導(dǎo)數(shù)壓軸那些事兒必要性探路與端點(diǎn)效應(yīng)課件高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

導(dǎo)數(shù)壓軸那些事兒

——必要性探路與端點(diǎn)效應(yīng)引言對(duì)于含參恒成立問題的解答，不少答案都是通過神奇的取定義域的某個(gè)值，得到題目的一個(gè)必要條件，初步算出參數(shù)的范圍，然后在這個(gè)范圍內(nèi)進(jìn)行討論或者驗(yàn)證其充分性，進(jìn)而解決問題。那么很多同學(xué)的問題來了：我怎么知道這個(gè)神奇的【點(diǎn)】是誰呢？一般學(xué)校老師都會(huì)告訴你一眼看出代入【端點(diǎn)】或者正負(fù)一之類的【特殊點(diǎn)】，輔導(dǎo)書和參考答案也都不約而同心照不宣的省略了相關(guān)說明，這種回答顯然不能說服愛思考的同學(xué)，今天就來帶你初步了解、揭開它神秘的面紗。1.端點(diǎn)效應(yīng)概述：

2.端點(diǎn)效應(yīng)的三層心法

端點(diǎn)為零點(diǎn)和極小值點(diǎn)，且為與x軸的切點(diǎn)，二階導(dǎo)數(shù)≥0對(duì)應(yīng)函數(shù)的切線斜率是遞增的（凹函數(shù)型），端點(diǎn)為零點(diǎn)和非極小值點(diǎn)，且為與x軸的交點(diǎn)，一階導(dǎo)數(shù)保號(hào)對(duì)應(yīng)的函數(shù)單調(diào)3.必要性探路法：對(duì)于一類恒成立問題，可以通過取定義域內(nèi)的某個(gè)特殊的值，得到一個(gè)必要條件，縮小范圍討論或者驗(yàn)證其充分性，進(jìn)而解決問題。這種必要性探路法所求的參數(shù)范圍不一定是所求的實(shí)際范圍，但是可以限定問題成立的大前提，縮小參數(shù)討論范圍，一定程度上減少了思維成本.4.必要性探路的構(gòu)造背景：常常以兩條相切的曲線作為載體進(jìn)行函數(shù)性質(zhì)的考察.通過限制邊界值生成一個(gè)集合，然后在新的集合中尋找滿足條件的集合.例1.已知函數(shù)f(x)=ex-e-x-ax.

(I)當(dāng)a=0時(shí)，求證：f'(x)≥2；

(II)若x≥0時(shí)，恒有f(x)≥ax，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析：第二問為恒成立問題，所以我們首先可以構(gòu)造個(gè)新的函數(shù)，發(fā)現(xiàn)新函數(shù)在x=0處函數(shù)值為零，且一階導(dǎo)數(shù)不為零，那么原命題成立必然要求其導(dǎo)數(shù)在x=0處大于等于0，因此得出a的范圍，再去證明即可。此題對(duì)應(yīng)心法第二層，端點(diǎn)處函數(shù)值為0，且一次求導(dǎo)在端點(diǎn)處不為0的時(shí)候可以采用這種心法.

若是原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)值在端點(diǎn)處為0就涉及到二次求導(dǎo)，

此時(shí)就要把導(dǎo)函數(shù)當(dāng)做新函數(shù)，重新來一遍就可以。例2.已知函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí)，求證：f(x)≥0；(Ⅱ)當(dāng)x≥0時(shí)，若不等式f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；分析：此時(shí)我們發(fā)現(xiàn)該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)值在端點(diǎn)處為0，所以要對(duì)導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)，即二階求導(dǎo)。

舉一反三對(duì)于第二問，發(fā)現(xiàn)一階導(dǎo)數(shù)端點(diǎn)處為0，馬上二階求導(dǎo)猜出范圍，然后驗(yàn)證即可

歸納小結(jié)

其實(shí)對(duì)于這類恒成立題目，我們首先要構(gòu)建一個(gè)新的函數(shù)使之大于等于0（或者小于等于0），然后把區(qū)間端點(diǎn)代入計(jì)算看一下是否恰好為0，再求導(dǎo)，算出端點(diǎn)一階導(dǎo)函數(shù)值，若端點(diǎn)一階導(dǎo)函數(shù)值不為0，直接令導(dǎo)函數(shù)在端點(diǎn)處函數(shù)值大于等于0（或者小于等于0），求出參數(shù)范圍然后證明即可；如端點(diǎn)一階導(dǎo)函數(shù)值若為0，把一階導(dǎo)數(shù)當(dāng)做新函數(shù)，令二階導(dǎo)數(shù)在端點(diǎn)處函數(shù)值大于等于0（或者小于等于0）求出參數(shù)范圍，然后證明即可。當(dāng)然也可嘗試分離參數(shù)法等其他方法。高考真題賞析

事實(shí)上，經(jīng)常是沒有直接用端點(diǎn)來作為那個(gè)特殊的【點(diǎn)】進(jìn)行命題，一般需要你去“猜測(cè)”，比如2019年浙江卷的壓軸題目：

這里，就不再是端點(diǎn)效應(yīng)所能解決的問題了，需要我們進(jìn)一步的挖掘和研究，不過那是下節(jié)課的內(nèi)容啦。最后，希望同學(xué)們有盡管數(shù)學(xué)虐我千百遍，我待數(shù)學(xué)如初戀的心態(tài)，一如既往的長(zhǎng)期堅(jiān)持學(xué)習(xí)下去，那你的數(shù)學(xué)功力必然與日俱增。對(duì)于一類含參恒成立問題可以采用端點(diǎn)效應(yīng)+必要性探路去縮小范圍的討論，進(jìn)而節(jié)省了思維成本。但是在一類題目的設(shè)計(jì)中，單純用端點(diǎn)作為特殊點(diǎn)就不太可能了。此時(shí)需要尋找一個(gè)【神奇的點(diǎn)】，也就是本次想要介紹的內(nèi)容。一道相切問題的小鋪墊.要想解決2019年浙江數(shù)學(xué)讓無數(shù)考生鬼哭狼嚎的壓軸大題，先要理解這類問題的本質(zhì)和那個(gè)神奇的的令x=1。同樣的，來看道某地的壓軸模擬：例4.已知函數(shù)f(x)=lnx-x2-ax。(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程。(2)若f(x)≤0恒成立，求a的取值范圍。第二問中，標(biāo)準(zhǔn)答案是采用對(duì)參數(shù)a進(jìn)行了參數(shù)分離（分離變量），對(duì)構(gòu)造的新函數(shù)進(jìn)行單調(diào)性判斷，然后解決問題。

例4.已知函數(shù)f(x)=lnx-x2-ax。(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程。(2)若f(x)≤0恒成立，求a的取值范圍。

BUT，既然我們要裝逼，豈能這么麻煩？？？

來，咱也試試【神奇的點(diǎn)】.

那么問題來了，怎么知道令x=1帶進(jìn)去解出的范圍恰好是所需的范圍呢？例4.已知函數(shù)f(x)=lnx-x2-ax。(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程。(2)若f(x)≤0恒成立，求a的取值范圍。深入挖掘和研究.既然用到了特殊的函數(shù)不等式，我們知道等號(hào)取得的時(shí)候就是相切的是切點(diǎn)，如圖：我們不妨也用圖像變化來研究這個(gè)函數(shù)：要是變成兩個(gè)函數(shù)比較大小問題呢，那會(huì)出現(xiàn)什么樣的情況呢？動(dòng)態(tài)變化過程就不展示了，和上面的視頻類似。我們發(fā)現(xiàn)，恒大于等于0，等價(jià)于y=lnx-x2在y=ax的上方。當(dāng)二者相切時(shí)取等。而這個(gè)神奇的【1】恰好是切點(diǎn)橫坐標(biāo)，事情就這么湊巧嗎？那我們換一種移項(xiàng)方式，構(gòu)造兩個(gè)不一樣的函數(shù)試試看：等等結(jié)論一樣！發(fā)現(xiàn)問題了嗎？要是我們把這類函數(shù)恒成立問題等價(jià)轉(zhuǎn)化一下，是否可以利用必要性探路，研究那個(gè)【神奇的點(diǎn)】是誰，令x=x0，代入求出參數(shù)范圍，再證明其充分性，豈不是......說干咱就干，掄起袖子來擼一道壓軸模擬題試試：

我們從圖像上，可以清楚直觀滴發(fā)現(xiàn)x大于0時(shí)，原不等式顯然成立，說明這個(gè)x是我們夢(mèng)寐以求的【神奇的點(diǎn)】所以接下來證明其充分性即可，如下：

這里我們采用了三次放縮，分別是系數(shù)放縮，切線放縮以及基本不等式。難度較大，思維邏輯要求較高。象征性來個(gè)總結(jié)一般遇到這類問題（為方便描述不妨設(shè)恒大于等于0），1.我們要么可以從端點(diǎn)代入得到等號(hào)成立，要么需要轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)相切問題，2.尋找并計(jì)算切點(diǎn)坐標(biāo)以及此時(shí)參數(shù)的數(shù)值。令導(dǎo)函數(shù)在切點(diǎn)處的值大于等于0求出參數(shù)的范圍，往往這個(gè)范圍就是所求的那個(gè)范圍。3.充分性