廣東省2024高考數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平合格考試總復(fù)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)示范卷5含解析

PAGE標(biāo)準(zhǔn)示范卷(五)(時(shí)間：90分鐘；分值：150分，本卷共4頁(yè))一、選擇題(本大題共16小題，每小題5分，共80分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求)1．向量a＝(－1,3)，b＝(2，－4)，則a－b＝()A．(3,1) B．(－3,7)C．(3，－7) D．(1，－1)B[a－b＝(－1－2,3＋4)＝(－3,7)．]2．等差數(shù)列{an}中，a2＝4，a3＝5，則a8＝()A．7 B．8C．9 D．10D[公差為d＝a3－a2＝1，a8＝a2＋(8－2)d＝4＋6＝10.]3．已知集合P＝{y|y＝x2＋2x－1，x∈N}，Q＝{y|y＝－x2＋2x－1，x∈N}，則()A．P∩Q＝? B．P∩Q＝{－1}C．P∩Q＝{0} D．P∩Q＝NB[由x2＋2x－1＝－x2＋2x－1得x＝0，∵當(dāng)x＝0時(shí)，x2＋2x－1＝－x2＋2x－1＝－1，∴P∩Q＝{－1}，故選B．]4．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是()A．y＝－x B．y＝cosxC．y＝xeq\f(2,5) D．y＝－x2D[函數(shù)y＝－x是奇函數(shù)，y＝cosx在(0，＋∞)上不具有單調(diào)性，y＝xeq\f(2,5)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝－x2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故選D．]5．若cosx＝－eq\f(3,5)，且eq\f(π,2)<x<π，則tanx＋sinx的值是()A．－eq\f(32,15) B．－eq\f(8,15)C．eq\f(8,15) D．eq\f(32,15)B[由題意，知cosx＝－eq\f(3,5)，且eq\f(π,2)<x<π，所以sinx＝eq\r(1－cos2x)＝eq\f(4,5)，則tanx＝eq\f(sinx,cosx)＝－eq\f(4,3)，所以tanx＋sinx＝－eq\f(4,3)＋eq\f(4,5)＝－eq\f(8,15)．]6．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為AA1、AB、BB1、B1C1的中點(diǎn)，則異面直線EF與A．45° B．60°C．90° D．120°B[如圖，取A1B1的中點(diǎn)M，連接GM，HM.由題意易知EF∥GM，且△GMH為正三角形．∴異面直線EF與GH所成的角即為GM與GH的夾角∠HGM.而在正三角形GMH中∠HGM＝60°，故選B．]7．過(guò)點(diǎn)(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為()A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0A[如圖所示：由題意知：AB⊥PC，kPC＝eq\f(1,2)，∴kAB＝－2，∴直線AB的方程為y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.]8．?dāng)?shù)據(jù)5,7,7,8,10,11的標(biāo)準(zhǔn)差是()A．8 B．4C．2 D．1C[這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝(5＋7＋7＋8＋10＋11)÷6＝8，s2＝eq\f(1,6)[(5－8)2＋(7－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2＋(11－8)2]＝4，s＝2.]9．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\f(\r(6),2)，左頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為eq\f(2\r(6),3)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,8)＝1C．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,12)＝1 D．eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1A[e＝eq\f(\r(6),2)，即c＝eq\f(\r(6),2)a，a＝eq\r(2)b，漸近線方程為eq\f(x2,2b2)－eq\f(y2,b2)＝0，即eq\r(2)y＝±x，因?yàn)樽箜旤c(diǎn)到一條漸近線的距離為eq\f(|a|,\r(3))＝eq\f(2\r(6),3)，解得a＝2eq\r(2)，b＝2，即該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1，故選A．]10．在△ABC中，A∶B＝1∶2，sinC＝1，則a∶b∶c＝()A．1∶2∶3 B．3∶2∶1C．2∶eq\r(3)∶1 D．1∶eq\r(3)∶2D[在△ABC中，A∶B＝1∶2，sinC＝1，可得A＝30°，B＝60°，C＝90°.∴a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝eq\f(1,2)∶eq\f(\r(3),2)∶1＝1∶eq\r(3)∶2.]11．已知點(diǎn)A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px的準(zhǔn)線上，記拋物線C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為()A．－eq\f(3,4) B．eq\f(3,4)C．eq\f(8,15) D．eq\f(32,15)A[∵點(diǎn)A(－2,3)在拋物線C的準(zhǔn)線上，∴－eq\f(p,2)＝－2，∴p＝4.∴拋物線的方程為y2＝8x，則焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)．又A(－2,3)，依據(jù)斜率公式得kAF＝eq\f(0－3,2＋2)＝－eq\f(3,4).]12．等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么數(shù)列{an}的前7項(xiàng)和S7＝()A．22 B．24C．26 D．28D[∵等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，∴a3＋a4＋a5＝3a4＝12，解得a4∴S7＝eq\f(7a1＋a7,2)＝eq\f(7×2a4,2)＝7a4＝28.]13．若x，y滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≤8，,x＋3y≤9，,x≥0，y≥0，))則z＝x＋2y的最大值為()A．9 B．8C．7 D．6C[在直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫(huà)出可行域?yàn)閳D中陰影部分，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝8，,x＋3y＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，))即A(3,2)．將z＝x＋2y變?yōu)閥＝－eq\f(x,2)＋eq\f(z,2)，作直線y＝－eq\f(x,2).由圖可知，當(dāng)直線l移動(dòng)到點(diǎn)A(3,2)時(shí)，z有最大值，此時(shí)zmax＝3＋2×2＝7，故zmax＝7.]14．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A．eq\f(\r(2),2) B．1C．eq\r(2) D．2B[因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為1，所以eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(BD,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\r(2)×1×eq\f(\r(2),2)＝1.]15．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝eq\f(1,3)，則c＝()A．4 B．eq\r(15)C．3 D．eq\r(17)D[cosC＝－cos(A＋B)＝－eq\f(1,3).又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝9＋4－2×3×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝17，所以c＝eq\r(17).]16．設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且a＋b＝3，則2a＋2bA．6 B．4eq\r(2)C．2eq\r(2) D．8B[∵2a>0,2b>0，a＋b∴2a＋2b≥2eq\r(2a·2b)＝2eq\r(2a＋b)＝2eq\r(23)＝4eq\r(2).]二、填空題(本大題共5小題，每小題6分，共30分．把答案填寫(xiě)在題中橫線上)17．設(shè)復(fù)數(shù)z滿意eq\f(1＋z,1－z)＝i，則|z|等于.1[1＋z＝i(1－z)，z(1＋i)＝i－1，z＝eq\f(i－1,1＋i)＝eq\f(－1－i2,2)＝i，∴|z|＝|i|＝1.]18．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ex－1，x<2,log3x2－1，x≥2))，則f(f(2))的值為.2[f(f(2))＝f(log3(22－1))＝f(1)＝2e1－1＝2.]19．計(jì)算：log21＋log24＝.2[原式＝log21＋log222＝log21＋2log22＝0＋2×1＝2.]20.若直線2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦長(zhǎng)為4，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為.4[圓方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圓心為(－1,2)，半徑為2，若直線被截得弦長(zhǎng)為4，說(shuō)明圓心在直線上，即－2a－2b＋2＝0，∴a＋b＝1∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b時(shí)，等號(hào)成立．]21．已知空間直角坐標(biāo)系中，A是x軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)B(－1,1,0)，且|AB|＝eq\r(5)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是.(1,0,0)或(－3,0,0)[設(shè)A(x,0,0)，因B點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,1,0)，則|AB|＝eq\r(x＋12＋0－12＋0－02)＝eq\r(5)，解得x＝1或x＝－3.]三、解答題(本大題共2小題，共40分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)22．(本小題滿分20分)某班有學(xué)生50人，其中男同學(xué)30人，用分層抽樣的方法從該班抽取5人去參與某社區(qū)服務(wù)活動(dòng)．(1)求從該班男女同學(xué)中各抽取的人數(shù)；(2)從抽取的5名同學(xué)中任選2名談對(duì)此活動(dòng)的感受，求選出的2名同學(xué)中恰有1名男同學(xué)的概率．[解](1)抽取的5人中男同學(xué)的人數(shù)為5×eq\f(30,50)＝3(人)，女同學(xué)的人數(shù)為5－3＝2(人)．(2)記3名男同學(xué)為A1，A2，A3,2名女同學(xué)為B1，B2.從5人中隨機(jī)選出2名同學(xué)，全部可能的結(jié)果有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2用C表示“選出的兩名同學(xué)中恰有一名男同學(xué)”這一事務(wù)，則C中的結(jié)果有6個(gè)，它們是A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，所以選出的兩名同學(xué)中恰有一名男同學(xué)的概率P(C)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).23．(本小題滿分20分)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAB是正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，E是PA的中點(diǎn)，AC與BD的交點(diǎn)為M