2024-2025學(xué)年福建省福州一中九年級(jí)（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年福建省福州一中九年級(jí)（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.2024的相反數(shù)是(

)A.2024 B.?2024 C.12024 D.2.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,?4)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(

)A.(1,4) B.(?1,4) C.(0,?4) D.(?1,?4)3.如圖，在△ABC中，DE//BC，ADDB=23，若AE=4，則A.6B.8

C.10D.124.下列計(jì)算正確的是(

)A.x5·x2=x10 B.5.下列長(zhǎng)度的三條線(xiàn)段能組成三角形的是(

)A.2，3，6 B.5，8，13 C.4，4，7 D.3，4，86.某校舉行“英語(yǔ)單詞拼寫(xiě)比賽”，5個(gè)班級(jí)代表隊(duì)的正確答題數(shù)如圖.這5個(gè)正確答題數(shù)所組成的一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)是(

)A.15，15 B.15，13 C.20，13 D.10，157.如圖，直線(xiàn)AC和直線(xiàn)BD相交于點(diǎn)O，若∠1+∠2=90°，則∠BOC的度數(shù)是(

)A.100°B.115° C.135°D.145°8.某校七年級(jí)組織一次籃球賽，各班均組隊(duì)參賽，賽制為每?jī)砂嘀g賽兩場(chǎng)，共需安排42場(chǎng)比賽.設(shè)七年級(jí)共有x個(gè)班，則下列方程正確的是(

)A.x(x?1)=42 B.12x(x+1)=42 C.x(x+1)=42 9.如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，H為AD邊中點(diǎn)，AC=12，菱形ABCD的面積為96，則OH的長(zhǎng)等于(

)

A.6 B.5 C.4 D.310.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的圖象與x軸交于不同兩點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)在y軸正半軸，它的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，有以下結(jié)論：①abc<0，②2a+b=0，③拋物線(xiàn)上有兩點(diǎn)P(x1,y1)和Q(x2,y2)，若x1<1<x2，且A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④二、填空題：本題共7小題，共27分。11.據(jù)報(bào)道，受臺(tái)風(fēng)“摩羯”影響，?？谌惺転?zāi)人口126.81萬(wàn)人，造成直接經(jīng)濟(jì)損失約263.24億元，數(shù)據(jù)263.24億元用科學(xué)記數(shù)法表示為_(kāi)_____元.12.如果13a2bx3與?0.513.因式分解：x2?4y2=14.如圖，已知OA=OB，BC⊥AC于點(diǎn)C.點(diǎn)O對(duì)應(yīng)的數(shù)是0，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)是?2，AC=1，那么數(shù)軸上點(diǎn)B所表示的數(shù)是______．

15.當(dāng)x=1時(shí)，整式ax3+bx+1的值為2024，則當(dāng)x=?1時(shí)，整式a16.如圖，正方形ABCD中邊長(zhǎng)為12，E為BC上一點(diǎn)，且BE=3，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為_(kāi)_____．17.如圖，菱形ABCD中的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，BE//AC，CE//BD．

求證：四邊形OBEC是矩形．三、解答題：本題共8小題，共64分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。18.(本小題8分)

(1)計(jì)算：(2024?π)0+|3?1|?19.(本小題8分)

如圖，∠A=∠D=90°，AB=DC，求證：△ABC≌△DCB．20.(本小題8分)

先化簡(jiǎn)、再求值x2?2xx2?121.(本小題8分)

為了了解某校中學(xué)生音樂(lè)期末成績(jī)分布情況，隨機(jī)調(diào)查了部分參加期末測(cè)試的學(xué)生的音樂(lè)成績(jī)，整理并制作了統(tǒng)計(jì)圖表的一部分．分?jǐn)?shù)段頻數(shù)頻率60≤x<70a0.170≤x<8090b80≤x<9090≤x≤10060c請(qǐng)根據(jù)圖表中提供的信息，解答下列問(wèn)題：

(1)a=______；b=______；

(2)請(qǐng)用樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)該校音樂(lè)期末測(cè)試成績(jī)的平均分；

(3)若該校有2000名學(xué)生參加音樂(lè)期末測(cè)試，成績(jī)達(dá)到90分為優(yōu)秀，則估計(jì)該校音樂(lè)期末測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為_(kāi)_____．22.(本小題8分)

某工藝品專(zhuān)賣(mài)店計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)中國(guó)結(jié)和油紙傘若干，已知購(gòu)買(mǎi)2個(gè)中國(guó)結(jié)和3把油紙傘共需195元，購(gòu)買(mǎi)4個(gè)中國(guó)結(jié)和8把油紙傘共需460元．

(1)每個(gè)中國(guó)結(jié)和每把油紙傘的進(jìn)價(jià)分別是多少元；

(2)若該專(zhuān)賣(mài)店準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)中國(guó)結(jié)和油紙傘共30件，且購(gòu)買(mǎi)中國(guó)結(jié)的數(shù)量至少比油紙傘的數(shù)量多5件，請(qǐng)問(wèn)怎樣購(gòu)買(mǎi)，才能使總費(fèi)用最少，并求出最少總費(fèi)用．23.(本小題8分)

閱讀材料：如圖1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在AB邊上求作點(diǎn)P，使得∠BPC+∠ACP=90°.小明提出想法：如圖2，假設(shè)點(diǎn)P為所求作的點(diǎn)，連接CP，此時(shí)有∠BPC+∠ACP=90°，因?yàn)椤螧CP+∠ACP=90°，所以∠BPC=∠BCP，從而得到：BP=BC．

由此想法得到如下作圖方法：如圖2，以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑畫(huà)弧，該弧與AB相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所作的點(diǎn)．

根據(jù)以上材料，完成下面兩個(gè)問(wèn)題：

(1)請(qǐng)你類(lèi)比上述作圖方法，在圖3中，用尺規(guī)作圖在AB邊上作點(diǎn)Q，使得∠CQB+∠ACQ=180°；

(2)按以上要求作出P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)直角邊長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，求證：∠PCQ=45°．24.(本小題8分)

如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn).A點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,0)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3)，點(diǎn)M為拋物線(xiàn)頂點(diǎn)，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)在直線(xiàn)BC上方的拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)Q，使得∠QCB=2∠ABC，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)已知D，F(xiàn)為拋物線(xiàn)上不與A，B重合的相異兩點(diǎn)，若直線(xiàn)AD，BF交于點(diǎn)P，則無(wú)論D，F(xiàn)在拋物線(xiàn)上如何運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，試判斷△ABP的面積是否為定值，若是，請(qǐng)求出定值：若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

25.(本小題8分)

如圖，將正方形紙片ABCD沿PQ折疊，使點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E落在邊CD上，點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F，EF交AD于點(diǎn)G．

(1)如圖1，若QC=4，EC=3，DE=6，求DG的長(zhǎng)；

(2)如圖2，連接BG交PQ于點(diǎn)H，連接BE、HE，

①試判斷△BHE的形狀，并說(shuō)明理由：

②求證：EG2?BH參考答案1.B

2.D

3.C

4.D

5.C

6.A

7.C

8.A

9.B

10.D

11.2.6324×1012.?2

13.(x+2y)(x?2y)

14.?15.?2022

16.15217.證明：∵菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，

∴AC⊥BD，

∵BE//AC，CE//BD，

∴∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°，

∴四邊形OBEC是矩形；

18.解：(1)原式=1+3?1?23

=?3；

(2)x2?3x+1=0，

∴Δ=(?319.證明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，

BC=CBAB=DC，

∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)．20.解：x2?2xx2?1÷(x?1?2x?1x+1)

=x(x?2)(x+1)(x?1)÷x221.（1）30，22.解：(1)設(shè)每個(gè)中國(guó)結(jié)的進(jìn)價(jià)為x元，每把油紙傘的進(jìn)價(jià)為y元，

由題意，得2x+3y=195,4x+8y=460,

解得x=45,y=35.

答：每個(gè)中國(guó)結(jié)的進(jìn)價(jià)為45元，每把油紙傘的進(jìn)價(jià)為35元．

(2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)m個(gè)中國(guó)結(jié)，則購(gòu)買(mǎi)(30?m)把油紙傘，

根據(jù)題意，得m≥30?m+5，

解得m≥17.5．

設(shè)總費(fèi)用為W元，則W=45m+35(30?m)=10m+1050．

∵10>0，

∴W隨m的增大而增大．

∵m為整數(shù)，m≥17.5，

∴當(dāng)m=18時(shí)，W取得最小值，

此時(shí)W=10×18+1050=1230，

此時(shí)30?m=12．

答：購(gòu)買(mǎi)中國(guó)結(jié)18個(gè)、油紙傘12把時(shí)，總費(fèi)用最少，最少總費(fèi)用是1230元．

23.解：(1)如圖1，點(diǎn)Q即為所求，

；

(2)證明：如圖2，

；

由作圖知：AC=AQ，BC=BP，

∴∠ACQ=∠AQC，∠BCP=∠BPC，

∵∠ACQ+∠AQC+∠A=180°，∠BCP+∠BPC+∠B=180°，

∴∠AQC=12(180°?∠A)，∠BPC=12(180°?∠B)，

∵∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A+∠B=90°，

∴∠AQC=12(180°?∠A)=124.解：(1)將A(?1,0)，C(0,3)代入y=ax2+2x+c，

得a?2+c=0c=3，

解得：a=?1c=3，

∴拋物線(xiàn)解析式為y=?x2+2x+3；

(2)對(duì)于y=?x2+2x+3，令y=0，則?x2+2x+3=0

解得：x1=?1，x2=3

∴B(3,0)，

∴OB=OC=3，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°，

∵∠QCB=2∠ABC，

∴∠QCB=90°，

如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥BC交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥y軸于點(diǎn)G，

∴∠GCQ=90°?∠ABC=45°，

∴△GCQ是等腰直角三角形，

∴CG=QG，

設(shè)Q(q,?q2+2q+3)，則G(0,?q2+2q+3)，

∴CG=?q2+2q，GQ=q，

∴?q2+2q=q，

解得：q=0(舍去)或q=1，

∴Q(1,4)；

(3)△ABP的面積為定值8．

理由：

如圖：

設(shè)D(x1,y1)，F(xiàn)(x2,y2)，

∵點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，A(?1,0)，B(3,0)

∴E(1,0)，

∵D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，

∴可設(shè)直線(xiàn)DF的解析式y(tǒng)=kx+b，

代入E(1,0)得b=?k，

∴直線(xiàn)DF的解析式y(tǒng)=kx?k=k(x?1)，

聯(lián)立y=k(x?1)y=?x2+2x+3，

得?x2+(2?k)x+(3+k)=0，

∴x1+x2=2?k，x1x2=?3?k，

∵A(?1,0)，B(3,0)，

同理直線(xiàn)AD解析式為y=k1(x+1)，直線(xiàn)BF解析式為y=k2(x?3)，

聯(lián)立y=k25.(1)解：∵將正方形紙片ABCD沿PQ折疊，使點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E落在邊CD上，

∴∠QEG=∠B=90°，∠C=∠D=90°，AB/?/CD，

∴∠CQE=90°?∠CEQ=∠DEG，

∴△CQE∽△DEG，

∴CEDG=CQDE，即3DG=46，

∴DG=4.5；

(2)①解：△BHE是等腰直角三角形，

理由：過(guò)B作BM⊥GE，

∵翻折，

∴∠ABE=∠GEB，BH=EH，

∵AB/?/CD，

∴∠ABE=∠BEC，

∴∠BEM=∠BEC，

又∠BME=∠C=90°，BE=BE，

∴△BCE≌△BME(AAS)，

∴∠MBE=∠CBE=12∠CBM，BM=BC=AB，

又BG=BG，

∴Rt△BMG≌Rt△BAG(HL)，

∴∠MBG=∠ABG=12∠ABM，

∴∠GBE=∠MBE+∠MBG=12∠CBM+12∠ABM=12∠ABC=45°，

∵BH=EH，

∴∠HBE=∠HEB=45°，

∴∠BHE=90°，

∴△BHE是等腰直角三角形；

②證明：連接AH，MH，EH，如