高中數(shù)學(xué)：導(dǎo)學(xué)案：對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算

2.2.1對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解對數(shù)的含義及對數(shù)的運(yùn)算.

【自主梳理】

1,對數(shù)的定義log。N=b其中ae(0,1)U(1,+8)與Ne(0,+oo)

2.指數(shù)式與對數(shù)式的互化

b

0=N=logaN=b(a〉0且a01)

3.重要公式：

⑴負(fù)數(shù)與零沒有對數(shù)；⑵bg/=0,bg“a=l

⑶對數(shù)恒等式"嗎~=N

am-an=am+\m,n&R)

(am)n=a'n"(m,neR)

4.指數(shù)運(yùn)算法則觸)及=a〃田(〃eR)

【重點(diǎn)領(lǐng)悟】

積、商、累的對數(shù)運(yùn)算法則：

如果a>0,aR1,M>0,N>0有：

loga(MN)=logaM+logaN⑴

loM

ga—=logaM-logaN(2)

n

logaM=nlogaM(neR)(3)

證明：①設(shè)l°g"M=p,l°g"N=q.由對數(shù)的定義可以得：M=a"N="".

pqp+qlo

/.MN=aa=aS?MN=p+q,即證得啕止皿叫+電.

②設(shè)bgaMup,10g?N=q.由對數(shù)的定義可以得M=a",.

Map?_,M,M,

XLa：?=P-q即證得陶『陶人哨"

③設(shè)l°g"M=P由對數(shù)定義可以得M=

：.Mn=anpAT=np,即證得心8〃=nl°g"M.

【探究提升】

(1)負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)；

(2)1的對數(shù)是零：l°g/=°；

(3)底數(shù)的對數(shù)是1：=

(4)對數(shù)恒等式:a°^N=N.

⑸log"'=".

【學(xué)法引領(lǐng)】

例1.用log”x,log。y,log”z表示下列各式：

⑴電？(2)也學(xué).

zVZ

解：(1)log—=log(xy)-logz=logx+logy-10g“z

flzflflflfl

2

(2)logfl^-^=logfl(x7y)-logaVI

7z

=log”x2+log“6_loga?21og〃x+gk)g〃y_；k)g,z.

例2.計(jì)算

75

(1)log525,(2)log04l,(3)log2(4x2),(4)IgVlOO

2

解：(1)log525=log55=2(2)log041=0.

7752x75

(3)log2(4X25)=log24+log22=log22+log22=2X7+5=19.

(4)1gVlOO=|logl02=|lglO=|.

例3.計(jì)算：

2

(1)(lg5)+lg2-lg50;(2)lg20+log10025;

(3)Igl4-21gj+lg7-lgl8.

解:(1)(lg5)2+lg2-lg50=(Ig5)2+lg2-(lg5+l)=(Ig5)2+lg2-lg5+lg2

=Ig5(lg5+lg2)+lg2=Ig5+lg2=l；

(2)lg20+log10025=lg20+lg5=IglOO=2；

7

(3)解法一：lgl4-21g-+lg7-lgl8=lg(2X7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(32X2)

3

=lg2+lg7-21g7+21g3+lg7-21g3-lg2=0.

解法二:

Igl4-21gy+Ig7-lgl8=lgl4-lg+Ig7-lgl8=lg

^4x7=lgl=O

(3)2X18

【鞏固訓(xùn)練】

L把下列各題的指數(shù)式寫成對數(shù)式：

⑴42=16;(2)3°=1;(3)4X=2;(4)2x=0.5;(5)5=625;(6)3^=-;(7)(-)-2=16.

94

解：(l)2=log416;(2)0=log3l;(3)x=log42;(4)x=log20.5;(5)4=log5625;

(6)-2=log3-;(7)-2=log,16.

9Z

2.把下列各題的對數(shù)式寫成指數(shù)式：

(1)x=log27;(2)x=log7;(3)x=log3;(4)x=log-;

58473

3

(9)log2128=7;(10)log327=a.

解：(1)5X=27;

(2)8X=7；(3)4X=3;(4)7X=-;(5)2=16;

3

(6)(2)三27;⑺(石*x;(8)x』64;

3

(9)2=128;(10)3=27.

3.求下列各式中x的值：

23

(1)logx=一一;(2)log27=-;(3)log(logx)=1;(4)log(Igx)=0.

83x4253

解：(1)因?yàn)?。眄=—2,所以x=8V=(23)=2以f=2一2=L

34

31

(2)因?yàn)?。短27=±,所以X4=27=33,即x=(33)3=34=81;

4

2

(3)因?yàn)閘og2(log5x)=1,所以log5x=2,X=5=25;

(4)因?yàn)閘ogs(Igx)=0,所以lgx=l,即x=101=10.

4、已矢口3〃=2,那么log38—21og36用表示是（）

A、a—2B、5〃—2C、3a-(1+dt)2D、3。-

5、210g”(M—2N)=log0M+log”N,則州的值為()

N

A,-B、4C、1D、4或1

4

6、若logm9<logn9<0,那么m,n滿足的條件是()

A、m>n>lB、n>m>l

C、0<n<m<lD、0<m<n<l

7、若l〈x〈b,aulog'x,c=logaX,則a,b,c的關(guān)系是()

A、a<b<cB、a<c<bC、c<b<aD、c<a<b

8、若logaX=logy=-11og2a,b,c均為不等于1的正數(shù)，且x>0,y>0,

2

c=4ab,則xy=

9、若lg2=a,lg3=/?,貝Ulog512=

10、3a=2,貝ijlog38—21ogs6=

答案：

4、A；5、B；6、C；7、D8、,

2

2a-\~b

y、

a

10、a—2

【知識網(wǎng)絡(luò)】

1.對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a〉0,aWl,粉0,加0有：

(1)loga(M=loga^loga/V；

,、M

(2)loga-=logJ/-logW

⑶log/=〃logJ/(〃GR).

2.利用換底公式可以把題目中不同底的對數(shù)化成同底的對數(shù)，進(jìn)一步應(yīng)用對數(shù)運(yùn)

算的性質(zhì).

【學(xué)習(xí)反思】

1.對數(shù)概念與指數(shù)概念有關(guān)，指數(shù)式和對數(shù)式是互逆的，即4=NO"N=

小塔aN

6（a〉0,且aWl,>0）,據(jù)此可得兩個(gè)常用恒等式：（1）1。&4=氏（2）。

=N.

2.在關(guān)系式a*=N中，已知a和x求N的運(yùn)算稱為求募運(yùn)算；而如果已知a