愛提分中考復(fù)習(xí) 7二輪-相似-第01講 相似（一）(學(xué)生版)

高思愛提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)學(xué)生輔導(dǎo)講義[學(xué)生版]學(xué)員姓名王曉與 年級初一輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師衛(wèi)雅鑫上課時間2019-09-2411:30:00-12:30:00 知識圖譜相似（一）知識精講一．相似三角形的判定1．平行定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．2．“”：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似．3．“”：如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．4．“”：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．5．“”：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似．二．相似三角形的判定與全等三角形的判定比較相似三角形和全等三角形判定條件中相同的是都有“”，“”，“”，不同的是相似還可以通過“”和平行定理判定，而全等是還可以通過“”和“”判定?？梢姡热切蔚呐卸l件中必不可少的是“邊”，而相似沒有特殊要求只要保證形狀相同就可以，這都是因為三角形在有全等那幾個判定條件的時候一定可解或者說形狀固定。三．相似的綜合計算利用相似多邊形的相似比為線段比（周長比），面積比為相似比的平方的性質(zhì)求解相似圖形的面積比，周長比，線段比的問題．在平面直角坐標(biāo)系中，求解與已知三角形相似三角形的坐標(biāo)問題一般轉(zhuǎn)化為“邊角邊”或者“角角”來判定相似問題，此類問題一般答案不唯一．三點剖析一．考點：1．相似的證明；2．相似的綜合計算．二．重難點：相似的綜合計算三．易錯點：相似綜合計算中分析計算錯誤．相似的證明例題例題1、如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上的一點，過C點作CF⊥CE交AB的延長線于點F．（1）求證：△CDE∽△CBF；（2）若B為AF的中點，CB=3，DE=1，求CD的長．例題2、如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E是BC邊上的兩點且∠BAC=2∠DAE=2α，點D關(guān)于直線AE的對稱點為F．（1）求證：△ADF∽△ABC；（2）若α=45°，求證：DE2=BD2+CE2．隨練隨練1、如圖，梯形ABCD中．AB∥CD．且AB=2CD，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點．EF與BD相交于點M．（1）求證：△EDM∽△FBM；（2）若DB=9，求BM．隨練2、如圖l，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AO⊥BC于點0，F(xiàn)是線段AO上的點（與A，0不重合），∠EAF=90°，AE=AF，連結(jié)FE，F(xiàn)C，BE，BF．（1）求證：BE=BF；（2）如圖2，若將△AEF繞點A旋轉(zhuǎn)，使邊AF在∠BAC的內(nèi)部，延長CF交AB于點G，交BE于點K．①求證：△AGC∽△KGB；②當(dāng)△BEF為等腰直角三角形時，請你直接寫出AB：BF的值．相似的綜合計算例題例題1、已知正方形ABCD的邊長為2，點P為正方形內(nèi)一動點，若點M在AB上，且滿足△PBC∽△PAM，延長BP交AD于點N，連接CM．（1）如圖（1），若點M在線段AB上，則AP與BN的位置關(guān)系是______，AM與AN的數(shù)量關(guān)系是______；（2）①如圖（2），在點P運動過程中，滿足△PBC∽△PAM的點M在AB的延長線上時，（1）中的關(guān)系是否仍然成立（給出證明）？②在運動過程中，PC的最小值為______．例題2、AD是△ABC的中線，將BC邊所在直線繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α角，交邊AB于點M，交射線AC于點N，設(shè)AM=xAB，AN=yAC（x，y≠0）．（1）如圖1，當(dāng)△ABC為等邊三角形且α=30°時證明：△AMN∽△DMA；（2）如圖2，證明：+=2；（3）當(dāng)G是AD上任意一點時（點G不與A重合），過點G的直線交邊AB于M′，交射線AC于點N′，設(shè)AG=nAD，AM′=x′AB，AN′=y′AC（x′，y′≠0），猜想：+=是否成立？并說明理由．例題3、已知AC，EC分別是四邊形ABCD和EFCG的對角線，點E在△ABC內(nèi)，∠CAE+∠CBE=90°．（1）如圖①，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為正方形時，連接BF．（i）求證：△CAE∽△CBF；（ii）若BE=1，AE=2，求CE的長；（2）如圖②，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為矩形，且=k時，若BE=1，AE=2，CE=3，求k的值；（3）如圖③，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為菱形，且∠DAB=∠GEF=45°時，設(shè)BE=m，AE=n，CE=p，試探究m，n，p三者之間滿足的等量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）隨練隨練1、如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=2，點M在BC上，連接AM，作∠AMN=∠AMB，點N在直線AD上，MN交CD于點E（1）求證：△AMN是等腰三角形；（2）求BM?AN的最大值；（3）當(dāng)M為BC中點時，求ME的長．隨練2、在正方形ABCD中，DE為正方形的外角∠ADF的角平分線，點G在線段AD上，過點G作PG⊥DE于點P，連接CP，過點D作DQ⊥PC于點Q，交射線PG于點H．（1）如圖1，若點G與點A重合．①依題意補全圖1；②判斷DH與PC的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（2）如圖2，若點H恰好在線段AB上，正方形ABCD的邊長為1，請寫出求DP長的思路（可以不寫出計算結(jié)果）．隨練3、從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．（1）如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A=40°，∠B=60°，求證：CD為△ABC的完美分割線．（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)．（3）如圖2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長．隨練4、已知：如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=3cm，點P由B點出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為2cm/s；點Q由A點出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為cm/s；若設(shè)運動的時間為t（s）（0＜t＜3），解答下列問題：（1）如圖①，連接PC，當(dāng)t為何值時△APC∽△ACB，并說明理由；（2）如圖②，當(dāng)點P，Q運動時，是否存在某一時刻t，使得點P在線段QC的垂直平分線上，請說明理由；（3）如圖③，當(dāng)點P，Q運動時，線段BC上是否存在一點G，使得四邊形PQGB為菱形？若存在，試求出BG長；若不存在請說明理由．隨練5、在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O；在Rt△PMN中，∠MPN=90°．（1）如圖1，若點P與點O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分別交AD、AB于點E、F，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系；（2）將圖1中的Rt△PMN繞點O順時針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜45°）．①如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中（1）中的結(jié)論依然成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；②如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠DOM=15°時，連接EF，若正方形的邊長為2，請直接寫出線段EF的長；③如圖3，旋轉(zhuǎn)后，若Rt△PMN的頂點P在線段OB上移動（不與點O、B重合），當(dāng)BD=3BP時，猜想此時PE與PF的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；當(dāng)BD=m?BP時，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系．隨練6、已知如圖1、2，D是△ABC的BC邊上的中點，DE⊥AB于E、DF⊥AC于F，且BE=CF，點M、N分別是AE、DE上的點，AN⊥FM于G（1）如圖1，當(dāng)∠BAC=90°時；①求證：四邊形AEDF是正方形；②試問AN與FM之間的數(shù)量關(guān)系與四邊形AEDF的兩對角線的數(shù)量關(guān)系相同嗎？請證明你的結(jié)論；（2）如圖2，當(dāng)∠BAC≠90°，且AF：DF=2：1時，求AN：FM的值；（3）根據(jù)（1）中②和（2）的結(jié)論或求解過程，在一般情況下（即除去條件：“∠BAC﹣90°，AF：DF=2：1”，其他條件不變），問AN與FM之間的數(shù)量關(guān)系有何規(guī)律？直接用文字說明或用等式表示（不證明）．隨練7、如圖1，A，B分別在射線OM，ON上，且∠MON為鈍角，現(xiàn)以線段OA，OB為斜邊向∠MON的外側(cè)作等腰直角三角形，分別是△OAP，△OBQ，點C，D，E分別是OA，OB，AB的中點．（1）求證：△PCE≌△EDQ；（2）延長PC，QD交于點R．①如圖2，若∠MON=150°，求證：△ABR為等邊三角形；②如圖3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．拓展拓展1、如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是BC邊的中點，點P在射線AD上，過P作PF⊥AE于F．（1）求證：△PFA∽△ABE；（2）當(dāng)點P在射線AD上運動時，設(shè)PA=x，是否存在實數(shù)x，使以P，F(xiàn)，E為頂點的三角形也與△ABE相似？若存在，請求出x的值；若不存在，說明理由．拓展2、一般來說，依據(jù)數(shù)學(xué)研究對象本質(zhì)屬性的相同點和差異點，將數(shù)學(xué)對象分為不同種類的數(shù)學(xué)思想叫做“分類”的思想；將事物進行分類，然后對劃分的每一類分別進行研究和求解的方法叫做“分類討論”的方法．請依據(jù)分類的思想和分類討論的方法解決下列問題：如圖，在△ABC中，∠ACB＞∠ABC．（1）若∠BAC是銳角，請?zhí)剿髟谥本€AB上有多少個點D，能保證△ACD∽△ABC（不包括全等）？（2）請對∠BAC進行恰當(dāng)?shù)姆诸悾苯訉懗雒恳活愒谥本€AB上能保證△ACD∽△ABC（不包括全等）的點D的個數(shù)？拓展3、如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，連結(jié)BE、DF，點P在DF上，且BP=BC，連接EP并延長交BC的延長線于點Q．（1）△ABE≌△CDF；（2）求∠BPE的度數(shù)；（3）若BC=n?CQ．試求n的值．拓展4、如圖1，正方形ADEF的頂點D、F在等腰直角△ABC的邊AB、AC上，正方形ADEF以點A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接BD、CF，在旋轉(zhuǎn)過程中：（1）利用圖2，求證：BD=CF；（2）如圖3，延長BD交CF于點G．①求證：C，G，A，B四點在同一個圓上；②若AB=4，AD=，α=45°，求線段CG的長．拓展5、如圖，在矩形ABCD中，E為CD的中點，F(xiàn)為BE上的一點，連結(jié)CF并延長交AB于點M，MN⊥CM交射線AD于點N．（1）當(dāng)F為BE中點時，求證：AM=CE；（2）若=2，求的值；（3）=n，當(dāng)n為何值時，MN∥BE？拓展6、閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，AB=AC，點D在BC邊上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足為E，求證：BC=2AE．小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，過點A作AF⊥BC，垂足為F，得到∠AFB=∠BEA，從而可證△ABF≌△BAE（如圖2），使問題得到解決．（1）根據(jù)閱讀材料回答：△ABF與△BAE全等的條件是AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一個）參考小明思考問題的方法，解答下列問題：（2）如圖3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為BC的中點，E為DC的中點，點F在AC的延長線上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的長；（3）如圖4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點D、E分別在AB、AC邊上，且AD=kDB（其中0＜k＜），∠AED=∠BCD，求的值（用含k的式子表示）．拓展7、已知△ABC中，∠ACB=90°（如圖），點P到∠ACB兩邊的距離相等，且PA=PB．（1）先用尺規(guī)作出符合要求的點P（保留作圖痕跡，不需要寫作法），然后判斷△ABP的形狀，并說明理由；（2）設(shè)PA=m，PC=n，試用m、n的代數(shù)式表示△ABC的周長和面積；（3）設(shè)CP與AB交于點D，試探索當(dāng)邊AC、BC的長度變化時，的值是否發(fā)生變化，若不變，試求出這個不變的值，若變化，試說明理由．拓展8、已知：如圖，在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，對角線AC，BD交于點0．點P從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點D出發(fā)，沿DC方向勻速運動，速度為1cm/s；當(dāng)一個點停止運動時，另一個點也停止運動．連接PO并延長，交BC于點E，過點Q作QF∥AC，交BD于點F．設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜6），解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時，△AOP是等腰三角形？（2）設(shè)五邊形OECQF的面積為S（cm2），試確定S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使S五邊形S五邊形OECQF：S△ACD=9：16？若存在