【壓軸專(zhuān)練】專(zhuān)題05 二次函數(shù)中的幾何全等與相似問(wèn)題（解析版）-2021-2022學(xué)年九上壓軸題攻略

專(zhuān)題05二次函數(shù)中的幾何全等與相似問(wèn)題類(lèi)型一、相似問(wèn)題例1．如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，已知．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）若為第一象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為軸上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，若與以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形相似，求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）解析式為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或【解析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，∴，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，拋物線的解析式為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，①當(dāng)∽時(shí)，，則，∴，（舍去），∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．②當(dāng)∽時(shí)，，則，∴，（舍去），∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．∴動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或．故答案為：（1）解析式為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或例2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（，，是常數(shù)）分別交軸于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，作射線．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在射線上，若以，，，四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在拋物線上，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2），，；（3），．【解析】（1）點(diǎn)代入，得：，，代入，得：，解得：∴；（2）分兩種情況：①在第一象限時(shí)，設(shè)解析式為，則，解得：，∴，設(shè)，∵，可由右移1個(gè)單位，下移3個(gè)單位得到∴，代入的解析式得：，解得：（舍），∴；②點(diǎn)在第四象限時(shí)，設(shè)，∴，代入解析式得：，解得：，∴，綜上所述：，，；（3）分兩種情況：①在第一象限時(shí)，作軸，軸，于點(diǎn)，∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，設(shè)，，則，，，，則，解得：（舍）或，∴；②在第四象限同理可得：，解得：（舍）或，∴綜上所述：點(diǎn)N的坐標(biāo)為：或．【變式訓(xùn)練1】如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)C，連接、．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)M在線段上（與A、B不重合），點(diǎn)N在線段上（與B、C不重合），是否存在以C，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：或或【解析】（1）點(diǎn)，在拋物線上，，解得，拋物線的解析式為：；（2）存在，理由：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,2）由點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)得，，，，則，故為以為斜邊的直角三角形，；以C，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則為直角三角形，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為，點(diǎn)N在上，故設(shè)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)；①當(dāng)為直角時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，不符合題意，②當(dāng)為直角時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)N作軸于點(diǎn)G，，，，，當(dāng)時(shí)，，∴，

∴的相似比為，則，，即且，解得：，故點(diǎn)N的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，同理可得：（舍去）；③當(dāng)為直角時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)N作軸的垂線，垂足為點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，同理可得：且相似比為，則，即，解得：，故點(diǎn)N的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，則，而，則點(diǎn)N是的中點(diǎn)，由中點(diǎn)公式得，點(diǎn)；綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：或或．【變式訓(xùn)練2】如圖1，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且，連接．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，拋物線的頂點(diǎn)為，其對(duì)稱(chēng)軸與線段交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度；（3）如圖3，垂直于軸的動(dòng)直線分別交拋物線和線段于點(diǎn)和點(diǎn)，連接，，拋物線上是否存在點(diǎn)，使∽，如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）；（2）2；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)是【解析】解：（1）如圖1，在拋物線中，令，得，，，，，，，，解得：，拋物線的解析式為：；（2）設(shè)直線的解析式為，，，，解得：，直線的解析式為，如圖2拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，，；（3）如圖3，，當(dāng)時(shí)，，由，，，利用勾股定理，可得，，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)坐標(biāo)為．【變式訓(xùn)練3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)為第二象限拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求、、的值；（2）連接、、，求面積的最大值；（3）過(guò)作，垂足為，是否存在這樣的點(diǎn)、，使得，若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1），，；（2）；（3）存在，．【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為．∵將代入得：，解得，∴拋物線的解析式為，即，∴，，；（2）過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∵點(diǎn)在拋物線上，∴，∵直線過(guò)點(diǎn)、點(diǎn)，∴直線解析式可求得為：，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，面積的最大值為；（3）假設(shè)存在，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，過(guò)點(diǎn)、作的垂線，垂足為，∵，∴，∴，∵∠PMQ=∠QNC=∠PQC=90°，∴∠MQP+∠CQN=90°，∠CQN+∠QCN=90°，∴∠MQP=∠NCQ，∴；∴，設(shè)，，∴，，，，∴，，∴，∴，存在，．類(lèi)型二、全等問(wèn)題例1.如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，批物線y＝x2﹣4x＋a（a＜0）與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的右側(cè)），頂點(diǎn)為M．直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，與直線AM交于點(diǎn)D．（1）求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；（2）在y軸右側(cè)的拋物線上存在點(diǎn)P，使得以P、A、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求a的值；（3）如圖②，過(guò)拋物線頂點(diǎn)M作MN⊥x軸于N，連接ME，點(diǎn)Q為拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥x軸于G，連接QE．當(dāng)a＝﹣5時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使得以Q、E、G為頂點(diǎn)的三角形與△MNE相似（不含全等）？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）直線x＝2；（2）；（3）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣4，27）或（，）或（，）．【解析】（1）∵y＝x2﹣4x＋a＝（x﹣2）2＋a﹣4，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2；（2）由y＝（x﹣2）2＋a﹣4得：A（0，a），M（2，a﹣4），由y＝x﹣a得C（0，﹣a），設(shè)直線AM的解析式為y＝kx＋a，將M（2，a﹣4）代人y＝kx＋a中，得2k＋a＝a﹣4，解得k＝﹣2，直線AM的解析式為y＝﹣2x＋a，聯(lián)立方程組得，解得，∴D（a，－a），∵a＜0，∴點(diǎn)D在第二象限，又點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴AC是以P、A、C、D為頂點(diǎn)的平行四邊形的對(duì)角線，則點(diǎn)P與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即P（－a，a），將點(diǎn)P（﹣a，a）代入拋物線y＝x2﹣4x＋a，解得a＝或a＝0（舍去），∴a＝；（3）存在，理由如下：當(dāng)a＝﹣5時(shí)，y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，此時(shí)M（2，﹣9），令y＝0，即（x﹣2）2﹣9＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，∴點(diǎn)F（﹣1，0）E（5，0），∴EN＝FN＝3MN＝9，設(shè)點(diǎn)Q（m，m2﹣4m﹣5），則G（m，0），∴EG＝|m﹣5|QG＝|m2﹣4m﹣5|，又△QEG與△MNE都是直角三角形，且∠MNE＝∠QGE＝90°，如圖所示，需分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)，即＝，解得m＝2或m＝﹣4或m＝5（舍去）；當(dāng)m＝2時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合，不符合題意，舍去，當(dāng)m＝﹣4時(shí)，此時(shí)Q坐標(biāo)為點(diǎn)Q1（﹣4，27）；ii）當(dāng)時(shí)，即＝，，解得m＝或m＝－或m＝5（舍去），當(dāng)m＝時(shí)，Q坐標(biāo)為點(diǎn)Q2（，），當(dāng)m＝－，Q坐標(biāo)為點(diǎn)Q3（－，），綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣4，27）或（，）或（，）．【變式訓(xùn)練1】如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，﹣4）和（﹣2，5），請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）求拋物線的解析式，并求出對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，與y軸交于點(diǎn)C．在該拋物線上找一點(diǎn)D，使得△ABC與△ABD全等，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，對(duì)稱(chēng)軸為：x＝1，頂點(diǎn)（1，－4）；（2）D（2，﹣3）（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性確定D點(diǎn)位置，求出坐標(biāo)．【解析】（1）由題意，得，解得，，所以，該拋物線的解析式為：y＝x2﹣2x﹣3；拋物線y＝x2﹣2x﹣3的對(duì)稱(chēng)軸為：，把x＝1代入y＝x2﹣2x﹣3得，y=-4，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，點(diǎn)C關(guān)于x＝1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D即為所求，此時(shí)，AC＝BD，BC＝AD，在△ABC和△BAD中，∵，∴△ABC≌△BAD（SSS）．在y＝x2﹣2x﹣3中，令x＝0，得y＝﹣3，則C（0，﹣3），根據(jù)C點(diǎn)、D點(diǎn)關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3）．【變式訓(xùn)練2】在坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且它的對(duì)稱(chēng)軸為直線l．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）將拋物線沿直線l向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新拋物線，設(shè)新拋物線與y軸的交點(diǎn)為M，直線l與x軸交于點(diǎn)N，動(dòng)點(diǎn)R在直線l上，在新拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)N，Q，R為頂點(diǎn)的三角形與全等？若存在，求符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）存在，或或或．【解析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式可得：,解得：所以該拋物線的表達(dá)式為：．（2）存在，理由如下：由平移的性質(zhì)可知，平移后得到的新拋物線為，令,得到,∴，∴OM=2；因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸為,∴，∴ON=1；∴，∵，∴MN邊上的高為，由∠MON=90°，且以點(diǎn)N、Q、R為頂點(diǎn)的三角形與全等，∴點(diǎn)Q、N、R中必有一個(gè)點(diǎn)是直角頂點(diǎn)．當(dāng)Q點(diǎn)是直角頂點(diǎn)時(shí)，則NR是斜邊，∴,邊上的高為，即Q點(diǎn)到NR的距離為，∴Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為或,當(dāng)時(shí)，所以，此時(shí)，則或，∴該情況不成立；當(dāng)時(shí)，由拋物線關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)可知，此時(shí)或，所以該情況也不成立；即Q不可能是