人教A版高中數(shù)學(xué)（必修第一冊(cè)）同步講義 2.2基本不等式（原卷版）

第第頁2.2基本不等式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握重要的不等式、基本不等式（均值不等式）的內(nèi)容，成立條件及公式的證明。②利用基本不等式的性質(zhì)及變形求相關(guān)函數(shù)的最值及證明。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握基本不等式成立的條件，運(yùn)用基本不等式這一重要的工具解決與最值有關(guān)的問題，會(huì)用基本不等式解決簡單問題的證明.知識(shí)點(diǎn)一：基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）基本不等式:SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，取“SKIPIF1<0”號(hào)）其中SKIPIF1<0叫做正數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的幾何平均數(shù)；SKIPIF1<0叫做正數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的算數(shù)平均數(shù)．如果SKIPIF1<0SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，取“SKIPIF1<0”號(hào)）特別的，如果SKIPIF1<0,用SKIPIF1<0分別代替SKIPIF1<0,代入SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，“SKIPIF1<0”號(hào)成立.知識(shí)點(diǎn)二：利用基本不等式求最值①已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正數(shù)，如果積SKIPIF1<0等于定值SKIPIF1<0，那么當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，和SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0；②已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正數(shù)，如果和SKIPIF1<0等于定值SKIPIF1<0，那么當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，積SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0；知識(shí)點(diǎn)三：基本不等式鏈SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，取“SKIPIF1<0”號(hào)）知識(shí)點(diǎn)四：三個(gè)正數(shù)的基本不等式如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，取“SKIPIF1<0”號(hào)）題型01對(duì)基本不等式的理解【典例1】下列不等式恒成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（多選）以下結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)SKIPIF1<0的最小值是4B．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為3D．函數(shù)SKIPIF1<0的最大值為0【變式1】下列不等式中正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型02由基本不等式比較大小【典例1】（多選）設(shè)SKIPIF1<0為正實(shí)數(shù)，SKIPIF1<0，則下列不等式中對(duì)一切滿足條件的SKIPIF1<0恒成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，下列各式中最大的是_____.(填序號(hào))①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0.【變式1】（多選）若SKIPIF1<0．且SKIPIF1<0，則下列不等式恒成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型03由基本不等式證明不等關(guān)系【典例1】已知SKIPIF1<0是實(shí)數(shù).(1)求證：SKIPIF1<0，并指出等號(hào)成立的條件；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.【典例2】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值；(2)若SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【變式1】已知SKIPIF1<0都是正數(shù)，且SKIPIF1<0.求證：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.題型04利用基本不等式求積的最大值【典例1】已知SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的最大值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值為_________.【變式1】已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為________.題型05利用基本不等式求和的最小值【典例1】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．5 B．3 C．4 D．9【典例2】若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為__________．【變式1】已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為______題型06利用基本不等式求二次與二次（一次）商式的最值【典例1】已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為___________.【典例2】（1）求函數(shù)SKIPIF1<0的最小值及此時(shí)SKIPIF1<0的值；（2）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求此函數(shù)的最小值及此時(shí)SKIPIF1<0的值.【變式1】函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為___________.題型07利用基本不等式求條件等式求最值【典例1】已知正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．3 B．1 C．9 D．SKIPIF1<0【典例2】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為______.【變式1】若正數(shù)x，y滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．6 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型08基本不等式中的恒成立問題【典例1】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【典例2】已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】若對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的取值范圍是_____．【變式1】已知x>0，y>0，且SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝1，若SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．m≤－2SKIPIF1<0或m≥2SKIPIF1<0 B．m≤－4或m≥2C．－2＜m＜4 D．－2SKIPIF1<0＜m＜2SKIPIF1<0【變式2】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不等式SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．對(duì)任意的正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型09基本不等式的應(yīng)用【典例1】某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤SKIPIF1<0(單位：萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間SKIPIF1<0(單位：年)的關(guān)系為SKIPIF1<0，則每臺(tái)機(jī)器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤的最大值是________萬元.【典例2】黨的二十大報(bào)告指出：我們要推進(jìn)美麗中國建設(shè)，堅(jiān)持山水林田湖草沙一體化保護(hù)和系統(tǒng)治理，統(tǒng)籌產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整、污染治理、生態(tài)保護(hù)、應(yīng)對(duì)氣候變化，協(xié)同推進(jìn)降碳、減污、擴(kuò)綠、增長，推進(jìn)生態(tài)優(yōu)先、節(jié)約集約、綠色低碳發(fā)展．某鄉(xiāng)政府也越來越重視生態(tài)系統(tǒng)的重建和維護(hù)．若鄉(xiāng)財(cái)政下?lián)芤豁?xiàng)專款400百萬元，分別用于植綠護(hù)綠和處理污染兩個(gè)生態(tài)維護(hù)項(xiàng)目，植綠護(hù)綠項(xiàng)目五年內(nèi)帶來的生態(tài)收益可表示為投放資金SKIPIF1<0（單位：百萬元）的函數(shù)SKIPIF1<0（單位：百萬元）：SKIPIF1<0；處理污染項(xiàng)目五年內(nèi)帶來的生態(tài)收益可表示為投放資金SKIPIF1<0（單位：百萬元）的函數(shù)SKIPIF1<0（單位：百萬元）：SKIPIF1<0．(1)設(shè)分配給植綠護(hù)綠項(xiàng)目的資金為SKIPIF1<0（百萬元），則兩個(gè)生態(tài)項(xiàng)目五年內(nèi)帶來的收益總和為SKIPIF1<0（百萬元），寫出SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)解析式；(2)生態(tài)維護(hù)項(xiàng)目的投資開始利潤薄弱，只有持之以恒，才能功在當(dāng)代，利在千秋．試求出SKIPIF1<0的最大值，并求出此時(shí)對(duì)兩個(gè)生態(tài)項(xiàng)目的投資分別為多少？【變式1】某社區(qū)計(jì)劃在一塊空地上種植花卉，已知這塊空地是面積為1800平方米的矩形SKIPIF1<0，為了方便居民觀賞，在這塊空地中間修了如圖所示的三條寬度為2米的人行通道，則種植花卉區(qū)域的面積的最大值是（

）A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米【變式2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）為了豐富全校師生的課后學(xué)習(xí)生活，共建和諧美好的校園文化，重慶十一中計(jì)劃新建校園圖書館精品閱讀區(qū)SKIPIF1<0，該項(xiàng)目由圖書陳列區(qū)SKIPIF1<0（陰影部分）和四周休息區(qū)組成．圖書陳列區(qū)SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，休息區(qū)的寬分別為2m和5m（如圖所示）.當(dāng)校園圖書館精品閱讀區(qū)SKIPIF1<0面積最小時(shí)，則圖書陳列區(qū)SKIPIF1<0的邊長為（

）A．20m B．50m C．SKIPIF1<0m D．100m題型10對(duì)鉤函數(shù)【典例1】“SKIPIF1<0”是“函數(shù)SKIPIF1<0的最小值大于4”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【典例2】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是______．【變式1】已知函數(shù)SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0有最小值4 B．SKIPIF1<0有最大值4 C．SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0【變式2】函數(shù)SKIPIF1<0取得的最小值時(shí)，SKIPIF1<0的值為___________．題型11重點(diǎn)方法之湊配法【典例1】已知實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．4 D．8【典例2】若不等式SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的取值范圍是__________，SKIPIF1<0的最小值為__________．【變式1】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的最小值為10，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2SKIPIF1<0 D．4【變式2】已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．－2 B．0 C．1 D．SKIPIF1<0題型12重點(diǎn)方法之換元法【典例1】若實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為___________.【典例2】SKIPIF1<0的最大值為______.題型13重點(diǎn)方法之“1”的妙用法【典例1】已知正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】已知正數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【典例3】已知正數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值為____________.【變式1】若正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．12 B．25 C．27 D．36【變式2】已知正數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值為____________；題型14重點(diǎn)方法之消元法【典例1】已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為__________.【典例2】若正數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為__________．【變式1】已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為___________.題型15易錯(cuò)題之忽視基本不等式中的“一正”【典例1】（多選）下列關(guān)于使用基本不等式說法正確的是（

）A．由于SKIPIF1<0，所以x＋SKIPIF1<0＝x＋2＋SKIPIF1<0－2≤－2SKIPIF1<0－2＝－4B．由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0C．由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0最小值為2D．由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0最大值為SKIPIF1<0【典例2】函數(shù)SKIPIF1<0的最大值為________.題型16易錯(cuò)題之忽視基本不等式中的“三相等”【典例1】下列不等式中等號(hào)可以取到的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】下列幾個(gè)不等式中，不能取到等號(hào)的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型17易錯(cuò)題之換元必?fù)Q范圍【典例1】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的最大值為______．2.2基本不等式A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．SKIPIF1<0的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．已知正數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件4．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．4 D．SKIPIF1<05．已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．某單位為提升服務(wù)質(zhì)量，花費(fèi)3萬元購進(jìn)了一套先進(jìn)設(shè)備，該設(shè)備每年管理費(fèi)用為0.1萬元，已知使用SKIPIF1<0年的維修總費(fèi)用為SKIPIF1<0萬元，則該設(shè)備年平均費(fèi)用最少時(shí)的年限為（

）A．7 B．8 C．9 D．107．實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．2 B．4 C．SKIPIF1<0 D．9二、多選題9．下列命題中正確的是（

）A．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0 B．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0C．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0 D．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<010．《幾何原本》中的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成為了后世數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明.如圖，在線段SKIPIF1<0上任取一點(diǎn)SKIPIF1<0（不含端點(diǎn)A，B），使得SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交以SKIPIF1<0為直徑，SKIPIF1<0為圓心的半圓周于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0.下面不能由SKIPIF1<0直接證明的不等式為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空題11．已知SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0的最大值是________.12．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是______．四、解答題13．（1）已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值；（2）已知x，y是正實(shí)數(shù)，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．14．求下列函數(shù)的最值，已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值；B能力提升1．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正實(shí)數(shù)，且SKIPIF1<0，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A．SKIPIF1<0的最大值為2 B．SKIPIF1<0的最小值為4C．SKIPIF1<0的最小值為3 D．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<02．?dāng)?shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為斜邊AB上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，用該圖形能證明的不等式為（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（多選）下列結(jié)論中，正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為8B．若SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0C．已知正數(shù)a，b滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<04．已知正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為__________.5．為迎接四川省第十六屆少數(shù)民族傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)會(huì)，州民族體育場(chǎng)進(jìn)行了改造翻新，在改造州民族體育場(chǎng)時(shí)需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限為15年，已知每千套座椅建造成本是8萬元，設(shè)每年的管理費(fèi)用為SKIPIF1<0萬元與總座椅數(shù)SKIPIF1<0千套，兩者滿足關(guān)系式：SKIPIF1<0．15年的總維修費(fèi)用為80萬元，記SKIPIF1<0為15年的總費(fèi)用．（總費(fèi)用=建造成本費(fèi)用+使用管理費(fèi)用+總維修費(fèi)用）．請(qǐng)問當(dāng)設(shè)置多少套座椅時(shí)，15年的總費(fèi)用SKIPIF1<0最小，并求出最小值．6．（1）已知SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0的最大值.（2）已知SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0的最大值.C