河北省安平中學(xué)高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-3教案2.4正態(tài)分布（第一課時）

課題：《正態(tài)分布》（第1課時）

教學(xué)目標：知識與技能：掌握正態(tài)分布在實際生活中的意義和作用。過程與方法：結(jié)合正態(tài)曲線，加深對正態(tài)密度函數(shù)的理理。情感、態(tài)度與價值觀：通過正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)。教學(xué)重點：正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、標準正態(tài)曲線N(0，1)。教學(xué)難點：通過正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)。教具準備：多媒體、實物投影儀。教學(xué)設(shè)想：在總體分布研究中我們選擇正態(tài)分布作為研究的突破口，正態(tài)分布在統(tǒng)計學(xué)中是最基本、最重要的一種分布。內(nèi)容分析：

1．在實際遇到的許多隨機現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布

在上一節(jié)課我們研究了當樣本容量無限增大時，頻率分布直方圖就無限接近于一條總體密度曲線，總體密度曲線較科學(xué)地反映了總體分布

但總體密度曲線的相關(guān)知識較為抽象，學(xué)生不易理解，因此在總體分布研究中我們選擇正態(tài)分布作為研究的突破口

正態(tài)分布在統(tǒng)計學(xué)中是最基本、最重要的一種分布

2．正態(tài)分布是可以用函數(shù)形式來表述的

其密度函數(shù)可寫成：

，

（σ＞0）由此可見，正態(tài)分布是由它的平均數(shù)μ和標準差σ唯一決定的

常把它記為

3．從形態(tài)上看，正態(tài)分布是一條單峰、對稱呈鐘形的曲線，其對稱軸為x=μ，并在x=μ時取最大值

從x=μ點開始，曲線向正負兩個方向遞減延伸，不斷逼近x軸，但永不與x軸相交，因此說曲線在正負兩個方向都是以x軸為漸近線的

4．通過三組正態(tài)分布的曲線，可知正態(tài)曲線具有兩頭低、中間高、左右對稱的基本特征

5．由于正態(tài)分布是由其平均數(shù)μ和標準差σ唯一決定的，因此從某種意義上說，正態(tài)分布就有好多好多，這給我們深入研究帶來一定的困難

但我們也發(fā)現(xiàn)，許多正態(tài)分布中，重點研究N（0，1），其他的正態(tài)分布都可以通過轉(zhuǎn)化為N（0，1），我們把N（0，1）稱為標準正態(tài)分布，其密度函數(shù)為，x∈（∞，+∞），從而使正態(tài)分布的研究得以簡化

6．結(jié)合正態(tài)曲線的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)

正態(tài)曲線的作圖較難，教科書沒做要求，授課時可以借助幾何畫板作圖，學(xué)生只要了解大致的情形就行了，關(guān)鍵是能通過正態(tài)曲線，引導(dǎo)學(xué)生歸納其性質(zhì)

教學(xué)過程：學(xué)生探究過程：復(fù)習(xí)引入：

總體密度曲線:樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率．設(shè)想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線．

它反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的概率．根據(jù)這條曲線，可求出總體在區(qū)間(a，b)內(nèi)取值的概率等于總體密度曲線，直線x=a，x=b及x軸所圍圖形的面積．觀察總體密度曲線的形狀，它具有“兩頭低，中間高，左右對稱”的特征，具有這種特征的總體密度曲線一般可用下面函數(shù)的圖象來表示或近似表示：

式中的實數(shù)、是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標準差，的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線．講解新課：一般地，如果對于任何實數(shù)，隨機變量X滿足

,則稱X的分布為正態(tài)分布（normaldistribution)．正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機變量X服從正態(tài)分布，則記為X～.經(jīng)驗表明，一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布．例如，高爾頓板試驗中，小球在下落過程中要與眾多小木塊發(fā)生碰撞，每次碰撞的結(jié)果使得小球隨機地向左或向右下落，因此小球第1次與高爾頓板底部接觸時的坐標X是眾多隨機碰撞的結(jié)果，所以它近似服從正態(tài)分布．在現(xiàn)實生活中，很多隨機變量都服從或近似地服從正態(tài)分布．例如長度測量誤差；某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等；一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量等；正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標（如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容量、電子管的使用壽命等）；某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度、降雨量等；一般都服從正態(tài)分布．因此，正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實際之中．正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計中占有重要的地位．說明:1參數(shù)

是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本均值去佑計；是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本標準差去估計．2.早在1733年，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗就用n！的近似公式得到了正態(tài)分布．之后，德國數(shù)學(xué)家高斯在研究測量誤差時從另一個角度導(dǎo)出了它，并研究了它的性質(zhì)，因此，人們也稱正態(tài)分布為高斯分布．

2．正態(tài)分布）是由均值μ和標準差σ唯一決定的分布通過固定其中一個值，討論均值與標準差對于正態(tài)曲線的影響

3．通過對三組正態(tài)曲線分析，得出正態(tài)曲線具有的基本特征是兩頭底、中間高、左右對稱

正態(tài)曲線的作圖，書中沒有做要求，教師也不必補上

講課時教師可以應(yīng)用幾何畫板，形象、美觀地畫出三條正態(tài)曲線的圖形，結(jié)合前面均值與標準差對圖形的影響，引導(dǎo)學(xué)生觀察總結(jié)正態(tài)曲線的性質(zhì)

4．正態(tài)曲線的性質(zhì)：（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交

（2）曲線關(guān)于直線x=μ對稱

（3）當x=μ時，曲線位于最高點

（4）當x＜μ時，曲線上升（增函數(shù)）；當x＞μ時，曲線下降（減函數(shù)）

并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近

（5）μ一定時，曲線的形狀由σ確定

σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；σ越?。€越“瘦高”．總體分布越集中：五條性質(zhì)中前三條學(xué)生較易掌握，后兩條較難理解，因此在講授時應(yīng)運用數(shù)形結(jié)合的原則，采用對比教學(xué)

5．標準正態(tài)曲線:當μ=0、σ=l時，正態(tài)總體稱為標準正態(tài)總體，其相應(yīng)的函數(shù)表示式是，（∞＜x＜+∞）其相應(yīng)的曲線稱為標準正態(tài)曲線

標準正態(tài)總體N（0，1）在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位

任何正態(tài)分布的概率問題均可轉(zhuǎn)化成標準正態(tài)分布的概率問題

講解范例：例1．給出下列三個正態(tài)總體的函數(shù)表達式，請找出其均值μ和標準差σ

（１）（２）（３）答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)1，0.5例2求標準正態(tài)總體在（1，2）內(nèi)取值的概率．解：利用等式有

==0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.標準正態(tài)總體的概率問題:

對于標準正態(tài)總體N（0，1），是總體取值小于的概率，即

，其中，圖中陰影部分的面積表示為概率

只要有標準正態(tài)分布表即可查表解決.從圖中不難發(fā)現(xiàn):當時，；而當時，Φ（0）=0.5

2.標準正態(tài)分布表標準正態(tài)總體在正態(tài)總體的研究中有非常重要的地位，為此專門制作了“標準正態(tài)分布表”．在這個表中，對應(yīng)于的值是指總體取值小于的概率，即

，．若，則．利用標準正態(tài)分布表，可以求出標準正態(tài)總體在任意區(qū)間內(nèi)取值的概率，即直線，與正態(tài)曲線、x軸所圍成的曲邊梯形的面積．

3．非標準正態(tài)總體在某區(qū)間內(nèi)取值的概率:可以通過轉(zhuǎn)化成標準正態(tài)總體，然后查標準正態(tài)分布表即可

在這里重點掌握如何轉(zhuǎn)化

首先要掌握正態(tài)總體的均值和標準差，然后進行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化

4.小概率事件的含義

發(fā)生概率一般不超過5％的事件，即事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生

假設(shè)檢驗方法的基本思想:首先，假設(shè)總體應(yīng)是或近似為正態(tài)總體，然后，依照小概率事件幾乎不可能在一次試驗中發(fā)生的原理對試驗結(jié)果進行分析

假設(shè)檢驗方法的操作程序，即“三步曲”

一是提出統(tǒng)計假設(shè)，教科書中的統(tǒng)計假設(shè)總體是正態(tài)總體；二是確定一次試驗中的a值是否落入(μ3σ，μ+3σ)；三是作出判斷

講解范例：例1.若x～N(0,1),求(l)P(2.32<x<1.2)；(2)P(x>2).解：(1)P(2.32<x<1.2)=F(1.2)F(2.32)=F(1.2)[1F(2.32)]=0.8849(10.9898)=0.8747.

(2)P(x>2)=1P(x<2)=1F(2)=l0.9772=0.0228.

例2．利用標準正態(tài)分布表，求標準正態(tài)總體在下面區(qū)間取值的概率：(1)在N(1,4)下，求

（2）在N（μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）解：（１）＝＝Φ（1）＝0.8413（２）Ｆ（μ＋σ）＝＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997對于正態(tài)總體取值的概率：

在區(qū)間（μσ，μ+σ）、（μ2σ，μ+2σ）、（μ3σ，μ+3σ）內(nèi)取值的概率分別為68.3%、95.4%、99.7%

因此我們時常只在區(qū)間（μ3σ，μ+3σ）內(nèi)研究正態(tài)總體分布情況，而忽略其中很小的一部分

例3．某正態(tài)總體函數(shù)的概率密度函數(shù)是偶函數(shù)，而且該函數(shù)的最大值為，求總體落入?yún)^(qū)間（－1.2，0.2）之間的概率

解：正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是，它是偶函數(shù)，說明μ＝0，的最大值為＝，所以σ＝1，這個正態(tài)分布就是標準正態(tài)分布

鞏固練習(xí)：書本第74頁

1,2,3課后作業(yè)：書本第75頁

習(xí)題2.4A組1,2

B組1,2教學(xué)反思：1．在實際遇到的許多隨機現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布

在上一節(jié)課我們研究了當樣本容量無限增大時，頻率分布直方圖就無限接近于一條總體密度曲線，總體密度曲線較科學(xué)地反映了總體分布

但總體密度曲線的相關(guān)知識較為抽象，學(xué)生不易理解，因此在總體分布研究中我們選擇正態(tài)分布作為研究的突破口

正態(tài)分布在統(tǒng)計學(xué)中是最基本、最重要的一種分布

2．正態(tài)分布是可以用函數(shù)形式來表述的

其密度函數(shù)可寫成：

，

（σ＞0）由此可見，正態(tài)分布是由它的平均數(shù)μ和標準差σ唯一決定的

常把它記為

3．從形態(tài)上看，正態(tài)分布是一條單峰、對稱呈鐘形的曲線，其對稱軸為x=μ，并在x=μ時取最大值

從x=μ點開始，曲線向正負兩個方向遞減延伸，不斷逼近x軸，但永不與x軸相交，因此說曲線在正負兩個方向都是以x軸為漸近線的

4．通過三組正態(tài)分布的曲線，可知正態(tài)曲線具有兩頭低、中間高、左右對稱的基本特征。由于正態(tài)分布是由其平均數(shù)μ和標準差σ唯一決定的