深圳西麗湖世紀(jì)星學(xué)校必修第二冊第二單元《復(fù)數(shù)》測試題(有答案解析)

一、選擇題1．已知復(fù)數(shù)，滿足，，則的最大值為（）A．3 B．4 C．5 D．62．已知復(fù)數(shù)滿足的復(fù)數(shù)的對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是（）A．1個(gè)圓 B．線段 C．2個(gè)點(diǎn) D．2個(gè)圓3．在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)與分別對應(yīng)向量和,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),則=（）A． B． C．2 D．44．（）A． B． C． D．5．設(shè)，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的()A．充分必要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件6．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，，則（）A． B． C． D．或7．若復(fù)數(shù)滿足，則的實(shí)部為（）A． B． C．1 D．8．“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則以下命題為真命題的是（）A．的共軛復(fù)數(shù)為 B．的虛部為C． D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限10．歐拉公式（i為虛數(shù)單位）是由著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，他將指數(shù)函數(shù)定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)歐拉公式，若將表示的復(fù)數(shù)記為z，則的值為（）A． B． C． D．11．已知i為虛數(shù)單位，（1＋i）x＝2＋yi，其中x，y∈R，則｜x＋yi｜＝A．2 B．2 C．4 D．12．已知復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的實(shí)部是()A． B． C． D．二、填空題13．已知，則的取值范圍是_____________；14．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的最大值為______.15．若復(fù)數(shù)滿足，其中i是虛數(shù)單位，則的虛部為________.16．復(fù)數(shù)，且，則點(diǎn)的軌跡是_____________．17．復(fù)數(shù)z及其共軛復(fù)數(shù)滿足（1+i）z﹣2＝2+3i，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z＝_____18．已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)＝____．19．復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為________.20．若復(fù)數(shù),則

=__________三、解答題21．（1）計(jì)算：；（2）若復(fù)數(shù)z滿足，，求復(fù)數(shù)的三角形式.22．設(shè)虛數(shù)滿足.（1）求的值；（2）若在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一、第三象限的角平分線上，求復(fù)數(shù).23．寫出下列復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，并指出哪些是實(shí)數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)．，，，，，．24．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，且滿足.（Ⅰ）求復(fù)數(shù)；（Ⅱ）設(shè)，，在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)分別為，，，求的面積.25．已知關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的值．26．若，，（為實(shí)數(shù)），為虛數(shù)單位.（1）求復(fù)數(shù)；（2）求的取值范圍.【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要?jiǎng)h除一、選擇題1．D解析：D【分析】先求得，設(shè)出，然后根據(jù)幾何意義求得的最大值.【詳解】由，令，，，由，，對應(yīng)點(diǎn)在單位圓上，所以表示的是單位圓上的點(diǎn)和點(diǎn)的距離，到圓心的距離為，單位圓的半徑為，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的最值的計(jì)算.2．A解析：A【詳解】因?yàn)?所以,(負(fù)舍)因此復(fù)數(shù)的對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心以3為半徑的圓,選A.3．C解析：C【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義、向量的模長公式和坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解，得到答案．【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)與分別對應(yīng)向量和，所以向量和，所以，則，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、向量的模長計(jì)算和坐標(biāo)運(yùn)算，著重考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．A解析：A【分析】首先計(jì)算，之后應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，求得結(jié)果.【詳解】，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于簡單題目.5．A解析：A【解析】分析：先化簡“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”，再利用充要條件的定義判斷.詳解：因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以因?yàn)椤皒=1”是“x=1”的充要條件，所以“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的充分必要條件.故答案為A.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查純虛數(shù)的概念，考查充要條件的判斷，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平.(2)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)不要把下面的b≠0漏掉了.6．B解析：B【解析】分析：由題意得到關(guān)于的方程組，求解方程組結(jié)合題意即可求得三角函數(shù)值，由三角函數(shù)值即可確定角的大小.詳解：若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則：，即：，結(jié)合，可知：，故.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查純虛數(shù)的概率，三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.7．A解析：A【解析】【詳解】∵，∴，則的實(shí)部為，故選A.8．A解析：A【詳解】因?yàn)椋杂深}設(shè)可得，因此是的充分不必要條件，故應(yīng)選答案A．9．D解析：D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡，利用共軛復(fù)數(shù)，虛部，模長的概念，運(yùn)算求解，進(jìn)行判斷即可.【詳解】，的共扼復(fù)數(shù)為，的虛部為，，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)，虛部，模長等概念，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.10．A解析：A【分析】根據(jù)歐拉公式求出，再計(jì)算的值.【詳解】∵，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，關(guān)鍵在于根據(jù)題意求出z.11．A解析：A【解析】【分析】首先求得x,y的值，然后求解復(fù)數(shù)的模即可.【詳解】由題意可得：，結(jié)合復(fù)數(shù)的充分必要條件可知：，則，.本題選擇A選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)相等的充分必要條件，復(fù)數(shù)模的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.12．D解析：D【解析】分析：利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則化簡復(fù)數(shù)，結(jié)合兩角和的正弦公式、兩角和的余弦公式求解即可.詳解：，實(shí)部為,故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查的是復(fù)數(shù)的乘法，屬于中檔題．解題時(shí)一定要注意和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.二、填空題13．【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解表示復(fù)平面內(nèi)到點(diǎn)距離為1的所有復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)表示復(fù)平面內(nèi)到點(diǎn)的距離結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可求范圍【詳解】因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)表示復(fù)平面內(nèi)到點(diǎn)距離為1的所有復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)即復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)解析：【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解，表示復(fù)平面內(nèi)到點(diǎn)距離為1的所有復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)，表示復(fù)平面內(nèi)到點(diǎn)的距離，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可求范圍.【詳解】因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)，表示復(fù)平面內(nèi)到點(diǎn)距離為1的所有復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)，即復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)都在以為圓心，半徑為1的圓上；表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，最小值為，最大值為，所以的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離公式，若，則表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，表示以為圓心，以r為半徑的圓上的點(diǎn).14．【分析】設(shè)（）結(jié)合條件得在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡再由的幾何意義求解即可【詳解】解：設(shè)（）則由得即復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心以1為半徑的圓如圖：表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離所以最大值為故解析：【分析】設(shè)，（），結(jié)合條件得在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡，再由的幾何意義求解即可．【詳解】解：設(shè)，（）則由,得，即．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓，如圖：表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離所以最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡問題，復(fù)數(shù)模長的幾何意義，是中檔題.15．－1【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出根據(jù)虛部的概念即可得出【詳解】∴的虛部為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則復(fù)數(shù)的分類考查了推理能力與計(jì)算能力屬于基礎(chǔ)題解析：－1【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出，根據(jù)虛部的概念即可得出．【詳解】，∴的虛部為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的分類，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16．以為圓心2為半徑的圓【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義確定復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)滿足條件化簡即得軌跡【詳解】解：∵∴即點(diǎn)的軌跡是以為圓心2為半徑的圓故答案為：以為圓心2為半徑的圓【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的定義以及圓的方程含解析：以為圓心，2為半徑的圓【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義確定復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)滿足條件，化簡即得軌跡.【詳解】解：∵，∴，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓．故答案為：以為圓心，2為半徑的圓【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的定義以及圓的方程含義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.17．【分析】設(shè)代入題目所給已知條件利用復(fù)數(shù)相等的條件列方程組解方程組求得的值【詳解】設(shè)則于是有解得即【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算考查復(fù)數(shù)相等的概念考查方程的思想屬于基礎(chǔ)題解析：【分析】設(shè)，代入題目所給已知條件，利用復(fù)數(shù)相等的條件列方程組，解方程組求得的值.【詳解】設(shè)，則，，于是有解得，即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)相等的概念，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.18．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出結(jié)果【詳解】由可得即所以故答案是：【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問題涉及到的知識(shí)點(diǎn)有復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則以及共軛復(fù)數(shù)的概念屬于簡單題目解析：【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出結(jié)果.【詳解】由可得，即，所以，故答案是：.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則以及共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于簡單題目.19．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可求z寫出其共軛復(fù)數(shù)即可【詳解】因?yàn)樗怨侍睢军c(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算共軛復(fù)數(shù)屬于中檔題解析：【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可求z,寫出其共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故填【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)，屬于中檔題.20．【解析】分析：先化簡復(fù)數(shù)z再求再求

的值詳解：由題得所以故答案為：點(diǎn)睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的模的計(jì)算意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平和基本的運(yùn)算能力(2)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)解析：【解析】分析：先化簡復(fù)數(shù)z,再求，再求

的值.詳解：由題得，所以故答案為：.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平和基本的運(yùn)算能力.(2)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù).三、解答題21．（1）；（2）；【分析】（1）由，，結(jié)合復(fù)數(shù)的三角形式的乘方運(yùn)算即可求值；（2）由題意得，進(jìn)而得到、代入目標(biāo)式化簡后轉(zhuǎn)化為三角形式即可.【詳解】（1），而∴原式；（2）由題意知：，所以，，∴【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的三角形式，利用復(fù)數(shù)三角形式的乘方運(yùn)算化簡求值，并由已知復(fù)數(shù)的模、復(fù)角求目標(biāo)復(fù)數(shù)的三角形式.22．（1）；（2）或.【分析】（1）設(shè)（、，為虛數(shù)單位），根據(jù)條件得出、所滿足的關(guān)系式，從而可得出的值；（2）將復(fù)數(shù)表示為一般形式，然后由題意得出實(shí)部與虛部相等，并結(jié)合，求出、的值，即可得出復(fù)數(shù).【詳解】（1）設(shè)（、，為虛數(shù)單位），則，，由得，化簡得，因此，；（2），由于復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一、第三象限的角平分線上，則，所以，解得或.因此，或.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，解題時(shí)要結(jié)合已知條件將復(fù)數(shù)表示為一般形式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.23．見解析【分析】形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中分別是它的實(shí)部和虛部，據(jù)此可得到各個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部；，若，則為實(shí)數(shù)，若，則是虛數(shù)，若，則為純虛數(shù).【詳解】，，0，，，的實(shí)部分別是，，，，，；，，0，，，的虛部分別是，，，，，．其中，，是實(shí)數(shù)；，，，是虛數(shù)；是純虛數(shù)．【點(diǎn)睛】該題主要考查的是復(fù)數(shù)的基本概念，解答該題的關(guān)鍵是熟悉復(fù)數(shù)的概念.24．（1）.(2）.【解析】分析：（Ⅰ）設(shè)，則，由題，列出方程即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ），根據(jù)復(fù)數(shù)的表示，得到，，在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)，，，利用三角形的面積公式，即可求解.詳解：（Ⅰ）設(shè)，則，故.所以，.又，，解得，，.（Ⅱ）由（Ⅰ），得，，.，，在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)，，，如圖所示：故.點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的表示，其中熟記復(fù)數(shù)的基本概念和復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.25．【解析】分析：先設(shè)方程的實(shí)根為，再整理原方程為，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念求m的值.詳解：設(shè)方程的實(shí)根為，則，因?yàn)?，所以方程變形為，由?fù)數(shù)相等得，解得，故.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)方程