江蘇省南通市如皋市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研試題二含解析

PAGE21-江蘇省南通市如皋市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研試題（二）（含解析）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.數(shù)列3，2，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把數(shù)列3，2，，，，…，化簡(jiǎn)，，，，，…，結(jié)合規(guī)律，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列3，2，，，，…，可化為，，，，，…，可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了依據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中解答中合理找出數(shù)列中數(shù)字的改變規(guī)律是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算實(shí)力.2.已知直線是平面的斜線，過作平面，使，這樣的（）A.恰能作一個(gè) B.至多作一個(gè) C.至少作一個(gè) D.不存在【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合面面平行的性質(zhì)即可得解.【詳解】若存在過直線的平面，使得，則直線與平面無公共點(diǎn)，與直線是平面的斜線沖突，不合題意，所以這樣的平面不存在.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了面面平行的性質(zhì)，考查了空間思維實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則取最大值時(shí)的的值為（）A.4 B.5 C.4或5 D.5或6【答案】C【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，求出可解出，將等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和二次函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，∴，得，解得，∴，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)或5時(shí)，取最大值，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值，考查數(shù)列的通項(xiàng)，屬于中檔題.4.空間四邊形中，，分別為，的中點(diǎn)，，則異面直線與所成的角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，利用三角形中位線定理可得：，,在中，由余弦定理可得，即可得結(jié)果.【詳解】解：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為，的中點(diǎn)，所以，，在中，由余弦定理得，,因?yàn)?，所以，所以異面直線與所成的角為，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了異面直線所成的角、余弦定理、三角形的中位線定理，考查了推理實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.5.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)公式求解即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以；所以，解得，所以，滿意.所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查已知求，屬于基礎(chǔ)題.6.在四面體中，二面角的大小為，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，記直線與平面所成的角為，則（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最小值為【答案】C【解析】【分析】過作平面的垂線，找出二面角的平面角和直線與平面所成的角，依據(jù)正切值可求的最大值為.【詳解】解：作平面于，在平面內(nèi)作于，連結(jié)，由三垂線定理知，，則就是二面角的平面角，連結(jié)，就是直線與平面所成的角，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，所以即，所以，故的最大值為，故選：C【點(diǎn)睛】考查線面角和面面角的求法以及大小比較，基礎(chǔ)題.7.在正方體中，分別為，，，的中點(diǎn)，則下列直線中與直線相交的是（）A.直線 B.直線 C.直線 D.直線【答案】C【解析】【分析】連接，則可得四邊形為梯形，所以可得直線與直線相交.【詳解】解：如圖，連接,因?yàn)榉謩e為，的中點(diǎn)，所以∥，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，∥，所以∥，,所以四邊形為梯形，所以直線與直線相交.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查空直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.8.數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則的最大值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】首先依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，利用分組求和求出，再解不等式即可.【詳解】∵是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，，∴，∴，即，解得，故的最大值為3，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，利用分組求和求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于中檔題.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)是符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知是一個(gè)平面，是兩條直線，有下列四個(gè)結(jié)論，正確的是（）A.假如，，那么．B.假如，，那么．C.若直線垂直于平面內(nèi)的多數(shù)條直線，則．D.假如，，那么．【答案】BD【解析】【分析】由，，則或，可判定A不正確；依據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可判定B是正確的；依據(jù)線面垂直的定義，可判定C不正確；依據(jù)平行線中的一條垂直一個(gè)平面，另一條也垂直于這個(gè)平面，可判定D是正確的．【詳解】對(duì)于A中，假如，，那么或，所以不正確；對(duì)于B中，依據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可得若，，那么，所以是正確的；對(duì)于C中，依據(jù)線面垂直的定義，直線垂直于平面內(nèi)的隨意直線，則，而直線垂直于平面內(nèi)的多數(shù)條直線，則與不肯定垂直，所以不正確；對(duì)于D中，平行線中的一條垂直一個(gè)平面，另一條也垂直于這個(gè)平面，可得若，，那么，所以是正確的．故選：BD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面位置關(guān)系判定與證明，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與論證實(shí)力.10.數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則有（）A. B.為等比數(shù)列C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由數(shù)列中和的關(guān)系式，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，可判定D正確；再利用題設(shè)條件，求得的表達(dá)式，可判定A正確，最終結(jié)合等比數(shù)列的定義，可判定B正確.【詳解】由題意，數(shù)列的前項(xiàng)和滿意，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，可得，可得，即，又由，當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；當(dāng)時(shí)，，又由時(shí)，，適合上式，所以數(shù)列的的前項(xiàng)和為；又由，所以數(shù)列為公比為3等比數(shù)列，綜上可得選項(xiàng)是正確的.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，等比數(shù)列的定義及應(yīng)用，以及數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，著重考查推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔試題.11.四棱柱中，為正方形的中心，，分別為線段，的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.平面 B.平面平面C.直線與直線所成的角為 D.【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A，假設(shè)平面，可推出沖突結(jié)論；對(duì)于B，依據(jù)證明兩個(gè)平面平行的推斷定理易證；對(duì)于C，假設(shè)直線與直線所成角為，則可推出不確定的結(jié)論；對(duì)于D，轉(zhuǎn)化為證明，易證.【詳解】解：對(duì)于A，若平面，因?yàn)?，則平面，或平面，而和平面相交，故A錯(cuò)；對(duì)于B，因?yàn)榉謩e為線段，的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面，因?yàn)榉謩e為線段，的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面，，平面，平面，所以平面平面，故B正確；對(duì)于C，若直線與直線所成的角為，，由，則，，明顯，則，而和不肯定垂直，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，設(shè)，則，明顯，由，所以，而，所以直線與直線所成的角為，故D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】考查線面平行、面面平行的推斷與證明，考查異面直線垂直的推斷與證明，基礎(chǔ)題.12.已知等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，，，且，若，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則．B.若，則．C.若，則．D.若，則．【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)逐一驗(yàn)證即可；【詳解】解：對(duì)于A，所以，A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，由，所以，B正確.對(duì)于C，若，，所以，C正確.對(duì)于D，，因?yàn)榍遥?dāng)是偶數(shù)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，基礎(chǔ)題.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.是正項(xiàng)等比數(shù)列前和，，，則______．公比______．【答案】(1).2(2).3【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出方程組，解得首項(xiàng)和公比即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，不滿意題意，故；當(dāng)時(shí)，有，解之得：.故答案為：2；3.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，側(cè)重考查對(duì)基礎(chǔ)學(xué)問的理解和駕馭，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.14.如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2，則的值是_____【答案】【解析】設(shè)球半徑為，則．故答案為．點(diǎn)睛:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略：①若給定的幾何體是可干脆用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可干脆利用公式進(jìn)行求解；②若所給定的幾何體的體積不能干脆利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．15.下列結(jié)論中，正確的序號(hào)是_____．①假如兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)兩條直線平行；②假如兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一平面平行；③假如一個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)銳角的兩邊分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)平面平行；④假如一個(gè)平面內(nèi)有多數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．【答案】②③【解析】【分析】①中,兩個(gè)平面平行,故兩個(gè)平面內(nèi)的直線沒有公共點(diǎn),可以平行或者異面;②中,兩個(gè)平面平行,則兩個(gè)平面沒有任何公共點(diǎn),則一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面也沒有公共點(diǎn);③中,一個(gè)平面內(nèi)的銳角由有公共頂點(diǎn)的射線組成,可視為兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面,由面面平行的判定定理可知正確;④中,假如一個(gè)平面內(nèi)有多數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行或相交.【詳解】對(duì)于①,假如兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)兩條直線可以平行或異面,錯(cuò)誤;對(duì)于②,假如兩個(gè)平面平行，依據(jù)面面平行的性質(zhì)定理,則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必與另一平面平行,正確;對(duì)于③,假如一個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)銳角的兩邊分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)角的兩邊，而一個(gè)角的兩邊可以看做兩條相交直線,依據(jù)面面平行的判定定理,那么這兩個(gè)平面平行,正確;對(duì)于④,假如一個(gè)平面內(nèi)有多數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行或相交,錯(cuò)誤;故答案為:②③【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假推斷,考查立體幾何中空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,以及學(xué)生的空間想象實(shí)力,熟記公式和定理是解題的關(guān)鍵.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若關(guān)于的不等式有且僅有一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】依題意得關(guān)于的不等式有且只有一個(gè)解，令，可知為遞增數(shù)列，依據(jù)單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】依題意得關(guān)于的不等式有且只有一個(gè)解，令，則，所以為遞增數(shù)列，因?yàn)?，，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列不等式有解問題，考查了數(shù)列的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.在三棱錐中，，，平面平面，點(diǎn)（與，不重合）分別在棱，上，且．求證：（1）平面；（2）．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）易得，由線面平行判定定理即可得結(jié)果；（2）由面面垂直性質(zhì)定理可得平面，再由線面垂直判定定理得到面，進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】（1），，平面，．平面，平面，平面．（2）平面平面，平面平面，平面，，平面．平面，，，，∴面，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的判定，面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用，通過線面垂直得到線線垂直，屬于基礎(chǔ)題.18.已知數(shù)列中，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）構(gòu)造即可證明；（2）由（1）利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解【詳解】（1）首項(xiàng)則是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.（2）由（1），故【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的證明，通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)題.19.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，為與的交點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成的角．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）由四邊形為正方形，得，由平面，得，從而得平面進(jìn)而可證平面平面；（2）過作，垂足為H，可得平面，則為與平面所成的角，再由已知的數(shù)據(jù)可得到為正三角形，從而得.【詳解】（1）長(zhǎng)方體中，四邊形為矩形，且，四邊形為正方形，，長(zhǎng)方體中，平面，且平面，．平面，，平面．平面，平面平面．（2）過作，垂足H，平面平面，平面平面，平面，平面，在平面上的射影為，與平面所成的角為．在中，，，．同理，，，為正三角形，，直線與平面所成的角為．【點(diǎn)睛】此題考查了證明面面垂直，求直線與平面所成的角，考查了空間想象實(shí)力和邏輯思維實(shí)力，考查了運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題.20.已知數(shù)列是公差的等差數(shù)列，，成等比數(shù)列，數(shù)列是公比的等比數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）；；（2）．【解析】【分析】（1）利用等差中項(xiàng)及可知，進(jìn)而通過成等比數(shù)列計(jì)算可知，由此可求得，利用，求出進(jìn)而計(jì)算可得，的通項(xiàng)公式（2）通過（1）可知，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得．【詳解】（1），，①成等比數(shù)列，即，②由①②得：或，，．，，，．（2），，，，．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解實(shí)力，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵，留意解題方法的積累，屬于中檔題．21.在四棱錐中，四邊形是矩形，是等邊三角形，平面平面，，，分別為棱，，上的點(diǎn)，且．（1）求證：平面平面；（2）若，求二面角的正切值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）由可得，，而由得，從而由線面平行的判定定理可得平面，平面，所以可證得平面平面；（2）過A作，垂足為H，連接，由已知條件可推出，所以為二面角的平面角，然后在中可求出的正切值.【詳解】（1），．四邊形是矩形，，．平面，平面，平面．，．平面，平面，平面．，平面，平面平面．（2）過A作，垂足為H，連接．四邊形是矩形，，平面平面，平面平面，平面，平面．平面，，，，，平面，平面，平面，．為二面角的平面角．，分別為棱，的中點(diǎn)，是等邊三角形，，是等邊三角形，，，在中，，，．二面角的正切值為．【點(diǎn)睛】此題考查了證明面面平行，求二面角，考查了推理實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.22.數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和為