浙江省杭州市兩校2025屆高三數(shù)學下學期第二次聯(lián)考試題含解析

PAGE25-浙江省杭州市兩校2025屆高三數(shù)學下學期其次次聯(lián)考試題（含解析）本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分共150分，考試時間為120分鐘.選擇題部分(共40分)一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集則（）A. B.{1} C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)交集與補集的定義，即可得到本題答案.【詳解】因為，所以，又因為，所以.故選：B【點睛】本題主要考查集合的補集與交集的運算，屬基礎(chǔ)題.2.復(fù)數(shù)z滿意則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（）A.i B.-i C.1 D.-1【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的乘除法運算法則，可算得復(fù)數(shù)z，從而可得到z的共軛復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由題，得，所以z的共軛復(fù)數(shù)為，虛部為.故選：D【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的乘除法運算以及復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，屬基礎(chǔ)題.3.雙曲線的漸近線方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，即可求得雙曲線的漸近線方程.【詳解】因為雙曲線的方程為，令，得，即，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：C【點睛】本題主要考查依據(jù)雙曲線的方程求漸近線方程，屬基礎(chǔ)題.4.設(shè)則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】分別解出兩個不等式解集，由小范圍推出大范圍，即可得到本題答案.【詳解】由，得，又由，得，所以“是的充分不必要條件，故選：A【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的推斷，涉及到肯定值不等式和一元二次不等式的解法.5.已知隨機變量X的分布列是：當a改變時，下列說法正確的是（）A.E(X)，D(X)均隨著a的增大而增大B.均隨著a的增大而減小C.E(X)隨著a的增大而增大，D(X)隨著a的增大而減小D.E(X)隨著a的增大而減小隨著a的增大而增大【答案】A【解析】【分析】先確定a的取值范圍，然后寫出關(guān)于a的關(guān)系式，即可得到本題答案.【詳解】由題，得，所以，又，，所以均隨著a的增大而增大.故選：A【點睛】本題主要考查離散型分布列的期望和方差的求法，其中涉及到函數(shù)單調(diào)性的推斷，必須要在函數(shù)的定義域內(nèi)推斷函數(shù)的單調(diào)性.6.函數(shù)的圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性解除A、B選項，再由函數(shù)在上的符號即可推斷.【詳解】，是奇函數(shù)，解除A、B選項；當時，，，所以，解除C選D.故選：D【點睛】本題考查函數(shù)圖象的判別，利用函數(shù)的奇偶性、周期性及單調(diào)性進行選項解除，屬于基礎(chǔ)題.7.在三棱錐S-ABC中，側(cè)棱SA，SB，SC兩兩成等角，且長度分別為a，b，c，設(shè)二面角S-BC-A，S-AC–B，S-AB-C的大小為，若則α，β，γ的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】不妨設(shè)側(cè)棱SA，SB，SC兩兩相互垂直，由平面SBC推出，由可求得的余弦值，同理可得，依據(jù)及余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】不妨設(shè)側(cè)棱SA，SB，SC兩兩相互垂直，如圖作平面ABC，易知O為△ABC的垂心，連接AO，延長AO交BC于點D，連接SD，因為側(cè)棱SA，SB，SC兩兩相互垂直，所以平面SBC，由平面SBC，，△ASD為直角三角形，因為，由三垂線定理知，所以即為二面角S-BC-A的平面角記為α，，，同理可得，又，而此時都為銳角，.故選：A【點睛】本題考查二面角的概念、三棱錐的結(jié)構(gòu)特征、三角函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.8.有來自甲乙丙三個班級的5位同學站成一排照相，其中甲班2人，乙班2人，丙班1人，則僅有一個班級的同學相鄰的站法種數(shù)有（）A.96 B.48 C.36 D.24【答案】B【解析】【分析】依據(jù)分步乘法計數(shù)原理及插空法即可求解.【詳解】由題意知，可以是甲班的2名同學相鄰也可以是乙班的2名同學相鄰，相鄰的2名同學和丙班的1名同學站隊，共有種站法，再將另外一個班級的2名同學進行插空，共有種方法，由分步乘法計數(shù)原理知，僅有一個班級的同學相鄰的站法種數(shù)為.故選：B【點睛】本題考查分步乘法計數(shù)原理、排列組合的有關(guān)學問，屬于基礎(chǔ)題.9.已知F1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點，過右焦點F2的直線l與橢圓交于A，B兩點，且滿意則該橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，用m表示出、、，由知為橢圓的上頂點，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立求出交點的橫坐標，利用列出等式化簡即可求得離心率.【詳解】設(shè)，則，由橢圓的定義知，，，為橢圓的上頂點，設(shè)，又，則直線，直線方程代入橢圓方程中得：，解得或，，，化簡得，.故選：B【點睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓離心率相關(guān)問題、求直線與橢圓的交點，屬于中檔題.10.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值的最小值為4，則符合條件的有（）①x2+②③A.①② B.②③ C.①②③ D.①③【答案】D【解析】【分析】分別求出三個函數(shù)的值域，再結(jié)合的圖象進行分析可得答案.【詳解】對于①，，，所以當時，，函數(shù)遞減，當時，，函數(shù)遞增，所以當時，取得最小值，當時，取得最大值，所以，所以當時，，當時，，所以，此時的最小值為4，符合題意，故①正確；對于②，為增函數(shù)，所以，所以當時，，不符合題意，故②不正確；對于③，，，因為，所以，所以在上遞增，所以，所以在上遞增，所以，所以，所以當時，，當時，，所以，所以的最小值為，符合題意，故③正確.故選：D【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和值域，屬于中檔題.非選擇題部分(共110分)二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.11.我國古代著作《莊子天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”其含義是：一尺長的木棍，每天截去它的一半，恒久也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的長度是_________尺；要使剩余木棍的長度小于尺，須要經(jīng)過________次截取.【答案】(1).(2).【解析】【分析】建立等比數(shù)列模型：記第天后剩余木棍的長度，則是首項為，公比為的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式即可解決.【詳解】記第天后剩余木棍的長度，則是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，由得，所以的最小值為.所以第6天截取之后，剩余木棍的長度是尺，要使剩余木棍的長度小于尺，須要經(jīng)過次截取.故答案為：；.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，考查了等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.12.已知的綻開式中第三項的二項式系數(shù)為15，則__________，該綻開式中常數(shù)項為__________.【答案】(1).6(2).60【解析】【分析】由,解得,化簡,令即可求出,即可解得所求.【詳解】,所以,,令,解得,該綻開式中常數(shù)項為.故答案為:;【點睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用,考查了推理實力與計算實力,難度較易.13.某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為________，外接球的表面積為________【答案】(1).(2).【解析】【分析】依據(jù)三視圖可知，幾何體的直觀圖是一個三棱錐，把它放在棱長為2的正方體中，即可求得結(jié)果.【詳解】依據(jù)三視圖可知，幾何體的直觀圖是一個三棱錐，把它放在棱長為2的正方體中，如圖所示：其體積為，其外接球與正方體的外接球相同，所以外接球半徑為，所以外接球的表面積為.故答案為：；.【點睛】本題考查了由三視圖還原直觀圖，考查了棱錐的體積公式，考查了球的表面積公式，屬于基礎(chǔ)題.14.在中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知若則A=________，b=________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】由正弦定理角化邊以及余弦定理可得，可得；由正弦定理即可得到.【詳解】由以及正弦定理得，，所以，所以，因為，所以.由正弦定理得，得，解得.故答案為：；.【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理，屬于基礎(chǔ)題.15.若實數(shù)x，y滿意的取值范圍是________【答案】【解析】【分析】作出可行域，設(shè)，利用線性規(guī)劃求出的取值范圍，從而可得的取值范圍.【詳解】作出可行域，如圖所示：令，化為斜截式得，由圖可知，時，取得最小值，時，取得最大值，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃求目標函數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.16.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過三個象限，則實數(shù)a的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)、、三種狀況探討，結(jié)合二次函數(shù)的判別式、對稱軸、開口、特別函數(shù)值可得答案.【詳解】當時，，此時函數(shù)圖象經(jīng)過第三象限；當時，，當時，，此時函數(shù)圖象恒經(jīng)過第一象限，(1)若且，即時，函數(shù)圖象經(jīng)過第一、四象限，當時，，，的值可正，可負可為零，函數(shù)圖象經(jīng)過第一、四象限或只經(jīng)過第一象限,符合題意；(2)若時，當時，，函數(shù)圖象只經(jīng)過第一象限，當時，對稱軸，，函數(shù)圖象只經(jīng)過第一象限，不符合；(3)若時，當時，，，此時函數(shù)圖象只經(jīng)過第一象限，當時，對稱軸，，函數(shù)圖象只經(jīng)過第一象限，不符合；故答案為：.【點睛】本題主要考查二次函數(shù)以及分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及分類探討思想的應(yīng)用，屬于中檔題．17.已知P為邊長為2的正所在平面內(nèi)任一點，滿意則的取值范圍是________【答案】【解析】【分析】以的中點為原點，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系：利用坐標進行運算可得答案.【詳解】以的中點為原點，的垂直平分線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系：則，，，設(shè)，所以，，，所以，所以，所以，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了解析法，考查了平面對量數(shù)量積的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共74分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，18.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期，單調(diào)減區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3.銳角a滿意，求的值.【答案】（1）函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角的正、余弦公式和兩角和的正弦公式化簡函數(shù)解析式，利用正弦型函數(shù)的周期公式可得最小正周期，依據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得單調(diào)遞減區(qū)間；（2）依據(jù)正弦函數(shù)的值域可得的最大值為，可得，，依據(jù)可得，，再依據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】（1）,所以函數(shù)的最小正周期為，由，，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）當時，，，所以，所以，解得，可得所以，所以，所以，因為，所以當時，，，所以，當時，，，所以.【點睛】本題考查了二倍角的正弦、余弦公式，考查了兩角和與差的正弦公式，考查了正弦型函數(shù)的周期公式，考查了正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了三角函數(shù)的最值，屬于中檔題.19.如圖，在三棱錐D-ABC中為銳角三角形，平面ACD⊥平面.（1）求證：CD⊥平面ABC（2）若直線BD與平面ACD所成角的正弦值為，求二面角D-AB-C的余弦值.【答案】（1）證明見詳解；（2）【解析】【分析】（1）過作，交于點，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面ACD，從而證出，再由，利用線面垂直的判定定理即可證出.（2）過作，交于點，則為二面角D-AB-C的平面角，在中，由余弦定理求出，利用三角形面積相等求出，即可求解.【詳解】（1）過作，交于點，平面ACD⊥平面，且平面ACD平面，則平面ACD，平面ACD，，又，，，平面ABC.（2）過作，交于點，則為二面角D-AB-C的平面角，由（1）可知，為直線BD與平面ACD所成角，即，設(shè)，由，則，，所以，由，解得，所以，由銳角三角形，所以，在中，由余弦定理，，所以，由，解得，所以，所以.【點睛】本題考查了面面垂直的性質(zhì)定理、線面垂直的判定定理、求面面角，考查了考生的邏輯推理實力，屬于中檔題.20.已知數(shù)列其中且點在函數(shù)的圖像上（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項；（2）記Tn為數(shù)列的前n項積，Sn為數(shù)列的前n項和，，試比較Sn與大小.【答案】（1）證明見詳解；；（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，再兩邊取對數(shù)化簡后，由等比數(shù)列的定義即可證明，依據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得數(shù)列的通項公式，進而可得數(shù)列的通項.（2）首先利用等比數(shù)列的前項和公式求出，再利用裂項相消法求出，兩式作差即可比較大小.【詳解】（1）由，，，則，點在函數(shù)的圖像上，則，，，，即，數(shù)列是等比數(shù)列，又，，，.（2）由（1）可知，所以所以.由，即，所以，所以，所以，所以.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的定義、等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的前項和公式、裂項相消法求和，此題綜合性比較強，屬于難題.21.已知，點在軸上，點在軸上，且，，當點在軸上運動時，動點的軌跡為曲線.過軸上一點的直線交曲線于，兩點.（1）求曲線的軌跡方程；（2）證明：存在唯一的一點，使得為常數(shù)，并確定點的坐標.【答案】（1）（2）證明見解析；.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，畫出幾何圖形，設(shè)，由幾何關(guān)系可知，結(jié)合點的坐標即可求得的關(guān)系，化簡即可求得曲線的軌跡方程；（2）由點在軸上，可設(shè)，設(shè)出過點的直線方程為，聯(lián)立拋物線方程，并由兩點間距離公式表示出，并代入中化簡即可求得常數(shù)的值，即可確定點的坐標.【詳解】（1）依據(jù)題意可知，，點在軸上，點在軸上，且，，畫出幾何關(guān)系如下圖所示：設(shè)，為中點，因為在軸上，所以點的橫坐標為，由等腰三角形三線合一可知，即，綻開化簡可得，所以曲線的軌跡方程為.（2）證明：點為軸上一點，設(shè)，則過點的直線方程為，交拋物線于，兩點.則，化簡變形可得，所以，由兩點間距離公式可得，，所以將代入化簡可得，所以當時為常數(shù)，且，此時.【點睛】本題考查了軌跡方程的求法，拋物線中直線過定點問題的解法，直線與拋物線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，計算量大，是高考的?？键c和難點，屬于難題.22.已知函數(shù)（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)與的圖象有兩個不同的交點（i）