2024-2025學年新教材高中數(shù)學課時素養(yǎng)檢測八空間幾何體與斜二測畫法含解析新人教B版必修第四冊

PAGE八空間幾何體與斜二測畫法(30分鐘60分)一、選擇題(每小題4分,共24分,多選題全部選對得4分,選對但不全對得2分,有選錯的得0分)1.(多選題)關于利用斜二測畫法畫直觀圖有下列結論,其中正確的是 ()A.三角形的直觀圖是三角形B.平行四邊形的直觀圖是平行四邊形C.正方形的直觀圖是正方形D.菱形的直觀圖是菱形【解析】選AB.斜二測畫法保持平行性和相交性不變,即平行直線的直觀圖還是平行直線,相交直線的直觀圖還是相交直線,故A,B正確;但是用斜二測畫法畫直觀圖時平行于y軸的線段,在直觀圖中長度為原來的一半,則正方形的直觀圖不是正方形,菱形的直觀圖不是菱形,所以C,D錯誤.2.如圖所示,△A′B′C′是△ABC的直觀圖,圖中B′O′=O′C′=C′A′,C′A′∥O′y′,則原圖△ABC是 ()A.等邊三角形 B.等腰非直角三角形C.直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形【解析】選D.建立平面直角坐標系,在x軸上截取BO=B′O′,OC=O′C′,過C作y軸的平行線并在上面截取AC=2A′C′,連接AB,則得到△A′B′C′的原圖△ABC,如圖所示,因為AC⊥BC,且AC=BC,所以△ABC是等腰直角三角形.3.如圖所示,直觀圖△A′B′C′(其中A′C′∥O′y′,B′C′∥O′x′)所表示的平面圖形是 ()A.正三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.直角三角形【解析】選D.由A′C′∥O′y′,B′C′∥O′x′,∠A′C′B′=45°知,在原圖形中,AC⊥CB,故對應的平面圖形為直角三角形.【補償訓練】水平放置的△ABC有一邊在水平線上,它的直觀圖是正三角形,則△ABC是 ()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.隨意三角形【解析】選C.依據(jù)斜二測畫法作平面圖形的直觀圖的原理,可得△ABC中有一個角為鈍角.4.如圖所示,為一平面圖形的直觀圖,則此平面圖形可能是 ()【解析】選C.按斜二測畫法的規(guī)則,平行于x軸或x軸上的線段的長度在新坐標系中不變,在y軸上或平行于y軸的線段長度在新坐標系中變?yōu)樵瓉淼腝UOTE,并留意到∠xOy=90°,∠x′O′y′=45°,將圖形還原成原圖形知選C.5.如圖所示的是水平放置的三角形的直觀圖,D是BC邊的中點,AB,BC分別與y′軸、x′軸平行,則原圖形中的三條線段AB,AD,AC中 ()A.最長的是AB,最短的是ACB.最長的是AC,最短的是ABC.最長的是AB,最短的是ADD.最長的是AC,最短的是AD【解析】選B.依據(jù)直觀圖還原后的△ABC中,AB⊥BC,因此AB<AD<AC.【補償訓練】如圖所示,△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀圖,則在△ABC的三邊及中線AD中,最長的線段是 ()A.AB B.AD C.BC D.AC【解析】選D.△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,則AC>AB,AC>AD,AC>BC.6.如圖所示,正方形O′A′B′C′的邊長為1cm,它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖,則原圖形的周長為()A.6cm B.8cmC.(2+3QUOTE)cm D.(2+2QUOTE)cm【解析】選B.如圖所示,原圖形為四邊形OABC,且OA=O′A′=1cm,OB=2O′B′=2QUOTEcm,于是OC=AB=QUOTE=3(cm),故四邊形OABC的周長為2×(1+3)=8(cm).二、填空題(每小題4分,共8分)7.若已知△ABC的直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三角形,則原△ABC的面積為________.

【解析】如圖所示是△ABC的直觀圖△A′B′C′.作C′D′∥y′軸交x′軸于點D′,則C′D′對應△ABC的高CD,所以CD=2C′D′=2×QUOTE×C′O′=2QUOTE·QUOTEa=QUOTEa,而AB=A′B′=a,所以S△ABC=QUOTEa·QUOTEa=QUOTEa2.答案:QUOTEa28.已知菱形ABCD的邊長是4,∠DAB=60°,則菱形ABCD的斜二測直觀圖的面積是__________.

【解析】由已知得BD=4,AC=4QUOTE,且AC⊥BD,所以其斜二測直觀圖的面積為S=QUOTE×4QUOTE×4×QUOTE×sin45°=2QUOTE.答案:2QUOTE三、解答題(每小題14分,共28分)9.畫出如圖所示的Rt△ABC的直觀圖.【解析】畫法:(1)畫x′軸和y′軸,使∠x′O′y′=45°(如圖②所示).(2)在原圖中作BD⊥x軸,垂足為D(如圖①所示).(3)在x′軸上截取O′A′=OA,O′D′=OD,在y′軸上截取O′C′=QUOTEOC,過D′作B′D′∥y′軸,使D′B′=QUOTEBD.(4)連線成圖(擦去協(xié)助線),即△A′B′C′為Rt△ABC的直觀圖(如圖③所示).10.如圖所示,△A′B′C′是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖,將其還原成平面圖形.【解題指南】由直觀圖還原平面圖形的關鍵(1)平行于x′軸的線段長度不變,平行于y′軸的線段擴大為原來的2倍.(2)對于相鄰兩邊不與x′,y′軸平行的頂點可通過作x′軸,y′軸平行線變換確定其在xOy中的位置.【解析】①畫出直角坐標系xOy,在x軸的正方向上取OA=O′A′,即CA=C′A′;②過B′作B′D′∥y′軸,交x′軸于點D′,在OA上取OD=O′D′,過D作DB∥y軸,且使DB=2D′B′;③連接AB,BC,得△ABC.則△ABC即為△A′B′C′對應的平面圖形,如圖所示.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題4分,共16分,多選題全部選對得4分,選對但不全對得2分,有選錯的得0分)1.(多選題)下面說法不正確的是 ()A.水平放置的正方形的直觀圖可能是梯形B.兩條相交的直線的直觀圖可能是兩條平行直線C.相互垂直的兩條直線的直觀圖仍舊相互垂直D.平行于坐標軸的線段在直觀圖中仍舊平行于坐標軸【解析】選ABC.正方形的直觀圖中對應邊相互平行,不行能是梯形,A錯;兩條相交的直線的直觀圖仍舊相交,不行能平行,B錯;相互垂直的兩條直線的直觀圖可能不垂直,C錯,依據(jù)斜二測畫法的規(guī)則知D正確.2.已知兩個圓錐的底面相同且重合在一起,其中一個圓錐的頂點究竟面的距離為2cm,另一個圓錐的頂點究竟面的距離為3cm,則在直觀圖中這兩個頂點之間的距離為 ()A.2cm B.3cm C.2.5cm D.5cm【解析】選D.因為這兩個頂點的連線與z軸平行或重合,現(xiàn)在距離為5cm,而在直觀圖中依據(jù)平行于z軸的線段長度不變,仍為5cm.3.如圖所示,每個選項的兩個邊長為1的正三角形ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是 ()【解析】選C.分別畫出各圖形的直觀圖,比較即可看出.4.已知水平放置的△ABC按斜二測畫法得到如圖所示的直觀圖,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=QUOTE,那么原△ABC中∠ABC的大小是 ()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選C.依據(jù)斜二測畫法可知△ABC中,BC=2,AO=QUOTE,AO⊥BC,所以AB=AC=QUOTE=2,故△ABC是等邊三角形,則∠ABC=60°.二、填空題(每小題4分,共16分)5.在棱長為4cm的正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱AA1在x軸上,棱AD在y軸上,則在其直觀圖中,對應棱A′D′的長為________cm,棱A′A1′的長為________cm.

【解析】畫直觀圖時,在x軸上的線段長度保持不變,故A′A1′=4cm,在y軸上的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话?故A′D′=2cm.答案:246.如圖,△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直觀圖,B′在x′軸上,A′O′和x′軸垂直,且A′O′=2,則△AOB的邊OB上的高為________.

【解析】由直觀圖與原圖形中與x軸平行或重合的線段長度不變,且S原=2QUOTES直觀,設OB邊上的高為h,則QUOTE·OB·h=2QUOTE×QUOTE×2O′B′.因為OB=O′B′,所以h=4QUOTE.答案:4QUOTE【補償訓練】如圖,△A′B′C′是△ABC的直觀圖(斜二測畫法),其中A′與O′重合,C′在y′軸上,且B′C′∥x′軸,A′C′=2,B′C′=3,則△ABC的最長邊長為__________.

【解析】由斜二測畫法可知△ABC是直角三角形,且AC=2A′C′=4,BC=B′C′=3,則最長邊(斜邊)AB=5.答案:57.如圖所示,四邊形OABC的四個頂點坐標分別為O(0,0),A(2,4),B(4,0),C(4,-2),則該圖形直觀圖的面積為________.

【解析】S原=QUOTE×4×(4+2)=12,由S直=QUOTES原=QUOTE×12=3QUOTE.答案:3QUOTE8.有一塊多邊形菜地,它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,則這塊菜地的面積為__________.

【解析】在直觀圖中,過點A作AE⊥BC,垂足為E,則在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°,BE=QUOTE,而四邊形AECD為矩形,AD=1,則EC=AD=1,故BC=BE+EC=QUOTE+1.由此可還原原圖形如圖所示.在原圖形中,A′D′=1,A′B′=2,B′C′=QUOTE+1,且A′D′∥B′C′,A′B′⊥B′C′,故這塊菜地的面積為S=QUOTE(A′D′+B′C′)·A′B′=QUOTE×QUOTE×2=2+QUOTE.答案:2+QUOTE三、解答題(共38分)9.(12分)一個幾何體,它的下面是一個圓柱,上面是一個圓錐,并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合,圓柱的底面直徑為3cm,高為4cm,圓錐的高為3cm,畫出此幾何體的直觀圖.【解析】(1)畫軸.如圖①所示,畫x軸、z軸,使∠xOz=90°.(2)畫圓柱的兩底面,在x軸上取A,B兩點,使AB的長度等于3cm,且OA=OB.選擇橢圓模板中適當?shù)臋E圓過A,B兩點,使它為圓柱的下底面.在Oz上截取點O′,使OO′=4cm,過O′作Ox的平行線O′x′,類似圓柱下底面的作法作出圓柱的上底面.(3)畫圓錐的頂點.在Oz上截取點P,使PO′等于圓錐的高3cm.(4)成圖.連接A′A,B′B,PA′,PB′,整理得到此幾何體的直觀圖.如圖②所示.10.(12分)已知水平放置的△ABC是正三角形,其直觀圖的面積為QUOTEa2,求△ABC的周長.【解析】畫出△ABC的平面圖與直觀圖如圖所示,則△ABC是△A′B′C′的平面圖形.設△ABC的邊長為x,由斜二測畫法,知A′B′=AB=x,O′C′=QUOTEOC=QUOTEx.作C′D′⊥A′B′,垂足為點D′.因為∠C′O′D′=45°,所以C′D′=QUOTEO′C′=QUOTE×QUOTEx=QUOTEx,所以S△A′B′C′=QUOTEA′B′·C′D′=QUOTEx·QUOTEx=QUOTEx2.所以QUOTEx2=QUOTEa2,所以x=2a,所以△ABC周長為3×2a=6a.11.(14分)如圖,菱形ABCD的一邊長為2,∠A=45°,且它是一個水平放置的