-X=一5元"

【例3】已知/=5,求(1)(。2)3的值；Q)/的值

【分析】觀察題目的特點(diǎn)，可應(yīng)用(a"『=(〃")"

【解答】(1)原式=年)3=(/)2=5?=25

(2)原式=時(shí)=53=125

【例4】已知a"'=2,。"=3,求a?".的值

【分析】逆用同底數(shù)易的乘法法則和募的乘方法則，即J","""=優(yōu)'""。

【解答】因?yàn)槲?=2,屋=3,

所以(a、？=2?=4,(相丫=33=27

所以/"+3"=.戶=(優(yōu)，)2.(優(yōu))3=4X27=108

3.積的乘方

【例1】計(jì)算：(1)(-3詞(2)(-2a3/?2)4(3)-(-2aV)3

【分析】在應(yīng)用積的乘方公式時(shí)，要分清底數(shù)含有幾個(gè)因式，確保每個(gè)因式都進(jìn)行乘方，并

且

還要注意系數(shù)的符號(hào)，特別是不能忽略系數(shù)為一1時(shí)的符號(hào)計(jì)算。

【解答】(1)原式=(—3)3(加3『(")3=_27加3x3/x3=_27m>3

(2)原式=(-2)4(/)4=3%8

(3)原式=-(-2)312)3卜)3=<_8卜662=8a662

注意：在-(-2//，中，指數(shù)3只對(duì)括號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)起作用，對(duì)括號(hào)外的負(fù)號(hào)不起

作用，在(-2xl()4)4的計(jì)算中，計(jì)算結(jié)果應(yīng)用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示。

【例2】計(jì)算：

(1)3(a?)”?(-a)-(-a).,，)"+(-2a4y.^2^3；

(2)(2X4)2-2(-X2)4-(X4).(X2)2-(-X3)-(-X2￥.(-%)；

【分析】認(rèn)真觀察題中的每一項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，正確選用公式，理清運(yùn)算順序，注意符號(hào)的處

理。

【解答】⑴原式=3/(416)+4(/(a6)

=-3an+a”-4a17=-6a]7

(2)原式=4/—2f—%4.%4—(—%3).(X4).(—%)=4/——%8—%8=o

【例3】以下各題的錯(cuò)解都是具有代表性的，仔細(xì)思考錯(cuò)在何處，并把錯(cuò)解改正過(guò)來(lái)。

(1)a3-a2=2a3(2)x4+x4=x8(3)(xy)5=x^5

(4)(-2?3)4=-16?12(5)10x1()5=1015(6)方％4.尤4=寸6

【分析】累的三種運(yùn)算法則本身較易混淆，并易與合并同類項(xiàng)攪在一起。在計(jì)算時(shí)，要認(rèn)

真審

題，觀察題中每一項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征，正確選用公式，慎重處理符號(hào)。

【解答】(1)錯(cuò)在將同底數(shù)累的乘法誤作合并同類項(xiàng)，原式=〃5;

(2)錯(cuò)在將合并同類項(xiàng)誤作同底數(shù)累的乘法，原式=2/

(3)把積的乘方公式用錯(cuò)，未將積中的每一個(gè)因式都乘方，原式=尤5y5；

(4)把積的乘方公式用錯(cuò)，(-2)4=16,原式=1642；

(5)把同底數(shù)基的乘法法則用錯(cuò)，10的指數(shù)為1,原式=1。6

(6)錯(cuò)在將同底數(shù)哥的乘法誤作累的乘方，且忽視了x的指數(shù)為1,原式=7。

【例4】化簡(jiǎn)：用簡(jiǎn)便方法計(jì)算:

(1)(0.2)2006.(-5)2006

【分析】注意到積的乘方公式的逆用。特別是(2)式還要運(yùn)用同底數(shù)募乘法的逆用。

【解答】(1)原式=[0.2x(-5)]2006=[-1]2006=1

(2)原式X

【例5】計(jì)算：226義1.258

【分析】由8x1.25=10,聯(lián)想到將其中一個(gè)底數(shù)變?yōu)?,指數(shù)也要為8,可將計(jì)算簡(jiǎn)化。

【解答】＞^=22X224X1.258=4X(23)8X1.258=4x(8xl.25)8=4X108

4.整式的乘法

【例1】計(jì)算：⑴“[g/V卜6孫z)(2)3AmM『(一0.4孫F

【分析】第(1)小題是三個(gè)單項(xiàng)式相乘，可按單項(xiàng)式乘法法則一次完成，計(jì)算系數(shù)時(shí)，先確

定結(jié)

果的性質(zhì)符號(hào)，再把絕對(duì)值相乘；第(2)小題中應(yīng)先計(jì)算乘方，注意符號(hào)。

【解答】(1)原式=2x；x(-6“無(wú)2?尤2)(/.yjz=-4x4y*z

(2)原式=_!/6.J_f9二一工義上義色1//./"662)=_2彳9產(chǎn)

92-25-9225、'75

[--|2r-|2

【例2】計(jì)算：_；(%_,)._'(,_?).[2(y-x)了

【分析】在整式乘法中，有時(shí)可以把一個(gè)多項(xiàng)式看成整體。視作單項(xiàng)式，然后按單項(xiàng)式的運(yùn)

算

法則進(jìn)行計(jì)算。本題中(％-y)與(y-%)不同底，可利用(尤-y)=-(y-幻轉(zhuǎn)化。

【解答】(1)原式=~(x~y)2,'(%—VP.[—8(元一')〔=一gx\x8.(x_y)7=_2(1一))7

【例3】計(jì)算：

(])xy4盯—21孫+

(2)2a(a2—ab—b2^—3ab(4a—2b)+2b[la2—4ab+Z?2)

【分析】本題涉及整式乘法與加減法的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意運(yùn)算順序，有同類項(xiàng)一定要合

并。

[解答](1)原式=盯[4孫一2孫一12,]=孫上孫一12,]=212,2-x3y2=-x3y2+2x2y2

(2)原式=2a3—2a2b—2ab2—12a2b+6ab2+14a2b—Sab2+2b3=2a3—4ab2+2b3

【例4】計(jì)算：(1)(2a-3Z?)(Z?+2a)(2)(x+y^x1-xy+y2)

【分析】第⑴小題中可以把0+2。)看成(2〃+。這樣能提高計(jì)算的正確性且有助于心算。

122

【解答】(1)^^l=(2a—3b^(2a+b^=4a-\-2a'b-3b'2a-3b-b=6a—13ab-\-6b

(2)原式=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3=2a3-4ab2+2b3

【例5】先化簡(jiǎn)，再求值

(-2x)2+(2%-5y)(2x+3y)-3y(4x-5y),其中％=2,y=-1

【解答】原式=4/+4x2-4xy-15y2-12xy+15^2=8x2-16xy

當(dāng)x=2,y=—l時(shí)，原式=8x2?—16x2x(—1)=64

【例6】已知{x1+ax+8)(爐-3X+6)的乘積中不含丁項(xiàng)，也不含/項(xiàng)，求。與b的值。

【分析】先按多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開(kāi)，得到9項(xiàng)。合并后有5項(xiàng)，系數(shù)中含有字母a,人

根據(jù)條件，乘積中不含丁項(xiàng)，即可認(rèn)為/項(xiàng)，/項(xiàng)的系數(shù)為0,從而得到關(guān)

于a,b的方程組。

【解答1(尤2+ax+8)(尤2-3尤+6)=尤'-3尤3+6尤？+ax3-3ax2+abx+8無(wú)？-24x+86

=x4+(Q-3)%3+(Z?-3a+8)x2+(ab-24)x+8b。

由于乘積中不含/,/項(xiàng)，因此有

a—3=0[a—3

解得

Z?-+8=01人7=1

二.a=3,b=1

第4節(jié)乘法公式

知識(shí)要點(diǎn)

1.平方差公式：(?+/?)(?-/?)=a1-b2o

(1)位置變化：如(a+b)(-b+a),可利用加法交換律；將第二個(gè)括號(hào)變?yōu)?a-加，

即可變?yōu)椤皹?biāo)準(zhǔn)型”。

(2)符號(hào)變化：如

(-a-b)(a-b)=[-(?+/7)]?(?-/?)=~{a+b\a-b)=-(?2-b~)-b~-a2；

(3)增項(xiàng)變化：如(a+Z?+c)(a+b—c),若能將(a+6)看作一個(gè)整體,

(a+b+c)(a+b—c)—[(a+b)+c][(a+b)—c]—(a+Z?)—c~=a2+2ab+—c~。

(4)增因式變化：如(a+Z;)(a—8)(。2+/)(。4+①),

(a2-b-\a-+/)(/+/)=54―3物+/)=/—凡

2.完全平方公式：(a土6)2="±2?！?/。

注意：公式中的“6”既可代表具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。

如：(a+。+c)2=[(a+/7)+c]-=(a+6)~+2(a+Z>)-c+c2

—ci~+b~+c2+2ab+2ac+2bc

【典型例題】

1.平方差公式

【例1】下列兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？

(1)(3x+4y)(3x-4y)(2)(3x-4y)(4y-3x)

(3)(―3x+4y)(3x+4y)(4)(―3x+4y)(—3x—4y)

【解答】解：(1)(3)(4)可以用平方差公式，而(2)不能用平方差公式。

(1)(3x+4y)(3x-4y)=(3x)?-(4y)2=9x?-16y2

(3)(-3x+4y)(3x+4y)=(4y-3x)(4y+3x)=(4y)2-(3x)2=16y2-9x2

(4)(-3x+4y)(-3x-4y)-(-3x)2-(4y)2=9x2-16j2

或(-3x+4y)(-3x-4y)=(3x-4y)(3x+4j)=9x~-16y2

【例2】計(jì)算下列各題：

(1)(tz+2/?)(?2+4b2)(?-2b)(2)(x-y+l)(x+y-l)

【分析】(1)中利用乘法交換律和結(jié)合律，可連續(xù)使用平方差公式。

(2)中兩個(gè)因式相同的項(xiàng)為x,相反的項(xiàng)為—y與y；1與一1,故將一y+1變形

為-(y-1)，化成符號(hào)公式結(jié)構(gòu)特征的形式后再利用平方差公式。

【解答】(1)原式=(a+2b)(l—2勿(/+4/)

=(a2-4Z?2)(a2+4Z?2)

=/—(4Z?2)2=a4—16Z?4

(2)原式=-1)]口+(k1)]

=x2—(y—if=x2~(y2-2-y+l)=x2-y2+2y-l

【例3】利用平方差公式計(jì)算：

(1)99-xlOO-(2)20062-2007x2005

77

522252

【分析】(1)中99-=100——,100—=100+—，故99-xlOO-可以寫成

777777

22

(100——)(100+-),

77

再應(yīng)用公式計(jì)算。(2)中2007=2006+1,2005=2006—1,用平方差公式進(jìn)行計(jì)

算。

22445

【解答】(1)原式=(100——)(100+-)=10000——=9999—

774949

(2)原式=20062-(2006+1)(2006-1)=20062-(20062-1)=1

【例4】化簡(jiǎn)求值，其中x=l,y=-L

2

[2/—(無(wú)+y)(x-y)][(x+2)(2-x)+(2-j)(-y-2)]

【分析】求代數(shù)式的值時(shí)首先要對(duì)代數(shù)式進(jìn)行簡(jiǎn)化，以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，本題的關(guān)鍵就在于平

方

差公式的靈活運(yùn)用。

【解答】解：原式=[2f_(f_9)][(2+幻(2_；0+(_)；+2)(_,_2)]

(x2+y2)(y2-x2)=y4-x4

當(dāng)x=l,y=工時(shí)，原式=(_工)4_(_1)4=上_1=_"。

221616

【例5】i+M(2+l)x(22+l)x(24+l)x(28+l)x....x(2100+l)

【分析】在上式中乘以(2-1)后可反復(fù)使用平方差公式進(jìn)行計(jì)算

【解答】=(2-1)x(2+1)x(22+1)x(24+1)x(28+1)x……x(2100+l)

=(22-l)x(22+l)x(24+l)x(28+l)x...x(2100+1)

=(28-1)(28+1)X........x(2100+l)

=2200—1

2.完全平方公式

【例1】計(jì)算下列各題：

11

(1)(-a-3b)29(2)(-?+2Z?)29

(3)(-2x+5y)2(4)(-3x-2y)2

【分析】(1)(2)可直接利用公式，由乘法運(yùn)算性質(zhì)可知：(—。+6)2=@—。)2=0—6)2,

(-a-6)2=0+6)2,這樣，當(dāng)括號(hào)內(nèi)的二項(xiàng)式首項(xiàng)為負(fù)值時(shí)，可利用上述兩個(gè)式

子，將其變形為首項(xiàng)為正的形式，再利用完全平方公式展開(kāi)，不易出錯(cuò)。

【解答】(1)原式=ga)2—2xga?3b+(3b)23仍+/2

(2)原式=(工4)2+2x—a?2b+(2b)2=—a2+ab+4b2

4416

(3)原式=|-(2x_5y)]2=(2x—5y)2=(2x)2—2x2x.5y+(5y)2

=4x2-20^+25/

(4)原式=[—(3x+2y)f=(3x+2y)2=9f+12肛+4/

【例2】下面的計(jì)算對(duì)不對(duì)？若不對(duì)，請(qǐng)指明錯(cuò)誤的原因，并改正。

(1)(x+y)2=x2+y2(2)(x-_y)2-x2-2xy-y2

(3)(-gx+y)2+孫+y2(4)(_gx-y)2—孫+/2

【解答】(1)錯(cuò)，(x+y)2=(x+y)(x+y)展開(kāi)后應(yīng)有三項(xiàng)，應(yīng)為三+2孫+)?。

(2)錯(cuò)，(％->)2展開(kāi)后平方項(xiàng)應(yīng)同為正，應(yīng)為k-2町+_/。

(3)錯(cuò)，(—gx+y)2=(gx-丁丁，應(yīng)為;x?一孫+/。

(4)錯(cuò)，(_gx—y)2=(gx+y)2應(yīng)為:爐+孫+y2。

【例3】計(jì)算：

(1)(a+2/?)(?-2Z?)(a2-4b2)(2)(2a+3b-c)(2a-3b-c)

(3)(3a+6)2<3a-8)2

【分析】(1)中先用平方差公式，再用完全平方公式；(2)中先把兩個(gè)因式中相同的項(xiàng)結(jié)合

在

一起作一組，再把相反的項(xiàng)作一組，就可以利用平方差公式了；(3)逆用積的乘方

公式，就可以用平方差公式和完全平方公式直接寫出答案了。

【解答】(1)原式=(。2—4/)(4—4/)=。4一8“2"+16/

(2)原式=[(2a—c)+3句[(2a—c)—3句

222

=(2a-c)-(35)2=4a2_缶。+c_%

(3)原式=[(3a+b)(3a—=(9/—尸)2

=81，-18—+。4

【例4】計(jì)算(a+b+c)2,并利用它的結(jié)論直接計(jì)算(x-2y+3z)2

【分析】把。+〃看作一個(gè)整體，即一項(xiàng)，然后用完全平方公式展開(kāi)；把x.-2y,3z分別看

作公

式中的“a”、"b”、“c”,即可套用公式。

【解答】(a+6+c)2=[(a+b)+c]2

—(a+