初中幾何輔助線技巧大全

初中幾何輔助線技巧大全

一初中幾何常見輔助線口訣

人說(shuō)兒何很困難,難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添?把握定理和概念。

還要刻苦加鉆研,找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。

三角形

圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看,對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。

角平分線平行線,等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線,三線合一試試看。

線段垂直平分線,常向兩端把線連。線段和差及倍半,延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。

線段和差不等式,移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn),連接則成中位線。

三角形中有中線,延長(zhǎng)中線等中線。

四邊形

平行四邊形出現(xiàn),對(duì)稱中心等分點(diǎn)。梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換,變?yōu)椤骱蚙7。

平移腰，移對(duì)角,兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn),細(xì)心連上中位線。

上述方法不奏效,過(guò)腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線段,添線平行成習(xí)慣。

等積式子比例換,尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難,等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線,比例中項(xiàng)一大片一。

圓形

半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算,弦心距來(lái)中間站。圓上若有--切線,切點(diǎn)圓心半徑連。

切線長(zhǎng)度的計(jì)算,勾股定理最方便。要想證明是切線,半徑垂線仔細(xì)辨。

是直徑，成半圓,想成直角徑連弦?；∮兄悬c(diǎn)圓心連,垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦,直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦,同弧對(duì)角等找完。

要想作個(gè)外接圓,各邊作出中垂線。還要作個(gè)內(nèi)接圓,內(nèi)角平分線夢(mèng)圓

如果遇到相交圓,不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓,經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線。

若是添上連心線,切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個(gè)圓,證明題目少困難。

注意點(diǎn)

輔助線，是虛線,畫圖注意勿改變。假如圖形較分散,對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。

基本作圖很關(guān)鍵,平時(shí)掌握要熟練。解題還要多心眼,經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。

切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。

虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線。

二由角平分線想到的輔助線

口訣:

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。

角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相

等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。

①?gòu)慕瞧椒志€上一點(diǎn)向兩邊作垂線；

②利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。

通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下

考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。

與角有關(guān)的輔助線

（一）、截取構(gòu)全等

兒何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與

猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能

掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問(wèn)題中大膽地

去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以

介紹。

如圖IT,ZAOC=ZBOC,如取OE=OF,并連接DE、DF,則有aOED名△OFD,

從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。

例L如圖1-2,AB〃CD,BE平分NBCD,

CE平分NBCD,點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CDo

分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形，即

利用解平分線來(lái)構(gòu)造軸對(duì)稱圖形，同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問(wèn)題，在證

明線段的和差倍分問(wèn)題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或截取法來(lái)證明，延長(zhǎng)短的線段

或在長(zhǎng)的線段長(zhǎng)截取一部分使之等于短的線段。但無(wú)論延長(zhǎng)還是截取都要證明線

段的相等，延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的

線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。

簡(jiǎn)證：在此題中可在長(zhǎng)線段BC上截取BF=AB,再證明CF=CD,從而達(dá)到證明

的目的。這里面用到了角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。另外一個(gè)全等自己證明。此

題的證明也可以延長(zhǎng)BE與CD的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)來(lái)證明。自己試一試。

例2.已知：如圖1-3,AB=2AC,ZBAD=ZCAD,DA=DB,求證DCLAC

分析：此題還是利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段

相等。其它問(wèn)題自己證明。

例3.已知：如圖1-4,在AABC中，NC=2NB,AD平分NBAC,求證：AB-

AC=CD

分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明

中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的

和差倍分問(wèn)題。用到的是截取法來(lái)證明的，在長(zhǎng)的

線段上截取短的線段，來(lái)證明。試試看可否把短的

延長(zhǎng)來(lái)證明呢？

練習(xí)

1.已知在AABC中，AD平分NBAC,ZB=

2ZC,求證:AB+BD=AC

2.已知：在AABC中，NCAB=2NB,AE平分NCAB交BC于E,AB=2AC,

求證：AE=2CE

3.已知：在AABC中，AB>AC,AD為NBAC的平分線，M為AD上任一點(diǎn)。

求證：BM-CM>AB-AC

4.已知：D是aABC的NBAC的外角的平分線AD上的任一點(diǎn)，連接DB、

DCo求證：BD+CD>AB+ACO

（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等

過(guò)角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明

問(wèn)題。

例1.如圖2T,已知AB>AD,ZBAC=ZFAC,CD=BCo

求證：ZADC+ZB=180

分析：可由C向NBAD的兩邊作垂線。近而證NADC

與NB之和為平角。

例2.如圖2-2,在aABC中，ZA=90,AB=AC,ZABD=ZCBD0

求證：BC=AB+AD

分析：過(guò)D作DE_LBC于E,則AD=DE=CE,則構(gòu)造出

全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問(wèn)題,

從中利用了相當(dāng)于截取的方法。

例3.已知如圖2-3,AABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)Po求證:ZBAC

A4B3C2D1

2.已知在AABC中,ZC=90，AD平分NCAB,CD=1.5,DB=2.5.求AC。

3.已知:如圖2-5,ZBAC=ZCAD,AB>AD,CE1AB,

AE=2(AB+AD).求證:ZD+ZB=1800

4.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn),

F為BC

上的點(diǎn)，ZFAE=ZDAE0求證：AF=AD+CFO

5.已知：如圖2-7,在RtZXABC中，ZACB=90,CD±AB,垂足為D,AE

平分NCAB交CD于F,過(guò)F作FH〃AB交BC于H。求證CF=BH。

圖2-7

(三)：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形

從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交,則截得一個(gè)等腰三角形,

垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三

角形的三線合一的性質(zhì)。(如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一

邊相交)。

例L已知：如圖3-1,ZBAD=ZDAC,AB〉A(chǔ)C,CD_LAD于D,H是BC中點(diǎn)。

求證：DH=((AB-AC)\

分析：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E,則可得全等三角形。問(wèn)題可證。Z\c

圖示3-1F

例2.已知：如圖3-2,AB=AC,ZBAC=90,AD為NABA'

C的平分線，CELBE.求證：BD=2CEo/XDE

c

圖3-2

分析：給出了角平分線給出了邊上的i點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長(zhǎng)此垂線

與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。

例3.已知：如圖3-3在4ABC中，AD、AE分別/BAC的內(nèi)、外角平分線,

過(guò)頂點(diǎn)B作BFAD,交AD的延長(zhǎng)線于F,連結(jié)FC并延長(zhǎng)

交AE于Mo

求證：AM=MEO

分析：由AD、AE是NBAC內(nèi)外角平分線，可得EA

±AF,從而有BF〃AE,所以想到利用比例線段證相等。

例4.已知：如圖3-4,在4ABC中，AD平分NBAC,AD=AB,CM±AD交AD

延長(zhǎng)線于M。求證：AM=g(AB+AC)

分析：題設(shè)中給出了角平分線AD,自然想到以AD為軸作對(duì)稱變換，作4AB

D關(guān)于AD的對(duì)稱AAED,然后只需證DM=-EC,另外

2

由求證的結(jié)果AM=-(AB+AC),即2AM=AB+AC,也可

2

嘗試作△ACM關(guān)于CM的對(duì)稱aFCM,然后只需證DF=C

F即可。

練習(xí)：

1.已知：在aABC中，AB=5,AC=3,D是BC中點(diǎn)，AE是NBAC的平分

線，且CE_LAE于E,連接DE,求DE。

2.已知BE、BF分別是4ABC的NABC的內(nèi)角與外角的平分線，AF±BF

于F,AELBE于E,連接EF分別交AB、AC于M、N,求證MN=』BC

2

(四)、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線

有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上的點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰

三角形?；蛲ㄟ^(guò)一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交,

從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。

cA

H

GBC

圖4—2

圖4—1

例4如圖，AB>AC,Z1=Z2,求證:AB-AOBD-CDo

例5如圖,BOBA,BD平分NABC,且AD=CD,求證：NA+NC=180。

例6如圖，AB/7CD,AE、DE分別平分/BAD各NADE,求證：AD=AB+CD。

練習(xí)：

1.已知，如圖，ZC=2ZA,AC=2BC0求證：Z^ABC是直角三角形。

A

B

2.已知：如圖,AB=2AC,Z1=Z2,DA=DB,求證：DC±AC

3.已知CE、AD是AABC的角平分線，ZB=60°,求證：AC=AE+CD

4.已知：如圖在AABC中，ZA=90°,AB=AC,BD是NABC的平分線,求證:

BC=AB+AD

三由線段和差想到的輔助線

口訣：

線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。

遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：

1、截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等

于另一條；

2、補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線

段等于長(zhǎng)線段。

對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第

三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。

一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來(lái)，可

連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，

再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：

例1、已知如圖1-1：D、E為aABC內(nèi)兩點(diǎn)，求證:AB+AC>BD+DE+CE.

證明：(法一)

將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC于M、N,

在aAMN中，AM+AN>MD+DE+NE;(1)

在△BDM中，MB+MD〉BD；(2)

在ACEN中,CN+NE>CE；(3)

由(1)+(2)+(3)得：

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

/.AB+AOBD+DE+EC

(法二：圖1-2)

延長(zhǎng)BD交AC于F,廷長(zhǎng)CE交BF于G,在aABF和

△GFCffAGDE中有：

AB+AF>BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）...

(1)

GF+FOGE+CE(同上)(2)

DG+GE>DE(同上)(3)

由(1)+(2)+(3)得：

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE

AAB+AOBD+DE+ECo

圖2-1

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)

角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在

某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定

理：

例如:如圖2-1：已知D為AABC內(nèi)的任一點(diǎn),求證:ZBDOZBACo

芬橋|：因?yàn)镹BDC與NBAC不在同個(gè)三角形中，沒(méi)有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)

添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使NBDC處于在外角的位置，NBAC處于在內(nèi)角

的位置；

證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E,這時(shí)NBDC是的外角，

AZBDOZDEC,同理NDEONBAC,AZBOOZBAC

證法二：連接AD,并廷長(zhǎng)交BC于F,這時(shí)NBDF是aABD的

外角，/.ZBDF>ZBAD,同理，ZCDF>ZCAD,/.ZBDF+

ZCDF>ZBAD+ZCAD,即：ZBDOZBACo

注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外

角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。

三、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形,

如：

例如:如圖3-1：已知AD為aABC的中線,且Nl=

N2,N3=N4,求證:BE+CF>EFo

而:要證BE+CF>EF,可利用三角形三邊關(guān)系定

理證明，須把BE,CF,EF移到同一個(gè)三角形中，而由

已知N1=N2,

N3=N4,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把

EN,FN,EF移到同個(gè)三角形中。

證明：在DN上截取DN=DB,連接NE,NF,則DN=DC,

在aDBE和ANDE中：

-DN=DB（輔助線作法）

Z1=Z2（已知）

1ED=ED（公共邊）

.,.△DBE^ANDE(SAS)

，BE=NE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

同理可得：CF=NF

在4EFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）

.*.BE+CF>EFo

注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全

等三角形，然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。

四、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。

例如：已知如圖6-1：在aABC中，AB>AC,Z1=Z2,P為AD上

任一點(diǎn)

求證:AB-AOPB-PCo

全麗：要證：AB-AOPB-PC,想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)?/p>

欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC,故可

在AB上截取AN等于AC,得AB-AC=BN,再連接PN,則PC=PN,又在APNE中，

PB-PN<BN,

即：AB-AC>PB-PCo

證明：（截長(zhǎng)法）

在AB上截取AN=AC連接PN,在△APN和△APC中

AN=AC（輔助線作法）

Z1=Z2（已知）

AP=AP（公共邊）

/.AAPN^AAPC（SAS）,/.PC=PN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

?.?在4BPN中，有PB-PN<BN（三角形兩邊之差小于第三邊）

/.BP-PC<AB-AC

證明：（補(bǔ)短法）

延長(zhǎng)AC至M,使AM=AB,連接PM,

在△ABP和△AMP中

'AB=AM（輔助線作法）

Z1=Z2（已知）

AP=AP（公共邊）

△ABP△AMP(SAS)

/.PB=PM（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

又?.?在△PCM中有：CM>PM-PC（三角形兩邊之差小于第三邊）

/.AB-AOPB-PC.

例1.如圖，AC平分NBAD,CE±AB,且NB+ND=180°,求證：AE=AD+BEo

例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分NBAD,CEJ_AB于E,AD+AB=2AE,

求證：BC=AB+DCo

D

BC

例4如圖，已知Rt/XABC中，ZACB=90°,AD是NCAB的平分線，DM±AB

于M,且AM=MB。求證：CD=2DBo

CDB

1.如圖，AB〃CD,AE、DE分別平分NBAD各NADE,求證:AD=AB+CD0

2.如圖，Z\ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AE是過(guò)A的-一條直線，且B,C

在AE的異側(cè)，A

BDJLAE于D,CELAE于E。求證：BD=DE+CE/\\

四由中點(diǎn)想到的輔助線

口訣:

三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。

在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到

三角形的中線、中位線、加倍延長(zhǎng)中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、

等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過(guò)探索，找到解決問(wèn)題的方法。

（一）、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形

即如圖1,AD是AABC的中線，則SAAB產(chǎn)SAACD=5SA?（因?yàn)锳ABD與AACD

是等底同高的）。

例1.如圖2,△ABC中，AD是中線，延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,DF是ADCE

的中線。已知4ABC的面積為2,求：ACDF的面積。

解：因?yàn)锳D是4ABC的中線，所以九,,8=盡4*3*2=1,又因CD是AAC

E的中線，故SWE=SAMD=1,

因DF是ACDE的中線，所以SA8F="sACDE=gxi=g。

.,.△CDF的面積為

（二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線

例2.如圖3,在四邊形ABCD中,AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn),BA、

CD的延長(zhǎng)線分別交EF的延長(zhǎng)線G、Ho求證：ZBGE=ZCHEo

證明：連結(jié)BD,并取BD的中點(diǎn)為M,連結(jié)ME、MF,

?.'ME是ABCD的中位線,

AMEff1CD,ZMEF=ZCHE,

■?

???MF是△ABD的中位線,

二MF二|AB,ZMFE=ZBGE,

VAB=CD,.\ME=MF,.,.ZMEF=ZMFE,

從而NBGE=NCHE。

圖3圖4

（三）、由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線

例3.圖4,已知△ABC中，AB=5,AC=3,連BC上的中線AD=2,求BC的長(zhǎng)。

解：延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,則AE=2AD=2X2=4。

在△ACD和△EBD中，

VAD=ED,ZADC=ZEDB,CD=BD,

/.AACD^AEBD,/.AC=BE,

從而BE=AC=3o

在△ABE中，13AE2+BE2=42+32=25=AB\故NE=90。，

.+M=如，故BC=2BD=2相。

例4.如圖5,已知AABC中，AD是NBAC的平分線，AD又是BC邊上的中

線。求證：△ABC是等腰三角形。

證明：延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD。A

仿例3可證：/|\

△BED名ACAD,\r

故EB=AC,ZE=Z2,

又N1=N2,圖2

.-.Z1=ZE,

.,.AB=EB,從而AB=AC,即AABC是等腰三角形。

（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)

例5.如圖6,已知梯形ABCD中,AB//DC,AC1BC,AD1BD,求證：AC=BD0

證明：取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)DE、CE,則DE、CE分別為RtAABD,RtAABC

斜邊AB上的中線，故DE=CE=：AB,因此NCDE=NDCE。

VAB//DC,

AZCDE=Z1,ZDCE=Z2,

B

.*.Z1=Z2,

S6

在AADE和ABCE中,

VDE=CE,Z1=Z2,AE=BE,

AAADE^ABCE,/.AD=BC,從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。

（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線

例6.如圖7,△ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,BD平分NABC交AC

于點(diǎn)D,CE垂直于BD,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：BD=2CEO

證明：延長(zhǎng)BA,CE交于點(diǎn)F,在ABEF和ABEC中，

VZ1=Z2,BE=BE,ZBEF=ZBEC=90°,

：.△BEF^△BEC,，EF=EC,從而CF=2CE。

又Nl+NF=N3+NF=90°,故N1=N3。

在AABD和AACF中，丁/1=/3,AB=AC,ZBAD=ZCAF=

90°,

B7

...AABD組△ACF,/.BD=CF,：.BD=2CE。

注：此例中BE是等腰ABCF的底邊CF的中線。

（六）中線延長(zhǎng)

口訣：三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。

題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長(zhǎng)加倍此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可

得到全等三角形。

例一：如圖4-1：AD為4ABC的中線，且N1=N2,Z3=Z4,求證：BE+CF>

EFo

證明：廷長(zhǎng)ED至M,使DM=DE,連接CM,

在4BDE和aCDM中，

rBD=CD（中點(diǎn)定義）

1N1=N5（對(duì)頂角相等）

〔ED=MD（輔助線作法）

AABDE^ACDM（SAS）

又Z3=Z4（已知）

Zl+Z2+Z3+Z4=180°（平角的定義）

:.N3+N2=90°

即：ZEDF=90°

，ZFDM=ZEDF=90°

在4EDF和△MDF中

ED=MD（輔助線作法）

ZEDF=ZFDM（已證）

DF=DF（公共邊）

.?.△EDF名△MDF（SAS）

，EF=MF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

?.?在4CMF中，CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）

.\BE+CF>EF

上題也可加倍FD,證法同上。

gg：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過(guò)延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)

造全等三角形，使題中分散的條件集中。

例二：如圖5T：AD為AABC的中線，求證：AB+AO2AD。

分析：要證AB+AO2AD,由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD,所以有AB+AC+BD

+CD>AD+AD=2AD,左邊比要證結(jié)論多BD+CD,故不能直接證出此題，而由2AD想

到要構(gòu)造2AD,即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去

證明：延長(zhǎng)AD至E,使DE=AD,連，CE

VAD為AABC的中線（已知）

.*.BD=CD（中線定義）

在aACD和4EBD中

'BD=CD（已證）

,Z1=Z2（對(duì)頂角相等）

AD=ED（輔助線作法）

圖5-1

.,.△ACD^AEBD（SAS）

.*.BE=CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

：在4ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）

.,.AB+AC>2ADo

練習(xí):

1如圖，AB=6,AC=8,D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍。

2如圖，AB=CD,E為BC的中點(diǎn)，ZBAC=ZBCA,求證：AD=2AE0

3如圖，AB=AC,AD=AE,M為BE中點(diǎn)，ZBAC=ZDAE=90°。求證：AM±DCO

4,已知△ABC,AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外

作等腰直角三角形，如圖5-2,求證EF=2AD。

5.已知：如圖AD為aABC的中線，AE=EF,求證:

BF=AC

BDC

五全等三角形輔助線

找全等三角形的方法：

（1）可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個(gè)可

能全等的三角形中；

（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形相等；

（3）從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個(gè)三角形全等；

（4）若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。

三角形中常見輔助線的作法：

①延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形；

②利用翻折，構(gòu)造全等三角形；

③引平行線構(gòu)造全等三角形；

④作連線構(gòu)造等腰三角形。

常見輔助線的作法有以下幾種：

1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思

維模式是全等變換中的“對(duì)折”.

2）遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等

三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”.

3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的

思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定

理或逆定理.

4）過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是

全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”

5）截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相

等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)

加以說(shuō)明.這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目.

特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂

點(diǎn)的線段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答.

（一）、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等

1：（“希望杯”試題）已知,如圖4ABC中，AB=5,AC=3,則中線AD的取值范圍是

2：如圖，AABC中，E、F分別在AB、AC上，DE1DF,D是中點(diǎn)，試比較B

E+CF與EF的大小.

3：如圖，ZXABC中，BD=DC=AC,E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分NBAE.

中考應(yīng)用

（09崇文二模）以A48c的兩邊/8、4。為腰分別向外作等腰RtAAB。和等

腰RtMCE,NBAD=ZCAE=90°,連接DE,M、N分別是比；龍的中點(diǎn).探究：

AW與，'的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.

（1）如圖①當(dāng)為直角三角形時(shí)，4〃與小的位置關(guān)系是

線段4"與小的數(shù)量關(guān)系是

（2）將圖①中的等腰RtA48O繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)'（0＜夕＜90）后,

如圖②所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由.

（二）、截長(zhǎng)補(bǔ)短

1.如圖，A48c中，AB=2AC,AD平分NBA。，且AD=BD,求證：CD±AC

2：如圖,AC〃BD,EA,EB分別平分NCAB,NDBA,CD過(guò)點(diǎn)E,求證;AB=AC+

3：如圖，已知在ABC內(nèi)，ZBAC=60",NC=40°,p,Q分別在BC,CA

上，并且.AP,BQ分別是NBAC,48C的角平分線。求證：BQ+AQ

=AB+BPB

P

4：如圖，在四邊形ABCD中，BOBA,AD=CD,BD平分求證:

ZA+ZC=180°

5:如圖在aABC中，AB>AC,N1=N2,P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-AC

>PB-PC

中考應(yīng)用

（08海淀一模）

如圖，在四邊形ABCD中，AZ）點(diǎn)E是八8上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若44=60。,48=8C,且

2。比=60。,判斷AD+AE!-jBC的關(guān)系并證明你的結(jié)論.

解：

（三）、平移變換

LAD為aABC的角平分線，直線MNJLAD于A.E為MN上一點(diǎn)，ZiABC周長(zhǎng)記為？，AE

BC周長(zhǎng)記為PB,求證PB>PA.

2：如圖，在AABC的邊上取兩點(diǎn)D、E,且BD=CE,求證：AB+AOAD+AE.

（四）、借助角平分線造全等

1：如圖，已知在aABC中，NB=60°,AABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)0,求證：0E

=0D

2：（06鄭州市中考題）如圖，ZkABC中,A

D平分NBAC,DG1BC且平分BC,DE1AB于E,

的理由；（2）如果AB=a,AC=b,求AE、BE的長(zhǎng).

中考應(yīng)用

（06北京中考）如圖①，”是乙姒V的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以。

產(chǎn)所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下

列問(wèn)題：

(1)如圖②，在△/比1中，N4⑶是直角，N廬60°,AD,"分別是/次1G

ABCA的平分線，AD、四相交于點(diǎn)凡請(qǐng)你判斷并寫出FE與川之間的數(shù)量關(guān)系;

(2)如圖③，在△/a'中，如果不是直角，而(1)中的其它條件不變,

請(qǐng)問(wèn)，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成郵請(qǐng)說(shuō)明

理由。

圖②

(第23題圖)

(五)、旋轉(zhuǎn)

1：正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF,求NEAF的度數(shù).

BEC

2：D為等腰RtAABC斜邊AB的中點(diǎn),DMJLDN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。

(1)當(dāng)NMDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。B

(2)若AB=2,求四邊形DECF的面積。\

3.如圖，MBC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，AB。。是等腰三角形，且

N8OC=120°,以D為頂點(diǎn)做一個(gè)60°角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M,交AC于

點(diǎn)N,連接MN,則MMN的周長(zhǎng)為

中考應(yīng)用

（07佳木斯）已知四邊形A8C0中，AB1AD,BCLCD,AB=BC

ZABC=UO\/MBN=6（r,NMBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，OC（或

它們的延長(zhǎng)線）于E,F.

當(dāng)/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=時(shí)（如圖1）,易證AE+CF^EF.

當(dāng)NM8N繞5點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AEWC尸時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)

論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段4昆CF,又有怎樣的

數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.

P、D

（圖1）（圖2）（圖3）

⑴如圖，當(dāng)NAPB=45°時(shí)，求AB及PD的長(zhǎng);

（2）當(dāng)NAPB變化,且其它條件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)NAPB的大小.

/'

(09崇文一模)在等邊乙48c的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N,

D為A8C外一點(diǎn)，且NM°N=60°,NBDC=120,BD=DC.探究：當(dāng)M、N分別

在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及MMN的周長(zhǎng)Q與等邊

的周長(zhǎng)L的關(guān)系.

圖1圖2圖3

(I)如圖1,當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)

量關(guān)系是;此時(shí)亨=;

Lt

(II)如圖2,點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMHDN時(shí)，猜想(I)問(wèn)的兩個(gè)

結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；

(III)如圖3,當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，

若AN=x,則Q=(用x、L表示).

六梯形的輔助線

口訣：

梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)椤骱推揭蒲?，移?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出

現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。

通常情況下，通過(guò)做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形

問(wèn)題的基本思路。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。常見的幾種

輔助線的作法如下：

作法圖形

平移腰，轉(zhuǎn)化A「4-fP

為三角形、平行四

邊形。ECaGFHC

平移對(duì)角線?！腹r

轉(zhuǎn)化為三角形、平

行四邊形。已CE40C

E

延長(zhǎng)兩腰，轉(zhuǎn)

化為三角形。

Bz---------------XC

作高，轉(zhuǎn)化為

直角三角形和矩M

形。BEFJ

三：F

中位線與腰中

點(diǎn)連線。

（一）、平移

1、平移一腰:

例L如圖所示，在直角梯形ABCD中，NA=90°,AB〃DC,AD=15,AB=

16,BC=17.求CD的長(zhǎng).

解：過(guò)點(diǎn)D作DE〃BC交AB于點(diǎn)E.

又AB〃CD,所以四邊形BCDE是平行四邊形.

所以DE=BC=17,CD=BE.

在RlaDAE中，由勾股定理，得

AE2=DE2-AD2,即AE?=量-152=64.

所以AE=8.

所以BE=AB-AE=16-8=8.

即CD=8.

例2如圖，梯形ABCD的上底AB=3,下底CD=8,腰AD=4,求另一腰BC的取

值范圍。

解：過(guò)點(diǎn)B作BM〃AD交CD于點(diǎn)M,0

在△BCM中，BM=AD=4,

CM=CD-DM=CD-AB=8-3=5,

所以BC的取值范圍是：

5-4<BC<5+4,即1<BC<9。

2、平移兩腰：

例3如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,ZB+ZC=90°,AD=1,BC=3,E、F

分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接EF,求EF的長(zhǎng)o

AED

BGFHC

解：過(guò)點(diǎn)E分別作AB、CD的平行線,交BC于點(diǎn)G、H,可得

ZEGH+ZEHG=ZB+ZC=90°

則AEGH是直角三角形

因?yàn)镋、F分別是AD、BC的中點(diǎn),容易證得F是GH的中點(diǎn)

所以=-(BC-BG-CH)

22

=-(BC-AE-DE)=-[BC-(AE+DE)]

22

=-(BC-AZ))=-(3-l)=l

22

3、平移對(duì)角線:

例4、已知:梯形ABCD中,AD//BC,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯形AB

CD的面積.

解：如圖，作DE〃AC,交BC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn).

?.?AD〃BCI.四邊形ACED是平行四邊形

BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5,DE=AC=4

?.?在ADBE中，BD=3,DE=4,BE=5

.*.ZBDE=90o.

,,丁r?BDxED12CE

作DH_LBC于H,則。〃=-------T

(AD+BC)xDH

,?S梯形ABCD=

例5如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,AD=3,BC=7,BD=5四，求證：A

CIBDo

解：過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

易得四邊形BCED是平行四邊形，

則DE=BC,CE=BD=5后，

所以AE=AD+DE=AD+BC=3+7=10。

在等腰梯形ABCD中，AC=BD=5應(yīng)，

所以在AACE中，AC2+CE2=（5亞/+（5啦）2=100=4七2,

從而AC_LCE,于是ACLBD。

例6如圖，在梯形AB如中,AD//BC,AC=15cm,BD=20cm,高DH=12cm,求

梯形ABCD的面積。

DHCE

解：過(guò)點(diǎn)D作DE//AC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

則四邊形ACED是平行四邊形，

即SAABD=SMCD=SADCE。

所以S梯形48co=SkDBE

由勾股定理得EH=^DE2-DH2=^AC2-DH2

=,152—12。=9(加)

2222

BH=^BD-DH=>/20-12=16(cm)

11,

2

S^BE=-BEDH=-X(9+16)X12=150(C/H)

所以22即梯形ABCD的面積是

150cm2o

（二）、延長(zhǎng)

即延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn)，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。

例7如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,ZB=50°,ZC=80°,AD=2,BC=5,

求CD的長(zhǎng)。

解：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E。

在4BCE中，ZB=50°,ZC=80°。

所以NE=50°,從而BC=EC=5

同理可得AD=ED=2

所以CD=EC—ED=5—2=3

例8.如圖所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC,AC=BD,AD=BC.判斷

四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論.

解：四邊形ABCD是等腰梯形.

證明：延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)E,如圖所示.

AB

VAC=BD,AD=BC,AB-BA,

/.△DAB^ACBA.

/.ZDAB=ZCBA.

/.EA=EB.

又AD=BC,/.DE=CE,ZEDC=ZECD.

而ZE+ZEAB+ZEBA=ZE+ZEDC+ZECD=180°,

/.ZEDC=ZEAB,ADC//AB.

又AD不平行于BC,

...四邊形ABCD是等腰梯形.

（三）、作對(duì)角線

即通過(guò)作對(duì)角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。

例9如圖6,在直角梯形ABCD中,AD//BC,AB1AD,BC=CD,BE_LCD于點(diǎn)E,

求證:AD=DEo

解:連結(jié)BD,

由AD〃BC,得NADB=NDBE；

由BC=CD,得NDBC=NBDC。

所以NADB=NBDE。

又NBAD=NDEB=90°,BD=BD,

所以RtABAD^RtABED,

得AD=DE0

（四）、作梯形的高

1、作一條高

例10如圖，在直角梯形ABCD中，AB//DC,ZABC=90°,AB=2DC,對(duì)角線A

C1BD,垂足為F,過(guò)點(diǎn)F作EF〃AB,交AD于點(diǎn)E,求證：四邊形ABFE是等腰

梯形。

證：過(guò)點(diǎn)D作DG_LAB于點(diǎn)G,

則易知四邊形DGBC是矩形，所以DC=BG。

因?yàn)锳B=2DC,所以AG=GB.

從而DA=DB,于是NDAB=NDBA。

又EF〃AB,所以四邊形ABFE是等腰梯形。

2、作兩條高

例11、在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,ZABC=60°,AD=3cm,BC=5c

求：（1）腰AB的長(zhǎng)；（2）梯形ABCD的面積.

解：作AEJ_BC于E,DFJ_BC于F,又?；AD〃BC,

二四邊形AEFD是矩形,EF=AD=3cm

VAB=DC

BE=FC=g（BC-EF）=\cm

；在Rt^ABE中，ZB=60°,BE=lcm

AB=2BE=2cm,AE=6BE=6cm

例12如圖，在梯形ABCD中，AD為上底，AB>CD,求證：BD>AC0

證：作AEJ_BC于E,作DF_LBC于F,則易知AE=DF。

4D

BE

在Rt/XABE和RtADCF中，

因?yàn)锳B>CD,AE=DFo

所以由勾股定理得BE〉CF。即BF>CE。

在RtABDF和RtACAE中

由勾股定理得BD>AC

(五)、作中位線

1、已知梯形一腰中點(diǎn)，作梯形的中位線。

例13如圖，在梯形ABCD中，AB//DC,0是BC的中點(diǎn)，ZA0D=90°,求證:

AB+CD=ADo

證：取AD的中點(diǎn)E,連接0E,則易知0E是梯形ABCD的中位線，從而0E=；

(AB+CD)①

在aAOD中，ZA0D=90o,AE=DE

所以②

2

由①、②得AB+CD=AD。

2、已知梯形兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，連接梯形一頂點(diǎn)與一條對(duì)角線中點(diǎn)，并延

長(zhǎng)與底邊相交，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。

例14如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,E、F分別是BD、AC的中點(diǎn)，求證:

(1)EF//AD；(2)EF^-(BC-AD)

2o

證：連接DF,并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G,易證△AFDg^CFG

則AD=CG,DF=GF

由于DE=BE,所以EF是△BDG的中位線

從而EF//BG,且

2

因?yàn)锳D〃BG,BG=BC-CG=BC-AD

所以EF〃AD,EF=-（5C-/1Z））

2

3、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)這點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形達(dá)到解

題的目的。

例15、在梯形ABCD中，AD〃BC,ZBAD=90°,E是DC上的中點(diǎn)，連接AE

和BE,求NAEB=2NCBE。

解：分別延長(zhǎng)AE與BC,并交于F點(diǎn)0

：NBAD=90。且AD〃BCE

.,.ZFBA=180°-ZBAD=90°

XVAD//BCFCB

.?.NDAE=NF（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）

ZAED=ZFEC（對(duì)頂角相等）

DE=EC（E點(diǎn)是CD的中點(diǎn)）

.,.△ADE^AFCE（AAS）

AE=FE

在4ABF中ZFBA=90°且AE=FE

...BE=FE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）

在AFEB中ZEBF=ZFEB

NAEB=NEBF+ZFEB=2ZCBE

例16、已知:如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,AB1BC,E是CD中點(diǎn),試問(wèn):

線段AE和BE之間有怎樣的大小關(guān)系？

解：AE=BE,理由如下：

延長(zhǎng)AE,與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.

VDE=CE,ZAED=ZCEF,

ZDAE=ZF

.,.△ADE^AFCE

/.AE=EF

VAB±BC,/.BE=AE.

例17、已知：梯形ABCD中，AD//BC,E