廣西陸川縣中學(xué)高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)（文）試題

廣西陸川縣中學(xué)2018年春季期高三3月月考文科數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.1.已知集合A={1,2,0,1}，B={x|ex<1}，則集合C=A∩B的元素的個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】因為集合C=A∩B={1,2}，所以其元素的個數(shù)為2，故選B.2.設(shè)復(fù)數(shù)，則（）A.4B.2C.D.1【答案】C【解析】,故選C.3.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的公差為（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】,故公差.故選B.4.我國三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，該圖是由四個全等的直角三角形組成，它們共同圍成了一個如圖所示的大正方形和一個小正方形.設(shè)直角三角形中一個銳角的正切值為3.在大正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自小正方形內(nèi)的概率是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】不妨設(shè)兩條直角邊為,故斜邊,即大正方形的邊長為,小正方形邊長為,故概率為.5.設(shè)等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由得,故是遞增數(shù)列,反之也成立,所以為充要條件.選C.6.已知直線與拋物線：相交于，兩點，若線段的中點為，則直線的方程為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】設(shè),代入拋物線得,兩式相減得,即,即直線的斜率為,由點斜式得,化簡得,故選D.7.已知函數(shù)，不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由于,所以函數(shù)為奇函數(shù),且為單調(diào)遞增函數(shù),故,所以,故選A.8.已知雙曲線：的右焦點到漸近線的距離為4，且在雙曲線上到的距離為2的點有且僅有1個，則這個點到雙曲線的左焦點的距離為（）A.2B.4C.6D.8【答案】D【解析】雙曲線焦點到漸近線的距離為,所以.雙曲線上到的距離為2的點有且僅有1個,即雙曲線右頂點到右焦點的距離為,故,由于,解得,右頂點到左焦點的距離為,故選D.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為1.5，則輸入的值應(yīng)為（）A.4.5B.6C.7.5D.【答案】B【解析】,判斷是,,判斷是,,判斷是,,判斷否,輸出,故選B.10.在中，邊上的中線的長為2，，則（）A.1B.2C.2D.1【答案】C【解析】,故選C.11.已知雙曲線：的兩條漸近線是，，點是雙曲線上一點，若點到漸近線距離是3，則點到漸近線距離是A.B.1C.D.3【答案】A【解析】雙曲線的兩條漸近線方程分別為，設(shè)為雙曲線C上一點，則，即，點M到兩條漸近線距離之積為為常數(shù)，所以當(dāng)點M到漸近線距離是3，則點到漸近線距離是，選A.點睛：本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，涉及的知識點有點到直線距離公式、雙曲線上的點到兩條漸近線的距離之積為定值等，屬于中檔題。12.設(shè)，分別是函數(shù)和的零點（其中），則的取值范圍是A.B.C.D.【答案】D【方法點睛】本題主要考查函數(shù)的零點、反函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)零點問題主要有以下思路：(1)直接法，函數(shù)圖象與橫軸的交點橫坐標(biāo)；(2)轉(zhuǎn)化為方程解的問題；(3)數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．一是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點問題，二是轉(zhuǎn)化為的交點問題.二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分；13.已知實數(shù)x，y滿足的最小值為___________．【答案】5【解析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

設(shè)z=x+2y，則y=x+平移此直線，由圖象可知當(dāng)直線y=x+經(jīng)過A時，直線在y軸的截距最小，得到z最小，由得到A（1，2），

所以z=x+2y的最小值為5故答案為514.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c．若的面積為___________．【答案】【解析】因為所以因此.15.已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若，則雙曲線的離心率__________．【答案】【解析】因為雙曲線的兩條漸近線為，拋物線的準(zhǔn)線為，所以，因此點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標(biāo)的范圍等.16.若函數(shù)滿足：對于圖象上任意一點P，在其圖象上總存在點，使得成立，稱函數(shù)是“特殊對點函數(shù)”．給出下列五個函數(shù)：①；②(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))；③；④；⑤．其中是“特殊對點函數(shù)”的序號是__________．(寫出所有正確的序號)【答案】②④⑤【解析】設(shè)由得，或;①，所以不是“特殊對點函數(shù)”；②由圖知,對于任意一點P，在其圖象上總存在點，使得，所以是“特殊對點函數(shù)”；③對于；所以不是“特殊對點函數(shù)”；④由圖知,對于任意一點P，在其圖象上總存在點，使得，所以是“特殊對點函數(shù)”；⑤由圖知,對于任意一點P，在其圖象上總存在點，使得，所以是“特殊對點函數(shù)”；綜上“特殊對點函數(shù)”的序號是②④⑤點睛：(1)運用函數(shù)性質(zhì)解決問題時，先要正確理解和把握函數(shù)相關(guān)性質(zhì)本身的含義及其應(yīng)用方向.(2)在研究函數(shù)性質(zhì)特別是奇偶性、周期、對稱性、單調(diào)性、最值、零點時，要注意用好其與條件的相互關(guān)系，結(jié)合特征進行等價轉(zhuǎn)化研究.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.記為數(shù)列的前項和，已知，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）由與之間的關(guān)系求出通項公式；（2）求出，再用裂項相消法求出前n項和。試題解析：（1）由，得當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以.（2），所以.18.如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，CD∥AB,AB⊥BC,AB=BC=2CD=2,側(cè)棱AA1⊥平面ABCD.且點M是AB1的中點(1)證明:CM∥平面ADD1A1；(2)求點M到平面ADD1A1的距離.【答案】（1）見解析（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意得到四邊形AECD為平行四邊形，∴CE∥AD，∴CE∥平面,進而得到面面平行，再得到線面平行;(2)根據(jù)等體積法得到，列式求得.解析：（1）取AB的中點E，連結(jié)CE、ME.∵M為AB1的中點∴ME∥BB1∥AA1又∵AA1平面ADD1A1∴ME∥平面ADD1A1又∵AB∥CD，CD=AB∴AE平行且等于CD∴四邊形AECD為平行四邊形∴CE∥AD又∵AD平面ADD1A1∴CE∥平面ADD1A1又∵ME∩CE=E∴平面CME∥平面ADD1A1又∵CM平面CME∴CM∥平面ADD1A1（2）由（1）可知CM∥平面ADD1A1，所以M到平面ADD1A1的距離等價于C到平面ADD1A1的距離，不妨設(shè)為h，則.在梯形ABCD中，可計算得AD=，則∴=，得，即點M到平面ADD1A1的距離19.某校高三課外興趣小組為了解高三同學(xué)高考結(jié)束后是否打算觀看2018年足球世界杯比賽的情況,從全校高三年級1500名男生、1000名女生中按分層抽樣的方式抽取125名學(xué)生進行問卷調(diào)查,情況如下表:打算觀看不打算觀看女生20b男生c25（1）求出表中數(shù)據(jù)b，c;（2）判斷是否有99%的把握認(rèn)為觀看2018年足球世界杯比賽與性別有關(guān);（3）為了計算“從10人中選出9人參加比賽”的情況有多少種，我們可以發(fā)現(xiàn)它與“從10人中選出1人不參加比賽”的情況有多少種是一致的.現(xiàn)有問題：在打算觀看2018年足球世界杯比賽的同學(xué)中有5名男生、2名女生來自高三（5）班，從中推選5人接受校園電視臺采訪，請根據(jù)上述方法，求被推選出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率.P(K2≥k0)0.100.050.0250.010.005K02.7063.8415.0246.6357.879附：【答案】（1）b=30,c=50（2）有99%的把握,(3)【解析】試題分析：（1）由分層抽樣的概念得到參數(shù)值；（2）根據(jù)公式計算得到，再下結(jié)論；（3）根據(jù)古典概型的計算公式，列出事件的所有可能性，再得到4男一女的事件數(shù)目，做商即可.解析：（1）根據(jù)分層抽樣方法抽得女生50人，男生75人，所以b=5020=30(人)，c=7525=50(人)（2）因為，所以有99%的把握認(rèn)為觀看2018年足球世界杯比賽與性別有關(guān).（3）設(shè)5名男生分別為A、B、C、D、E，2名女生分別為a、b，由題意可知從7人中選出5人接受電視臺采訪，相當(dāng)于從7人中挑選2人不接受采訪，其中一男一女，所有可能的結(jié)果有{A,B}{A,C}{A,D}{A,E}{A,a}{A,b}{B,C}{B,D}{B,E}{B,a}{B,b}{C,D}{C,E}{C,a}{C,b}{D,E}{D,a}{D,b}{E,a}{E,b}{a,b}，共21種，其中恰為一男一女的包括，{A,a}{A,b}{B,a}{B,b}{C,a}{C,b}{D,a}{D,b}{E,a}{E,b},共10種.因此所求概率為20.已知分別是橢圓C:的左、右焦點，其中右焦點為拋物線的焦點，點在橢圓C上.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)與坐標(biāo)軸不垂直的直線過與橢圓C交于A、B兩點，過點且平行直線的直線交橢圓C于另一點N，若四邊形MNBA為平行四邊形，試問直線是否存在？若存在，請求出的斜率；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）直線不存在.【解析】試題分析：（1）根據(jù)點在橢圓上以及題目中的條件得到，進而得到橢圓方程；（2）因為四邊形MNBA為平行四邊形，所以|AB|=|MN|，聯(lián)立直線和橢圓得到二次方程，根據(jù)弦長公式可得到方程，進而解得參數(shù)值.解析：（1）由的焦點為（1,0）可知橢圓C的焦點為又點在橢圓上，得，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由題意可設(shè)直線的方程為，由得，所以.所以|AB|==.又可設(shè)直線MN的方程為，由得，因為，所以可得。|MN|==.因為四邊形MNBA為平行四邊形，所以|AB|=|MN|.即，，但是，直線的方程過點，即直線AB與直線MN重合，不合題意，所以直線不存在.點睛：本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．21.已知函數(shù)（1）令，試討論的單調(diào)性；（2）若對恒成立,求的取值范圍.【答案】（1）見解析（2）【解析】試題分析：（1）由，對函數(shù)求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到單調(diào)性即可；（2）由條件可知對恒成立，變量分離，令，求這個函數(shù)的最值即可.解析：（1）由得當(dāng)時，恒成立，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，令，令.綜上：當(dāng)時，單調(diào)遞減，無增區(qū)間；當(dāng)時，，（2）由條件可知對恒成立，則當(dāng)時，對恒成立當(dāng)時，由得.令則,因為,所以,即所以,從而可知.綜上所述:所求.點睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立；（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為（需在同一處取得最值）.22.選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以O(shè)為極點，以x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點，求的值．【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）先根據(jù)三角函數(shù)平方關(guān)系消參數(shù)得曲線的普通方程，再根據(jù)化為極坐標(biāo)方程；（2）將直線l的極坐標(biāo)方程代入曲線的極坐標(biāo)方程得，再根據(jù)求的值．試題解析：解:（1）將方程消去參數(shù)得，∴曲線的普通方程為，將代入上式可得，∴曲線的極坐標(biāo)方程為：．