吉林省長春市2024年中考數(shù)學試卷

吉林省長春市2024年中考數(shù)學試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．根據(jù)有理數(shù)加法法則，計算2+（﹣3）過程正確的是（）A．+（3+2） B．+（3﹣2） C．﹣（3+2） D．﹣（3﹣2）2．南湖公園是長春市著名旅游景點之一，圖①是公園中“四角亭”景觀的照片，圖②是其航拍照片，則圖③是“四角亭”景觀的（）A．主視圖 B．俯視圖 C．左視圖 D．右視圖3．在剪紙活動中，小花同學想用一張矩形紙片剪出一個正五邊形，其中正五邊形的一條邊與矩形的邊重合，如圖所示，則∠α的大小為（）A．54° B．60° C．70° D．72°4．下列運算一定正確的是（）A．2a?3a＝6a B．a(chǎn)2?a3＝a6C．（ab）2＝a2b2 D．（a3）2＝a55．不等關(guān)系在生活中廣泛存在．如圖，a、b分別表示兩位同學的身高，c表示臺階的高度．圖中兩人的對話體現(xiàn)的數(shù)學原理是（）A．若a＞b，則a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，則a＞cC．若a＞b，c＞0，則ac＞bc D．若a＞b，c＞0，則a6．2024年5月29日16時12分，“長春凈月一號”衛(wèi)星搭乘谷神星一號火箭在黃海海域成功發(fā)射．當火箭上升到點A時，位于海平面R處的雷達測得點R到點A的距離為a千米，仰角為θ，則此時火箭距海平面的高度AL為（）A．a(chǎn)sinθ千米 B．a(chǎn)sinθ千米 C．a(chǎn)cosθ千米 D．a(chǎn)cosθ7．如圖，在△ABC中，O是邊AB的中點．按下列要求作圖：①以點B為圓心、適當長為半徑畫弧，交線段BO于點D，交BC于點E；②以點O為圓心、BD長為半徑畫弧，交線段OA于點F；③以點F為圓心、DE長為半徑畫弧，交前一條弧于點G，點G與點C在直線AB同側(cè)；④作直線OG，交AC于點M．下列結(jié)論不一定成立的是（）A．∠AOM＝∠B B．∠OMC+∠C＝180°C．AM＝CM D．OM=128．如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，點A（4，2）在函數(shù)y=kx（k＞0，x＞0）的圖象上．將直線OA沿y軸向上平移，平移后的直線與y軸交于點B，與函數(shù)y=kx（k＞0，x＞0）的圖象交于點C．若BCA．（0，5） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，25）二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。9．單項式﹣2a2b的次數(shù)是．10．計算：12-3=11．若拋物線y＝x2﹣x+c（c是常數(shù)）與x軸沒有交點，則c的取值范圍是．12．已知直線y＝kx+b（k、b是常數(shù)）經(jīng)過點（1，1），且y隨x的增大而減小，則b的值可以是.（寫出一個即可）13．一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖所示的方式擺放，邊AB與直線l重合，AB＝12cm．現(xiàn)將該三角板繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使點C的對應點C'落在直線l上，則點A經(jīng)過的路徑長至少為cm．（結(jié)果保留π）14．如圖，AB是半圓的直徑，AC是一條弦，D是AC的中點，DE⊥AB于點E，交AC于點F，DB交AC于點G，連結(jié)AD．給出下面四個結(jié)論：①∠ABD＝∠DAC；②AF＝FG；③當DG＝2，GB＝3時，F(xiàn)G=14④當BD=2AD，AB＝6時，△DFG的面積是3上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有．三、解答題：本題共10小題，共78分。15．先化簡，再求值：x3x-2-216．2021年吉林省普通高中開始施行新高考選科模式，此模式有若干種學科組合，每位高中生可根據(jù)自己的實際情況選擇一種．一對雙胞胎姐妹考入同一所高中且選擇了相同組合，該校要將所有選報這種組合的學生分成A、B、C三個班，其中每位學生被分到這三個班的機會均等．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求這對雙胞胎姐妹被分到同一個班的概率．17．《九章算術(shù)》是我國第一部自成體系的數(shù)學專著，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．問人數(shù)、金價各幾何？譯文：今有人合伙買金，每人出400錢，剩余3400錢；每人出300錢，剩余100錢．問合伙人數(shù)和金價各是多少？請解答這個問題．18．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是邊AB的中點，∠AOD＝∠BOC．求證：四邊形ABCD是矩形．19．某校為調(diào)研學生對本校食堂的滿意度，從初中部和高中部各隨機抽取20名學生對食堂進行滿意度評分（滿分10分），將收集到的評分數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息：a．高中部20名學生所評分數(shù)的頻數(shù)分布直方圖如圖：（數(shù)據(jù)分成4組：6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x≤10）b．高中部20名學生所評分數(shù)在8≤x＜9這一組的是：8.0，8.1，8.2，8.2，8.4，8.5，8.6，8.7，8.8c．初中部、高中部各20名學生所評分數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下：平均數(shù)中位數(shù)初中部8.38.5高中部8.3m根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）表中m的值為；（2）根據(jù)調(diào)查前制定的滿意度等級劃分標準，評分不低于8.5分為“非常滿意”．①在被調(diào)查的學生中，設(shè)初中部、高中部對食堂“非常滿意”的人數(shù)分別為a、b，則a▲b；（填“＞”“＜”或“＝”）②高中部共有800名學生在食堂就餐，估計其中對食堂“非常滿意”的學生人數(shù)．20．圖①、圖②、圖③均是3×3的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B均在格點上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作四邊形ABCD，使其是軸對稱圖形且點C、D均在格點上．（1）在圖①中，四邊形ABCD面積為2；（2）在圖②中，四邊形ABCD面積為3；（3）在圖③中，四邊形ABCD面積為4．21．區(qū)間測速是指在某一路段前后設(shè)置兩個監(jiān)控點，根據(jù)車輛通過兩個監(jiān)控點的時間來計算車輛在該路段上的平均行駛速度．小春駕駛一輛小型汽車在高速公路上行駛，其間經(jīng)過一段長度為20千米的區(qū)間測速路段，從該路段起點開始，他先勻速行駛112小時，再立即減速以另一速度勻速行駛（減速時間忽略不計），當他到達該路段終點時，測速裝置測得該輛汽車在整個路段行駛的平均速度為100千米/時．汽車在區(qū)間測速路段行駛的路程y（千米）與在此路段行駛的時間x（1）a的值為；（2）當112≤x≤a時，求y與（3）通過計算說明在此區(qū)間測速路段內(nèi)，該輛汽車減速前是否超速．（此路段要求小型汽車行駛速度不得超過120千米/時）22．【問題呈現(xiàn)】小明在數(shù)學興趣小組活動時遇到一個幾何問題：如圖①，在等邊△ABC中，AB＝3，點M、N分別在邊AC、BC上，且AM＝CN，試探究線段MN長度的最小值．【問題分析】小明通過構(gòu)造平行四邊形，將雙動點問題轉(zhuǎn)化為單動點問題，再通過定角發(fā)現(xiàn)這個動點的運動路徑，進而解決上述幾何問題．【問題解決】如圖②，過點C、M分別作MN、BC的平行線，并交于點P，作射線AP．在【問題呈現(xiàn)】的條件下，完成下列問題：（1）證明：AM＝MP；（2）∠CAP的大小為度，線段MN長度的最小值為．（3）【方法應用】某種簡易房屋在整體運輸前需用鋼絲繩進行加固處理，如圖③．小明收集了該房屋的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫出了示意圖，如圖④，△ABC是等腰三角形，四邊形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，∠ACB＝30°．MN是一條兩端點位置和長度均可調(diào)節(jié)的鋼絲繩，點M在AC上，點N在DE上．在調(diào)整鋼絲繩端點位置時，其長度也隨之改變，但需始終保持AM＝DN．鋼絲繩MN長度的最小值為米．23．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．點D是邊BC上的一點（點D不與點B、C重合），作射線AD，在射線AD上取點P，使AP＝BD，以AP為邊作正方形APMN，使點M和點C在直線AD同側(cè)．（1）當點D是邊BC的中點時，求AD的長；（2）當BD＝4時，點D到直線AC的距離為；（3）連結(jié)PN，當PN⊥AC時，求正方形APMN的邊長；（4）若點N到直線AC的距離是點M到直線AC距離的3倍，則CD的長為.（寫出一個即可）24．在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，拋物線y＝x2+2x+c（c是常數(shù)）經(jīng)過點（﹣2，﹣2）．點A、B是該拋物線上不重合的兩點，橫坐標分別為m、﹣m，點C的橫坐標為﹣5m，點C的縱坐標與點A的縱坐標相同，連結(jié)AB、AC．（1）求該拋物線對應的函數(shù)表達式；（2）求證：當m取不為零的任意實數(shù)時，tan∠CAB的值始終為2；（3）作AC的垂直平分線交直線AB于點D，以AD為邊、AC為對角線作菱形ADCE，連結(jié)DE．①當DE與此拋物線的對稱軸重合時，求菱形ADCE的面積；②當此拋物線在菱形ADCE內(nèi)部的點的縱坐標y隨x的增大而增大時，直接寫出m的取值范圍．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：2+(?3)=?(3?2)．故答案為：D．【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則：絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.2．【答案】B【解析】【解答】解：由題意可知圖③是從“四角亭”上方看到的，即為俯視圖．故答案為：B．【分析】根據(jù)三視圖的定義即可得到答案．3．【答案】D【解析】【解答】解：由題意得：∠α是正五邊形的一個外角，

∴∠α=360°故答案為：D．【分析】根據(jù)多邊形的外角和及正五邊形的性質(zhì)，即可得到答案．4．【答案】C【解析】【解答】解：A．2a?3a=6aB．a(chǎn)2C．(ab)2D．(a故答案為：C．【分析】根據(jù)單項式乘單項式的運算法則可判斷A；根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則可判斷B；根據(jù)積的乘方運算法則可判斷C；根據(jù)冪的乘方運算法則可判斷D．5．【答案】A【解析】【解答】解：由左圖可得：a>b，由右圖可得：a+c>b+c，即選項A符合題意．故答案為：A．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得到答案．6．【答案】A【解析】【解答】解：由題意得：sin∴AL=asinθ千米.故答案為：A.【分析】根據(jù)銳角的正弦函數(shù)的定義即可求解.7．【答案】D【解析】【解答】解：A．根據(jù)作圖可得：∠AOM=∠B，故選項A一定成立，不符合題意；B．∵∠AOM=∠B，∴OM∥BC，∴∠OMC+∠C=180C．∵O是邊AB的中點，∴AO=BO，∵OM∥BC，∴AMCM即：AM=CM，故選項C一定成立，不符合題意；D．OM=1故答案為：D.【分析】先根據(jù)作圖可得∠AOM=∠B，根據(jù)平行線的判定定理得出OM∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠OMC+∠C=180°，根據(jù)平行線分線段成比例得出AMCM8．【答案】B【解析】【解答】解：把A(4,2)∴k=4×2=8．

∴反比例函數(shù)的解析式為y=8x，

設(shè)直線OA的解析式為y=kx，

把A(4,2)代入y=kx

得：2=4k，解得：k=12，

∴直線OA的解析式為y=12x，

設(shè)直線OA沿y軸向上平移m個單位長度，

∴B0，m，直線OB解析式為y=12x+m，

點C在反比例函數(shù)圖象上，設(shè)Ca，8

∴BH=8在△BCH中，由勾股定理得：BH2+C解得：a=2，代入12a+m=8∴B(0故答案為：B．【分析】由待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=8x，直線OA的解析式為y=12x，設(shè)直線OA沿y軸向上平移m個單位長度，得B0，m，直線OB解析式為y=12x+m，設(shè)Ca，8a，代入y=9．【答案】3【解析】【解答】解：單項式?2a故答案為：3．【分析】根據(jù)單項式次數(shù)的定義：所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù)．10．【答案】3【解析】【解答】解：12=23﹣3=3．故答案為：3．【分析】先化簡12=23，再合并同類二次根式即可．11．【答案】c＞【解析】【解答】解：∵拋物線y=x2?x+c∴Δ=12?4×1×c=1?4c<0故答案為：c>1【分析】根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c與x12．【答案】2（b＞1即可）【解析】【解答】解：把(1,1)代入得：1=k+b．∵y隨x的增大而減小，∴k<0，得：b＞1∴b的值可以是2．故答案為：2（答案不唯一）【分析】由題意得出1=k+b，由y隨x的增大而減小，利用一次函數(shù)的性質(zhì)，可得出k<0，可得b＞1，寫出解即可.13．【答案】8π【解析】【解答】解：∵將該三角板繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使點C的對應點C'落在直線l∵∠A'BC=60°，

∴點A經(jīng)過的路徑長至少為120?π×12180故答案為：8π．【分析】由題意得：∠A'BA=120°，再根據(jù)點A經(jīng)過的路徑長至少為以B為圓心，以AB14．【答案】①②③【解析】【解答】解：如圖：連接DC，∵D是AC的中點，∴AD=DC，

由圓周角定理的推論得：∠ABD=∠DAC，故∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴∠DAC+∠AGD=90°，∵DE⊥AB∴∠BDE+∠ABD=90°，∵∠ABD=∠DAC，∴∠BDE=∠AGD，∴DF=FG，∵∠BDE+∠ABD=90°，∠BDE+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠ABD，∵∠ABD=∠DAC，∴∠ADE=∠DAC，∴AF=FD，∴AF=FG，即②正確；在△ADG和△BDA，∠ADG=∠BDA∠DAG=∠DBA∴△ADG∽△BDA，∴ADBD=GDAD，

即：AD2+3=2AD，∵AF=FG，∴FG=12AG=如圖：假設(shè)半圓的圓心為O，連接OD,CO,∵BD=2AD，AB=6，D是∴AD∴∠AOD=∠DOC=60°，∵OA=OD=OC，∴△AOD,∴OA=AD=CD=OC=OD=6，

∴四邊形ADCO是菱形，∴∠DAC=∠OAC=1∵∠ADB=90°，∴tan∠DAC=tan30°=DGAD∴S△ADG∵AF=FG∴S△DFG=1故答案為：①②③．

【分析】連接DC，由圓周角定理的推論可判定①正確；先證明∠BDE=∠AGD、∠ADE=∠DAC可得DF=FG、AF=FD，即AF=FG可判定②；根據(jù)相似三角形的判定定理先證明△ADG∽△BDA可得ADBD=GDAD，即AD2+3=2AD，解得AD=10，然后由勾股定理可得AG=14，再結(jié)合AF=FG即可判定③；設(shè)半圓的圓心為O，連接OD,CO,CD，由題意可得15．【答案】解：原式=把x=2代入得，原式【解析】【分析】先根據(jù)分式的減法運算化簡，再代數(shù)求值即可．16．【答案】解：列表如下：ABCAA，AA，BA，CBB，AB，BB，CCC，AC，BC，C共有9種等可能的結(jié)果，其中這對雙胞胎姐妹被分到同一個班的結(jié)果有3種，∴這對雙胞胎姐妹被分到同一個班的概率為P=3【解析】【分析】先列表確定出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及這對雙胞胎姐妹被分到同一個班的結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式計算求解即可．17．【答案】解：設(shè)共x人合伙買金，金價為y錢，依題意得：400x?3400=y300x?100=y解得：x=33y=9800答：共33人合伙買金，金價為9800錢．??【解析】【分析】設(shè)共x人合伙買金，金價為y錢，根據(jù)“每人出400錢，會剩余3400錢；每人出300錢，會剩余100錢”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組400x?3400=y300x?100=y18．【答案】證明：∵O是邊AB的中點，∴OA=OB，在△AOD和△BOC中，∠AOD=∠BOC∴△AOD≌△BOC(ASA)，∴DA=CB，∵∠A=∠B=90°，

∴DA‖CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠A=90∴四邊形ABCD是矩形.【解析】【分析】利用全等三角形的判定定理ASA證明△AOD≌△BOC，得出DA=CB，根據(jù)平行線的判定定理證出AD∥BC，即可證明四邊形ABCD是平行四邊形，進而可根據(jù)矩形的判定定理證明四邊形ABCD是矩形．19．【答案】（1）8.3（2）解：①＞；

②800×4+5∴估計其中對食堂“非常滿意”的學生人數(shù)為360人．【解析】【解答】解：（1）高中部評分的中位數(shù)為第10，11位數(shù)的平均數(shù)，即m=8故答案為：8.（2）①由題意得，初中部評分的中位數(shù)為8.5，高中部評分的中位數(shù)為∴a>b，故答案為：>；【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義，即可求解；（1）①利用中位數(shù)即可得到答案；

②利用總數(shù)乘以“非常滿意”的學生占比，計算求解即可．20．【答案】（1）解：如圖①：

AB=AD=BC=CD=2.

∴四邊形ABCD的面積為2.

四邊形ABCD即為所求.??????（2）解：如圖②：

四邊形ABCD為軸對稱圖形，且AC⊥BC

∴四邊形ABCD的面積為12×3×1×2=3.

∴四邊形ABCD（3）解：如圖③：四邊形ABCD即為所求.

??????【解析】【分析】（1）以AB為邊畫正方形ABCD即可．（2）結(jié)合軸對稱圖形的定義，使四邊形ABCD的對角線相互垂直平分，且對角線的長分別為2和3即可.

（3）畫長和寬分別為2和22的矩形即可.也可作上下底分別為2和32，高為21．【答案】（1）1（2）解：設(shè)當112≤x≤15時，y與x之間函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0)，

圖象經(jīng)過16,17，1∴y=90x+2(1??（3）解：當x=112時，∴先勻速行駛112小時的速度為：9∵114＜120，∴汽車減速前沒有超速．【解析】【解答】解：(1)由題意可得：100a=20，

解得：a=1故答案為：15【分析】（1）根據(jù)題意：當以平均時速為100千米/時行駛時，a小時路程為20千米，可得（2）設(shè)當112≤x≤15時，y與（3）求出先勻速行駛11222．【答案】（1）證明：過點C、M分別作MN、BC的平行線，并交于點P，作射線AP，∴四邊形MNCP是平行四邊形，∴NC=MP，MN=PC∵AM=NC∴AM=MP；（2）30；3（3）6【解析】【解答】解：（2）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=60°，AC=AB=3.∵MP∥CN∴∠PMC=∠ACB=60°∵AM=MP∴∠CAP=∠MPA=30°；當CP⊥AP時，CP最小，此時MN最小，在Rt△ACP中，∴CP=1∴線段MN長度的最小值為32；

故答案為：30；3【方法應用】：過點D、M分別作MN、ED的平行線，并交于點P，作射線AP，連接AD，

∴四邊形MNDP是平行四邊形，∴BC∥MP，MP=ND.

∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝30°；四邊形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，∴∠ACB=∠CMP=30°，∠BCD=90°，∵AM=DN，

∴AM=MP.∴∠MAP=15°，∠ACD=120°.∴∠DAC=30°∴∠DAP=45°.當DP⊥AP時，DP最小，此時MN最小，

在等腰△ACD中，AD=3AC=23，

在Rt△ADP中，AD=2∴線段MN長度的最小值為6米．故答案為：6.

【分析】（1）過點C、M分別作MN、BC的平行線，并交于點P，作射線AP，根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)先證明∠CAP=∠MPA=30°，然后根據(jù)垂線段最短求出最小值；（3）過點D、M分別作MN、ED的平行線，并交于點P，作射線AP，連接AD，根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)，求出∠MAP=15°，進而得∠DAP=45°，根據(jù)垂線段最短，利用三角函數(shù)求解即可．23．【答案】（1）解：∵AB=AC=5，點D是邊BC的中點，BD=6，

∴AD⊥BC，BD=CD=3，∴在Rt△ADC中，由勾股定理得：

AD=A（2）8（3）解：當PN⊥AC時，根據(jù)正方形的軸對稱性可得，點M落在AC上，過點D作DH⊥AC于H，

設(shè)AP=x，則BD=x，CD=6?x，則CH=35AH=DH=4∵AH+CH=AC，∴解得：x=故AP=17所以正方形APMN的邊長為177?????（4）256或【解析】【解答】解：（2）作DH⊥AC交AC于H，如圖所示；設(shè)點D到直線AC的距離DH=h，

當BD=4時，則CD=2，S△ACD解得：h=85；

（4）如圖，①M，N在AC異側(cè)時；

點N到直線AC的距離是點M到直線AC距離的3倍，

∴NQ=3MQ，

四邊形APMN是正方形，

∴AN=MN，∠PAN=∠ANQ=90°，

∴tan∠DAC=tan∠AQN=ANQN=43，

設(shè)CD=x，則DE=45x，CE=35x②當M，N在AC同側(cè)

由題意得：∠NAF=MQC，∠AFN=QCM=90°，

∴△ANF∽△QME，

∴NFME=ANMQ

點N到直線AC的距離是點M到直線AC距離的3倍，

∴AN=3MQ，

四邊形APMN是正方形，

∴PQ=23AN=23AP

tan∠DAC=PQAP=DH解得：x=25綜上所述：CD的長為256或25故答案為：256或25【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AD⊥BC，利用勾股定理即可求解；

（2）作DH⊥AC交AC于H，利用三角形面積相等即可求解；

（3）過點D作DH⊥AC于H，設(shè)AP=x，則BD=x，CD=6?x，根據(jù)AH+CH=AC，列出方程即可求解；

（4）分類討論：①M，N在AC異側(cè)時，由點N到直線AC的距離是點M到直線AC距離的3倍，得NQ=3MQ，結(jié)合正方形的性質(zhì)可推出tan∠DAC=43，設(shè)CD=x，則DE=45x，CE=35x，根據(jù)三角函數(shù)可得AE=35x，由AC=AE+CE=5，即35x+35x=5，計算求解即可；②24．【答案】（1）解：將(?2,?2)代入得：4?4+c=?2，解得：c=?2，∴拋物線表達式為：y=x????（2）解：作過點AC的直線，過點B作BH⊥AC于點H，則∠AHB=90°，由題意得：A(m,∴BH=|yA?∴在Rt△AHB中，tan∠CAB=（3）解：①如圖，記AC,由題意得，C(?5m,由?b得：對稱軸為直線：x=?1∵四邊形ADCE是菱形，∴點A、C關(guān)于DE對稱，A