安徽省淮南市2025屆高三數(shù)學(xué)一模試題文含解析

PAGE18-安徽省淮南市2025屆高三數(shù)學(xué)一模試題文（含解析）一、選擇題（共12小題）.1．若復(fù)數(shù)z＝，其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣22．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}，B＝{x|log2（x+1）＜2}，則A∩B＝（）A．（﹣1，3） B．[1，3） C．（0，3） D．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）3．a(chǎn)2＞b2的一個(gè)充要條件是（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＞|b| C．|a|＞|b| D．4．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝，an+1＝1﹣，則S2024＝（）A． B．1009 C． D．10105．已知某函數(shù)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)中，圖象最契合的函數(shù)是（）A．y＝sin（ex+e﹣x） B．y＝sin（ex﹣e﹣x） C．y＝cos（ex﹣e﹣x） D．y＝cos（ex+e﹣x）6．良渚遺址是人類早期城市文明的范例，是華夏五千年文明史的實(shí)證之一，2024年獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄．考古學(xué)家在測(cè)定遺址年頭的過程中，利用“生物死亡后體內(nèi)的碳14含量按確定的比率衰減”這一規(guī)律，建立了樣本中碳14的含量y隨時(shí)間x（年）改變的數(shù)學(xué)模型：（y0表示碳14的初始量）．2024年考古學(xué)家對(duì)良渚遺址某文物樣本進(jìn)行碳14年頭學(xué)檢測(cè)，檢測(cè)出碳14的含量約為初始量的55%，據(jù)此推想良渚遺址存在的時(shí)期距今大約是（）（參考數(shù)據(jù)：log25≈2.3，log211≈3.5）A．3450年 B．4010年 C．4580年 D．5160年7．將函數(shù)f（x）＝tan2x的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得到的曲線的對(duì)稱中心是（）A．（k∈Z） B．（k∈Z） C．（k∈Z） D．（k∈Z）8．在一個(gè)不透亮的盒子中裝有4個(gè)大小、形態(tài)、手感完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．現(xiàn)每次有放回地從中隨意取出一個(gè)小球，直到標(biāo)有偶數(shù)的球都取到過就停止．小明用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第4次停止摸球的概率，利用計(jì)算機(jī)軟件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，每1組中有4個(gè)數(shù)字，分別表示每次摸球的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下21組隨機(jī)數(shù)：由此可以估計(jì)恰好在第4次停止摸球的概率為（）131412342333122433221413312443212341241312242143431224121413433122344422324143314234A． B． C． D．9．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，則cosC＝（）A． B．﹣ C．或 D．﹣10．在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，已知直線l與圓O：x2+y2＝8相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝4，若＝2且M是線段AB的中點(diǎn)，則的值為（）A． B．2 C．3 D．411．已知△ABC是有一內(nèi)角為的直角三角形，若圓錐曲線Ω以A、B為焦點(diǎn)，并經(jīng)過點(diǎn)C，則圓錐曲線Ω的離心率不行能是（）A． B． C． D．+112．已知函數(shù)f（x）＝|cosx|（x≥0），方程f（x）＝kx恰有兩個(gè)根，記較大的根為θ，則sin2θ＝（）A． B． C． D．二、填空題（每小題5分）.13．已知實(shí)數(shù)x，y滿意約束條件，則z＝x+2y的最大值為．14．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC＝3：5：7，則角C等于．15．若正四棱錐的側(cè)面均是正三角形，且它的表面積是8+8，則該四棱錐外接球的體積是．16．已知圓E：（x﹣3）2+y2＝1，拋物線C：y2＝12x，拋物線C焦點(diǎn)是F，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于點(diǎn)A、B，與圓E交于點(diǎn)M、N，點(diǎn)A、M在第一象限，則|AM|+4|BN|的最小值是．三、解答題：本大題分為必考題與選考題兩部分，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝12，a8＝16．?dāng)?shù)列{bn}為等比數(shù)列，滿意b1＝a2，b3b5＝256b4．（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{cn}滿意cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．18．中國探月工程自2004年立項(xiàng)以來，聚焦“自主創(chuàng)新、重點(diǎn)跨越、支撐發(fā)展、引領(lǐng)將來”目標(biāo)，創(chuàng)建了很多項(xiàng)中國首次．2024年12月17日凌晨，嫦娥五號(hào)返回器攜帶“月壤”著陸地球，又首次實(shí)現(xiàn)了我國地外天體無人采樣返回．為了解某中學(xué)高三學(xué)生對(duì)此新聞事務(wù)的關(guān)注程度，從該校高三學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下面2×2列聯(lián)表．關(guān)注沒關(guān)注合計(jì)男30女3040合計(jì)（1）完成上面的2×2列聯(lián)表，并計(jì)算回答是否有95%的把握認(rèn)為“對(duì)‘嫦娥五號(hào)’新聞關(guān)注程度與性別有關(guān)”？（2）現(xiàn)在從這100名學(xué)生中按性別實(shí)行分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生，假如再從中隨機(jī)選取2人進(jìn)行有關(guān)“嫦娥五號(hào)”狀況的宣講，求選取的2名學(xué)生中恰有1名女性的概率．P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0100.005k02.0722.7063.8416.6357.879K2＝，其中n＝a+b+c+d．19．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，O是AC與BD的交點(diǎn)，E為PB的中點(diǎn)．（1）求證：OE∥平面PAD；（2）若PD⊥平面ABCD，DF⊥PA，垂足為F，PD＝BD＝2，AD＝1，求三棱錐P﹣DEF的體積．20．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率，過F2的直線l交C于點(diǎn)A、B，且△F1AB的周長為8．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB面積S的取值范圍．21．已知函數(shù)f（x）＝x2+mx﹣ex+1（m∈R）．（1）若f（x）在R上是減函數(shù)，求m的取值范圍；（2）當(dāng)m＞1時(shí)，證明f（x）有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)微小值點(diǎn)．選考題:共10分.請(qǐng)考生在第22,23題中任選一題作答,假如多做,則按所做的第一題計(jì)分,作答時(shí),請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝6sinθ，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和點(diǎn)P的直角坐標(biāo)；（2）已知直線l：（t為參數(shù)），若直線l與曲線C的交點(diǎn)分別是A、B，求|PA|?|PB|的值．[選修4-5：不等式選講]23．設(shè)函數(shù)f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若關(guān)于x的方程f（x）+3|x﹣4|﹣2m2+3m＝0沒有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

參考答案一、選擇題（每小題5分）.1．若復(fù)數(shù)z＝，其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2解：復(fù)數(shù)z＝＝＝＝2+3i，則z的虛部是3．，故選：A．2．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}，B＝{x|log2（x+1）＜2}，則A∩B＝（）A．（﹣1，3） B．[1，3） C．（0，3） D．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）解：集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}＝{x|x≤﹣3或x≥1}，B＝{x|log2（x+1）＜2}＝{x|0＜x+1＜4}＝{x|﹣1＜x＜3}，則A∩B＝{x|1≤x＜3}＝[1，3）．故選：B．3．a(chǎn)2＞b2的一個(gè)充要條件是（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＞|b| C．|a|＞|b| D．解：A：當(dāng)a＝2，b＝﹣4時(shí)，a＞b成立，但a2＞b2不成立，∴A錯(cuò)誤，B：當(dāng)a＝﹣6，b＝﹣4時(shí)，a2＞b2成立，但a＞|b|不成立∴B錯(cuò)誤，C：a2＞b2?|a|＞|b|，∴C正確，D：當(dāng)a＝2，b＝﹣4時(shí)，＞成立，但a2＞b2不成立，∴D錯(cuò)誤，故選：C．4．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝，an+1＝1﹣，則S2024＝（）A． B．1009 C． D．1010解：若a1＝，an+1＝1﹣，則a2＝1﹣2＝﹣1，a3＝1﹣（﹣1）＝2，a4＝1﹣＝，a5＝1﹣2＝﹣1，…，所以{an}的最小正周期為3，則S2024＝673（a1+a2+a3）+a1+a2＝673×（﹣1+2）+﹣1＝1009．故選：B．5．已知某函數(shù)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)中，圖象最契合的函數(shù)是（）A．y＝sin（ex+e﹣x） B．y＝sin（ex﹣e﹣x） C．y＝cos（ex﹣e﹣x） D．y＝cos（ex+e﹣x）解：由圖象可知，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，而y＝sin（ex﹣e﹣x）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故解除B；且﹣1＜f（0）＜0，而sin2＞0，sin0＝0，故解除A，C．故選：D．6．良渚遺址是人類早期城市文明的范例，是華夏五千年文明史的實(shí)證之一，2024年獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄．考古學(xué)家在測(cè)定遺址年頭的過程中，利用“生物死亡后體內(nèi)的碳14含量按確定的比率衰減”這一規(guī)律，建立了樣本中碳14的含量y隨時(shí)間x（年）改變的數(shù)學(xué)模型：（y0表示碳14的初始量）．2024年考古學(xué)家對(duì)良渚遺址某文物樣本進(jìn)行碳14年頭學(xué)檢測(cè)，檢測(cè)出碳14的含量約為初始量的55%，據(jù)此推想良渚遺址存在的時(shí)期距今大約是（）（參考數(shù)據(jù)：log25≈2.3，log211≈3.5）A．3450年 B．4010年 C．4580年 D．5160年解：設(shè)良渚遺址存在的時(shí)期距今大約x年，則y%y0，即（）＝0.55，所以＝log2100﹣log255＝2+log25﹣log211≈0.8，解得x≈5730×0.8＝4584，故選：C．7．將函數(shù)f（x）＝tan2x的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得到的曲線的對(duì)稱中心是（）A．（k∈Z） B．（k∈Z） C．（k∈Z） D．（k∈Z）解：將函數(shù)f（x）＝tan2x的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得y＝tan2（x+）＝tan（2x），令2x+＝，k∈Z，則x＝﹣+，k∈Z，∴函數(shù)的對(duì)稱中心為（﹣+，0），（k∈Z），故選：A．8．在一個(gè)不透亮的盒子中裝有4個(gè)大小、形態(tài)、手感完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．現(xiàn)每次有放回地從中隨意取出一個(gè)小球，直到標(biāo)有偶數(shù)的球都取到過就停止．小明用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第4次停止摸球的概率，利用計(jì)算機(jī)軟件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，每1組中有4個(gè)數(shù)字，分別表示每次摸球的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下21組隨機(jī)數(shù)：由此可以估計(jì)恰好在第4次停止摸球的概率為（）131412342333122433221413312443212341241312242143431224121413433122344422324143314234A． B． C． D．解：在21組隨機(jī)數(shù)中，代表“恰好在第4次停止摸球”的隨機(jī)數(shù)是：1234，1224，3124，1224，4312，2234，共6組，∴恰好在第4次停止摸球的概率P＝．故選：A．9．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，則cosC＝（）A． B．﹣ C．或 D．﹣解：在△ABC中，∵cosB＝，∴sinB＝＝＞，B∈（，）．∵sinA＝∈（，），∴A∈（，），或A∈（，）（舍去），∴cosA＝＝，∴cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣cosAcosB+sinAsinB＝﹣×+×＝．故選：A．10．在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，已知直線l與圓O：x2+y2＝8相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝4，若＝2且M是線段AB的中點(diǎn)，則的值為（）A． B．2 C．3 D．4解：由|AB|＝4，M是線段AB的中點(diǎn)，可得OM⊥AB，所以|OM|＝＝＝2，由＝2，則+＝2，則A為線段BC的中點(diǎn)，如圖所示，所以|CM|＝|CA|+|AM|＝4+2＝6，在Rt△CMO中，＝||||cos∠COM＝||2＝4．故選：D．11．已知△ABC是有一內(nèi)角為的直角三角形，若圓錐曲線Ω以A、B為焦點(diǎn)，并經(jīng)過點(diǎn)C，則圓錐曲線Ω的離心率不行能是（）A． B． C． D．+1解：①假如C＝，設(shè)A＝，BC＝1，則AC＝，BA＝2，若圓錐曲線為橢圓，則e＝＝＝＝﹣1；若圓錐曲線為雙曲線，則e＝＝＝＝+1；②假如B＝，設(shè)A＝，BC＝1，則AB＝，CA＝2，若圓錐曲線為橢圓，則e＝＝＝＝；若圓錐曲線為雙曲線，則e＝＝＝＝；③假如A＝，設(shè)C＝，BA＝1，則AC＝，BC＝2，若圓錐曲線為橢圓，則e＝＝＝＝2﹣；若圓錐曲線為雙曲線，則e＝＝＝＝2+；④假如A＝，設(shè)B＝，CA＝1，則AB＝，BC＝2，若圓錐曲線為橢圓，則e＝＝＝＝；若圓錐曲線為雙曲線，則e＝＝＝＝；所以該圓錐曲線的離心率不行以是．故選：B．12．已知函數(shù)f（x）＝|cosx|（x≥0），方程f（x）＝kx恰有兩個(gè)根，記較大的根為θ，則sin2θ＝（）A． B． C． D．解：如圖示：函數(shù)f（x）＝|cosx|（x≥0）的圖像與f（x）＝kx恰有2個(gè)交點(diǎn)，且最大的根為θ，則函數(shù)f（x）在x＝θ處的切線為y＝kx，明顯x∈（，π），當(dāng)x∈（，π）時(shí)，f（x）＝|cosx|＝﹣cosx，則f′（x）＝sinx，切點(diǎn)坐標(biāo)為（θ，﹣cosθ），故由點(diǎn)斜式得切線方程為：y+cosθ＝sinθ（x﹣θ），即y＝sinθx﹣θsinθ﹣cosθ＝kx，故﹣θsinθ﹣cosθ＝0，得θ＝﹣，sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝＝，故選：D．二、填空題：本大共4小題，每小題5分，共20分13．已知實(shí)數(shù)x，y滿意約束條件，則z＝x+2y的最大值為2．解：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，由z＝x+2y，得y＝﹣x+，平移直線y＝﹣x+，由圖象可知當(dāng)直線y＝﹣x+經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y＝﹣x+的截距最大，此時(shí)z最大．由，得A（0，1），此時(shí)z的最大值為z＝0+2×1＝2，故答案為：2．14．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC＝3：5：7，則角C等于．解：由正弦定理知，a：b：c＝3：5：7，設(shè)a＝3m，b＝5m，c＝7m，由余弦定理知，cosC＝＝＝﹣，∵C∈（0，π），∴C＝．故答案為：．15．若正四棱錐的側(cè)面均是正三角形，且它的表面積是8+8，則該四棱錐外接球的體積是．解：一個(gè)正四棱錐的側(cè)面是正三角形，它的表面積是8+8，正四棱錐S﹣ABCD中，設(shè)AB＝a，則SE＝，所以a2+4×＝8+8，解得a＝2，過SO⊥平面ABCD，垂足為O，連結(jié)OE，則OE＝＝，SO＝＝2，OC＝OA＝OB＝OD＝2，所以外接球的半徑為2，所以該四棱錐外接球的體積＝．故答案為：．16．已知圓E：（x﹣3）2+y2＝1，拋物線C：y2＝12x，拋物線C焦點(diǎn)是F，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于點(diǎn)A、B，與圓E交于點(diǎn)M、N，點(diǎn)A、M在第一象限，則|AM|+4|BN|的最小值是22．解：由拋物線方程可得，F(xiàn)（3，0），當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y＝k（x﹣3）（k≠0），代入y2＝12x，整理得，k2x2﹣（6k2+12）x+9k2＝0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1x2＝9（x1＞0），又∵圓E的半徑等于1，∴|AM|＝|AF|﹣1＝x1+2，|BN|＝|BF|﹣1＝x2+2，因此|AM|+4|BN|＝（x1+2）+4（x2+2）＝≥22，當(dāng)且僅當(dāng)，即x1＝6時(shí)等號(hào)成立．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，可求得|AM|+4|BN|＝25．綜上，|AM|+4|BN|的最小值為22．故答案為：22．三、解答題：本大題分為必考題與選考題兩部分，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝12，a8＝16．?dāng)?shù)列{bn}為等比數(shù)列，滿意b1＝a2，b3b5＝256b4．（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{cn}滿意cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，由S3＝12，a8＝16，可得a1+7d＝16，3a1+3d＝12，解得a1＝d＝2，所以an＝2n；由b1＝a2，b3b5＝256b4，可得b1＝4，b42＝256b4，即b4＝256，可得4q3＝256，解得q＝4，則bn＝4n；（2）cn＝＝＝（﹣），所以Tn＝c1+c2+…+cn＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝4（1﹣）＝．18．中國探月工程自2004年立項(xiàng)以來，聚焦“自主創(chuàng)新、重點(diǎn)跨越、支撐發(fā)展、引領(lǐng)將來”目標(biāo)，創(chuàng)建了很多項(xiàng)中國首次．2024年12月17日凌晨，嫦娥五號(hào)返回器攜帶“月壤”著陸地球，又首次實(shí)現(xiàn)了我國地外天體無人采樣返回．為了解某中學(xué)高三學(xué)生對(duì)此新聞事務(wù)的關(guān)注程度，從該校高三學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下面2×2列聯(lián)表．關(guān)注沒關(guān)注合計(jì)男30女3040合計(jì)（1）完成上面的2×2列聯(lián)表，并計(jì)算回答是否有95%的把握認(rèn)為“對(duì)‘嫦娥五號(hào)’新聞關(guān)注程度與性別有關(guān)”？（2）現(xiàn)在從這100名學(xué)生中按性別實(shí)行分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生，假如再從中隨機(jī)選取2人進(jìn)行有關(guān)“嫦娥五號(hào)”狀況的宣講，求選取的2名學(xué)生中恰有1名女性的概率．P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0100.005k02.0722.7063.8416.6357.879K2＝，其中n＝a+b+c+d．解：（Ⅰ）如圖K2＝＞3.841，有95%的把握認(rèn)為“對(duì)‘嫦娥五號(hào)’新聞關(guān)注程度與性別有關(guān)，（Ⅱ）從這100名學(xué)生中按性別實(shí)行分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生，男生3人，記為a，b，c，女生2人，記為1，2，選取2名學(xué)生共有（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（b，c），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2），共10種，符合題意有6種，所以選取的2名學(xué)生中恰有1名女性的概率為．19．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，O是AC與BD的交點(diǎn)，E為PB的中點(diǎn)．（1）求證：OE∥平面PAD；（2）若PD⊥平面ABCD，DF⊥PA，垂足為F，PD＝BD＝2，AD＝1，求三棱錐P﹣DEF的體積．解：（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴O是BD的中點(diǎn)，又E是PB的中點(diǎn)，∴OE∥PD，∵OE?平面PAD，PD?平面PAD，∴OE∥平面PAD；（2）∵PD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PD⊥AB，又AB⊥AD，且PD∩AD＝D，∴AB⊥平面PAD，又DF?平面PAD，∴AB⊥DF，又DF⊥PA，PA∩AB＝A，∴DF⊥平面PAB，則DF⊥EF，DF⊥PB，∵PD＝BD，PE＝EB，∴DE⊥PB，又DE∩DF＝D，∴PB⊥平面DEF，因此PE是三棱錐P﹣DEF的高，由PD⊥平面ABCD，得PD⊥BD，在Rt△PBD中，由PD＝BD＝2，得PB＝2，DE＝PB＝，在Rt△PAD中，DF＝，由△PEF∽△PAB，得，得EF＝．于是＝＝．∴三棱錐P﹣DEF的體積為．20．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率，過F2的直線l交C于點(diǎn)A、B，且△F1AB的周長為8．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB面積S的取值范圍．解：（1）因?yàn)椤鱂1AB的周長為8，由橢圓的定義知4a＝8，故a＝2，又，所以c＝1?b2＝a2﹣c2＝3，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意可設(shè)直線l的方程為x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，明顯△＞0且，，∴＝．令，∴．易知S在t∈[1，+∞）單調(diào)遞減，從而．21．已知函數(shù)f（x）＝x2+mx﹣ex+1（m∈R）．（1）若f（x）在R上是減函數(shù)，求m的取值范圍；（2）當(dāng)m＞1時(shí)，證明f（x）有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)微小值點(diǎn)．解：（1）由f（x）＝x2+mx﹣ex+1，得f′（x）＝x+m﹣ex，設(shè)g（x）＝f′（x）＝x+m﹣ex，則g′（x）＝1﹣ex，當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，所以g（x）max＝g（0）＝m﹣1，由題意g（x）＝m﹣1≤0，所以m≤1，所以m的取值范圍是（﹣∞，1]．（2）證明：當(dāng)m＞1時(shí)，g（0）＝m﹣1＞0，由于g（﹣m）＝﹣e﹣m＜0，所以g（x）在（﹣m，0）上有一個(gè)零點(diǎn)，又g（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，所以g（x）在（﹣∞，0）上有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x1（﹣m＜x1＜0），所以g（m）＝2m﹣em（m＞1），設(shè)h（x）＝2x﹣ex（x＞1），則h′（x）＝2﹣ex＜2﹣e＜0，即h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以h（x）＜h（1）＜0，即g（m）＜0，所以g（x）在（0，m）上有一個(gè)零點(diǎn)，又g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）在（0，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x2（﹣m＜x2＜0），所以當(dāng)x∈（﹣∞，x1）時(shí)，f′（x）＝g（x）＜0，當(dāng)x∈（x1，x2）時(shí)，f′（x）＝g（x）＞0，當(dāng)x∈（x2，+∞）時(shí)，f′（x）＝g（