人教A版（2019）選擇性必修第三冊《第七章 隨機變量及其分布》2024年單元測試卷

人教A版（2019）選擇性必修第三冊《第七章隨機變量及其分布》2024年單元測試卷一、選擇題1．（5分）設(shè)X是一個離散型隨機變量，其分布列為X﹣101Pq2則q的值為（）A．﹣1 B． C．1 D．2．（5分）已知隨機變量X的概率分布為，其中a＝（）A．1 B． C． D．23．（5分）已知盒中裝有3只熒光燈管與7只LED燈管，這些燈管的外形都相同，現(xiàn)需要一只LED燈管，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則在他第1次抽到的是熒光燈管的條件下，第2次抽到的是LED燈管的概率為（）A． B． C． D．4．（5分）若X是離散型隨機變量，P（X＝a）＝，P（X＝b）＝，且a＜b，又已知E（X）＝，D（X）＝，則a+b的值為（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）某籃球隊對隊員進行考核，規(guī)則是：①每人進行3個輪次的投籃；②每個輪次每人投籃2次，若至少投中1次，則本輪通過，否則不通過，已知隊員甲投籃1次投中的概率為，如果甲各次投籃投中與否互不影響，那么甲3個輪次通過的次數(shù)X期望是（）A．3 B． C．2 D．6．（5分）某地有甲、乙、丙、丁四人先后染上了病毒性流感，其中只有甲一人去過疫區(qū)，他是傳染的源頭．第二個發(fā)病的乙確認是受甲傳染的，第三個發(fā)病的丙假定受到甲和乙傳染的概率都是；同理，對于第四個發(fā)病的丁，也假定他受另外三人傳染的概率都是．在以上假定之下，直接受甲傳染的人數(shù)X就是一個隨機變量，則X的均值為（）A．3 B． C． D．27．（5分）甲乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立，則比賽停止時已打局數(shù)ξ的期望Eξ為（）A． B． C． D．8．（5分）設(shè)0＜a＜1．隨機變量X的分布列是X0a1P則當(dāng)a在（0，1）內(nèi)增大時，（）A．D（X）增大 B．D（X）減小 C．D（X）先增大后減小 D．D（X）先減小后增大二、多選題（多選）9．（5分）已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，σ2），若P（μ﹣2＜ξ≤μ）＝0.241，則下列結(jié)論不正確的是（）A．P（ξ＞μ+2）＝0.518 B．P（ξ＞μ+2）＝0.259 C．P（μ＜ξ＜μ+2）＝0.241 D．P（μ＜ξ＜μ+2）＝0.759（多選）10．（5分）某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立．設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，若D（X）＝2.4，則p的值為（）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3三、填空題11．（5分）從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，事件A為“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B為“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P（A）為，P（B|A）為．12．（5分）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，則所選3人中女生人數(shù)不超過1人的概率為．13．（5分）已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（4，1），且P（x＞5）＝0.1587，則P（3＜x＜4）＝．四、解答題14．（10分）有兩個罐子，在第一罐中放有6個紅球、2個綠球和4個黃球，在第二個罐中放有5個紅球、4個綠球和3個黃球．從第一個罐中隨機取出1個球放入第二個罐中，再從第二個罐中隨機取出1個球，試求從第二個罐中隨機取出的球為紅球的概率．15．（12分）現(xiàn)有來自三個班級的考生報名表（一人一表），分裝3袋．第一袋有6名男生和4名女生的報名表，第二袋有7名男生和3名女生的報名表，第三袋有5名男生和5名女生的報名表．隨機選擇一袋，然后從中隨機抽取2份，求恰好抽到男生和女生的報名表各1份的概率．16．（12分）甲、乙兩名同學(xué)與同一臺智能機器人進行象棋比賽，計分規(guī)則如下：在一輪比賽中，如果甲贏而乙輸，則甲得1分；如果甲輸而乙贏，則甲得﹣1分；如果甲和乙同時贏或同時輸，則甲得0分．設(shè)甲贏機器人的概率為0.7，乙贏機器人的概率為0.6．求：（1）在一輪比賽中，甲的得分ξ的分布列；（2）在兩輪比賽中，甲的得分η的期望和方差．17．（12分）從某市的高一學(xué)生中隨機抽取400名同學(xué)的體重進行統(tǒng)計，得到如圖所示頻率分布直方圖．（Ⅰ）估計從該市高一學(xué)生中隨機抽取一人，體重超過60kg的概率；（Ⅱ）假設(shè)該市高一學(xué)生的體重X服從正態(tài)分布N（57，a2）．（?。├茫á瘢┑慕Y(jié)論估計該高一某個學(xué)生體重介于54～57kg之間的概率；（ⅱ）從該市高一學(xué)生中隨機抽取3人，記體重介于54～57kg之間的人數(shù)為Y，利用（?。┑慕Y(jié)論，求Y的分布列及E（Y）．18．（12分）為了減少尾氣排放，保護大氣質(zhì)量，某市政府鼓勵民眾低碳出行．為了解民眾低碳出行的情況，統(tǒng)計了該市甲、乙兩個單位各200名員工11月15日到11月24日共10天的低碳出行的人數(shù)，并各自按從小到大排好序，如表所示：甲105107113115119126x132134141乙107115117118123125132136139144（1）若甲單位數(shù)據(jù)的平均數(shù)是122，求x；（2）現(xiàn)從圖中的數(shù)據(jù)中任取4天的數(shù)據(jù)（甲、乙兩個單位中各取2天），記抽取的4天中甲乙兩個單位員工低碳出行的人數(shù)不低于130的天數(shù)分別為ξ1，ξ2，令η＝ξ1+ξ2，求η的分布列．

人教A版（2019）選擇性必修第三冊《第七章隨機變量及其分布》2024年單元測試卷參考答案與試題解析一、選擇題1．【分析】根據(jù)離散型概率分布列的性質(zhì)計算即可．【解答】解：根據(jù)離散型概率分布列的性質(zhì)可知，＝1，解得q＝．故選：B．【點評】本題考查概率的求法，考查離散型概率分布列的性質(zhì)的應(yīng)用，解題時要認真審題，是基礎(chǔ)題．2．【分析】由題意，結(jié)合所給信息以及隨機變量分布列的性質(zhì)，列出等式求解即可．【解答】解：已知隨機變量X的概率分布為，可得P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝，因為P（X＝1）+P（X＝2）+P（X＝3）+P（X＝4）＝1，所以+++＝1，解得a＝．故選：B．【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列及其性質(zhì)，考查了邏輯推理和運算能力．3．【分析】利用條件概率的概率公式求解．【解答】解：設(shè)事件A為“第1次抽到的是熒光燈管”，事件B為“第2次抽到的是LED燈管”，則P（A）＝，P（AB）＝＝，所以P（B|A）＝＝＝，故選：D．【點評】本題主要考查條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】由已知條件利用離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)，列出方程組，由此能求出a+b．【解答】解：∵P（X＝a）＝，P（X＝b）＝，且a＜b，E（X）＝，D（X）＝，∴，解得a＝0，b＝1，∴a+b＝1．故選：A．【點評】本題考查代數(shù)式化簡求和，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法．5．【分析】由已知求出在一輪投籃中，甲通過的概率為，通不過的概率為，且甲3個輪次通過的次數(shù)X的取值分別為0，1，2，3，再由獨立重復(fù)試驗求得概率，列出分布列，代入期望公式求得甲3個輪次通過的次數(shù)X期望．【解答】解：在一輪投籃中，甲通過的概率為P＝，通不過的概率為．由題意可知，甲3個輪次通過的次數(shù)X的取值分別為0，1，2，3，則P（X＝0）＝；P（X＝1）＝；P（X＝2）＝；P（X＝3）＝1﹣P（X＝0）﹣P（X＝1）﹣P（X＝2）＝．∴隨機變量X的分布列為：X0123P數(shù)學(xué)期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝，或由二項分布的期望公式可得E（X）＝3×．故選：B．【點評】本題考查相互獨立事件的概率及獨立重復(fù)試驗，考查離散型隨機變量的期望與方差，是中檔題．6．【分析】根據(jù)題意，分析四個人的傳染情形，X＝1表示A傳染B，沒有傳染給C、D，X＝2表示A傳染給B、C，沒有傳染給D，或A傳染給B、D，沒有傳染給C，X＝3表示A傳染給B、C、D，對應(yīng)求出概率，計算期望即可．【解答】解：由題意分析得X可取的值為1、2、3，用“X＝k”（k＝1，2，3）表示被A直接感染的人數(shù)，四個人的傳染情形共有6種：A→B→C→D，每種情況發(fā)生的可能性都相等，所以A傳染1人有兩種情況，傳染2人有三種情況，傳染3人有一種情況．X＝1表示A傳染B，沒有傳染給C、D，X＝2表示A傳染給B、C，沒有傳染給D，或A傳染給B、D，沒有傳染給C，X＝3表示A傳染給B、C、D．于是有P（X＝1）＝1×＝，P（X＝2）＝1×，P（X＝3）＝1×＝，故E（X）＝1×＝．故選：C．【點評】本題考查離散型隨機變量的期望，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】由題意比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止，所以隨機變量ξ的所有可能的取值為2，4，6，利用隨機變量的定義及獨立事件同時發(fā)生的概率公式求出每一個隨機變量取值時對應(yīng)的隨機事件的概率，再由離散型隨機變量的期望公式．【解答】解：依題意知，ξ的所有可能值為2，4，6，設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時比賽停止的概率為．若該輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響．從而有，，，故．故選：B．【點評】此題考查學(xué)生對于題意的準確理解，以及對于隨機變量的定義的理解及獨立事件及其公式的準確理解及應(yīng)用，此外還考查了期望的定義．8．【分析】方差公式結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果【解答】解：E（X）＝0×+a×+1×＝，D（X）＝（）2×+（a﹣）2×+（1﹣）2×＝[（a+1）2+（2a﹣1）2+（a﹣2）2]＝（a2﹣a+1）＝（a﹣）2+∵0＜a＜1，∴D（X）先減小后增大故選：D．【點評】本題考查方差的求法，利用二次函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵，考查推理能力與計算能力，是中檔題．二、多選題9．【分析】直接根據(jù)正態(tài)分布曲線的特點及對稱性即可求解結(jié)論．【解答】解：∵隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，σ2），P（μ﹣2＜ξ≤μ）＝0.241，對稱軸為x＝μ，∴P（ξ＞μ）＝P（ξ＜μ）＝，p（μ＜ξ＜μ+2）＝P（μ﹣2＜ξ≤μ）＝0.241，P（ξ＞μ+2）＝P（ξ＞μ）﹣p（μ＜ξ＜μ+2）＝﹣0.241＝0.259，故選：BC．【點評】本題主要考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，注意根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性解決問題．屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】X～B（10，p），D（X）＝2.4，從而D（X）＝10p（1﹣p）＝2.4，由此能求出結(jié)果．【解答】解：某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立．設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，則X～B（10，p），∵D（X）＝2.4，∴D（X）＝10p（1﹣p）＝2.4，整理得25p2﹣25p+6＝0，解得p＝0.6或p＝0.4．故選：BC．【點評】本題考查概率的求法，考查二項分布等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．三、填空題11．【分析】分別求出事件A，B的情況數(shù)，根據(jù)條件概率公式計算即可．【解答】解：因為事件A取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”所包含的基本事件有（1，3），（1，5），（3，5），（2，4），所以P（A）＝．因為事件B“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”所包含的基本事件有（2，4），所以P（AB）＝，所以P（B|A）＝＝．故答案為：，．【點評】本題考查條件概率，考查學(xué)生的計算能力，確定基本事件的個數(shù)是關(guān)鍵．12．【分析】本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是從4名男生和2名女生中任選3人，滿足條件的事件是3人中至少有1名女生，沒有女生，用組合數(shù)寫出事件數(shù)，得到結(jié)果．【解答】解：由題意知，本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是從4名男生和2名女生中任選3人，共有＝20種結(jié)果，滿足條件的事件是3人中不超過1名女生，包括有1個女生，沒有女生，共有+＝16種結(jié)果，根據(jù)等可能事件的概率公式得到P＝＝．故答案為：【點評】本題考查的知識點是古典概型概率計算公式，其中熟練掌握利用古典概型概率計算公式求概率的步驟，是解答的關(guān)鍵．13．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解．【解答】解：∵隨機變量X服從正態(tài)分布N（4，1），∴正態(tài)分布的對稱軸x＝4，∵P（x＞5）＝0.1587，∴P（3＜x＜4）＝＝0.3413．故答案為：0.3413．【點評】本題主要考查了正態(tài)分布的對稱性，掌握正態(tài)分布的對稱性是解決正態(tài)分布概率的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．四、解答題14．【分析】利用全概率公式求解即可．【解答】解：從第二個罐中隨機取出的球為紅球包含三種情況：①從第一個罐中取出紅球，則P1＝×＝，②從第一個罐中取出綠球，則P2＝×＝，③從第一個罐中取出黃球，則P3＝×＝，∴從第二個罐中隨機取出的球為紅球的概率為++＝．【點評】本題考查全概率公式的運用，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式計算作答．【解答】解：記Ai＝“抽到第i袋”，i∈{1，2，3}，B＝“隨機抽取2份，恰好抽到男生和女生的報名表各1份”，則，，所以．【點評】本題考查條件概率公式與全概率公式的應(yīng)用，屬中檔題．16．【分析】（1）根據(jù)已知條件可得ξ的可能取值為﹣1，0，1，利用相互獨立事件的概率公式求出所對應(yīng)的概率，即可求得分布列．（2）根據(jù)已知條件可得η的可能取值為﹣2，﹣1，0，1，2，利用相互獨立事件的概率公式求出所對應(yīng)的概率，即可求得分布列及數(shù)學(xué)期望和方差．【解答】解：（1）由題意可知ξ＝﹣1，0，1，又P（ξ＝﹣1）＝0.3×0.6＝0.18，P（ξ＝0）＝0.7×0.6+0.3×0.4＝0.54，P（ξ＝1）＝0.7×0.4＝0.28，∴分ξ的分布列為：ξ﹣101P0.180.540.28（2）由題意可知η＝﹣2，﹣1，0，1，2，又P（η＝﹣2）＝0.18×0.18＝0.0324，P（η＝﹣1）＝2×0.18×0.54＝0.1944，P（η＝0）＝2×0.18×0.28+0.54×0.54＝0.3924，P（η＝1）＝2×0.54×0.28＝0.3024，P（η＝2）＝0.28×0.28＝0.0784，∴η的分布列為：η﹣2﹣1012P0.03240.19440.39240.30240.0784∴E（η）＝（﹣2）×0.0324+（﹣1）×0.1944+1×0.3024+2×0.0784＝0.2，∴D（η）＝（﹣2﹣0.2）2×0.0324+（﹣1﹣0.2）2×0.1944+（0﹣0.2）2×0.3924+（1﹣0.2）2×0.3024+（2﹣0.2）2×0.0784＝0.9．【點評】本題考查離散型