2024～2025學(xué)年度八年級數(shù)學(xué)上冊第2課時 列分式方程解決實際問題教學(xué)設(shè)計

第2課時列分式方程解決實際問題教學(xué)目標(biāo)課題15.3第2課時列分式方程解決實際問題授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.進(jìn)一步熟練地解可化為一元一次方程的分式方程.2.運用分式方程解決實際應(yīng)用問題時，會合理設(shè)未知數(shù)，找出等量關(guān)系并列出方程. 3.通過分式方程的應(yīng)用教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高分析問題和解決問題的能力. 教學(xué)重點根據(jù)實際問題列出分式方程并正確解分式方程．教學(xué)難點提煉等量關(guān)系并將其轉(zhuǎn)化為方程的過程.教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動活動一：復(fù)習(xí)舊知，導(dǎo)入新課設(shè)計意圖通過復(fù)習(xí)分式方程的解法喚醒舊知，引出新課.【復(fù)習(xí)導(dǎo)入】1.回顧一下上節(jié)課學(xué)習(xí)的解分式方程的一般步驟.(1)去分母(2)解整式方程(3)檢驗2.接下來我們來解方程eq\f(2,x＋3)＋eq\f(3,2)＝eq\f(4,2x＋6).解：方程兩邊乘2(x＋3)，得4＋3(x＋3)＝4.解得x＝－3.檢驗：當(dāng)x＝－3時，2(x＋3)＝0，所以x＝－3不是原分式方程的解．所以原分式方程無解.其實，在解決生活實際問題中，有時需要列、解分式方程，那我們就一起來學(xué)習(xí)如何用分式方程解決實際問題吧！【教學(xué)建議】教師提出問題，學(xué)生回答，回憶分式方程的基本解法，學(xué)生對所出示方程進(jìn)行演算．教師使用課件展示解分式方程的過程．通過例題演示，讓學(xué)生對比正確解法，檢查自身問題.活動二：實踐探究，獲取新知設(shè)計意圖通過回顧已學(xué)的與本探究相關(guān)的知識，為探究新問題做知識鋪墊.探究點1列分式方程解決工程問題問題1請大家回憶一下一元一次方程中列方程解應(yīng)用題的步驟有哪些？審、找、設(shè)、列、解、驗、答.問題2請大家填一填工程問題的等量關(guān)系：工作總量＝工作效率×工作時間.問題3借助這個等量關(guān)系回答下面問題：一件工作，甲單獨做需ah完成，乙單獨做需bh完成，則甲的工作效率為eq\f(1,a)，乙的工作效率為eq\f(1,b)，則甲、乙合作需1÷(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))h完成.類比一元一次方程中的列方程解應(yīng)用題的方法，我們一起來看教材P152例3吧！例(教材P152例3)兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨施工1個月完成總工程的eq\f(1,3)，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，總工程全部完成．哪個隊的施工速度快？分析：甲隊1個月完成總工程的eq\f(1,3)，設(shè)乙隊單獨施工1個月能完成總工程的eq\f(1,x)，【教學(xué)建議】對于問題1，教師可先讓學(xué)生進(jìn)行回答，再進(jìn)行啟發(fā)和補充.【教學(xué)建議】例題是以筑路工程為背景的問題．對于這類問題，通常設(shè)工程總量為1.教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下分析：從題中已知條件可知甲隊單獨施工1個月完成總工程量的eq\f(1,3)，如果能知道乙隊單獨施工1個月所完成的工程量，就可以比較兩隊的施工速度．因此，可以設(shè)乙隊單獨施工1個月.教學(xué)步驟師生活動那么甲隊半個月完成總工程的eq\f(1,6)，乙隊半個月完成總工程的eq\f(1,2x)，兩隊半個月完成總工程的eq\f(1,6)＋eq\f(1,2x)在用式子表示上述的量之后，再考慮如何列出方程.完成總工程量的eq\f(1,x)，進(jìn)而列出方程設(shè)計意圖通過例題教學(xué)使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識、基本的運算方法，掌握解決數(shù)學(xué)問題的基本技能．并規(guī)范其解題書寫格式.思考：問題中的哪個等量關(guān)系可以用來列方程？eq\f(1,3)＋兩隊共同工作半個月完成的總工程量＝1.也可用表格梳理數(shù)量關(guān)系：工作效率工作時間工作量甲隊eq\f(1,3)1＋eq\f(1,2)eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)乙隊eq\f(1,x)eq\f(1,2)eq\f(1,2x)解：設(shè)乙隊單獨施工1個月能完成總工程的eq\f(1,x).記總工程量為1，根據(jù)工程的實際進(jìn)度，得eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,2x)＝1.方程兩邊乘6x，得2x＋x＋3＝6x.解得x＝1.檢驗：當(dāng)x＝1時，6x≠0.所以，原分式方程的解為x＝1.由上可知，若乙隊單獨施工1個月可以完成全部任務(wù)，對比甲隊1個月完成任務(wù)的eq\f(1,3)，可知乙隊的施工速度快．【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P154練習(xí)第2題．教師總結(jié)列分式方程解決工程問題的解題策略：1．題中有“單獨”字眼通常可知工作效率．2．通常間接設(shè)元，如××單獨完成需x(單位時間)，則可表示出其工作效率．3．弄清基本的數(shù)量關(guān)系．如本題中的“合作的工效＝甲乙兩隊工作效率的和”．4．解題方法：可概括為“321”，“3”指該類問題中三量關(guān)系，如工程問題有工作效率、工作時間、工作量；“2”指該類問題中的“兩個主人公”，如甲隊和乙隊；“1”指該問題中的一個等量關(guān)系．如工程問題中等量關(guān)系是：“兩個主人公”工作總量之和＝全部工作總量．設(shè)計意圖通過例題補充含字母系數(shù)的分式方程的應(yīng)用，完善學(xué)生的知識體系．引導(dǎo)學(xué)生把文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，從中找出等量關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識．．探究點2列分式方程解決行程問題我們一起再來回憶一下行程問題的等量關(guān)系吧！行程問題：路程＝速度×?xí)r間接下來我們看這個例題！例(教材P153例4)某次列車平均提速vkm/h.用相同的時間，列車提速前行駛skm，提速后比提速前多行駛50km，提速前列車的平均速度為多少？分析：這里的字母v，s表示已知數(shù)據(jù)，設(shè)提速前列車的平均速度為xkm/h，那么提速前列車行駛skm所用時間為eq\f(s,x)h，提速后列車的平均速度為(x＋v)km/h，提速后列車運行(s＋50)km所用時間為eq\f(s＋50,x＋v)h.根據(jù)行駛時間的等量關(guān)系“提速前列車行駛skm的時間＝提速后列車行駛(s＋50)km的時間”，可以列出方程eq\f(s,x)＝eq\f(s＋50,x＋v).也可用表格梳理數(shù)量關(guān)系：【教學(xué)建議】教材例4是以列車提速為背景的問題．對于這類問題，速度、時間、路程三者之間的基本關(guān)系是分析問題的依據(jù)．教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下的分析：設(shè)所求的提速前速度為xkm/h，抓住題目中“用相同的時間”這個條件，就能列出方程．教師總結(jié)列分式方程解決行程問題的解題策略：1．注意關(guān)鍵詞“教學(xué)步驟師生活動路程速度時間提速前sxeq\f(s,x)提速后s＋50x＋veq\f(s＋50,v＋x)解：設(shè)提速前列車的平均速度為xkm/h，根據(jù)行駛時間的等量關(guān)系，得eq\f(s,x)＝eq\f(s＋50,x＋v).方程兩邊乘x(x＋v)，得s(x＋v)＝x(s＋50)．解得x＝eq\f(sv,50).檢驗：由v，s都是正數(shù)，得x＝eq\f(sv,50)時x(x＋v)≠0.所以，原分式方程的解為x＝eq\f(sv,50).答：提速前列車的平均速度為eq\f(sv,50)km/h.【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P154練習(xí)第1題.歸納總結(jié)：分式方程的應(yīng)用主要是列分式方程解應(yīng)用題，這與學(xué)習(xí)一元一次方程時列方程解應(yīng)用題的思路和方法是一樣的.提速”與“提速到”的區(qū)別．2．同上也是“321”，即三量關(guān)系——路程、速度、時間；“兩主人公”——本題是“提速前”和“提速后”；“一等量關(guān)系”——本題是時間相同．3．行程問題中的等量關(guān)系通常抓住“時間線”來建立方程．【教學(xué)建議】教師可對檢驗作解釋：例4的檢驗中利用了問題的實際意義，根據(jù)字母的含義確定其取值范圍中不含負(fù)數(shù)和0，從而確定分式方程解的情形.活動三：延伸拓展，鞏固升華設(shè)計意圖此例題補充了教材上沒有的銷售問題，為的是拓展學(xué)生的視野，完善列分式方程解應(yīng)用題的種類，并讓學(xué)生例為扎實推進(jìn)“五育”并舉工作，加強勞動教育，某中學(xué)針對七年級學(xué)生開設(shè)了“跟我學(xué)面點”烹飪課程．課程開設(shè)后學(xué)?；ㄙM6000元購進(jìn)第一批面粉，用完后學(xué)校又花費9600元購進(jìn)了第二批面粉，第二批面粉的采購量是第一批采購量的1.5倍，但每千克面粉價格提高了0.4元．求第一批面粉的采購量.分析：根據(jù)“第二批面粉的每千克面粉價格－第一批面粉的每千克面粉價格＝0.4”列方程即可.解：設(shè)第一批面粉的采購量為xkg.由題意，得eq\f(9600,1.5x)－eq\f(6000,x)＝0.4.方程兩邊乘15x，得96000－6000×15＝0.4×15x.【教學(xué)建議】本例是為鞏固“三角形兩邊的和大于第三邊”而設(shè)，可根據(jù)條件列方程求解，注意提醒學(xué)生用“三角形兩邊的和大于第三邊”判斷所得的結(jié)果是否合理．在第(2)教學(xué)步驟師生活動意識到生活中處處都跟數(shù)學(xué)息息相關(guān).解得x＝1000.檢驗：當(dāng)x＝1000時，15x≠0.所以，原分式方程的解為x＝1000.答：第一批面粉的采購量為1000kg.【對應(yīng)訓(xùn)練】為加快公共領(lǐng)域充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，某停車場計劃購買A，B兩種型號的充電樁．已知A型充電樁比B型充電樁的單價少0.3萬元，且用15萬元購買A型充電樁與用20萬元購買B型充電樁的數(shù)量相等．則A，B兩種型號充電樁的單價各是多少？解：設(shè)A型充電樁的單價為x萬元，則B型充電樁的單價為(x＋0.3)萬元.根據(jù)題意，得eq\f(15,x)＝eq\f(20,x＋0.3).解得x＝0.9.檢驗：當(dāng)x＝0.9時，x(x＋0.3)≠0，所以原方程的解為x＝0.9.所以x＋0.3＝1.2.答：A型充電樁的單價為0.9萬元，B型充電樁的單價為1.2萬元.【教學(xué)建議】教學(xué)中建議讓學(xué)生先思考，教師引導(dǎo)學(xué)生列出關(guān)系式之后，由學(xué)生先自行解答，教師再集體講解，讓學(xué)生意識到自己在解題時有什么錯漏，這樣印象深刻，在之后的練習(xí)中可避免犯同樣的錯.活動四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊子相應(yīng)課時隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：1.列分式方程解決實際問題的步驟是什么？2.列分式方程解應(yīng)用題檢驗時需要注意什么？【知識結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P154習(xí)題15.3第3，4，5，6題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時訓(xùn)練．板書設(shè)計第2課時列分式方程解決實際問題列分式方程解決實際問題的一般步驟： 審、找、設(shè)、列、解、驗、答教學(xué)反思在教學(xué)方法上，為了充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生主動愉快地學(xué)習(xí)，采用啟發(fā)講授、合作探究、講練相結(jié)合的教學(xué)方式．在課堂教學(xué)過程中努力貫徹“教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體、探究為主線、思維為核心”的教學(xué)理念，通過引導(dǎo)學(xué)生列表分析、找重點語句、探尋等量關(guān)系等，使學(xué)生充分地動口、動腦，參與教學(xué)全過程.解題大招一由實際問題抽象出分式方程的方法首先弄清題意，根據(jù)關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系．還要注意看清題干中是設(shè)哪個量為未知數(shù)．例1(2023·鞍山中考)甲、乙兩臺機器運輸某種貨物，已知乙比甲每小時多運60kg，甲運輸500kg所用的時間與乙運輸800kg所用的時間相等，求甲、乙兩臺機器每小時分別運輸多少千克貨物．設(shè)甲每小時運輸xkg貨物，則可列方程為（A）A.eq\f(500,x)＝eq\f(800,x＋60)B.eq\f(500,x)＝eq\f(800,x－60)C.eq\f(500,x＋60)＝eq\f(800,x)D.eq\f(500,x－60)＝eq\f(800,x)解析：甲每小時運輸xkg貨物，則乙每小時運輸(x＋60)kg貨物，由題意得eq\f(500,x)＝eq\f(800,x＋60).故選A.解題大招二圖文信息類問題的解法圖文信息這類試題往往以圖文形式提供一定的數(shù)學(xué)情景，需通過對圖畫中的情景(或?qū)υ挼?的分析和理解，厘清數(shù)量關(guān)系，抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)，建立合理的數(shù)學(xué)模型解決問題．例2某學(xué)校為鼓勵學(xué)生積極參加體育鍛煉，派王老師和李老師去購買一些籃球和排球．回校后，王老師和李老師編寫了一道題：同學(xué)們，請求出籃球和排球的單價各是多少元．分析：設(shè)排球的單價為x元，則籃球的單價為(x＋60)元，根據(jù)“總價÷單價＝數(shù)量”的關(guān)系建立方程．解：設(shè)排球的單價為x元，則籃球的單價為(x＋60)元．根據(jù)題意，列方程得eq\f(2000,x)＝eq\f(3200,x＋60).解得x＝100.檢驗：當(dāng)x＝100時，x(x＋60)≠0，所以原方程的解為x＝100.所以x＋60＝160.答：排球的單價為100元，籃球的單價為160元．解題大招三表格法分析數(shù)量關(guān)系解決應(yīng)用題的關(guān)鍵是正確分析問題中各數(shù)量間的關(guān)系．用表格法分析數(shù)量關(guān)系，有助于理解題意，理順數(shù)量關(guān)系．用表格法分析數(shù)量關(guān)系的步驟：首先通過讀題確定問題中的關(guān)鍵量及描述對象或發(fā)生的階段、方式，然后設(shè)計表格，在表格中先填上已知量，然后確定未知量，最后表示其他相關(guān)量，從已知條件中找出表示相等關(guān)系的語句，結(jié)合表格中的各數(shù)量，列出方程，進(jìn)而解決問題．類型一工程問題解決工程問題的思路方法：各部分工作量之和等于1，常從工作量和工作時間上考慮相等關(guān)系．例3抗洪搶險時，需要在一定時間內(nèi)筑起攔洪大壩，甲隊單獨做正好按期完成，而乙隊由于人少，單獨做則超期3h才能完成．現(xiàn)甲、乙兩隊合作2h后，甲隊又有新任務(wù)，余下的由乙隊單獨做，剛好按期完成．求甲、乙兩隊單獨完成全部工程各需多少小時？分析：設(shè)甲隊單獨完成需要xh，則乙隊需要(x＋3)h.解：設(shè)甲隊單獨完成需要xh，則乙隊需要(x＋3)h．由題意，得eq\f(2,x)＋eq\f(x,x＋3)＝1.解得x＝6.檢驗：當(dāng)x＝6時，x(x＋3)≠0，所以原方程的解為x＝6.所以x＋3＝9.答：甲隊單獨完成全部工程需6h，乙隊單獨完成全部工程需9h.類型二行程問題例4從廣州到某市，可乘坐普通列車或高鐵，已知高鐵的行駛路程是400km，普通列車的行駛路程是高鐵的行駛路程的1.3倍．(1)求普通列車的行駛路程；(2)若高鐵的平均速度(km/h)是普通列車平均速度(km/h)的2.5倍，且乘坐高鐵所需時間比乘坐普通列車所需時間縮短3h，求高鐵的平均速度．分析：設(shè)普通列車的平均速度是xkm/h，則高鐵的平均速度是2.5xkm/h.解：(1)根據(jù)題意得400×1.3＝520(km)．答：普通列車的行駛路程是520km.(2)設(shè)普通列車的平均速度是xkm/h，則高鐵的平均速度是2.5xkm/h.根據(jù)題意，得eq\f(520,x)－eq\f(400,2.5x)＝3.解得x＝120.檢驗：當(dāng)x＝120時，2.5x≠0，所以原方程的解為x＝120.則高鐵的平均速度是120×2.5＝300(km/h)．答：高鐵的平均速度是300km/h.培優(yōu)點銷售盈虧問題例1佳佳果品店在批發(fā)市場購買某種水果銷售，第一次用1200元購進(jìn)若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果暢銷，第二次購買時，每千克的進(jìn)價比第一次提高了10%，用1452元所購買的數(shù)量比第一次多20kg，以每千克9元售出100kg后，因出現(xiàn)高溫天氣，水果不易保鮮，為減少損失，便降價50%售完剩余的水果．(1)第一次購買水果的進(jìn)價是每千克多少元？(2)該果品店在這兩次銷售中，總體上是盈利還是虧損？盈利或虧損了多少元？分析：(1)根據(jù)第二次購買水果數(shù)多20kg，可列出方程，解方程即可得出答案；(2)先計算兩次購買水果的數(shù)量，賺錢情況：銷售的水果量×(實際售價－當(dāng)次進(jìn)價)，兩次合計，就可以求得是盈利還是虧損了．解：(1)設(shè)第一次購買水果的進(jìn)價是每千克x元，則第二次購買水果的進(jìn)價是每千克(1＋10%)x元，即1.1x元．根據(jù)題意，得eq\f(1452,1.1x)－eq\f(1200,x)＝20.解得x＝6.檢驗：當(dāng)x＝6時，1.1x≠0，所以原方程的解為x＝6.答：第一次購買水果的進(jìn)價是每千克6元．(2)第一次購買水果1200÷6＝200(kg)．第二次購買水果的進(jìn)價是1.1×6＝6.6(元)，第二次購買水果200＋20＝220(kg)．第一次賺錢為200×(8－6)＝400(元)，第二次賺錢為100×(