東北三省六校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)答案

東北三省六校2024-2025學(xué)年高一第一次月考—數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘一、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合、集合，則（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵、，∴，故選B。2．“”是“且”的（）。A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充分必要條件D、既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若時，推不出且，充分性不成立，若且，能推出，必要性成立，∴“”是“且”的必要不充分條件，故選B。3．設(shè)、，則與的大小關(guān)系是（）。A、B、C、D、無法確定【答案】C【解析】∵、，∴，∴，故選C。4．不等式的最小整數(shù)解為（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】原不等式可化為或或，解得，∴最小整數(shù)解是，故選C。5．已知集合、集合，，則的值可以是（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】集合、集合，∴，∵，結(jié)合選項可得，故選B。6．已知且，則的最小值為（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵且，∴，，∴，∴，則令，當(dāng)時，單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，取得最小值為，即的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)、時取最小值，故選A。7．關(guān)于的不等式的解集為，那么不等式的解集為（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵關(guān)于的不等式的解集為，∴、，∴可化為，即，∴，∴，解得，故選C。8．設(shè)正實數(shù)、、滿足，則當(dāng)取得最小值時，的最大值為（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】由已知得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則，∴，當(dāng)時，取最大值為，故選D。點睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正：各項均為正；二定：積或和為定值；三相等：等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤。二、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得分，部分選對的得部分分，有選錯的得分。9．下列命題中是真命題的是（）。A、“”是“”的充分不必要條件B、命題“，都有”的否定是“，使得”C、不等式成立的一個充分不必要條件是或D、當(dāng)時，方程組有無窮多解【答案】ACD【解析】A選項，“”可以推出“”，而“”推出或，∴“”是“”的充分不必要條件，對，B選項，命題“，都有”的否定是“，使得”，錯，C選項，不等式成立，即或，∴不等式成立的一個充分不必要條件是或，對，D選項，當(dāng)時，方程組等價于，即兩條直線重合，∴方程組有無窮多解，對，故選ACD。10．下列說法中，正確的有（）。A、的最小值是B、的最小值是C、若，則D、若，則【答案】CD【解析】A選項，當(dāng)時，，錯，B選項，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，不可能，錯，C選項，由得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，對，D選項，由得、、，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，對，故選CD。11．已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則下列說法正確的是（）。A、若，則且B、若，則關(guān)于的不等式的解集也為C、若，則關(guān)于的不等式的解集為D、若，且，則的最小值為【答案】ACD【解析】A選項，若，即一元二次不等式無解，∴且，對，B選項，令（），則、、，∴可化為，當(dāng)時，可化為，其解集為，當(dāng)時，可化為，其解集不等于，錯，C選項，若，則且和是一元二次方程的兩根，∴、，∴、，∴關(guān)于的不等式可化為，可化為，∵，∴，∴，∴或，即不等式的解集為，對，D選項，∵，∴且，∴，∵，∴，令，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，則時，等號成立，∴的最小值為，對，故選ACD。三、填空題：本題共小題，每小題分，共分。13．命題“若，則”的否定為。（用文字表達(dá)）【答案】若，則或。【解析】原命題的形式為“若則”，則命題的否定的形式為“若則”，∴命題的否定為：若，則或。13．若關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的值為?！敬鸢浮俊窘馕觥坎坏仁降葍r于不等式，令，解得、、，∵不等式的解集為，∴且，解得。點睛：本題考查分式不等式的解法，考查邏輯思維能力和計算能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于?？碱}。14．已知：；：；：關(guān)于的不等式（），若是的必要不充分條件，且是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍為。【答案】【解析】由解得：，由解得：，（1）當(dāng)，由解得：，若是的必要不充分條件，則，則①，且是的充分不必要條件，則，則②，由①②得：；（2）當(dāng)時，由解得：，若是的必要不充分條件，不成立，也不成立，不存在值，（3）當(dāng)時，由解得：為，不成立，不存在值，綜上所述，，即實數(shù)的取值范圍為。四、解答題：本題共小題，共分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（本小題滿分分）已知集合、集合（）。（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)命題：；命題：，若命題是命題的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍?！窘馕觥浚?）由題意可知，2分又，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，或，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為；6分（2）∵命題是命題的必要不充分條件，∴集合是集合的真子集，8分當(dāng)時，，解得，9分當(dāng)時，（等號不能同時成立），解得，12分綜上所述，實數(shù)的取值范圍為。13分16．（本小題滿分分）已知命題：，，命題：，。（1）若命題和命題有且只有一個為假命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若命題和命題至少有一個為真命題，求實數(shù)的取值范圍?！窘馕觥浚?）若命題為真命題，即，，∴，∴，2分若命題為真命題，即，，∴，解得，4分命題和命題有且只有一個為假命題，當(dāng)命題為假、命題為真時，，解得，當(dāng)命題為真、命題為假時，，無解，∴，即實數(shù)的取值范圍為；8分（2）若命題和命題都為假命題，則，即，10分∵命題和命題至少有一個為真命題，∴或，即實數(shù)的取值范圍為。15分17．（本小題滿分分）已知實數(shù)、滿足：。（1）求和的最大值；（2）求的最小值和最大值。【解析】（1）∵，∴，∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)、或、時等號成立，∴的最大值為，4分∵，∴，∵，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)、時等號成立，∴的最大值為；7分（2）∵，∴，∵，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)、或、時等號成立，∴的最小值為，11分又，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)、或、時等號成立，∴的最大值為。15分點睛：本題考查基本不等式在求最值中的應(yīng)用，在使用基本不等式的過程，注意根據(jù)所求解的目標(biāo)代數(shù)式進行合理的配湊，本題屬于中檔題。18．（本小題滿分分）根據(jù)要求完成下列問題：（1）已知，集合、集合、集合，則同時滿足且的實數(shù)、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，請說明理由；（2）已知，命題：和是方程的兩個實根，不等式對任意實數(shù)恒成立；命題：不等式有解；若命題是真命題，命題是假命題，求實數(shù)的取值范圍?！窘馕觥浚?），1分∵，∴或或，若，則，的值不存在，若，則，，若，則，的值不存在，綜上所述，，4分∵，∴或或或，若，則，，若，則，的值不存在，若，則，的值不存在，若，則，綜上所述，或，7分∴存在、的值，當(dāng)、或、時，滿足、；8分（2）∵、是方程的兩個實根，∴、，∴，∴當(dāng)時，，由不等式對任意實數(shù)恒成立可得：，即，解得或，∴命題為真命題時，，12分命題：不等式有解，當(dāng)時，原不等式一定有解，當(dāng)時，只需，解得，不等式有解時，又命題是假命題，∴，16分∴命題是真命題且命題是假命題時，實數(shù)的取值范圍為。17分19．（本小題滿分分）根據(jù)要求完成下列問題：（1）若、、。①求證：；②求證：；③在（2）中的不等式中，能否找到一個代數(shù)式，滿足所求式？若能，請直接寫出該代數(shù)式；若不能，請說明理由。（2）設(shè)，求證：成立的充要條件是?！窘馕觥浚?）①∵，且、，∴，∴；2分②∵，∴，又∵，∴，∴，∴，4分∵、，∴，又由（1）可知，∴，∴；6分③∵，，∴或（只要寫出其中一個即可）；8分（2）證明：①充分性：如果，則有和兩種情況，9分當(dāng)時，當(dāng)時，則、，∴等式成立，當(dāng)時，則、，∴等式成立，∴當(dāng)時，等式成立，