專題04不等式的概念和性質(zhì)(熱考題型)-原卷版+解析

專題04不等式的概念和性質(zhì)【思維導(dǎo)圖】◎考點(diǎn)題型1不等式的定義不等式的定義：用符號(hào)“”或“”表示大小關(guān)系的式子，叫作不等式.像a3這樣用符號(hào)“”表示不等關(guān)系的式子也是不等式。【注意】1.方程與不等式的區(qū)別：方程表示的是相等關(guān)系，不等式表示的是不等關(guān)系。2.常用的不等號(hào)有“”五種.“”“”不僅表示左右兩邊的不等關(guān)系，還明確表示左右兩邊的大小；“”“”也表示不等關(guān)系，前者表示“不小于”(大于或等于），后者表示“不大于”(小于或等于）；“”表示左右兩邊不相等。3.在不等式a>b或a<b，a叫做不等式的左邊，b叫做不等式的右邊。4.在列不等式時(shí)，一定要注意表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞。例．（2021春·甘肅蘭州·八年級(jí)?？计谥校┦阶英賦-y=2，②xy，③x+y，④x-3y，⑤x≥0，⑥x3中，屬于不等式的有(

)A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)變式1．（2021春·七年級(jí)?？紗卧獪y(cè)試）給出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．2 C．3 D．4變式2．（2022春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）下列6個(gè)式子①－2＜0；②2x－1＞0；③2x－1＝0；④2x－1＜0；⑤m－2；⑥－2≤2ab，其中不等式有(

)A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)變式3．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在數(shù)學(xué)表達(dá)式①-3<0②4x+3y>0③x=3④x2+xy+y2⑤x≠5⑥x+2>y+3中，是不等式的有(

)個(gè).A．1 B．2 C．3 D．4◎考點(diǎn)題型2不等式的解集1、不等式的解與解集：不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值叫作不等式的解。不等式的解集：一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個(gè)不等式的解集。它可以在數(shù)軸上直觀地表示出來(lái)，是數(shù)形結(jié)合的具體表現(xiàn)。一般來(lái)說(shuō)，不等式的解集用數(shù)軸表示有以下四種情況：不等式表示數(shù)軸表示【注意】不等式的解與不等式的解集的區(qū)別與聯(lián)系：1）不等式的解是指滿足這個(gè)不等式的未知數(shù)的某個(gè)值。2）不等式的解集是指滿足這個(gè)不等式的未知數(shù)的所有的值。3）不等式的所有解組成了這個(gè)不等式的解集，不等式的解集中包括這個(gè)不等式的每一個(gè)解。2.用數(shù)軸表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等號(hào)畫實(shí)心圓點(diǎn)，無(wú)等號(hào)畫空心圓點(diǎn)。例．（2022春·山西朔州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法不正確的是（

）A．由，得 B．由得C．不等式的解一定是不等式的解 D．若，則（c為有理數(shù)）變式1．（2022春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）下列各數(shù)中，能使不等式成立的是（）A．6 B．5 C．4 D．2變式2．（2022春·內(nèi)蒙古通遼·七年級(jí)?？计谥校┤絷P(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式3．（2022春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）下列說(shuō)法：①是不等式的一個(gè)解；②不是不等式的解；③不等式的解有無(wú)數(shù)個(gè)．其中正確的有()A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)◎考點(diǎn)題型3不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)：基本性質(zhì)1：不等式兩邊同時(shí)加或減去同一個(gè)整式，不等號(hào)方向不變，即

若a>b，則a+c>b+c，a-c>b-c。

基本性質(zhì)2：不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)大于0的整式，不等號(hào)方向不變，即

若a>b,c>0，則ac>bc（或）

基本性質(zhì)3：不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)小于0的整式，不等號(hào)方向改變，即若a>b,c<0，則ac<bc（或）基本性質(zhì)4：若a>b，則b<a?；拘再|(zhì)5：若a>b>c，則a>c?；拘再|(zhì)6：如果，，那么.【注意】1、根據(jù)不等式的性質(zhì)，可以將一個(gè)不等式變形，尤其要注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別，當(dāng)不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變。2、不等號(hào)方向發(fā)生改變就是指原來(lái)的不等號(hào)方向變成其相反方向。不等式性質(zhì)與等式性質(zhì)的相同和不同點(diǎn)：相同點(diǎn)：都可以在兩邊加上或減去同一個(gè)式子不同點(diǎn)：對(duì)于等式兩邊，乘（或除）以同一個(gè)正數(shù)（或負(fù)數(shù)），結(jié)果依然成立對(duì)于不等式兩邊，乘（或除）以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變；乘（或除）以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向發(fā)生改變；解不等式的概念：求不等式的解集的過(guò)程叫作解不等式。例．（2020秋·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤簦瑒t（

）A． B． C． D．變式1．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，下列不等式變形不正確的是（

）A． B． C． D．變式2．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第六十九中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．變式3．（2022春·重慶銅梁·七年級(jí)?？计谀┤魧?shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列不等式成立的是（

）A．a(chǎn)c>bc B．b-2a>b-2cC．a(chǎn)+c>b+c D．a(chǎn)-b>c-b專題04不等式的概念和性質(zhì)【思維導(dǎo)圖】◎考點(diǎn)題型1不等式的定義不等式的定義：用符號(hào)“”或“”表示大小關(guān)系的式子，叫作不等式.像a3這樣用符號(hào)“”表示不等關(guān)系的式子也是不等式?！咀⒁狻?.方程與不等式的區(qū)別：方程表示的是相等關(guān)系，不等式表示的是不等關(guān)系。2.常用的不等號(hào)有“”五種.“”“”不僅表示左右兩邊的不等關(guān)系，還明確表示左右兩邊的大?。弧啊薄啊币脖硎静坏汝P(guān)系，前者表示“不小于”(大于或等于），后者表示“不大于”(小于或等于）；“”表示左右兩邊不相等。3.在不等式a>b或a<b，a叫做不等式的左邊，b叫做不等式的右邊。4.在列不等式時(shí)，一定要注意表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞。例．（2021春·甘肅蘭州·八年級(jí)?？计谥校┦阶英賦-y=2，②xy，③x+y，④x-3y，⑤x≥0，⑥x3中，屬于不等式的有(

)A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)不等式的定義：表示不等關(guān)系的式子叫做不等式，可直接選出答案．【詳解】屬于不等式的有：②⑤⑥．共3個(gè)故選：B【點(diǎn)睛】此題主要考查了不等式的定義,解答此類題關(guān)鍵是要識(shí)別常見(jiàn)不等號(hào)：＞，＜，≤，≥，≠．變式1．（2021春·七年級(jí)?？紗卧獪y(cè)試）給出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】運(yùn)用不等式的定義進(jìn)行判斷．【詳解】解：③是等式，④是代數(shù)式，沒(méi)有不等關(guān)系，所以不是不等式．不等式有①②⑤⑥，共4個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的識(shí)別，一般地，用不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式．解答此類題關(guān)鍵是要識(shí)別常見(jiàn)不等號(hào)：＞，＜，≤，≥，≠．變式2．（2022春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）下列6個(gè)式子①－2＜0；②2x－1＞0；③2x－1＝0；④2x－1＜0；⑤m－2；⑥－2≤2ab，其中不等式有(

)A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】B【分析】主要依據(jù)不等式的定義：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子是不等式來(lái)判斷．【詳解】根據(jù)不等式的定義可得：①－2＜0，②2x－1＞0，④2x－1＜0，⑥－2≤2ab共計(jì)4個(gè).故選B.【點(diǎn)睛】考查不等式的識(shí)別，一般地，用不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式．解答此類題關(guān)鍵是要識(shí)別常見(jiàn)不等號(hào)：＞,＜,≤,≥,≠．變式3．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在數(shù)學(xué)表達(dá)式①-3<0②4x+3y>0③x=3④x2+xy+y2⑤x≠5⑥x+2>y+3中，是不等式的有(

)個(gè).A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)不等式的定義，用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子是不等式，依次判斷6個(gè)式子即可．【詳解】根據(jù)不等式的定義,依次分析可得：?3＜0，4x＋3y＞0，x≠5，x＋2＞y＋3，4個(gè)式子符合定義，是不等式，而x＝3是等式，x2＋xy＋y2是代數(shù)式.故答案為D.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的定義，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是本題解題的關(guān)鍵.◎考點(diǎn)題型2不等式的解集1、不等式的解與解集：不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值叫作不等式的解。不等式的解集：一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個(gè)不等式的解集。它可以在數(shù)軸上直觀地表示出來(lái)，是數(shù)形結(jié)合的具體表現(xiàn)。一般來(lái)說(shuō)，不等式的解集用數(shù)軸表示有以下四種情況：不等式表示數(shù)軸表示【注意】不等式的解與不等式的解集的區(qū)別與聯(lián)系：1）不等式的解是指滿足這個(gè)不等式的未知數(shù)的某個(gè)值。2）不等式的解集是指滿足這個(gè)不等式的未知數(shù)的所有的值。3）不等式的所有解組成了這個(gè)不等式的解集，不等式的解集中包括這個(gè)不等式的每一個(gè)解。2.用數(shù)軸表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等號(hào)畫實(shí)心圓點(diǎn)，無(wú)等號(hào)畫空心圓點(diǎn)。例．（2022春·山西朔州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法不正確的是（

）A．由，得 B．由得C．不等式的解一定是不等式的解 D．若，則（c為有理數(shù)）【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)、不等式的解集逐一進(jìn)行分析判斷即可得．【詳解】A．由，得，正確，不符合題意；B．由得，正確，不符合題意；C．不等式的解一定是不等式的解，正確，不符合題意；D．若，當(dāng)c=0時(shí)，（c為有理數(shù)），故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，不等式的解集，熟練掌握不等式的性質(zhì)和正確理解不等式的解集的概念是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）下列各數(shù)中，能使不等式成立的是（）A．6 B．5 C．4 D．2【答案】D【分析】將A、B、C、D選項(xiàng)逐個(gè)代入中計(jì)算出結(jié)果，即可作出判斷.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，=1＞0，當(dāng)x=5時(shí)，=0.5＞0，當(dāng)x=4時(shí)，=0，當(dāng)x=2時(shí)，=-1＜0，由此可知，可以使不等式成立．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的解的概念，代入求值是關(guān)鍵.變式2．（2022春·內(nèi)蒙古通遼·七年級(jí)?？计谥校┤絷P(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)3，兩邊都除以m-1后得到x＞1，可知m-1＜0，解之可得．【詳解】∵不等式（m-1）x＜m-1的解集為x＞1，∴m-1＜0，即m＜1，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查不等式的解集，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）下列說(shuō)法：①是不等式的一個(gè)解；②不是不等式的解；③不等式的解有無(wú)數(shù)個(gè)．其中正確的有()A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【分析】分別判斷①②③是否正確即可解答.【詳解】解：①把代入不等式，成立，故是不等式的一個(gè)解，正確；②把代入不等式，不成立，故不是不等式的解，正確；③不等式的解有無(wú)數(shù)個(gè)，正確．故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解的定義，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.◎考點(diǎn)題型3不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)：基本性質(zhì)1：不等式兩邊同時(shí)加或減去同一個(gè)整式，不等號(hào)方向不變，即

若a>b，則a+c>b+c，a-c>b-c。

基本性質(zhì)2：不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)大于0的整式，不等號(hào)方向不變，即

若a>b,c>0，則ac>bc（或）

基本性質(zhì)3：不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)小于0的整式，不等號(hào)方向改變，即若a>b,c<0，則ac<bc（或）基本性質(zhì)4：若a>b，則b<a?；拘再|(zhì)5：若a>b>c，則a>c?；拘再|(zhì)6：如果，，那么.【注意】1、根據(jù)不等式的性質(zhì)，可以將一個(gè)不等式變形，尤其要注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別，當(dāng)不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變。2、不等號(hào)方向發(fā)生改變就是指原來(lái)的不等號(hào)方向變成其相反方向。不等式性質(zhì)與等式性質(zhì)的相同和不同點(diǎn)：相同點(diǎn)：都可以在兩邊加上或減去同一個(gè)式子不同點(diǎn)：對(duì)于等式兩邊，乘（或除）以同一個(gè)正數(shù)（或負(fù)數(shù)），結(jié)果依然成立對(duì)于不等式兩邊，乘（或除）以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變；乘（或除）以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向發(fā)生改變；解不等式的概念：求不等式的解集的過(guò)程叫作解不等式。例．（2020秋·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤簦瑒t（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)依次判斷解答即可．【詳解】解：A．由，可得，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；B．由，可得，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；C．由，若可得，若可得，故此選項(xiàng)符合題意；D．由，可得，原變形不正確，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．要注意：不等式的性質(zhì)1是：不等式的兩邊都加（或減）同一個(gè)數(shù)或式子，不等號(hào)的方向不變，不等式的性質(zhì)2是：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，不等式的性質(zhì)3是：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．變式1．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，下列不等式變形不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)不等式基本性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：A．根據(jù)不等式性質(zhì)，不等式兩邊都加2可得，原變形正確，故此選項(xiàng)不符合題意；B．根據(jù)不等式性質(zhì)，不等式兩邊都乘以3可得，原變形正確，故此選項(xiàng)不符合題意；C．根據(jù)不等式性質(zhì)，不等式兩邊都乘以可得，原變形不正確，故此選項(xiàng)符合題意；D．根據(jù)不等式性質(zhì)，不等式兩邊都乘以2可得，再在不等號(hào)兩邊同時(shí)減1得，原變形正確，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握不等式的性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．變式2．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第六十九中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)：①不等式兩邊同時(shí)加上（減去）同一個(gè)數(shù)（式）不等號(hào)方向不變；②不等式兩邊同時(shí)乘以（除以）同一個(gè)正數(shù)不等號(hào)方向不變；③不等式兩邊同時(shí)乘以（除以）同一個(gè)負(fù)