愛提分中考復(fù)習(xí) 4一輪-圖形的性質(zhì)-第01講 圖形初步(教師版)

高思愛提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)教師輔導(dǎo)講義[教師版]學(xué)員姓名王曉與 年級初一輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師衛(wèi)雅鑫上課時間2019-09-2411:30:00-12:30:00 知識圖譜圖形初步知識精講知識精講一．幾何圖形初步1．幾何圖形（1）常見立體圖形的平面展開圖直棱錐直棱錐圓錐棱錐圓柱長方體（2）正方體的11種展開圖①“一四一”型②“二三一”型③“二二二”型④“三三”型（3）表面有圖案的展開圖①表面圖案無方向區(qū)分若立體圖形表面的圖案無方向區(qū)分，例如表面有字或字母等，則只需判斷字母所在的平面與其它平面的位置關(guān)系即可；②表面圖案有方向區(qū)分若立體圖形表面的圖案有方向區(qū)分，例如表面為不同圖案等，則不僅需要判斷字母所在的平面與其它平面的位置關(guān)系，還需判斷展開后圖案的方向．（4）與其他知識結(jié)合①與兩點之間線段最短結(jié)合；②與平面圖形的計算結(jié)合．2．直線、射線、線段（1）直線、射線、線段的定義①直線：沒有端點的，可向兩端無限延長的，長度無法度量的直的線；②射線：直線上的一點和它一旁的部分所組成的圖形稱為射線，直線上的一點稱為射線的端點；③線段：直線上兩個點和它們之間的部分所組成的圖形稱為線段，這兩個點叫做線段的端點．（2）直線、射線、線段的表示方式①直線：直線或直線②射線：射線或射線③線段：線段（3）直線、射線、線段的性質(zhì)①直線：經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線．兩點確定一條直線；②線段：兩點的所有連線中，線段最短．兩點之間，線段最短．3．角（1）角的表示方法：，，，．（2）角度制：以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制，其中，，比較角的大小時，要化為統(tǒng)一單位后再比較，進行角的計算時，也要化為統(tǒng)一單位后再進行計算．（3）角的大小與比較①測量角的大?。航柚拷瞧?，我們可以測量角的度數(shù)以及比較角的大小；②比較角的大?。嚎梢杂昧拷瞧髁砍鼋堑亩葦?shù)，然后比較角的大小，也可以把角疊合在一起比較大??；③角平分線：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．（4）余角與補角①余角：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角．等角的余角相等；②補角：如果兩個角的和等于180°，就說這兩個角互為補角．等角的補角相等．二．相交線與平行線1．相交線（1）對頂角和鄰補角①對頂角：有一個公共頂點，并且有一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線的兩個角，對頂角相等；②鄰補角：有公共頂點，且有一條公共邊，另一條邊互為反向延長線的兩個角．（2）垂直和垂線①垂線：當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．垂線的性質(zhì)：．在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；．連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．（3）三線八角如圖所示，一條直線與兩條直線相交得八個角，簡稱“三線八角”．①同位角：兩個角都在兩條直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，這樣一對角叫做同位角；②內(nèi)錯角：兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，這樣一對角叫做內(nèi)錯角；③同旁內(nèi)角：兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，這樣一對角叫做同旁內(nèi)角．2．平行線（1）平行線①平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線；②平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行；③平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．（2）平行線的判定和性質(zhì)①平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；②平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．（3）兩條平行線之間的距離：在一條直線上任意找一點向另一條直線作垂線，垂線段的長度就是兩平行線之間的距離．方法點撥一．如何識別“三線八角”1．同位角是位置相同，內(nèi)錯角是“內(nèi)部”、“兩旁”，同旁內(nèi)角是“內(nèi)部”、“同旁”．2．關(guān)鍵：找到構(gòu)成這兩個角的“三線”，有時需要將有關(guān)的部分“抽出”，或把無關(guān)的線略去不看；有時又需要把圖形補全．二．垂線與垂線段的區(qū)別：垂線是一條直線，不可度量長度；垂線段是一條線段，可以度量長度．三．對頂角與鄰補角：對頂角相等，但相等的角不一定是對頂角；鄰補角互補，但互補的角不一定是鄰補角；一定要同時兼顧“數(shù)量關(guān)系”和“位置關(guān)系”．三點剖析一．考點：幾何圖形初步；相交線與平行線二．重難點：立體圖形展開圖；與平行線相關(guān)證明與角度計算三．易錯點：1．在確定立體圖形展開圖時，注意特殊節(jié)點和特殊圖形；2．注意點與點之間的距離一定是線段的長度；3．把平行公理和垂線的性質(zhì)對比進行學(xué)習(xí)，注意它們分別對平面和點的不同要求．幾何圖形初步例題例題1、如圖的正方體盒子的外表面上畫有3條粗黑線，將這個正方體盒子的表面展開（外表面朝上），展開圖可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】根據(jù)正方體的表面展開圖，兩條黑線在一列，故A錯誤，且兩條相鄰成直角，故B錯誤，正視圖的斜線方向相反，故C錯誤，只有D選項符合條件例題2、下列各圖經(jīng)過折疊不能圍成一個正方體的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】A、是正方體的展開圖，不符合題意；B、是正方體的展開圖，不符合題意；C、是正方體的展開圖，不符合題意；D、不是正方體的展開圖，缺少一個底面，符合題意．例題3、(2012初一上期末東城區(qū))如果線段，點C在直線AB上，，D是AC的中點，那么D、C兩點間的距離是（）A.5B.2.5C.5或2.5D.5或1【答案】D【解析】該題考查的是線段的長度計算．∵點C在直線AB上，∴點C可能在線段AB上，也可能在線段AB外．當(dāng)點C可能在線段AB上時，，∵D是AC的中點，．當(dāng)點C在線段AB外時，，∵D是AC的中點，．故本題答案是D．例題4、把一根繩子對折成線段，從處把繩子剪斷，已知，若剪斷后的各段繩子中最長的一段為，則繩子的原長為（）A.30cmB.60cmC.120cmD.60cm或120cm【答案】D【解析】（1）當(dāng)A時繩子的對折點時，繩長；（2）當(dāng)B時繩子的對這點時，繩長隨練隨練1、下列敘述正確的是（）A.連結(jié)兩點間的線段叫做這兩點間的距離B.不相交的兩條直線是平行線C.直線外一點與直線上各點的連線中垂線最短D.兩點之間線段最短【答案】D【解析】該題考查的是線段的概念．連接兩點間線段的長度叫做這兩點間的距離；在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線；直線外一點與直線上各點的連線中，垂線段最短；兩點之間線段最短；所以該題的答案是D．隨練2、如圖，是每個面上都有一個漢字的正方體的一種展開圖，那么在原正方體的表面上，與“看”相對的面上的漢字是（）A.南B.世C.界D.杯【答案】C【解析】注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題．利用正方體及其表面展開圖的特點解題．方法比較靈活可讓“看”字面不動，分別把各個面圍繞該面折成正方體，這需要空間想象能力，如果想象不出就動手操作，或者拿手邊的正方體展成該形狀觀察．這是一個正方體的平面展開圖，共有六個面，其中面“南”與面“世”相對，面“杯”與面“非”相對，“看”與面“界”相對．故選C．隨練3、將一張正方形紙片，按如圖步驟①，②，沿虛線對折兩次，然后沿③中的虛線剪去一個角，展開鋪平后的圖形是（）A.A選項B.B選項C.C選項D.D選項【答案】B【解析】此題主要考查了剪紙問題，此類問題應(yīng)親自動手折一折，剪一剪看看，可以培養(yǎng)空間想象能力．按照題意要求，動手操作一下，可得到正確的答案．由題意要求知，展開鋪平后的圖形是B．故選：B．隨練4、下列算式正確的是（）=1\*GB3①②③④A.①和②B.①和③C.②和③D.②和④【答案】D【解析】，隨練5、如圖，在長方形ABCD中，，，點P與點Q分別是AB、CB邊上的動點，點P與點Q同時出發(fā)，點P以每秒2個單位長度的速度從點A→點B運動，點Q以每秒1個單位長度的速度從點C→點B運動．當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動．（設(shè)運動時間為t秒）（1）如果存在某一時刻恰好使，求出此時t的值；（2）在（1）的條件下，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留整數(shù)）．【答案】（1）（2）37【解析】該題考察的是動點問題．（1）由題意可知，，所以，．當(dāng)時，有．………2分解這個方程，得…………………3分所以當(dāng)秒時，．（2）當(dāng)時，，．所以．……4分因為，所以．…………………5分相交線與平行線例題例題1、(2013初一下期末西城區(qū))有下列四個命題：①如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行②兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補③在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線垂直，那么這兩條直線也互相垂直④在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直其中所有正確的命題是（）A.①②B.①④C.②③D.③④【答案】B【解析】該題考察的是命題．①如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也相互平行；故原命題正確；②兩條平行線被第三條直線所截，才有同旁內(nèi)角互補，故原命題錯誤；③在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線垂直，那么這兩條直線相互平行，故原命題錯誤；④在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故原命題正確．故答案是B．例題2、如圖，若兩條平行線EF，MN與直線AB，CD相交，則圖中共有同旁內(nèi)角的對數(shù)為（）A.4B.8C.12D.16【答案】D【解析】以CD為截線，①若以EF、MN為被截直線，有2對同旁內(nèi)角，②若以AB、EF為被截直線，有2對同旁內(nèi)角，③若以AB、MN為被截直線，有2對同旁內(nèi)角；綜上，以CD為截線共有6對同旁內(nèi)角．同理：以AB為截線又有6對同旁內(nèi)角．以EF為截線，以AB、CD為被截直線，有2對同旁內(nèi)角，以MN為截線，以AB、CD為被截直線，有2對同旁內(nèi)角，綜上，共有16對同旁內(nèi)角．例題3、如圖，．（1）求證：AD∥CE；（2）在（1）的條件下，如圖，作，CF與的平分線交于點F，若的余角等于的補角，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）證明：過點B作BM∥AD，∴，∵，∴，∴BM∥CE，∴AD∥CE；（2）解：設(shè)，，∵，CF與∠BAH的平分線交于點F，∴，，，，過點B作BM∥AD，過點F作FN∥AD，∵AD∥CE，∴AD∥FN∥BM∥CE，∴，，，，∴，，∵的余角等于的補角，∴，解得：，∴．隨練隨練1、下列說法正確的有（）①不相交的兩條直線是平行線；②在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種；③若線段AB與CD沒有交點，則AB∥CD；④若a∥b，b∥c，則a與c不相交．A.1個B.2個C.3個D.4個【答案】B【解析】①在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行線，故錯誤；②在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種，正確；③在同一平面內(nèi)，若線段AB與CD沒有交點，則AB∥CD，故錯誤；④若a∥b，b∥c，則a與c不相交，正確隨練2、如圖，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，則∠BCD的值為（）A.20°B.30°C.40°D.70°【答案】B【解析】延長ED交BC于F，∵AB∥DE，∠ABC=70°，∴∠MFC=∠B=70°，∵∠CDE=140°，∴∠FDC=180°﹣140°=40°，∴∠C=∠MFC﹣∠MDC=70°﹣40°=30°隨練3、如圖所示，把一長方形紙片沿MN折疊后，點D，C分別落在D′，C′的位置．若∠AMD′=36°，則∠NFD′等于____A.144°B.126°C.108°D.72°【答案】B【解析】此題綜合運用了折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和定理．根據(jù)∠AMD′=36°和折疊的性質(zhì)，得∠NMD=∠NMD′=72°；根據(jù)平行線的性質(zhì)，得∠BNM=∠NMD=72°；根據(jù)折疊的性質(zhì)，得∠D′=∠D=90°；根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可求得∠NFD′的值．∵∠AMD′=36°，∴∠NMD=∠NMD′=72°．∵AD∥BC，∴∠BNM=∠NMD=72°．又∵∠D′=∠D=90°，∴∠NFD′=360°-72°×2-90°=126°．故選B．隨練4、如圖，直線AC∥BD，連接AB，直線AC、BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個部分，規(guī)定：線上各點不屬于任何部分．當(dāng)動點P落在某個部分時，連接PA，PB，構(gòu)成∠PAC，∠APB，∠PBD三個角．（提示：有公共端點的兩條重合的射線所組成的角是0°角）（1）當(dāng)動點P落在第①部分時，求證：；（2）當(dāng)動點P落在第②部分時，是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）當(dāng)動點P落在第③部分時，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系，并寫出動點P的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論．選擇其中一種結(jié)論加以證明．【答案】（1）見解析；（2）不成立；（3）見解析【解析】（1）解法一：如圖1延長BP交直線AC于點E．∵AC∥BD，∴．∵，∴；解法二：如圖2過點P作FP∥AC，∴．∵AC∥BD，∴FP∥BD．∴．∴；解法三：如圖3，∵AC∥BD，∴，．又，∴．（2）不成立．（3）（a）當(dāng)動點P在射線BA的右側(cè)時，結(jié)論是．（b）當(dāng)動點P在射線BA上，結(jié)論是．或或，（任寫一個即可）．（c）當(dāng)動點P在射線BA的左側(cè)時，結(jié)論是．選擇（a）證明：如圖4，連接PA，連接PB交AC于M．∵AC∥BD，∴．又∵（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），∴．選擇（b）證明：如圖5∵點P在射線BA上，∴．∵AC∥BD，∴．∴或或，．選擇（c）證明：如圖6，連接PA，連接PB交AC于F∵AC∥BD，∴．∵，∴．拓展拓展1、(2012初一上期末東城區(qū))下列說法中，正確的是（）A.經(jīng)過兩點可以畫一條直線B.一條直線上共有兩個點C.射線是直線的一半D.線段比射線短【答案】A【解析】該題考查的是直線、射線、線段的概念．A：正確，兩點可以唯一確定一條直線；B：錯誤，一條直線上有無數(shù)個點；C：錯誤，射線的長度為無限長，直線的長度也為無限長，二者長度無法比較；D：錯誤，射線的長度為無限長，不能與線段比較，故本題答案是A．拓展2、過正方體中有公共頂點的三條棱的中點切出一個平面，形成如圖幾何體，其正確展開圖為（）A.A選項B.B選項C.C選項D.D選項【答案】B【解析】考查了截一個幾何體和幾何體的展開圖．解決此類問題，要充分考慮帶有各種符號的面的特點及位置．由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點解題．選項A、C、D折疊后都不符合題意，只有選項B折疊后兩個剪去三角形與另一個剪去的三角形交于一個頂點，與正方體三個剪去三角形交于一個頂點符合．故選B．拓展3、已知O為圓錐的頂點，M為圓錐底面圓上一點，點P在OM上．一只蝸牛從P點出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行，回到P點時所爬過的最短路線的痕跡如右圖所示．若沿OM將圓錐側(cè)面剪開并展平，所得側(cè)面展開圖是OOPMAOPMBOPMCOPMDOPMA.A圖B.B圖C.C圖D.D圖【答案】D【解析】該題考查的是扇形的面積和弧長蝸牛繞圓錐側(cè)面爬行的最短路線應(yīng)該是一條線段，因此選項A和B錯誤，又因為蝸牛從P點出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行后，又回到起始點P處，那么如果將選項C、D的圓錐側(cè)面展開圖還原成圓錐后，位于母線OM上的點P應(yīng)該能夠與母線OM′上的點（P′）重合，而選項C還原后兩個點不能夠重合．故本題答案選D．拓展4、計算的值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】化為統(tǒng)一單位計算即可拓展5、如果圓錐的底面周長是20π，側(cè)面展開后所得的扇形的圓心角為120°．則圓錐的母線是____．【答案】30【解析】本題考查了圓錐的計算．關(guān)鍵是體現(xiàn)兩個轉(zhuǎn)化，圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的弧長為圓錐的底面周長，扇形的半徑為圓錐的母線長．圓錐的底面周長即為側(cè)面展開后扇形的弧長，已知扇形的圓心角，所求圓錐的母線即為扇形的半徑，利用扇形的弧長公式求解．將l=20π，n=120代入扇形弧長公式l=中，得20π=，解得r=30．故答案為：30．拓展6、如圖1，若點A、B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點P，使的值最小，做法是：作點B關(guān)于直線l的對稱點B′，連接AB′，與直線l的交點就是所求的點P，線段AB′的長度即為的最小值．（1）如圖2，在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使的值最?。龇ㄊ牵鹤鼽cB關(guān)于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，這點就是所求的點P，故的最小值為____________；（2）如圖3，已知⊙O的直徑CD為2，的度數(shù)為60°，點B是的中點，在直徑CD上作出點P，使的值最小，則BP+AP的最小值為_________；（3）如圖4，點P是四邊形ABCD內(nèi)一點，，，分別在邊AB、BC上作出點M、N，使的周長最小，求出這個最小值（用含m、的代數(shù)式表示）．【答案】（1）（2）（3）【解析】該題考查的是幾何中的最值問題，將軍飲馬模型的應(yīng)用．（1）∵點B點C關(guān)于AD對稱∴∴最小值即為等邊三角形的高-----------------------------------------------1分（2）做點B關(guān)于CD的對稱點，連結(jié)，，OA∵點B點關(guān)于CD對稱∴∴根據(jù)兩點之間線段最短，的最小值就是弦的長度，∵弧AC的度數(shù)為60°，點B是弧AC的中點∴，--------------------------------------------------------------2分（3）分別作點P關(guān)于邊AB、BC的對稱點E、F，連接EF，分別與邊AB、BC交于點M、N，線段EF的長度即為△PMN的周長的最小值．------------------------------------------------3分連接BE、BF∴，過B作于H∴，在Rt△BEH中，∴即---------------------------