必修二課后作業(yè)第一章立體幾何初步1.2.3第5課時

第5課時線面垂直的綜合應(yīng)用學習目標1.理解斜線在平面內(nèi)的射影及與平面所成角的概念，會求簡單的線面角.2.理解點到平面的距離的概念，會求簡單的點面距離.3.線面平行與垂直的有關(guān)定理的綜合運用．知識點一直線與平面所成的角思考直線與平面所成的角是如何定義的？取值范圍是什么？答案平面的一條斜線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線與這個平面所成的角．規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0°的角．直線與平面所成的角θ的取值范圍是[0°，90°]．梳理有關(guān)概念對應(yīng)圖形斜線一條直線與一個平面相交，但不和這個平面垂直，圖中直線PA斜足斜線與平面的交點，圖中點A射影過平面外一點P向平面α引斜線和垂線，那么過斜足A和垂足O的直線就是斜線在平面內(nèi)的正投影(簡稱射影)，線段OA就是斜線段PA在平面α內(nèi)的射影直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，圖中為∠PAO，規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角；一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°的角取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為θ，則0°≤θ≤90°知識點二兩種距離1．點到平面的距離從平面外一點引平面的垂線，這個點和垂足間的距離，叫做這個點到這個平面的距離．2．直線和平面的距離一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線和這個平面的距離．類型一與線面角有關(guān)的問題例1已知∠BAC在平面α內(nèi)，P?α，∠PAB＝∠PAC.求證：點P在平面α內(nèi)的射影在∠BAC的平分線上．證明如圖所示，作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為O，E，F(xiàn)，連結(jié)OE，OF，OA.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PE⊥AB，PF⊥AC,∠PAE＝∠PAF,PA＝PA))?Rt△PAE≌Rt△PAF?AE＝AF.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PO⊥α,AB?α))?\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AB⊥PO,AB⊥PE,PO∩PE＝P))))?AB⊥平面PEO?AB⊥OE.同理，AC⊥OF.在Rt△AOE和Rt△AOF中，AE＝AF，OA＝OA，所以Rt△AOE≌Rt△AOF.于是∠EAO＝∠FAO，因此，點P在α內(nèi)的射影O在∠BAC的平分線上．反思與感悟(1)求直線和平面所成角的步驟①尋找過斜線上一點與平面垂直的直線；②連結(jié)垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；③把該角歸結(jié)在某個三角形中，通過解三角形，求出該角．(2)在上述步驟中，其中作角是關(guān)鍵，而確定斜線在平面內(nèi)的射影是作角的關(guān)鍵，幾何圖形的特征是找射影的依據(jù)，圖形中的特殊點是突破口．跟蹤訓練1如圖所示，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，C1H⊥AB，證明：點H是C1在平面ABC內(nèi)的射影．證明連結(jié)AC1.∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，又AC⊥BC1，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵C1H?平面ABC1，∴AC⊥C1H.又AB⊥C1H，AB∩AC＝A，∴C1H⊥平面ABC，∴點H是C1在平面ABC上的射影．類型二直線與平面垂直的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用例2如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．求證：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.證明(1)在四棱錐P—ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PD在底面ABCD內(nèi)的射影是AD，又∵AB⊥AD，∴AB⊥PD.又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.反思與感悟證明線面垂直的核心是證明線線垂直，而證明線線垂直又可借助于線面垂直的性質(zhì)．因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想．跟蹤訓練2如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AA1＝2a，D為棱B1B的中點．(1)證明：A1C1∥平面ACD；(2)求異面直線AC與A1D所成角的大??；(3)證明：直線A1D⊥平面ADC.(1)證明在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1.又A1C1?平面ACD，AC?平面ACD，∴A1C1∥平面ACD.(2)解在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴A1A⊥AC.又∠BAC＝90°，∴AC⊥AB.∵AA1∩AB＝A，∴AC⊥平面A1ABB1，又A1D?平面A1ABB1，∴AC⊥A1D.∴異面直線AC與A1D所成的角為90°.(3)證明∵△A1B1D和△ABD都為等腰直角三角形，∴∠A1DB1＝∠ADB＝45°，∴∠A1DA＝90°，即A1D⊥AD.由(2)知，A1D⊥AC，且AD∩AC＝A，∴A1D⊥平面ADC.1．下列說法：①平面的斜線與平面所成的角的取值范圍是0°<θ<90°；②直線與平面所成的角的取值范圍是0°<θ≤90°；③若兩條直線與一個平面所成的角相等，則這兩條直線互相平行；④若兩條直線互相平行，則這兩條直線與一個平面所成的角相等．其中正確的是________．(填序號)答案①④解析②應(yīng)為0°≤θ≤90°；③中這兩條直線可能平行，也可能相交或異面．2．AB是平面α的斜線段，其長為a，它在平面α內(nèi)的射影A′B的長為b，則垂線A′A的長為________．答案eq\r(a2－b2)3．在長方體ABCD—A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1內(nèi)，MN⊥BC于M，則MN與AB的位置關(guān)系為______．答案垂直解析AB⊥平面BCC1B1，又MN?平面BCC1B1，∴AB⊥MN.4.若長方體ABCD—A1B1C1D1的底面邊長為1，AB1與底面ABCD成60°角，則A1C1到底面ABCD的距離為________．答案eq\r(3)解析依題可知∠B1AB＝60°，A1C1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD，∴A1A即為A1C1到底面ABCD的距離．由題意得A1A＝B1B＝eq\r(3).5.如圖所示，平面ABB1A1為圓柱OO1的軸截面，點C為底面圓周上異于A，B的任意一點．(1)求證：BC⊥平面A1AC；(2)若D為AC的中點，求證：A1D∥平面O1BC.證明(1)∵AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上的任意一點，∴BC⊥AC.又在圓柱OO1中，AA1⊥底面⊙O，∴AA1⊥BC，又AA1∩AC＝A，∴BC⊥平面A1AC.(2)取BC的中點E，連結(jié)DE，O1E，∵D為AC的中點，∴在△ABC中，DE∥AB，且DE＝eq\f(1,2)AB，又在圓柱OO1中，A1O1∥AB，且A1O1＝eq\f(1,2)AB，∴DE∥A1O1，DE＝A1O1，∴四邊形A1DEO1為平行四邊形，∴A1D∥EO1.而A1D?平面O1BC，EO1?平面O1BC，∴A1D∥平面O1BC.立體幾何中經(jīng)常遇到由一個點向一個平面引垂線的問題，垂線的位置是由這個點在平面內(nèi)的射影來確定的，因此這個點的射影就是一個關(guān)鍵量，一般來說，可以直接由這個點作平面的垂線，然后通過證明或計算說明垂足的位置，也可以借助一些常見結(jié)論進行確定，如：(1)如果一個角所在平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線上．(2)經(jīng)過一個角的頂點引這個角所在平面的斜線，如果斜線與這個角的兩邊的夾角相等，那么斜線在平面內(nèi)的射影是這個角的平分線所在的直線．課時作業(yè)一、填空題1．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥平面ABC，AB＝AC，D是BC的中點，則圖中直角三角形的個數(shù)是____．答案8解析在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥平面ABC，∴AB⊥PA，PA⊥DA，PA⊥AC.∵AB＝AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC，∴BP＝CP，可得PD⊥BC，∴圖中直角三角形有△PAC，△PAB，△PAD，△ABC，△ABD，△ADC，△BPD，△DPC，共8個．2．下列命題：①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b?α))?a⊥b;②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a∥b))?b⊥α；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b∥α))?a⊥b;④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥b,b?α))?a⊥α；⑤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊥b))?b⊥α；⑥eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥a))?b∥α或b?α.其中正確的命題是________．(填序號)答案①②③⑥3．已知△ABC的三條邊長分別是5,12,13，點P到A，B，C三點的距離都等于7，則點P到平面ABC的距離為________．答案eq\f(3\r(3),2)解析由點P到△ABC三個頂點的距離相等可知，P在平面ABC上的射影為△ABC的外心．∵△ABC為直角三角形，∴其外心是斜邊的中點，即點P在平面ABC上的射影是△ABC斜邊的中點D，如圖．∴點P到平面ABC的距離為PD＝eq\r(72－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,2)))2)＝eq\f(3\r(3),2).4．下列四個正方體圖形中，l是正方體的一條體對角線，點M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出l⊥平面MNP的圖形的序號是________．(寫出所有符合要求的圖形的序號)答案①④解析設(shè)定正方體的頂點如圖，連結(jié)DB，AC，∵M，N分別為中點，∴MN∥AC.∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD.∵BB′⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴BB′⊥AC.∵BB′∩DB＝B，BB′?平面DBB′，DB?平面DBB′，∴AC⊥平面DBB′，∵DB′?平面DBB′，∴AC⊥DB′.∵MN∥AC，∴DB′⊥MN，同理可證DB′⊥MF，DB′⊥NF，∵MF∩NF＝F，MF?平面MNF，NF?平面MNF，∴DB′⊥平面MNF，即l垂直于平面MNP，故①正確；④中由①證明可知l⊥MP，∵MN∥AC，AC⊥l，∴l(xiāng)⊥MN，∴l(xiāng)⊥平面MNP.5.如圖，ABCD—A1B1C1D1為正方體，下列結(jié)論中正確的是________．(填序號)①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③過點A1與異面直線AD和CB1成90°角的直線有2條．答案①②解析由題圖可知，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，由于BD∥B1D1，由直線和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1，故①正確；由正方體的性質(zhì)可得B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，故B1D1⊥平面ACC1A1，故B1D1⊥AC1.同理可得B1C⊥AC1.再根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可得AC1⊥平面CB1D1，故②正確；過點A1與直線AD成90°角的直線必和BC也垂直，過點A1與CB1成90°角的直線必和CB1垂直，則該直線必和平面B1C1CB垂直，滿足條件的只有直線A1B1，故③不正確．6．已知平面α外兩點A、B到平面α的距離分別是2和4，則A，B的中點P到平面α的距離是________．答案3或1解析若A，B在α同側(cè)，如圖①，則P到α的距離為3；若A，B在α異側(cè)，如圖②，則P到α的距離為PO′－OO′＝3－2＝1.7．如圖，直線PA垂直于圓O所在的平面，△ABC內(nèi)接于圓O，且AB為圓O的直徑，點M為線段PB的中點．現(xiàn)有以下命題：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③點B到平面PAC的距離等于線段BC的長．其中正確的命題為________．(填序號)答案①②③解析∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB是圓O的直徑，∴AC⊥BC，又∵PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∵PC?平面PAC，∴BC⊥PC，故①③正確．∵M是PB的中點，O是AB的中點，∴OM∥PA，∵PA?平面PAC，OM?平面PAC，∴OM∥平面PAC.故②正確．8.如圖，四棱錐S—ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中正確的有________個．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA與平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角．答案4解析∵AC⊥BD，SD⊥AC，BD與AC相交，∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，故①正確；∵AB∥CD，∴AB∥平面SCD，故②正確；∵SD⊥平面ABCD，∴SA在平面ABCD的射影是AD，故③正確；∵AB∥CD，故④正確．9.如圖所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，當?shù)酌嫠倪呅蜛1B1C1D1滿足條件________時，有A1C⊥B1D1.(注：填上你認為正確的一種情況即可，不必考慮所有可能的情況)答案B1D1⊥A1C1(答案不惟一)解析由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，要使B1D1⊥A1C，只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1，還可以填寫四邊形A1B1C1D1是菱形、正方形等條件．10.如圖是底面邊長為a的正三棱柱(側(cè)棱與底面垂直且底面為正三角形的棱柱)，則AA1到平面BB1C1C的距離為________．答案eq\f(\r(3),2)a解析∵AA1∥BB1，∴AA1∥平面BB1C1C，∴AA1到平面BB1C1C的距離等于A到平面BB1C1C的距離．取BC的中點D，連結(jié)AD，則AD⊥BC.又AD⊥BB1.∴AD⊥平面BB1C1C.∴AD＝eq\f(\r(3),2)a，∴AA1到平面BB1C1C的距離為eq\f(\r(3),2)a.11．如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，并且總是保持AP與BD1垂直，則動點P的軌跡為________．答案線段CB1解析如圖，先找到一個平面總是保持與BD1垂直，連結(jié)AC，AB1，B1C，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，易得BD1⊥CB1，BD1⊥AC.則BD1⊥平面ACB1，又點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，根據(jù)平面的基本性質(zhì)，得點P的軌跡為平面ACB1與平面BCC1B1的交線段CB1.二、解答題12．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A′，求證：A′D⊥EF.證明在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF，則A′D⊥A′E，A′D⊥A′F.又A′E∩A′F＝A′，∴A′D⊥平面A′EF，又EF?平面A′EF，∴A′D⊥EF.13．如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，點D是BC的中點，BC＝2，BB1＝eq\r(2)，求證：(1)A1C∥平面AB1D；(2)BC1⊥平面AB1D.證明(1)連結(jié)A1B，交AB1于點O，連結(jié)OD，則點O是A1B的中點．又點D是BC的中點，所以A1C∥OD.又OD?平面AB1D，A1C?平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D.(2)因為D為BC的中點，所以AD⊥BC.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD?平面ABC，所以AD⊥BB1.又BC∩BB1＝B，BC?平面BCC1B1，BB1?平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1.又BC1?平面BCC1B1，所以AD⊥BC1.設(shè)B1D∩BC1＝F，在Rt△DBB1和Rt△BB1C1中，eq\f(BD,BB1)＝eq\f(1,\r(2))，eq\f(BB1,B1C1)＝eq\f(\r(2),2)，所以△DBB1∽△BB1C1，所以∠BDF＝∠C1BB1.又∠C1BB1＋∠FBD＝90°，所以∠BDF＋∠FBD＝90°，所以BC1⊥B1D.又BC1⊥AD，AD∩B1D＝D，AD?平面AB1D，B1D?平面AB1D，所以BC1⊥平面AB1D.三、探究與拓展14.如圖，已知AB是圓O的直徑，C為圓上一點，AB＝2，AC＝1，P為⊙O所在平面外一點，且PA垂直于圓O所在