山東省菏澤市鄆城第一中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期一模試題文含解析

PAGE20-山東省菏澤市鄆城第一中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期一模試題文（含解析）一、選擇題1.若全集為實(shí)數(shù)集，集合，，則是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先詳細(xì)求兩個(gè)集合，再求.【詳解】的定義域是，所以，，解得：或所以或，，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查集合的表示，集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)計(jì)算題型.2.已知復(fù)數(shù)，，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先依據(jù)條件解出，計(jì)算和，最終得到共軛復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】，，解得：，所以，所以虛部是.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，重點(diǎn)考查模和虛部，屬于基礎(chǔ)題型.3.在直角三角形中，為直角，，，其內(nèi)切圓為圓，若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓的的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可知此概率類型應(yīng)是幾何概型，所以利用等面積公式計(jì)算直角三角形內(nèi)切圓的半徑，利用面積比值計(jì)算概率.【詳解】,設(shè)三角形的內(nèi)切圓半徑為，則，解得：，則內(nèi)切圓的面積，直角三角形的面積,由題意可知此概率類型應(yīng)是幾何概型，所以豆子落在其內(nèi)切圓的內(nèi)的概率.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型，本題的關(guān)鍵是依據(jù)等面積公式計(jì)算內(nèi)切圓的半徑，屬于基礎(chǔ)題型.4.若等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的公比（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，等式不成立，當(dāng)時(shí)，依據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和列等式求公比.【詳解】當(dāng)時(shí)，等式不成立，所以，當(dāng)時(shí)，，即，解得：.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)計(jì)算題型.5.已知奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若在上是減函數(shù)，則不等式的解集是（）A.或 B.C.或 D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，所以不等式等價(jià)于，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性解不等式.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，所以，等價(jià)于因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以，解得：，即不等式的解集是.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的性質(zhì)解抽象不等式，重點(diǎn)考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型.6.若點(diǎn)是的重心，邊的中點(diǎn)為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.是的三條中線的交點(diǎn) B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由定義可知的中線的交點(diǎn)就是重心，并且，由此推斷選項(xiàng)，得到正確答案.【詳解】A.的中線的交點(diǎn)就是重心，所以A正確；B.依據(jù)平行四邊形法則可知，因?yàn)辄c(diǎn)是的重心，所以，所以,所以B正確；C.因?yàn)辄c(diǎn)是的重心，所以，所以，所以C正確；D.由以上可知D錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】本題考查向量共線，三角形重心的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.7.某圓錐的三視圖如圖.圓錐表面上的點(diǎn)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，圓錐表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓錐側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先依據(jù)三視圖，畫(huà)出扇形側(cè)面綻開(kāi)圖，從到的路徑中，最短路徑是如圖的長(zhǎng)度，依據(jù)余弦定理求解.【詳解】如圖，圓錐底面周長(zhǎng)是，所以圓錐綻開(kāi)圖的扇形圓周角是，依據(jù)三視圖可知，從到的路徑中，最短路徑是如圖的長(zhǎng)度，中，依據(jù)余弦定理，所以故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三視圖，以及圓錐側(cè)面綻開(kāi)圖兩點(diǎn)之間的最短距離，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題的實(shí)力，屬于重點(diǎn)題型.8.已知為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)作垂直軸的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，以為直徑的圓交軸于、兩點(diǎn)，且，則拋物線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知圓是以焦點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，那么中，利用勾股定理求解.【詳解】由題意可知通徑，所以圓的半徑是，在中，，，解得：，所以拋物線方程：故選：B【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題的實(shí)力，本題的關(guān)鍵是依據(jù)拋物線和圓的幾何性質(zhì)抽象出數(shù)學(xué)等式，屬于基礎(chǔ)題型.9.已知函數(shù).若在存在個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先依據(jù)導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)個(gè)數(shù)列出滿意條件的不等式，得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，若在存在個(gè)零點(diǎn)，則，且，解得:,所以的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到答案.10.已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為、，垂直于軸的直線與雙曲線的右支交于、兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先依據(jù)，整理為，再結(jié)合雙曲線方程，可知，，可得，可得雙曲線標(biāo)的離心率.【詳解】設(shè)，，，，，整理為：，即，且，兩式整理為：，，所以，即，所以，即雙曲線的離心率.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是理解直線的隨意性，這樣再整理為，時(shí)，可知.11.在直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與圓交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，把射線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到達(dá)射線，點(diǎn)在圓上，則的橫坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)的定義求，再由定義可知點(diǎn)的橫坐標(biāo)是.【詳解】由條件可知，并且是第一象限角，那么，由條件可知射線所對(duì)的角是，則則點(diǎn)橫坐標(biāo)是.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查計(jì)算實(shí)力和理解應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型.12.已知正方體的棱長(zhǎng)為，一只螞蟻在該正方體的表面上爬行，在爬行過(guò)程中，到點(diǎn)的直線距離為，它爬行的軌跡是一個(gè)封閉的曲線，則曲線的長(zhǎng)度是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先依據(jù)題意分析出爬行軌跡的封閉曲線，再利用圓的周長(zhǎng)求曲線的長(zhǎng)度.【詳解】依據(jù)題意可知，封閉的曲線上的點(diǎn)看到點(diǎn)A的距離為，則形成的封閉曲線應(yīng)是以點(diǎn)為球心，為半徑的球面，在正方體上形成的封閉曲線如圖所示：曲線只能在側(cè)面，側(cè)面和上底面上，在側(cè)面上，曲線以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓，其長(zhǎng)度為，同理，在側(cè)面上，曲線以為圓心，半徑2的圓，其長(zhǎng)度為，上底面上，曲線以為圓心，半徑2的圓，其長(zhǎng)度為，則曲線的長(zhǎng)度為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查球與幾何體的綜合題型，重點(diǎn)考查弧長(zhǎng)計(jì)算，屬于中檔題型，本題的難點(diǎn)是確定曲線的形態(tài)，而關(guān)鍵是理解平面截球，得到的是圓面，再依據(jù)球的幾何性質(zhì)，得到圓弧.二、填空題13.若實(shí)數(shù)滿意條件，則的最大值是______.【答案】【解析】【分析】首先畫(huà)出可行域和初始目標(biāo)函數(shù)，再平移初始目標(biāo)函數(shù)，求解最優(yōu)解，求目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】首先畫(huà)出可行域，然后畫(huà)出初始目標(biāo)函數(shù)，令，，然后初始目標(biāo)函數(shù)平移至點(diǎn)處時(shí)，取得最大值，，解得：，此時(shí).故答案為：7【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃，重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題型.14.已知等差數(shù)列和等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，且，則______.【答案】【解析】【分析】利用等差中項(xiàng)公式，構(gòu)造等差數(shù)列的前項(xiàng)和的比值，得到答案.【詳解】.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和和等差數(shù)列的性質(zhì)，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與變形，屬于基礎(chǔ)計(jì)算題型.15.△ABC中，，，則=_____．【答案】【解析】試題分析：三角形中，,由，得又,所以有正弦定理得即即A為銳角，由得，因此考點(diǎn)：正余弦定理16.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并設(shè)，，若滿意條件可知恒成立，列滿意條件的不等式，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，，設(shè)，，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則恒成立，即，解得：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及二次函數(shù)，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為恒成立，依據(jù)二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)求解.三、解答題17.在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，已知，，且滿意.（1）求角；（2）如圖，外一點(diǎn)，若在平面四邊形中，，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先依據(jù)正弦定理變換互化為，再求解；（2）首先中，依據(jù)余弦定理求，中利用正弦定理求的長(zhǎng)度.【詳解】解：（1）由正弦定理得：，因，所以又因?yàn)?，?（2）由余弦定理得，，因?yàn)?，，所以，所以，∵在中，，，由正弦定理得，解?【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理解三角形，重點(diǎn)考查邏輯推理，計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題型.18.如圖，在三棱錐中，平面，，點(diǎn)在直線上的正投影為點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，，直線與平面所成的角為，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）要證明線面平行，需證明垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，關(guān)鍵是證明；（2）由條件可知，這樣利用條件可求出棱錐的底面面積和高，最終求三棱錐的體積.【詳解】解：（1）∵平面，平面，∴，又，，∴平面.又平面，∴，又，，∴平面.（2）由（1）知，平面，∴就是直線與平面所成的角，即.∴中，，，從而.又平面，∴三棱錐的高為.又中，，，，從而，.∴三棱錐的體積【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直，棱錐的體積，重點(diǎn)考查推理證明，計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題型.19.為了比較兩位運(yùn)動(dòng)員甲和乙的打靶成果，在相同條件下測(cè)得各打靶次所得環(huán)數(shù)（已按從小到大排列）如下：甲的環(huán)數(shù)：乙的環(huán)數(shù)：（1）完成莖葉圖，并分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；（2）（i）依據(jù)（1）的結(jié)果，分析兩人的成果；（ii）假如你是教練，請(qǐng)你作出決策：依據(jù)對(duì)手實(shí)力的強(qiáng)弱分析應(yīng)當(dāng)派兩人中的哪一位上場(chǎng)競(jìng)賽.【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；甲的環(huán)數(shù)的平均數(shù)為，方差；乙的環(huán)數(shù)的平均數(shù)為，方差為（2）（i）詳見(jiàn)解析（ii）應(yīng)派乙上場(chǎng)【解析】【分析】（1）由莖葉圖中的數(shù)據(jù)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差；（2）（?。┢骄鶖?shù)相同的狀況下，方差小說(shuō)明數(shù)據(jù)比較集中，穩(wěn)定，推斷甲乙的成果好壞；（ⅱ）依據(jù)對(duì)手的成果是否大于平均分來(lái)推斷.【詳解】解：（1）完成莖葉圖，如圖所示.甲的環(huán)數(shù)的平均數(shù)為.方差乙的環(huán)數(shù)的平均數(shù)為.方差為（2）（i）由（1）知，，，這表明甲乙二人打靶的平均水平相當(dāng)，但甲成果更穩(wěn)定.（ii）由此作出決策：若對(duì)手實(shí)力較弱（以往平均成果小于），則應(yīng)派甲上場(chǎng)，這樣勝率較大；若對(duì)手實(shí)力較強(qiáng)（以往平均成果超過(guò)），則應(yīng)派乙上場(chǎng)，這樣可以拼一下.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，重點(diǎn)考查樣本的平均數(shù)，方差，以及分析，抽象概括實(shí)力，計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題型.20.已知橢圓離心率為，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最小距離是，直線交橢圓于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）求橢圓的方程；（2）求三角形面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程.【答案】（1）（2）面積的最大值為，此時(shí)直線的方程是.【解析】【分析】（1）由條件可知，且，求橢圓方程；（2）直線與橢圓方程聯(lián)立，并且表示，，利用韋達(dá)定理表示三角形的面積，并通過(guò)換元求三角形面積的最值，和此時(shí)直線的方程.【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，所以，，，，?）把直線代入橢圓，得，，設(shè)，，則，點(diǎn)到直線的距離為，，設(shè)，則，當(dāng)，即，即時(shí)，，此時(shí)直線的方程是.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合問(wèn)題，涉及橢圓中三角形面積的最值的求法，其次問(wèn)中設(shè)而不求的基本方法也使得求解過(guò)程變得簡(jiǎn)潔，在解決圓錐曲線與動(dòng)直線問(wèn)題中，韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式都是解題的基本工具.21.已知函數(shù).（1）若，試推斷的符號(hào)；（2）探討的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】（1）答案不唯一，詳細(xì)見(jiàn)解析（2）當(dāng)或時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)【解析】【分析】（1）首先計(jì)算得到，設(shè)，利用二次求導(dǎo)，推斷函數(shù)的單調(diào)性，和比較大??；（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，探討，兩種狀況探討函數(shù)的單調(diào)性，推斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，再次求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，推斷函數(shù)的單調(diào)性和最小值，探討求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】解：（1）.設(shè)，則.設(shè)，則，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.∴當(dāng)時(shí)，.故，從而.∴在上單調(diào)遞增.∴當(dāng)時(shí)，，從而；當(dāng)時(shí)，，從而；當(dāng)時(shí)，，從而.（2）的定義域?yàn)椋?∴當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，又，∴有個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，令，得；令，得.∴在上上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∴.設(shè)，則.∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.∴.∴當(dāng)時(shí)，，即，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故有個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，故有個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，即，又當(dāng)時(shí)，；由（1）知，故有個(gè)零點(diǎn).當(dāng)或時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，極值，以及分析零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，推斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)不僅須要探討極值點(diǎn)的位置，還需依據(jù)單調(diào)性驗(yàn)證零點(diǎn)存在性定理，其次問(wèn)中當(dāng)時(shí)，推斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)相對(duì)其他狀況比較難，還需構(gòu)造函數(shù)，解決零點(diǎn)問(wèn)題常用方法還有：分別參數(shù)、構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合.22.已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線與圓的一般方程；（2）若直線分圓所得的弧長(zhǎng)之比為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用，，，求圓的一般方程，消去參數(shù)，就是直線的一般方程；（2）由條件可知，劣弧所對(duì)的圓心角是，得到弦長(zhǎng)為，利用弦長(zhǎng)定理計(jì)算得到.【詳解】解：（1）由題意知：；（2）；直線分圓所得的弧長(zhǎng)之比為，劣弧所對(duì)的圓心角是，得到弦長(zhǎng)等于，；，所以；【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)，參數(shù)方程，直角坐標(biāo)方程的互化，重點(diǎn)考查互化公式，以及圓的弦長(zhǎng)