專題13多邊形與平行四邊形(原卷版+解析)

專題13多邊形與平行四邊形平行線的判定與性質(zhì)1．（2021?臺(tái)州）一把直尺與一塊直角三角板按如圖方式擺放，若∠1＝47°，則∠2＝（）A．40° B．43° C．45° D．47°2．（2022?杭州）如圖，已知AB∥CD，點(diǎn)E在線段AD上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合），連接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，則∠A＝（）A．10° B．20° C．30° D．40°3．（2023?杭州）如圖，點(diǎn)D，E分別在△ABC的邊AB，AC上，且DE∥BC，點(diǎn)F在線段BC的延長(zhǎng)線上．若∠ADE＝28°，∠ACF＝118°，則∠A＝．4．（2023?臺(tái)州）用一張等寬的紙條折成如圖所示的圖案，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為．5．（2021?金華）某同學(xué)的作業(yè)如下框，其中※處填的依據(jù)是（）如圖，已知直線l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，則∠3＝∠4．請(qǐng)完成下面的說(shuō)理過(guò)程．解：已知∠1＝∠2，根據(jù)（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），得l1∥l2．再根據(jù)（※），得∠3＝∠4．A．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 C．兩直線平行，同位角相等 D．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)6．（2023?金華）如圖，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，則∠4的度數(shù)是（）A．120° B．125° C．130° D．135°7．（2021?溫州）如圖，BE是△ABC的角平分線，在AB上取點(diǎn)D，使DB＝DE．（1）求證：DE∥BC；（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度數(shù)．8．（2022?溫州）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E．（1）求證：∠EBD＝∠EDB．（2）當(dāng)AB＝AC時(shí)，請(qǐng)判斷CD與ED的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．9．（2022?紹興）如圖，把一塊三角板ABC的直角頂點(diǎn)B放在直線EF上，∠C＝30°，AC∥EF，則∠1＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°10．（2023?麗水）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB為腰作等腰直角三角形BAE，頂點(diǎn)E恰好落在CD邊上，若AD＝1，則CE的長(zhǎng)是（）A． B． C．2 D．1多邊形內(nèi)角與外角11．（2022?舟山）正八邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為．12．（2021?衢州）如圖，在正五邊形ABCDE中，連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)F，則∠AFB的度數(shù)為．平行四邊形的判定與性質(zhì)13．（2022?嘉興）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，則四邊形AEFG的周長(zhǎng)是（）A．8 B．16 C．24 D．3214．（2022?舟山）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8．點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，則四邊形AEFG的周長(zhǎng)是（）A．32 B．24 C．16 D．815．（2021?溫州）如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)），且∠AEB＝∠CFD＝90°．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）當(dāng)AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF時(shí)，求BD的長(zhǎng)．16．（2023?杭州）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，且BE＝EF＝FD，連接AE，EC，CF，F(xiàn)A．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形．（2）若△ABE的面積等于2，求△CFO的面積．17．（2022?溫州）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，O是DF的中點(diǎn)，EO的延長(zhǎng)線交線段BD于點(diǎn)G，連結(jié)DE，EF，F(xiàn)G．（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形．（2）當(dāng)AD＝5，tan∠EDC＝時(shí)，求FG的長(zhǎng)．18．（2021?寧波）如圖是一個(gè)由5張紙片拼成的平行四邊形ABCD，相鄰紙片之間互不重疊也無(wú)縫隙，其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為S1，另兩張直角三角形紙片的面積都為S2，中間一張矩形紙片EFGH的面積為S3，F(xiàn)H與GE相交于點(diǎn)O．當(dāng)△AEO，△BFO，△CGO，△DHO的面積相等時(shí)，下列結(jié)論一定成立的是（）A．S1＝S2 B．S1＝S3 C．AB＝AD D．EH＝GH平行四邊形綜合題19．（2023?紹興）在平行四邊形ABCD中（頂點(diǎn)A，B，C，D按逆時(shí)針方向排列），AB＝12，AD＝10，∠B為銳角，且sinB＝．（1）如圖1，求AB邊上的高CH的長(zhǎng)；（2）P是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C，D同時(shí)繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)C'，D'，①如圖2，當(dāng)C'落在射線CA上時(shí)，求BP的長(zhǎng)；②當(dāng)△AC'D'是直角三角形時(shí)，求BP的長(zhǎng)．20．（2023?寧波）定義：有兩個(gè)相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，對(duì)角線BD平分∠ADC．求證：四邊形ABCD為鄰等四邊形．（2）如圖2，在6×5的方格紙中，A，B，C三點(diǎn)均在格點(diǎn)上，若四邊形ABCD是鄰等四邊形，請(qǐng)畫出所有符合條件的格點(diǎn)D．（3）如圖3，四邊形ABCD是鄰等四邊形，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠BCD為鄰等角，連結(jié)AC，過(guò)B作BE∥AC交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若AC＝8，DE＝10，求四邊形EBCD的周長(zhǎng)．21．（2023?麗水）某數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)，準(zhǔn)備將一張三角形紙片（如圖）進(jìn)行如下操作，并進(jìn)行猜想和證明．（1）用三角板分別取AB，AC的中點(diǎn)D，E，連結(jié)DE，畫AF⊥DE于點(diǎn)F；（2）用（1）中所畫的三塊圖形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)或平移拼出一個(gè)四邊形（無(wú)縫隙無(wú)重疊），并用三角板畫出示意圖；（3）請(qǐng)判斷（2）中所拼的四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．22．（2023?臺(tái)州）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，BD為對(duì)角線．（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）已知AD＞AB，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作菱形BEDF，頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．23．（2022?杭州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF．已知四邊形BFED是平行四邊形，＝．（1）若AB＝8，求線段AD的長(zhǎng)．（2）若△ADE的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．

專題13多邊形與平行四邊形平行線的判定與性質(zhì)1．（2021?臺(tái)州）一把直尺與一塊直角三角板按如圖方式擺放，若∠1＝47°，則∠2＝（）A．40° B．43° C．45° D．47°【分析】直接利用三角形外角的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出答案．【解答】解：方法1：如圖，∵∠1＝47°，∠4＝45°，∴∠3＝∠1+∠4＝92°，∵矩形對(duì)邊平行，∴∠5＝∠3＝92°，∵∠6＝45°，∴∠2＝180°﹣45°﹣92°＝43°．方法2：如圖，作矩形兩邊的平行線，∵矩形對(duì)邊平行，∴∠3＝∠1＝47°，∵∠3+∠4＝90°，∴∠4＝90°﹣47°＝43°∴∠2＝∠4＝43°．故選：B．2．（2022?杭州）如圖，已知AB∥CD，點(diǎn)E在線段AD上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合），連接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，則∠A＝（）A．10° B．20° C．30° D．40°【分析】由∠AEC為△CED的外角，利用外角性質(zhì)求出∠D的度數(shù)，再利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等即可求出∠A的度數(shù)．【解答】解：∵∠AEC為△CED的外角，且∠C＝20°，∠AEC＝50°，∴∠AEC＝∠C+∠D，即50°＝20°+∠D，∴∠D＝30°，∵AB∥CD，∴∠A＝∠D＝30°．故選：C．3．（2023?杭州）如圖，點(diǎn)D，E分別在△ABC的邊AB，AC上，且DE∥BC，點(diǎn)F在線段BC的延長(zhǎng)線上．若∠ADE＝28°，∠ACF＝118°，則∠A＝90°．【分析】由平行線的性質(zhì)得到∠B＝∠ADE＝28°，由三角形外角的性質(zhì)得到∠A＝∠ACF﹣∠B＝118°﹣28°＝90°．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE＝28°，∵∠ACF＝∠A+∠B，∴∠A＝∠ACF﹣∠B＝118°﹣28°＝90°．故答案為：90°．4．（2023?臺(tái)州）用一張等寬的紙條折成如圖所示的圖案，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為140°．【分析】利用平行線的性質(zhì)和各角之間的關(guān)系即可求解．【解答】解：如圖，標(biāo)注三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C．∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．∵圖案是由一張等寬的紙條折成的，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．又∵紙條的長(zhǎng)邊平行，∴∠ABC＝∠1＝20°，∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°．故答案為：140°．5．（2021?金華）某同學(xué)的作業(yè)如下框，其中※處填的依據(jù)是（）如圖，已知直線l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，則∠3＝∠4．請(qǐng)完成下面的說(shuō)理過(guò)程．解：已知∠1＝∠2，根據(jù)（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），得l1∥l2．再根據(jù)（※），得∠3＝∠4．A．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 C．兩直線平行，同位角相等 D．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)【分析】先證l1∥l2，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：已知∠1＝∠2，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，得l1∥l2，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等，得∠3＝∠4．故選：C．6．（2023?金華）如圖，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，則∠4的度數(shù)是（）A．120° B．125° C．130° D．135°【分析】由同位角相等兩直線平行得到a與b平行，再由兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，求出∠5的度數(shù)，根據(jù)對(duì)頂角相等即可求出∠4的度數(shù)．【解答】解：∵∠1＝∠3＝50°，∴a∥b，∴∠5+∠2＝180°，∵∠2＝50°，∴∠5＝130°，∴∠4＝∠5＝130°．故選：C．7．（2021?溫州）如圖，BE是△ABC的角平分線，在AB上取點(diǎn)D，使DB＝DE．（1）求證：DE∥BC；（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠DBE＝∠EBC，從而求出∠DEB＝∠EBC，再利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行證明即可；（2）由（1）中DE∥BC可得到∠C＝∠AED＝45°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠ABC，最后用角平分線求出∠DBE＝∠EBC，即可得解．【解答】（1）證明：∵BE是△ABC的角平分線，∴∠DBE＝∠EBC，∵DB＝DE，∴∠DEB＝∠DBE，∴∠DEB＝∠EBC，∴DE∥BC；（2）解：∵DE∥BC，∴∠C＝∠AED＝45°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°．∵BE是△ABC的角平分線，∴∠DBE＝∠EBC＝．8．（2022?溫州）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E．（1）求證：∠EBD＝∠EDB．（2）當(dāng)AB＝AC時(shí)，請(qǐng)判斷CD與ED的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）利用平行線的性質(zhì)可得∠ADE＝∠AED，則AD＝AE，從而有CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，可知BE＝DE，等量代換即可．【解答】（1）證明：∵BD是△ABC的角平分線，∴∠CBD＝∠EBD，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB．（2）解：CD＝ED，理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴CD＝ED．9．（2022?紹興）如圖，把一塊三角板ABC的直角頂點(diǎn)B放在直線EF上，∠C＝30°，AC∥EF，則∠1＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得到∠CBF的度數(shù)，再根據(jù)∠ABC＝90°，可以得到∠1的度數(shù)．【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，∴∠C＝∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故選：C．10．（2023?麗水）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB為腰作等腰直角三角形BAE，頂點(diǎn)E恰好落在CD邊上，若AD＝1，則CE的長(zhǎng)是（）A． B． C．2 D．1【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，過(guò)點(diǎn)E作GH⊥BC于H，交AD的延長(zhǎng)線于G，則∠AFB＝∠CHE＝90°，證明四邊形AFHG是正方形，則AG＝GH，再證明△CHE和△DGE是等腰直角三角形，則DG＝EG，CH＝EH，最后根據(jù)勾股定理可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，過(guò)點(diǎn)E作GH⊥BC于H，交AD的延長(zhǎng)線于G，則∠AFB＝∠CHE＝90°，∴AF∥GH，∵AD∥BC，∠AFH＝90°，∴四邊形AFHG是矩形，∴∠G＝∠AFH＝∠FHG＝∠FAG＝90°，∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝AE，∠BAE＝90°，∵∠FAG＝∠BAE，∴∠BAF＝∠EAG，∵∠AFB＝∠G＝90°，∴△AFB≌△AGE（AAS），∴AF＝AG，∴矩形AFHG是正方形，∴AG＝GH，∵AG∥BC，∴∠C＝∠EDG＝45°，∴△CHE和△DGE是等腰直角三角形，∴DG＝EG，CH＝EH，∴AD＝EH＝1，∴CH＝1，由勾股定理得：CE＝＝．解法二：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD，交BC于F，∵∠C＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∠CFE＝45°，∴∠BFE＝180°﹣45°＝135°，∵∠CFE＝∠FBE+∠BEF＝45°，∠AED+∠BEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠AED＝∠FBE，∵△ABE是等腰直角三角形，∴＝，∵AD∥BC，∴∠C+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣45°＝135°，∴∠D＝∠BFE，∴△ADE∽△EFB，∴＝＝，∵AD＝1，∴EF＝，∴CE＝EF＝．故選：A．多邊形內(nèi)角與外角11．（2022?舟山）正八邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為135°．【分析】首先根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3，且n為正整數(shù)）求出內(nèi)角和，然后再計(jì)算一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．【解答】解：正八邊形的內(nèi)角和為：（8﹣2）×180°＝1080°，每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為×1080°＝135°．故答案為：135°．12．（2021?衢州）如圖，在正五邊形ABCDE中，連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)F，則∠AFB的度數(shù)為72°．【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和公式求出∠ABC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BCA和∠CBD，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠BCD＝∠ABC＝＝108°，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，同理∠CBD＝36°，∴∠AFB＝∠BCA+∠CBD＝72°，故答案為：72°．平行四邊形的判定與性質(zhì)13．（2022?嘉興）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，則四邊形AEFG的周長(zhǎng)是（）A．8 B．16 C．24 D．32【分析】由EF∥AC，GF∥AB，得四邊形AEFG是平行四邊形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，再由AB＝AC＝8和等量代換，即可求得四邊形AEFG的周長(zhǎng)．【解答】解：∵EF∥AC，GF∥AB，∴四邊形AEFG是平行四邊形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EFB，∠GFC＝∠C，∴EB＝EF，F(xiàn)G＝GC，∵四邊形AEFG的周長(zhǎng)＝AE+EF+FG+AG，∴四邊形AEFG的周長(zhǎng)＝AE+EB+GC+AG＝AB+AC，∵AB＝AC＝8，∴四邊形AEFG的周長(zhǎng)＝AB+AC＝8+8＝16，故選：B．14．（2022?舟山）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8．點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，則四邊形AEFG的周長(zhǎng)是（）A．32 B．24 C．16 D．8【分析】根據(jù)EF∥AC，GF∥AB，可以得到四邊形AEFG是平行四邊形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，再根據(jù)AB＝AC＝8和等量代換，即可求得四邊形AEFG的周長(zhǎng)．【解答】解：∵EF∥AC，GF∥AB，∴四邊形AEFG是平行四邊形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EFB，∠GFC＝∠C，∴EB＝EF，F(xiàn)G＝GC，∵四邊形AEFG的周長(zhǎng)是AE+EF+FG+AG，∴四邊形AEFG的周長(zhǎng)是AE+EB+GC+AG＝AB+AC，∵AB＝AC＝8，∴四邊形AEFG的周長(zhǎng)是AB+AC＝8+8＝16，故選：C．15．（2021?溫州）如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)），且∠AEB＝∠CFD＝90°．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）當(dāng)AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF時(shí)，求BD的長(zhǎng)．【分析】（1）證AE∥CF，再證△ABE≌△CDF（AAS），得AE＝CF，即可得出結(jié)論；（2）由銳角三角函數(shù)定義和勾股定理求出AE＝3，BE＝4，再證∠ECF＝∠CBE，則tan∠CBE＝tan∠ECF，得＝，求出EF＝﹣2，進(jìn)而得出答案．【解答】（1）證明：∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形；（2）解：在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝，設(shè)AE＝3a，則BE＝4a，由勾股定理得：（3a）2+（4a）2＝52，解得：a＝1或a＝﹣1（舍去），∴AE＝3，BE＝4，由（1）得：四邊形AECF是平行四邊形，∴∠EAF＝∠ECF，CF＝AE＝3，∵∠CBE＝∠EAF，∴∠ECF＝∠CBE，∴tan∠CBE＝tan∠ECF，∴＝，∴CF2＝EF×BF，設(shè)EF＝x，則BF＝x+4，∴32＝x（x+4），解得：x＝﹣2或x＝﹣﹣2,（舍去），即EF＝﹣2，由（1）得：△ABE≌△CDF，∴BE＝DF＝4，∴BD＝BE+EF+DF＝4+﹣2+4＝6+．16．（2023?杭州）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，且BE＝EF＝FD，連接AE，EC，CF，F(xiàn)A．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形．（2）若△ABE的面積等于2，求△CFO的面積．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AO＝CO，BO＝DO，再證OE＝OF，即可得出結(jié)論；（2）由平行四邊形的性質(zhì)可求解．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴EO＝FO，∴四邊形AECF是平行四邊形；（2）解：∵BE＝EF，∴S△ABE＝S△AEF＝2，∵四邊形AECF是平行四邊形，∴S△AEF＝S△CEF＝2，EO＝FO，∴△CFO的面積＝1．17．（2022?溫州）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，O是DF的中點(diǎn)，EO的延長(zhǎng)線交線段BD于點(diǎn)G，連結(jié)DE，EF，F(xiàn)G．（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形．（2）當(dāng)AD＝5，tan∠EDC＝時(shí)，求FG的長(zhǎng)．【分析】（1）由三角形中位線定理得EF∥BC，則∠EFO＝∠GDO，再證△OEF≌△OGD（ASA），得EF＝GD，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得DE＝AC＝CE，則∠C＝∠EDC，再由銳角三角函數(shù)定義得CD＝2，然后由勾股定理得AC＝，則DE＝AC＝，進(jìn)而由平行四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥BC，∴∠EFO＝∠GDO，∵O是DF的中點(diǎn)，∴OF＝OD，在△OEF和△OGD中，，∴△OEF≌△OGD（ASA），∴EF＝GD，∴四邊形DEFG是平行四邊形．（2）解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵E是AC的中點(diǎn)，∴DE＝AC＝CE，∴∠C＝∠EDC，∴tanC＝＝tan∠EDC＝，即＝，∴CD＝2，∴AC＝＝＝，∴DE＝AC＝，由（1）可知，四邊形DEFG是平行四邊形，∴FG＝DE＝．18．（2021?寧波）如圖是一個(gè)由5張紙片拼成的平行四邊形ABCD，相鄰紙片之間互不重疊也無(wú)縫隙，其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為S1，另兩張直角三角形紙片的面積都為S2，中間一張矩形紙片EFGH的面積為S3，F(xiàn)H與GE相交于點(diǎn)O．當(dāng)△AEO，△BFO，△CGO，△DHO的面積相等時(shí)，下列結(jié)論一定成立的是（）A．S1＝S2 B．S1＝S3 C．AB＝AD D．EH＝GH【分析】如圖，連接DG，AH，過(guò)點(diǎn)O作OJ⊥DE于J．證明S△DGH＝S△AEH，S△DGC＝S△ADH，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，連接DG，AH，過(guò)點(diǎn)O作OJ⊥DE于J．∵四邊形EFGH是矩形，∴OH＝OF，EF＝GH，∠HEF＝90°，∵OJ⊥DE，∴∠OJH＝∠HEF＝90°，∴OJ∥EF，∵HO＝OF，∴HJ＝JE，∴EF＝GH＝2OJ，∵S△DHO＝?DH?OJ，S△DHG＝?DH?GH，∴S△DGH＝2S△DHO，同法可證S△AEH＝2S△AEO，∵S△DHO＝S△AEO，∴S△DGH＝S△AEH，∵S△DGC＝?CG?DH，S△ADH＝?DH?AE，CG＝AE，∴S△DGC＝S△ADH，∴S△DHC＝S△ADE，∴S1＝S2，故A選項(xiàng)符合題意；S3＝HE?EF≠S1，故B選項(xiàng)不符合題意；AB＝AD，EH＝GH均不成立，故C選項(xiàng)，D選項(xiàng)不符合題意，故選：A．平行四邊形綜合題19．（2023?紹興）在平行四邊形ABCD中（頂點(diǎn)A，B，C，D按逆時(shí)針方向排列），AB＝12，AD＝10，∠B為銳角，且sinB＝．（1）如圖1，求AB邊上的高CH的長(zhǎng)；（2）P是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C，D同時(shí)繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)C'，D'，①如圖2，當(dāng)C'落在射線CA上時(shí)，求BP的長(zhǎng)；②當(dāng)△AC'D'是直角三角形時(shí)，求BP的長(zhǎng)．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)對(duì)邊相等，和三角函數(shù)可求得結(jié)果；（2）①由三角形全等和三角形相似可得出結(jié)論；②三角形的直角頂點(diǎn)不確定，故要分類討論，分三種情況討論，求出結(jié)論．【解答】解：（1）在?ABCD中，BC＝AD＝10，在Rt△BCH中，HC＝BCsinB＝．（2）①如圖，作CH⊥BA于點(diǎn)H，由（1）得，BH＝＝＝6，作C'Q⊥BA交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，則∠CHP＝∠PQC'＝90°，∴∠C'PQ+∠PC'Q＝90°，∵∠C'PQ+∠CPH＝90°，∴∠PC'Q＝∠CPH，由旋轉(zhuǎn)知PC'＝PC，∴△PQC′≌△CHP（AAS）．設(shè)BP＝x，則PQ＝CH＝8，C′Q＝PH＝6﹣x，QA＝PQ﹣PA＝x﹣4．∵C′Q⊥AB，CH⊥AB，∴C′Q∥CH，∴△AQC′∽△AHC，∴，∴，∴x＝，∴BP＝，②由旋轉(zhuǎn)得△PCD≌△PC′D′，CD＝C'D'CD⊥CD'又∵AB∥CD，∴C'D'⊥AB情況一：當(dāng)以C′為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖．∵C'D'⊥AB，∴C′落在線段BA延長(zhǎng)線上．∵PC⊥PC'，∴PC⊥AB，由（1）知，PC＝8，∴BP＝6．情況二：當(dāng)以A為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖，設(shè)C'D'與射線BA的交點(diǎn)為T，作CH⊥AB于點(diǎn)H．∵PC⊥PC'，∴∠CPH+∠TPC'＝90°，∵C'D'⊥AT，∴∠PC'T+∠TPC'＝90°∴∠CPH＝∠PC'T，∵∠CHP＝∠PTC'＝90°，PC＝C′P，∴△CPH≌△PC′T（AAS），∴C′T＝PH，PT＝CH＝8．設(shè)C′T＝PH＝t，則AP＝6﹣t，∴AT＝PT﹣PA＝2+t．∵∠C'AD'＝90°，C'D'⊥AB，∴△ATD′∽△C′TA，∴，∴AT2＝C'T?TD，∴（2+t）2＝t（12﹣t），化簡(jiǎn)得t2﹣4t+2＝0，解得，∴BP＝BH+HP＝8±，情況三：當(dāng)以D'為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P落在BA的延長(zhǎng)線上，不符合題意．綜上所述，BP＝6或8±．20．（2023?寧波）定義：有兩個(gè)相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，對(duì)角線BD平分∠ADC．求證：四邊形ABCD為鄰等四邊形．（2）如圖2，在6×5的方格紙中，A，B，C三點(diǎn)均在格點(diǎn)上，若四邊形ABCD是鄰等四邊形，請(qǐng)畫出所有符合條件的格點(diǎn)D．（3）如圖3，四邊形ABCD是鄰等四邊形，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠BCD為鄰等角，連結(jié)AC，過(guò)B作BE∥AC交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若AC＝8，DE＝10，求四邊形EBCD的周長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)鄰等四邊形定義證明即可；（2）根據(jù)鄰等四邊形定義利用網(wǎng)格即可畫圖；（3）先證明四邊形AEBC是平行四邊形，得AE＝BC＝DC，設(shè)AE＝BC＝DC＝x，得AD＝DE﹣AE＝10﹣x，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，得矩形ABFD，得AB＝DF，AD＝BF＝10﹣x，所以CF＝BC﹣BF＝x﹣（10﹣x）＝2x﹣10，根據(jù)勾股定理得82﹣x2＝x2﹣（2x﹣10）2，求出x的值，進(jìn)而可得四邊形EBCD的周長(zhǎng)．【解答】（1）證明：在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠A＝90°，∵對(duì)角線BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠CBD＝∠CDB，∴CD＝CB，∴四邊形ABCD為鄰等四邊形；（2）解：如下3個(gè)圖，點(diǎn)D′、D、D″即為所求；（3）解：如圖3，四邊形ABCD是鄰等四邊形，∴CD＝CB，∵∠DAB＝∠ABC＝90°，∴AD∥BC，∵BE∥AC，∴四邊形AEBC是平行四邊形，∴EB＝AC＝8，AE＝BC，∴AE＝BC＝DC，設(shè)AE＝BC＝DC＝x，∵DE＝10，∴AD＝DE﹣AE＝10﹣x，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，得矩形ABFD，∴AB＝DF，AD＝BF＝10﹣x，∴CF＝BC﹣BF＝x﹣（10﹣x）＝2x﹣10，在Rt△ABE和Rt△DFC中，根據(jù)勾股定理得：BE2﹣AE2＝AB2，CD2﹣CF2＝DF2，∴BE2﹣AE2＝CD2﹣CF2，∴82﹣x2＝x2﹣（2x﹣10）2，整理得x2﹣20x+82＝0，解得x1＝10﹣3，x2＝10+3（不符合題意，舍去），∴