2024-2025學(xué)年江蘇省連云港市云帆杯高三（上）學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（8月份）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年江蘇省連云港市云帆杯高三（上）學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（8月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x?2x+2≤0}，B={x∈Z|?1≤x≤5}，則A∩B=A.[?1,2] B.{?1,0,1,2} C.[?1,2) D.{?1,0,1}2.若1z=1?i1+7i，則A.10 B.42 C.5 3.已知空間向量a=(6,2,1)，b=(2,x,?3)，若(a?2bA.4 B.6 C.234 D.4.已知cos(α+β)=13，sin(β+γ)=32A.3+13 B.3+25.已知函數(shù)f(x)=2x2?2x?3,x>alogaA.[3,+∞) B.(3,+∞) C.(1,3) D.(4,+∞)6.已知實(shí)數(shù)x，y滿足(x?2)2+(y?3)2=3A.6?1 B.?2?7 C.7.銳角△ABC中，sinC=13，sin(A?B)=14，AB=8，則AB邊上的高A.3625 B.191178.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an?16an3，記A.S25<4 B.?n∈N+,i=2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=sin2x，則下列函數(shù)為周期函數(shù)的是(

)A.f(cosx) B.f(x+sinx2)

C.10.“大鵬曲線”的方程為C：x24?y|y|=1，其圖像因?yàn)樾嗡埔恢徽钩岣唢w的大鵬而得名.直線y=ax+b與C的交點(diǎn)可能個(gè)數(shù)的集合記為D(a,b)，下列選項(xiàng)正確的是A.D(a,2)={0，1，2}

B.D(a,?3a)={0，1，2}

C.“D(a,b)={3}”的充要條件是“|a|>12且b<0”

D.“D(a,b)={0，1，2}”的充分條件是“2a?b=2，a≤311.如圖，平面m與平面n交線為l1，空間內(nèi)有另一條直線l2，記l1，l2的夾角為θ，l2與平面m的夾角為α，l2與平面n夾角為β，二面角m?lA.θ>α

B.θ<β

C.α+β+γ≤π

D.α+β+γ≥π三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(3?2x)6的二項(xiàng)展開(kāi)式中x13.拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，A為C上第一象限的一點(diǎn)，B為A在C的準(zhǔn)線上的垂足，直線BF在第四象限交拋物線C于點(diǎn)D，若F為BD中點(diǎn)，則sin∠BADsin14.已知一正五棱錐，其頂點(diǎn)與各側(cè)棱中點(diǎn)合計(jì)11個(gè)點(diǎn).從這11個(gè)點(diǎn)中任選4個(gè)點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的概率為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)

為推進(jìn)鄉(xiāng)村振興計(jì)劃，某鎮(zhèn)通過(guò)實(shí)地考察當(dāng)?shù)貭顩r，大力推廣當(dāng)?shù)靥厣r(nóng)產(chǎn)品.為了統(tǒng)計(jì)甲村，乙村生產(chǎn)該產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)對(duì)甲乙兩村各隨機(jī)選取300件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量如下：合格不合格合計(jì)甲村27030300乙村29010300合計(jì)56040600(1)分析能否有99%的把握認(rèn)為甲乙兩村的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

(2)該鎮(zhèn)通過(guò)線上平臺(tái)對(duì)鄉(xiāng)村生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行售賣(mài)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，該產(chǎn)品在2024年上半年的月銷(xiāo)量符合正態(tài)分布(290,25)，鄉(xiāng)鎮(zhèn)人員現(xiàn)從2024年的前6個(gè)月中隨機(jī)選取三個(gè)月的銷(xiāo)量數(shù)據(jù)，其中銷(xiāo)量數(shù)據(jù)不低于290的記為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

附：K2=P(0.10.050.01k2.7063.8416.63516.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=xlnx?12a(x?2)2?3x．

(1)若a=1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求a17.(本小題12分)

三棱柱ABC?A′B′C′中，AB=BC，AB⊥BC，P，Q分別為線段AB，BC上面的點(diǎn)，且A′P⊥AQ，B′C⊥AQ．

(1)證明：AP=BQ；

(2)若B′C=A′B′=2，A′P=3，AQ=5，求平面A′PQ與平面BCC′B′的夾角的余弦值．18.(本小題12分)

雙曲線W：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)BC在W的右支上，當(dāng)BC⊥x軸時(shí)，|AB|=41111．

(1)求19.(本小題12分)

設(shè)n為正整數(shù)，數(shù)列{an}為正整數(shù)數(shù)列，且滿足數(shù)列{an}和{an+1}均為等差數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列{an}為“五彩的”．

(1)判斷下列兩個(gè)數(shù)列是否為“五彩的”，并說(shuō)明理由：

①有窮數(shù)列數(shù)列W：1，5，2，4，3，2；

②無(wú)窮數(shù)列{cn}，通項(xiàng)公式為cn=n．

(2)若數(shù)列參考答案1.B

2.C

3.C

4.B

5.A

6.D

7.D

8.D

9.ABD

10.BD

11.AC

12.?4320

13.2

14.263315.解：(1)設(shè)零假設(shè)H0：有99%的把握認(rèn)為甲乙兩村的產(chǎn)品質(zhì)量沒(méi)有差異，

則K2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=600(2700?290×30)2560×40×300×300≈10.7>6.635，

故零假設(shè)H0不成立，

所以有99%的把握認(rèn)為甲乙兩村的產(chǎn)品質(zhì)量有差異；

(2)由題意，月銷(xiāo)量符合正態(tài)分布(290,25)，

則P(ξ≥290)=0.5，

由題意，ξ的取值為0，1，2，3，

ξ0123P1331數(shù)學(xué)期望E(ξ)=3816.解：(1)f′(x)=lnx?x，

設(shè)g(x)=lnx?x，g′(x)=1?xx，

則g(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+∞)單調(diào)遞減，

∴g(x)≤g(1)=?1，即f′(x)<0，

故f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減；

(2)f′(x)=lnx?ax+2a?2，

即原題等價(jià)于f′(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)?(x)=lnx?ax+2a?2，?′(x)=1?axx，

當(dāng)a≤0時(shí)，?′(x)>0，

則?(x)在定義域單調(diào)遞增，f′(x)最多有一個(gè)零點(diǎn)，與題意不符，

當(dāng)a>0時(shí)，令?′(x)>0?x<1a，

故R(x)在(0,1a)單調(diào)遞增，在(1a,+∞)單調(diào)遞減，

當(dāng)x→0，?(x)→∞，x→+∞，?(x)→?∞，

由于f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則?(1a)>0這等價(jià)于2a?lna?3>0①，17.解：(1)證明：過(guò)A作BC的平行線AD，且AD=BC，連接A′D，CD，

則有CD//AB//A′B′且CD=AB=A′B′，

故四邊形A′DCB′為平行四邊形．∴A′D/?/BC且A′D=B′C，

∵B′C⊥AQ，A′P⊥AQ，∴A′D⊥AQ，

又A′D，A′P?面A′DP，∴AQ⊥平面A′DP，

又因?yàn)镈P?平面A′DP，∴AQ⊥DP，

∴∠QAP+∠DPA=∠ADP+∠DPA=90°，

∴∠ADP=∠BAQ，

∴AP=ADtan∠ADP=ABtan∠QAB=BQ；

(2)由題意，A′P=3，DP=AQ=5，

∴由勾股定理知A′D⊥DP，

又∵A′D⊥AQ，

∴A′D⊥平面DPAQ，

∴A′D⊥平面ABCD

∴AD，DA，DC兩兩垂直，

以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DA′所在直線分別為x軸，y軸，為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

∴D(0,0,0)，A(0,0,2)，P(2,1,0)，Q(1,2,0)

∴A′P=(2,1?2),A′Q=(1,2,?2)，

設(shè)n=(x,y,z)為平面A′PQ的法向量，

則n?A′P=0n?A′Q=0，則有2x+y?2z=0x+2y?2z=0，

取x=2，則平面A′PQ的一個(gè)法向量為n=(2.2,3)，

而m18.解：(1)由題知ba=e2?1=2??①，

當(dāng)BC⊥x軸時(shí)，不妨設(shè)直線BC：x=m，

與雙曲線聯(lián)立知x2a2?y2b2=1x=m?|y|=bam2?a2，

又因?yàn)閨AB|=|BC|=|CA|=41111=2m2?a2，

所以|BC|=2|y|=4m2?a2=41111??②，

又因?yàn)锳在BC的中垂線上，故A(0,0)，

所以m=|AB|sin60°=23311??③，

將③代入①②知a=1，b=2．

即雙曲線W方程為：x2?y24=1．

(2)由題意知直線BC的斜率存在，不妨設(shè)BC：y=kx+m，

設(shè)A(0,yA)，B(x1,y1)，C(x2,y2)，D(0,m)，

直線BC與雙曲線聯(lián)立y=kx+mx2?y24=1?(4?k2)19.解：(1)①不是．

{aan+1}中aa1+1=a2=5，aa2+1=a6=2，aa3+1=a3=2，不是等差數(shù)列，①不是“五彩的”．

②是．

aan=an=n，aan?a