浙教新版八年級(jí)下學(xué)期《4. 1 多邊形》同步練習(xí)卷

浙教新版八年級(jí)下學(xué)期《4.1多邊形》

同步練習(xí)卷

一.填空題（共1小題）

I.若一個(gè)多邊形的對(duì)角線條數(shù)為9,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為.

二.解答題（共49小題）

2.將數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8分別填寫(xiě)到八邊形A8COEFGH的8個(gè)頂點(diǎn)

上,并且以S”S2，…，S8分別表示（A,B,C）,（8,C,D）,…，（H,A,

B）8組相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字之和.

（1）試給出一個(gè)填法，使得Si，S2,…，&都大于或等于12；

（2）請(qǐng)證明任何填法均不可能使得S2,…，S8都大于或等于13.

3.在凸四邊形A3CD中，ZA-ZB=ZB-ZC=ZC-Z￡?0,且四個(gè)內(nèi)角中

有一個(gè)角為84°,求其余各角的度數(shù).

4.某單位的地板有三種邊長(zhǎng)相等的正多邊形鋪設(shè)，一個(gè)頂點(diǎn)處每種多邊形只用

一個(gè)，設(shè)這三種正多邊形的邊數(shù)分別是x,y,z.求的值.

xyz

5.某單位的地板由三種邊長(zhǎng)相等的正多邊形鋪成，三種多邊形是按1：1：1來(lái)

排列，設(shè)這三種正多邊形的邊數(shù)分別為x,y,z,求的值.

xyz

6.A、8、C三人做擲石子的游戲，每人投5個(gè)石子，結(jié)果如圖所示，這個(gè)游戲

是以石子散落的距離小者為優(yōu)勝，為確定誰(shuí)是優(yōu)勝者，試給出五種判別方法.

⑶(B)(C)

7.已知正〃邊形共有〃條對(duì)角線，它的周長(zhǎng)等于p,所有對(duì)角線長(zhǎng)的和等于q,

求旦,皂的值.

Pq

8.實(shí)踐與探索！

①過(guò)四邊形一邊上點(diǎn)P與另外兩個(gè)頂點(diǎn)連線可以把四邊形分成個(gè)三角形;

②過(guò)五邊形一邊上點(diǎn)尸與另外三個(gè)頂點(diǎn)連線可以把五邊形分成個(gè)三角形;

③經(jīng)過(guò)上面的探究，你可以歸納出過(guò)〃邊形一邊上點(diǎn)P與另外個(gè)頂點(diǎn)連

線可以把〃邊形分成個(gè)三角形(用含〃的代數(shù)式表示).

④你能否根據(jù)這樣劃分多邊形的方法來(lái)寫(xiě)出n邊形的內(nèi)角和公式？請(qǐng)說(shuō)明你的

理由.

9.已知面積為32c/的平面凸四邊形中一組對(duì)邊與一條對(duì)角線之長(zhǎng)的和為16

C7”.試確定另一條對(duì)角線的所有可能的長(zhǎng)度.

10.平面上有A、B,C、D四點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在一直線上，求證：在4

ABC.△AB。、△AC。、△8DC中至少有一個(gè)三角形的內(nèi)角不超過(guò)45°.

11.給定一個(gè)正整數(shù)〃，凸〃邊形中最多有多少個(gè)內(nèi)角等于150°?并說(shuō)明理由.

12.(1)如圖，在圖1中，互不重疊的三角形共有3個(gè)，在圖2中，互不重疊的

三角形共有5個(gè)，在圖3中，互不重疊的三角形共有7個(gè)，…，則在第〃個(gè)

圖形中，互不重疊的三角形共有個(gè).(用含〃的代數(shù)式表示)

(2)若在如圖4所示的n邊形中，P是AA,邊上的點(diǎn)，分別連接孫2、鞏3、出4…

孫"T，得到〃-1個(gè)互不重疊的三角形.

A.

你能否根據(jù)這樣的劃分方法寫(xiě)出〃邊形的內(nèi)角和公式并說(shuō)明你的理由;

(3)反之，若在四邊形內(nèi)部有〃個(gè)不同的點(diǎn)，按照(1)中的方法可得攵個(gè)互不

重疊的三角形，試探究〃與攵的關(guān)系.

(操作用圖)

13.一個(gè)凸〃邊形，除一個(gè)內(nèi)角外，其余1個(gè)內(nèi)角的和為2009°,求〃邊形

的邊數(shù).

14.證明：五邊形內(nèi)角和等于540。.

15.認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾的探究片段,完成所提出的問(wèn)題.

探究1：如圖1,在△ABC中，。是NABC與NAC8的平分線BO和CO的交點(diǎn)，

通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)NBOC=90°理由如下：

2

?..BO和CO分別是NABC和NAC8的角平分線，

：.Zl=^ZABC,Z2=1ZACB,

22

.,.Zl+Z2=l(NABC+NACB)(NA3C+NACB)=1(180°-/A)=

222

90°-1ZA,

2

AZBOC=180°-(Z1+Z2)=180°-(90°-1ZA)=90°+^ZA.

22

(1)探究2：如圖2中，。是NABC與外角NAC。的平分線8。和CO的交點(diǎn)，

試分析N30C與NA

有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）探究3：如圖3中，0是外角NDBC與外角NEC8的平分線8。和C。的

交點(diǎn)，則N80C與NA

有怎樣的關(guān)系？（直接寫(xiě)出結(jié)論）

（3）拓展：如圖4,在四邊形ABC。中，。是NA8C與的平分線8。和

CO的交點(diǎn)，則N80C與NA+/O有怎樣的關(guān)系？（直接寫(xiě)出結(jié)論）

的值.

17.如圖，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=?

18.師傅讓徒弟加工一個(gè)周長(zhǎng)為80c”的多邊形工件，要求每個(gè)內(nèi)角都相等，它

與相鄰?fù)饨堑谋葹?：1,求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和邊長(zhǎng).

19.某校要用地磚鑲嵌藝術(shù)教室的地面，可以選擇的方案有許多種，請(qǐng)你為其設(shè)

計(jì).

（1）如果在以下形狀的地磚中選取一種鑲嵌地面，可以選擇的有.（填

序號(hào)）

①正方形②正五邊形③正六邊形④正八邊形⑤任意三角形⑥任意

四邊形

（2）如果在正三角形、正方形、正八邊形這三種形狀的地磚中，任意選取其中

的兩種，有幾種可行的方案？

（3）如果在正三角形、正六邊形、正方形、正十二邊形這四種形狀的地磚中，

任意選取其中三種，有幾種可行的方案？

20.現(xiàn)有大小、形狀完全相同且足夠多的四邊形大理石下腳料，能用這些大理石

鋪設(shè)地面嗎？請(qǐng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明理由.

21.如圖是由風(fēng)箏形和鏢形兩種不同的磚鋪設(shè)而成.請(qǐng)仔細(xì)觀察這個(gè)美麗的圖案,

并且回答風(fēng)箏形磚和鏢形磚的內(nèi)角各是多少度？

風(fēng)箏形銀形

22.一個(gè)凸11邊形由若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形或正三角形無(wú)重疊、無(wú)間隙地拼

成，求此凸11邊形各個(gè)內(nèi)角的大小，并畫(huà)出這樣的凸11邊形的草圖.

23.怎樣以三角形為基礎(chǔ)展鋪平面圖案.

24.怎樣以正多邊形為基本圖形展鋪平面圖案？

25.試用三角形和梯形這兩種多邊形拼展平面圖案.

26.【問(wèn)題】用〃邊形的對(duì)角線把〃邊形分割成（〃-2）個(gè)三角形，共有多少種

不同的分割方案（〃巳4）?

【探究】為了解決上面的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們采取一般問(wèn)題特殊化的策略，先從最簡(jiǎn)

單情形入手，再逐次遞進(jìn)轉(zhuǎn)化，最后猜想得出結(jié)論.不妨假設(shè)〃邊形的分割

方案有尸〃種.

探究一：用四邊形的對(duì)角線把四邊形分割成2個(gè)三角形，共有多少種不同的分割

方案？如圖①，圖②，顯然，只有2種不同的分割方案.所以，P4=2.

B圖③

探究二：用五邊形的對(duì)角線把五邊形分割成3個(gè)三角形，共有多少種不同的分割

方案？

不妨把分割方案分成三類(lèi)：

第1類(lèi)：如圖③，用A,E與8連接，先把五邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1

個(gè)四邊形，再把四邊形分割成2個(gè)三角形，由探究一知，有產(chǎn)4種不同的分割

方案，所以，此類(lèi)共有P4種不同的分割方案.

第2類(lèi)：如圖④，用A,E與C連接，把五邊形分割成3個(gè)三角形，有1種不同

的分割方案，可視為工凡種分割方案.

第3類(lèi)：如圖⑤，用A,E與D連接，先把五邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1

個(gè)四邊形，再把四邊形分割成2個(gè)三角形，由探究一知，有凡種不同的分割

方案，所以，此類(lèi)共有P4種不同的分割方案.

所以，=P4+—P4+P4=^-XP4=—XP4=5（種）

224

探究三：用六邊形的對(duì)角線把六邊形分割成4個(gè)三角形，共有多少種不同的分割

方案？

不妨把分割方案分成四類(lèi)：

第1類(lèi)：如圖⑥，用A,F與B連接，先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1

個(gè)五邊形，再把五邊形分割成3個(gè)三角形，由探究二知，有P5種不同的分割

方案，所以，此類(lèi)共有P5種不同的分割方案.

第2類(lèi)：如圖⑦，用A,尸與C連接，先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成2個(gè)三角形和1

個(gè)四邊形.再把四邊形分割成2個(gè)三角形，由探究一知，有幾種不同的分割

方案.所以，此類(lèi)共有P4種分割方案.

第3類(lèi)：如圖⑥，用A,尸與。連接，先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成2個(gè)三角形和1

個(gè)四邊形.再把四邊形分割成2個(gè)三角形，由探究一知，有2種不同的分制

方案.所以，此類(lèi)共有P4種分制方案.

第4類(lèi)：如圖⑨，用A,F與E連接，先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1

個(gè)五邊形.再把五邊形分割成3個(gè)三角形，由探究二知，有P5種不同的分割

方案.所以，此類(lèi)共有P5種分割方案.

所以，P6=P5+P4+P4+P5=P5+lp5+lp5+P5==14（種）

555

探究四：用七邊形的對(duì)角線把七邊形分割成5個(gè)三角形，則P7與P6的關(guān)系為:

Pl=XP6,共有種不同的分割方案.

【結(jié)論】用〃邊形的對(duì)角線把〃邊形分割成（〃-2）個(gè)三角形，共有多少種不同

的分割方案（〃24）?（直接寫(xiě)出P”與PAT的關(guān)系式，不寫(xiě)解答過(guò)程）.

【應(yīng)用】用九邊形的對(duì)角線把九邊形分割成7個(gè)三角形，共有多少種不同的分割

方案？（應(yīng)用上述結(jié)論，寫(xiě)出解答過(guò)程）

27.分別畫(huà)出下列各多邊形的對(duì)角線，并觀察圖形完成下列問(wèn)題：

（1）試寫(xiě)出用〃邊形的邊數(shù)〃表示對(duì)角線總條數(shù)S的式子：.

（2）從十五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出條對(duì)角線，十五邊形共有條

對(duì)角線：

（3）如果一個(gè)多邊形對(duì)角線的條數(shù)與它的邊數(shù)相等，求這個(gè)多邊形的邊

數(shù).(4)(5)

28.在凸多邊形中，四邊形的對(duì)角線有兩條，五邊形的對(duì)角線有5條，經(jīng)過(guò)觀察、

探索、歸納，你認(rèn)為凸九邊形的對(duì)角線為多少？簡(jiǎn)單扼要地寫(xiě)出你的思考過(guò)

程.

29.小張升入高中，開(kāi)學(xué)第一天，老師讓班級(jí)的同學(xué)每?jī)蓚€(gè)人相互握手，結(jié)成好

朋友，其中發(fā)現(xiàn)所有的同學(xué)一共握手820次.我們可以通過(guò)這個(gè)數(shù)據(jù)求出班

級(jí)里的學(xué)生人數(shù)，設(shè)班級(jí)共有學(xué)生“人，則每一個(gè)學(xué)生需握手〃-1次，這樣

〃個(gè)學(xué)生就握了〃（〃-1）次手，而每?jī)扇酥g的握手被重復(fù)計(jì)算了一次，所

以可得n與l）=820,這樣就可以解出〃了.你看明白了沒(méi)有？

（1）請(qǐng)你運(yùn)用上述方法，探索8邊形對(duì)角線的條數(shù).并寫(xiě)出你的思路；

（2）請(qǐng)你用題目所給方法得出“邊形對(duì)角線的條數(shù)的公式.

30.在一個(gè)多邊形中，一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角與其他各內(nèi)角的和為600°.

（1）如果這個(gè)多邊形是五邊形，請(qǐng)求出這個(gè)外角的度數(shù)；

（2）是否存在符合題意的其他多邊形？如果存在，請(qǐng)求出邊數(shù)及這個(gè)外角的度

數(shù)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

31.如圖，四邊形A8CD中，NA=NC=90°,OE平分NAOC交邊于點(diǎn)E,

BF平分N4BC交DC邊于點(diǎn)F.

求證：DE//BF.

32.已知：四邊形A3CO如圖所示.

（1）填空NA+NB+NC+NO=°

（2）請(qǐng)用兩種方法證明你的結(jié)論.

DD

—\A

BBC

33.如圖：小亮從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)30度，再沿直線前進(jìn)

10米，又向左轉(zhuǎn)30度，--------照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A

點(diǎn)時(shí)，一共走了多少米？

'3x+l42

34.(1)解不等式組：2x-l、

|—>X

(2)如圖，已知正五邊形A3COE,。交08的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,交0E的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.求NG的度數(shù).

35.若一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，我們把這條對(duì)角

線叫做這個(gè)四邊形的和諧線.已知在四邊形ABC。中，AB=AO=8C,/BAD

=90°,AC是四邊形ABC。的和諧線，求N3CO的度數(shù).(注：已畫(huà)四邊形

圖1圖2

(1)如圖1,NA與N8的等量關(guān)系是；如圖2,NA與的等量關(guān)系

是;對(duì)于上面兩種情況，請(qǐng)用文字語(yǔ)言敘述：.

（2）請(qǐng)選擇圖1或圖2其中的一種進(jìn)行證明.

37.《天天伴我學(xué)數(shù)學(xué)》一道作業(yè)題.如圖1：請(qǐng)你想辦法求出五角星中NA+N

8+NC+/D+/E的值.由于剛涉及到幾何證明，很多學(xué)生不知道如何求出其

結(jié)果.下面是習(xí)題講解時(shí)，老師和學(xué)生對(duì)話的情景：老師向?qū)W生拋出問(wèn)題：

①觀察圖象，各個(gè)角的度數(shù)能分別求出他們的度數(shù)嗎，能的話怎么求，不能

的話怎么辦？學(xué)生通過(guò)觀察回答：很明顯每個(gè)角都不規(guī)則，求不出各個(gè)角的

度數(shù).有個(gè)學(xué)生小聲的說(shuō)了句：要是能把這五個(gè)角放到一塊就好了？老師回

答：有想法，就去試試看.很快就有學(xué)生發(fā)現(xiàn)利用三角形外角性質(zhì)將NC和

NE；N8和NO分別用外角N1和N2表示.于是得至UNA+N3+NC+NO+

ZE=ZA+Z1+Z2=18O°.根據(jù)以上信息，親愛(ài)的同學(xué)們，你能求出圖2

中NA+NB+NC+NO+NE+NF+NG的值嗎？請(qǐng)給予證明.

n（凸多邊形的邊數(shù)）345???

〃？（凸多邊形中角度等于135°的————

內(nèi)角個(gè)數(shù)的最大值）

（2）猜想給定一個(gè)正整數(shù)“，凸”邊形最多有，”個(gè)內(nèi)角等于135°,則相與〃

之間有怎樣的關(guān)系？

（3）取〃=7驗(yàn)證你的猜想是否成立？如果不成立，請(qǐng)給出凸〃邊形中最多有多

少個(gè)內(nèi)角等于135°?并說(shuō)明理由.

39.小明家準(zhǔn)備裝修廚房，打算鋪設(shè)如圖1的正方形地磚，該地磚既是軸對(duì)稱圖

形也是中心對(duì)稱圖形，鋪設(shè)效果如圖2所示.經(jīng)測(cè)量圖1發(fā)現(xiàn)，磚面上四個(gè)

小正方形的邊長(zhǎng)都是4cm,AB=JN=2cm,中間的多邊形CDEFGH/K是正八

邊形.

（1）求M4的長(zhǎng)度；

（2）求正八邊形COEFGH/K的面積；

（3）已知小明家廚房的地面是邊長(zhǎng)為3.14米的正方形，用該地磚鋪設(shè)完畢后,

最多形成多少個(gè)正八邊形？（地磚間縫隙的寬度忽略不計(jì)）

40.某校研究性學(xué)習(xí)小組研究平面密鋪的問(wèn)題，其中在探究用兩種邊長(zhǎng)相等的正

多邊形做平面密鋪的情形時(shí)用了以下方法：用2個(gè)正三角形和2個(gè)正六邊形

或4個(gè)正三角形和1個(gè)正六邊形可以拼成一個(gè)無(wú)縫隙、不重疊的平面圖形，

如圖（1）、（2）（3）.請(qǐng)你仿照此方法解決下面問(wèn)題：

（1）研究用邊長(zhǎng)相等的x個(gè)正三角形和y個(gè)正方形進(jìn)行平面密鋪的情形，求出

x和y的值

（2）按圖（4）中給出兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形和正三角形畫(huà)出一個(gè)密鋪后圖形的

示意圖.（畫(huà)正三角形時(shí)必須用尺規(guī)作圖）

41.在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地

磚鋪砌成美麗的圖案.也就是說(shuō)，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個(gè)

平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊（在幾何里叫做平面鑲嵌）.這

顯然與正多邊形的內(nèi)角大小有關(guān).當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角

加在一起恰好組成一個(gè)周角（360°）時(shí)，就拼成了一個(gè)平面圖形.

（1）請(qǐng)根據(jù)下列圖形，填寫(xiě)表中空格：

正多邊形…

每個(gè)內(nèi)

角的度

數(shù)

（2）如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形？

（3）從正三角形、正四邊形、正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，

請(qǐng)畫(huà)出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個(gè)平面圖形（草圖）；并探索這兩

種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形？說(shuō)明你的理由.

42.為了表示幾種三角形之間的關(guān)系，畫(huà)了如圖結(jié)構(gòu)圖：

請(qǐng)你采用適當(dāng)?shù)姆绞奖硎菊叫巍⑵叫兴倪呅?、四邊形、菱形、矩形之間的關(guān)系.

43.為了說(shuō)明各種三角形之間的關(guān)系，小明畫(huà)了如下知識(shí)結(jié)構(gòu)圖：

請(qǐng)用類(lèi)似的方法，描述下列概念間的關(guān)系：正方形、四邊形、矩形、菱形、平行

四邊形.

44.圖中字母表示為四邊形、平行四邊形，矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯

形、直角梯形從屬關(guān)系，則字母所代表的圖形為:

A為，B為,C為:

D為,E為,F為

45.(1)從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)多邊形的其余各頂點(diǎn)，則可以

把這個(gè)多邊形分成若干個(gè)三角形，若多邊形是一個(gè)五邊形，則可以分成

三角形；若多邊形是一個(gè)六邊形，則可以分割成三角形，……，則〃

邊形可以分割成個(gè)三角形.

(2)如果從一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接其余各頂點(diǎn)，將這個(gè)多邊形

分割成了2018個(gè)三角形，那么此多邊形的邊數(shù)為

(3)若在“邊形的一條邊上取一點(diǎn)尸(不是頂點(diǎn))，再將點(diǎn)P與〃邊形的各定點(diǎn)

連接起來(lái)，則可將〃邊形分割成三角形.

企

46.樂(lè)樂(lè)和數(shù)學(xué)小組的同學(xué)們研究多邊形對(duì)角線的相關(guān)問(wèn)題,邀請(qǐng)你也加入其中！

請(qǐng)仔細(xì)觀察下面的圖形和表格，并回答下列問(wèn)題：

頂點(diǎn)數(shù)

從一個(gè)頂12345……①

點(diǎn)出發(fā)

的對(duì)角

線的條

數(shù)

多邊形對(duì)2591420...②

角線的一

總條數(shù)

（1）觀察探究請(qǐng)自己觀察上面的圖形和表格，并用含〃的代數(shù)式將上面的表格

填寫(xiě)完整，其中①;②;

（2）實(shí)際應(yīng)用數(shù)學(xué)社團(tuán)共分為6個(gè)小組，每組有3名同學(xué).同學(xué)們約定，大年

初一時(shí)不同組的兩位同學(xué)之間要打一個(gè)電話拜年，請(qǐng)問(wèn)，按照此約定，數(shù)學(xué)

社團(tuán)的同學(xué)們一共將撥打電話多少個(gè)？

（3）類(lèi)比歸納樂(lè)樂(lè)認(rèn)為（1）、（2）之間存在某種聯(lián)系，你能找到這兩個(gè)問(wèn)題之

間的聯(lián)系嗎？請(qǐng)用語(yǔ)言描述你的發(fā)現(xiàn).

47.閱讀下列內(nèi)容，并答題：

我們知道計(jì)算n邊形的對(duì)角線條數(shù)公式為血血，如果有一個(gè)n邊形的對(duì)角線

2

一共有20條，則可以得到方程還@.=20,去分母得〃（〃-3）=40；???〃

2

為大于等于3的整數(shù)，且〃比〃-3的值大3,.?.滿足積為40且相差3的因數(shù)

只有8和5,符合方程〃（〃-3）=40的整數(shù)〃=8,即多邊形是八邊形.根

據(jù)以上內(nèi)容，問(wèn)：

（1）若有一個(gè)多邊形的對(duì)角線一共有14條，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)；

（2）A同學(xué)說(shuō)：“我求得一個(gè)多邊形的對(duì)角線一共有30條.”你認(rèn)為A同學(xué)說(shuō)地

正確嗎？為什么？

48.同學(xué)們，你們會(huì)用畫(huà)多邊形的對(duì)角線來(lái)解決生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？

比如，學(xué)校舉辦足球賽，共有5個(gè)班級(jí)的足球隊(duì)參加比賽，每個(gè)隊(duì)都要和其他各

隊(duì)比賽一場(chǎng)，根據(jù)積分排列名次.問(wèn)學(xué)校一共要安排多少場(chǎng)比賽？

我們畫(huà)出5個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)各代表一個(gè)足球隊(duì)，兩個(gè)隊(duì)之間比賽一場(chǎng)就用一條線段

把它們連接起來(lái).由于每個(gè)隊(duì)都要與其他各隊(duì)比賽一場(chǎng)，這樣每個(gè)點(diǎn)與另外4

個(gè)點(diǎn)都會(huì)有一條線段連接（如右圖）.

現(xiàn)在我們只要數(shù)一數(shù)五邊形的邊數(shù)和它的對(duì)角線條數(shù)就可以了.由圖可知，五邊

形的邊數(shù)和對(duì)角線條數(shù)都是5,所以學(xué)校一共要安排10場(chǎng)比賽.

同學(xué)們，請(qǐng)用類(lèi)似的方法來(lái)解決下面的問(wèn)題：

姣姣、林林、可可、飛飛、紅紅和娜娜六人參加一次會(huì)議，見(jiàn)面時(shí)他們相互握手

問(wèn)好.已知姣姣己握了5次手，林林已握了4次手，可可已握了3次手，飛

飛已握了2次手，紅紅握手1次，請(qǐng)推算出娜娜目前已和哪幾個(gè)人握了手.

49.兩條直線相交所形成的四個(gè)角中，有一個(gè)公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角

叫做鄰補(bǔ)角，如圖所示，NAOD與NBOO就是一對(duì)鄰補(bǔ)角.

（1）多邊形的一個(gè)外角與其相鄰的內(nèi)角就是一對(duì)鄰補(bǔ)角，若某多邊形的一個(gè)外

角的度數(shù)為x（度），則與該外角相鄰的內(nèi)角度數(shù)可用x的代數(shù)式表示為

（2）如果設(shè)題（1）中的多邊形的邊數(shù)為x,且該外角的度數(shù)與其所有不相鄰內(nèi)

角的度數(shù)之和為460°,則可列二元一次方程為；

（3）若某多邊形的一個(gè)外角的度數(shù)與其所有不相鄰內(nèi)角的度數(shù)之和為1900°,

求這個(gè)外角的度數(shù)和此多邊形的邊數(shù).

50.如果一個(gè)多邊形的各邊都相等，且各內(nèi)角也都相等，那么這個(gè)多邊形就叫做

正多邊形，如圖，就是一組正多邊形，觀察每個(gè)正多邊形中Na的變化情況，

解答下列問(wèn)題.

正多邊形的邊數(shù)3456……18

Za的度數(shù)————……―

(2)根據(jù)規(guī)律，是否存在一個(gè)正〃邊形，使其中的Na=20°?若存在，直接寫(xiě)

出〃的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)根據(jù)規(guī)律，是否存在一個(gè)正〃邊形，使其中的Na=21°?若存在，直接寫(xiě)

出〃的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

浙教新版八年級(jí)下學(xué)期《4.1多邊形》

同步練習(xí)卷

參考答案與試題解析

一.填空題（共1小題）

I.若一個(gè)多邊形的對(duì)角線條數(shù)為9,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為6

【分析】根據(jù)多邊形的對(duì)角線公式血超進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【解答】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為〃，則

n（n-3）—Q

~2-，

整理得〃2-3〃-18=0,

解得“1=6,〃2=-3（舍去）.

所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)是6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的對(duì)角線，熟記對(duì)角線公式是解題的關(guān)鍵.

二.解答題（共49小題）

2.將數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8分別填寫(xiě)到八邊形A8CDEFGH的8個(gè)頂點(diǎn)

上，并且以S”S2,…，S8分別表示（A,B,C）,（B,C,D）,…，（H,A,

8）8組相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字之和.

（1）試給出一個(gè)填法，使得S”S2,…，S8都大于或等于12；

（2）請(qǐng)證明任何填法均不可能使得&,S2,…，&都大于或等于13.

A

【分析】（1）首先確定1的位置，1最小，讓它的一個(gè)相鄰的數(shù)是最大的數(shù)8,

再根據(jù)三個(gè)相鄰的數(shù)的和應(yīng)大于或等于12且各個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)都不相等，進(jìn)行推

斷；

（2）首先根據(jù)八組的數(shù)的和是104,正確分析出其中至多有四組的數(shù)的和大于

13,且每一組的數(shù)的和都小于或等于14；然后再進(jìn)一步用設(shè)未知數(shù)的方法分

析.

【解答】解：(1)不難驗(yàn)證，如圖所示填法滿足.SI,S2,…S8都大于或等于12.

(2)顯然,每個(gè)頂點(diǎn)出現(xiàn)在全部8組3個(gè)相鄰頂點(diǎn)組的3個(gè)組中，所以有S1+S2+…

+58=(1+2+3+…+8)?3=108.如果每組三數(shù)之和都大于或等于13,因13?8

=104,所以至多有108-104=4個(gè)組的三數(shù)之和大于13.

由此我們可得如下結(jié)論：

1、相鄰兩組三數(shù)之和一定不相等.設(shè)前一組為%),后一組為0,k,/).若

有i+j+k=j+k+l,則l=i,這不符合填寫(xiě)要求；

2、每組三數(shù)之和都小于或等于14.因若有一組三數(shù)之和大于或等于15,則至多

還有另外兩個(gè)組，其三數(shù)之和大于13,余下5個(gè)組三數(shù)之和等于13,必有相

鄰的兩組相等，這和上述結(jié)論(1)不符.

因此，相鄰兩組三數(shù)之和必然為13或14.不妨假定1填在B點(diǎn)上，A點(diǎn)所填為

i，C點(diǎn)所填為

1、若S]=z+1+J=13,則$2=14,Si=j+l+k=13>因J>1,區(qū)是不可能

的.

2、若》=i+lt/=14,則S2=lt/+(>1)=13,S3=j+(/-1)+2：14,“=(/

-1)+2+(j-1)=13,這時(shí)S5=14,只能是S=2+(j-1)+i,i重復(fù)出現(xiàn)：

所以不可能有使得每組三數(shù)之和均大于或等于13的填法.

【點(diǎn)評(píng)】做此題的時(shí)候，注意各個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)字不得重復(fù)，且每一組的數(shù)的和應(yīng)大

于或等于12進(jìn)行解答.

3.在凸四邊形ABC0中，ZA-ZB=ZB-ZC=ZC-ZD>0,且四個(gè)內(nèi)角中

有一個(gè)角為84°,求其余各角的度數(shù).

【分析】可設(shè)NA-/B=/B-ZC=ZC-ZD=x,根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于

360°,分四種情況進(jìn)行討論，從而求解.

【解答】解：設(shè)NA-NB=N8-NC=NC-NZ)=x,

則NC=NO+x,ZB=ZD+2x,ZA=ZD+3x,

VZA+Z5+ZC+ZD=6x+4ZD=360°,

ZD+lx=90°.

2

1、Z￡)=84°時(shí)，x=4°,

ZA=96°,ZB=92°,ZC=88°；

2、ZC=84°時(shí)，2r+4ZC=360°,x=12°,

ZA=108°,ZB=96°,ZD=72°.

3、ZB=84°時(shí)，-2x+4ZB=360°,x=-12°,

ZA=72°,ZC=96°.ZD=108°,

4、NA=84°,-6x+4N4=360°,x=-4,

ZD=96°,ZC=92°,ZB=88°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，四邊形內(nèi)角和等于360°,由于四個(gè)內(nèi)

角中有一個(gè)角為84°,不確定，故應(yīng)該分類(lèi)討論.

4.某單位的地板有三種邊長(zhǎng)相等的正多邊形鋪設(shè)，一個(gè)頂點(diǎn)處每種多邊形只用

一個(gè)，設(shè)這三種正多邊形的邊數(shù)分別是尤，y,z.求的值.

xyz

【分析】這三種正多邊形一個(gè)頂點(diǎn)處三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之和正好等于360°.

【解答］解：由題意可知：（X-2）X180°+（y-2）X180°+（z-2）*180°=360。,

xyz

-2+i-2+i-2=2,

xyz

xyz2

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平面鑲嵌，解決本題的關(guān)鍵是理解多個(gè)多邊形鑲嵌的條

件是：一個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角和等于一個(gè)周角.

5.某單位的地板由三種邊長(zhǎng)相等的正多邊形鋪成，三種多邊形是按1：1：1來(lái)

排列，設(shè)這三種正多邊形的邊數(shù)分別為x,y,z,求的值.

xyz

【分析】這三種正多邊形一個(gè)頂點(diǎn)處三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之和正好等于360。.

【解答】解：由題意可知：

6-2）?18。°+（丫-2）?18。。+-2）?1對(duì)wo

xy

?22

??1一+1—+1-=29

xyz

xyz2

【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是理解多個(gè)多邊形鑲嵌的條件是：一個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角和

等于一個(gè)周角.

6.A、8、C三人做擲石子的游戲，每人投5個(gè)石子，結(jié)果如圖所示，這個(gè)游戲

是以石子散落的距離小者為優(yōu)勝，為確定誰(shuí)是優(yōu)勝者，試給出五種判別方法.

(A)(B)(C)

【分析】根據(jù)游戲要求，以石子散落的距離小者為優(yōu)勝，制定游戲規(guī)則.

【解答】解：答案不唯一，如:

（1）含5點(diǎn)且以某些點(diǎn)為頂點(diǎn)的凸多邊形面積；

（2）含5點(diǎn)且以某些點(diǎn)為頂點(diǎn)的凸多邊形周長(zhǎng)；

（3）含5點(diǎn)的最小圓半徑；

（4）從任意一點(diǎn)引向其余各點(diǎn)的長(zhǎng)度之和最小者；

（5）連接任意兩點(diǎn)線段長(zhǎng)度中的最小值.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是游戲規(guī)則的制定，屬于開(kāi)放性試題，只要符合石子散落的

距離小的方案均可.

7.已知正〃邊形共有〃條對(duì)角線，它的周長(zhǎng)等于p,所有對(duì)角線長(zhǎng)的和等于4,

求旦_2的值.

Pq

【分析】〃邊形的對(duì)角線有工〃?（〃-3）條，根據(jù)正〃邊形共有〃條對(duì)角線，列

2

方程即可求得多邊形的邊數(shù)為5.再作正五邊形A8CDE,連接A。，根據(jù)正五

邊形的特點(diǎn)求出△ABC四△AED,/\ACD為等腰三角形，作NACO的平分線，

交于E根據(jù)△AC。與△CO/各角的度數(shù)可求出△/COS^CA。，根據(jù)

其對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答.

【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是〃.

根據(jù)題意得：—n*（n-3）=〃，

2

解得：n=5.

則多邊形的邊數(shù)是5.

作正五邊形A3CDE,連接AO；

,/五邊形ABCDE是正五邊形，

AZABC=ZB^E=3X180°=108°,AB=BC,

5

Z.ZBAC=ZACB=18Q°-108°=36°，

2

同理可知，ZAED=108°,AB=BC=AE=DE,

.'.△ABC且△AED,AC=AD；

'：ZBAC=ZDAE=36°,ZBA￡=108°,

.,.ZC4D=108°-36°-36°=36°,

/.ZACD=ZADC=72°；

作NACO的平分線，交A。于尸，根據(jù)題意，ZCAD=36°,ZACD=ZADC

=72°；

AZACF=ZFCD=36°,AF=CF=CD,

:ZCDs^cAD,

???正”邊形共的周長(zhǎng)等于p,所有對(duì)角線長(zhǎng)的和等于q,

PqP

：.CD=^,AC=&則里=①，即且

55ACCDSP.

55

QV

R=&-1,即9_.P=l.

qPPq

故旦一總的值為1.

PQ

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的對(duì)角線與邊的關(guān)系和正五邊形的性質(zhì)，解答此題的

關(guān)鍵是熟知正五邊形的特點(diǎn)，及全等、相似三角形的判定定理及性質(zhì)，作出

輔助線，構(gòu)造出相應(yīng)的三角形.

8.實(shí)踐與探索！

①過(guò)四邊形一邊上點(diǎn)P與另外兩個(gè)頂點(diǎn)連線可以把四邊形分成3個(gè)三角形;

②過(guò)五邊形一邊上點(diǎn)尸與另外三個(gè)頂點(diǎn)連線可以把五邊形分成上一個(gè)三角形;

③經(jīng)過(guò)上面的探究，你可以歸納出過(guò)〃邊形一邊上點(diǎn)P與另外〃-2個(gè)頂點(diǎn)

連線可以把n邊形分成個(gè)三角形（用含〃的代數(shù)式表示）.

④你能否根據(jù)這樣劃分多邊形的方法來(lái)寫(xiě)出n邊形的內(nèi)角和公式？請(qǐng)說(shuō)明你的

理由.

【分析】①②③在〃邊形的邊上任意取一點(diǎn)，連接這點(diǎn)與各頂點(diǎn)的線段可以把

〃邊形分成（〃-1）個(gè)三角形；

④欲證明多邊形的內(nèi)角和定理，可以把多邊形的內(nèi)角轉(zhuǎn)移到三角形中，利用（〃

-1）個(gè)三角形，內(nèi)角和為（n-1）X180°,n邊形的內(nèi)角和還要再減去P

所在的一個(gè)平角，所以〃邊形的內(nèi)角和為（〃-2）X18O0.

【解答】解：①過(guò)四邊形一邊上點(diǎn)P與另外兩個(gè)頂點(diǎn)連線可以把四邊形分成4

-1=3個(gè)三角形；

②過(guò)五邊形一邊上點(diǎn)P與另外三個(gè)頂點(diǎn)連線可以把五邊形分成5-1=4個(gè)三角

形；

③經(jīng)過(guò)上面的探究，你可以歸納出過(guò)〃邊形一邊上點(diǎn)P與另外（，L2）個(gè)頂點(diǎn)

連線可以把〃邊形分成（〃-2）個(gè)三角形（用含鹿的代數(shù)式表示）.

④在n邊形的任意一邊上任取一點(diǎn)P,連接P點(diǎn)與其它各頂點(diǎn)的線段可以把n

邊形分成（〃-1）個(gè)三角形，

這（?-1）個(gè)三角形的內(nèi)角和等于（〃-1）780°,

以P為公共頂點(diǎn)的（〃-1）個(gè)角的和是180°,

所以〃邊形的內(nèi)角和是（”-1）?180°-180°=（n-2）*180o.

故答案為：3；4；n-2,n-\.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理的證明，解題關(guān)鍵是將多邊形的內(nèi)角和

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形中解決，在〃邊形的任意一邊上任取一點(diǎn)P,連接尸點(diǎn)與

其它各頂點(diǎn)的線段可以把〃邊形分成(?-1)個(gè)三角形.

9.已知面積為32cm2的平面凸四邊形中一組對(duì)邊與一條對(duì)角線之長(zhǎng)的和為16

cm.試確定另一條對(duì)角線的所有可能的長(zhǎng)度.

【分析】四邊形ABC。的面積可以分成△ACO與AABC的面積的和，這兩個(gè)三

角形的面積可以利用N。，N(p表示，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：設(shè)四邊形ABCO面積S為32。/,并設(shè)4。=乃AC=x,BC=z.

則x+y+z=16Cem)

由S=yXjsin0+-1-xzsinq)|sin0|<1,|sin(p|^1

有：S<—xy+—xz=—x(y+z)=—x(16-x)=—[64-(x-8)2]W32

22222

但S=32,**?sin0—1>sinep_1,且x~8—0.故0—

且x=8,y+z=8.

這時(shí)易知：另一條對(duì)角線BD的長(zhǎng)為仔分=8&c〃z.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了四邊形的面積的計(jì)算，把求解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)

題是解決本題的關(guān)鍵.

10.平面上有A、B,C、D四點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在一直線上，求證：在4

ABC.AABD.△AC。、△8DC中至少有一個(gè)三角形的內(nèi)角不超過(guò)45°.

【分析】根據(jù)反證法的步驟，第一步應(yīng)假設(shè)結(jié)論的反面成立，即三角形的三個(gè)內(nèi)

角都大于45°,從假設(shè)出發(fā)推出矛盾：四邊形內(nèi)角和大于360°矛盾；三角

形內(nèi)角和大于180°.從而得以證明結(jié)論.

【解答】證明：假設(shè)A、B,C、D四點(diǎn)，任選三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的三個(gè)內(nèi)角都

大于45°,

當(dāng)A3CO構(gòu)成凸四邊形時(shí)，可得各角和大于360°,與四邊形內(nèi)角和等于360°

矛盾;

當(dāng)A3C￡>構(gòu)成凹四邊形時(shí)，可得三角形內(nèi)角和大于180°,與三角形內(nèi)角和等于

180°矛盾.

故在△ABC、△ABD、△AC。、△BDC中至少有一個(gè)三角形的內(nèi)角不超過(guò)45°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反證法.

反證法的步驟是：(1)假設(shè)結(jié)論不成立；(2)從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；(3)假設(shè)不

成立，則結(jié)論成立.在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的

情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一

一否定.

11.給定一個(gè)正整數(shù)〃，凸〃邊形中最多有多少個(gè)內(nèi)角等于150°?并說(shuō)明理由.

【分析】設(shè)凸“邊形最多有攵個(gè)內(nèi)角等于150°,則每個(gè)150°內(nèi)角的外角都等

于30°,根據(jù)凸〃邊形的〃個(gè)外角和為360°可計(jì)算出ZW12,當(dāng)〃=12時(shí),

%有最大值12,再討論當(dāng)〃>12時(shí)，當(dāng)〃=3,4,5,6,7時(shí)；當(dāng)〃=8,9,

10,11時(shí)，攵的值.

【解答】解：設(shè)凸〃邊形最多有上個(gè)內(nèi)角等于150°,則每個(gè)150°內(nèi)角的外角

都等于30°,

而凸〃邊形的〃個(gè)外角和為360°,所以k4瑞二12，

只有當(dāng)"=12時(shí)，

人才有最大值12.

下面我們討論12時(shí)的情況：

(1)當(dāng)〃>12時(shí)，顯然，％的值是11；

(2)當(dāng)〃=3,4,5,6,7時(shí)，攵的值分別為1,2,3,4,5；

(3)當(dāng)〃=8,9,10,11時(shí)，%的值分別為7,8,9,10.

綜上所述，當(dāng)3W〃W7時(shí)，凸〃邊形最多有2個(gè)內(nèi)角等于150°；

當(dāng)8W〃W11時(shí)，凸〃邊形最多有〃-1個(gè)內(nèi)角等于150°；

當(dāng)〃=12時(shí)，凸〃邊形最多有12個(gè)內(nèi)角等于150°；

當(dāng)〃>12時(shí)，凸〃邊形最多有11個(gè)內(nèi)角等于150°.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和的知識(shí).此題難度較大，注意掌握

分類(lèi)討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.

12.(1)如圖，在圖1中，互不重疊的三角形共有3個(gè)，在圖2中，互不重疊的

三角形共有5個(gè)，在圖3中，互不重疊的三角形共有7個(gè)，…，則在第〃個(gè)

圖形中，互不重疊的三角形共有2〃+1個(gè).(用含”的代數(shù)式表示)

(2)若在如圖4所示的〃邊形中，P是4A“邊上的點(diǎn)，分別連接力2、朋3、池4…

得到〃-1個(gè)互不重疊的三角形.

你能否根據(jù)這樣的劃分方法寫(xiě)出“邊形的內(nèi)角和公式并說(shuō)明你的理由；

(3)反之，若在四邊形內(nèi)部有〃個(gè)不同的點(diǎn)，按照(1)中的方法可得左個(gè)互不

重疊的三角形，試探究〃與人的關(guān)系.

【分析】(1)解決本題時(shí)，可以分別計(jì)算出"=3時(shí)，4時(shí)，5時(shí)，6時(shí)，各自對(duì)

應(yīng)的數(shù)值，看所得結(jié)果與〃之間有什么關(guān)系，進(jìn)而即可求出答案；

(2)、(3)基本思路是把多邊形分成三角形的問(wèn)題，通過(guò)三角形的內(nèi)角和定理解

決.

【解答】解：⑴2〃+1個(gè).

(2)設(shè)〃邊形的內(nèi)角和為匕則:

k=(?-1)X180°-180°

=(n-2)180°.

(3)又設(shè)在四邊形內(nèi)部有〃個(gè)不同的點(diǎn)，且按(1)中的方法可得左個(gè)互不重疊

的三角形，

而：四邊形的內(nèi)角和為360°,

.?.360/1+360°=4X180°,

貝U：2〃+2=Z.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，正確讀懂題目，理解例題的基本

思路是解決本題的關(guān)鍵.

13.一個(gè)凸〃邊形，除一個(gè)內(nèi)角外，其余〃-1個(gè)內(nèi)角的和為2009°,求〃邊形

的邊數(shù).

【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理表示出此多邊形的內(nèi)角和，然后減去2009°

得到除去的那個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)多邊形的角為(0,180°),列出關(guān)于”的

不等式，求出不等式的解集，找出正整數(shù)解即可得到〃的值.

【解答】解：根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理得到：

凸〃邊形的內(nèi)角和為18。(〃-2),

又除一個(gè)內(nèi)角外，其余〃-1個(gè)內(nèi)角的和為2009°,

所以除去的內(nèi)角為180°(〃-2)-2009°=180°n-360°-2009°=180°n

-2369°,

又0<180°n-2369°<180°,

解得:2369°<180°〃V2549°,

解得：2369。<〃<2549。，又“為正整數(shù)，

180180

所以n=14.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，是一道綜合題.

14.證明：五邊形內(nèi)角和等于540°.

【分析】因?yàn)檫^(guò)五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可做2條對(duì)角線，即可以把五邊形分成3個(gè)三

角形.已知三角形的內(nèi)角和是180°,那么3X180°=540°.所以五邊形的

內(nèi)角和得以證明.

【解答】證明：如圖，五邊形ABCDE,連接AC,連接AD.

形成三個(gè)三角形：△ABC,AACD,AADE.

由于三角形內(nèi)角和是180°,所以五邊形ABCDE的內(nèi)角和等于180°X3=

540°

對(duì)于任意一個(gè)五邊形都是如此.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了五邊形內(nèi)角和的證明.從具體的簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手常能找到解

決問(wèn)題的思路，本題通過(guò)將五邊形分割為三角形的方法簡(jiǎn)單易行.

15.認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾的探究片段,完成所提出的問(wèn)題.

探究1：如圖1,在△ABC中，。是NABC與NAC8的平分線BO和CO的交點(diǎn)，

通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)NBOC=90°理由如下：

2

?..BO和CO分別是NABC和NAC8的角平分線，

：.Zl=^ZABC,Z2=1ZACB,

22

.,.Zl+Z2=l(NABC+NACB)(NA3C+NACB)=1(180°-/A)=

222

90°-1ZA,

2

AZBOC=180°-(Z1+Z2)=180°-(90°-1ZA)=90°+^ZA.

22

(1)探究2：如圖2中，。是NABC與外角NAC。的平分線8。和CO的交點(diǎn)，

試分析N30C與NA

有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）探究3：如圖3中，0是外角NDBC與外角NEC8的平分線8。和C。的

交點(diǎn)，則N30C與NA

有怎樣的關(guān)系？（直接寫(xiě)出結(jié)論）

（3）拓展：如圖4,在四邊形ABC。中，。是NA8C與NOCB的平分線80和

C0的交點(diǎn)，則NBOC與NA+NO有怎樣的關(guān)系？（直接寫(xiě)出結(jié)論）

【分析】（1）根據(jù)角的平分線的定義以及三角形的外角的性質(zhì)即可求解；

（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和表示出NOBC和/

BCE,再根據(jù)角平分線的定義求出N03C+N0C8,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定

理列式整理即可得解；

（3）根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°求出NABC+NBC。，再根據(jù)角平分線的定義

求出NOBC+NOCB,然后利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解.

【解答】解：（1）探究2結(jié)論：ZBOC=1ZA.

2

理由如下：?.?8。和C。分別是NABC和NACO的角平分線，

：.ZOBC=^ZABC,ZOCD=^ZACD,

22

又VZACD是△ABC的一個(gè)外角,

：.ZACD=ZA+ZABC,

：.ZOCD=^-(NA+NABC)=^ZA+^-ZABC=^ZA+ZOBC,

2222

又,：4OCD是ABOC的一個(gè)外角，

：.4B0C=NOCD-ZOBC=^ZA+ZOBC-ZOBC=^ZA；

22

(2)探究3：結(jié)論NBOC=90°-1ZA.

2

理由是：?.?3。平分/8。。，CO平分NECB,

:./BOC=L/DBC,/OCB=L/ECB,

22

又?.,NDBC=NA+NAC3,ZECB=ZA+ZABC,

，NBOC+NOCB=L(ZA+ZABC+ZACB+ZA)=1(180°+NA),

22

又?.?/3OC=180°-(ZBOC+ZOC5)=180°-1(180°+ZA)=90°-工

22

NA；

(3)拓展：結(jié)論N80C=L(ZA+ZD).

2

理由是：?.?B。平分NABC,CO平分NDCB,

：.ZOBC=^ZABC,ZOCB=^ZDCB,

22

；.NOBC+NOCB=LCZABC+ZDCB),

2

又?.?NA3C+NOC3+NA+NO=360°,ZABC+ZDCB=3600-ZA-ZD,

：.ZOBC+ZOCB=^-(360°-ZA+ZD),

2

/.ZBOC=180°-(NOBC+NOCB)=1(ZA+ZD).

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，

三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵.

16.一個(gè)凸〃邊形，除了一個(gè)內(nèi)角外，其余(〃-1)個(gè)內(nèi)角的和是2000°,求〃

的值.

【分析】〃邊形的內(nèi)角和為(〃-2)X180°,即多邊形的內(nèi)角和為180°的整數(shù)

倍，用2000除以180°,所得余數(shù)和去掉的一個(gè)內(nèi)角互補(bǔ).

【解答】解：設(shè)除去的這個(gè)內(nèi)角是x°,則

(n-2)X180-x=2000,

則2000+x是180的倍數(shù)，

所以x=160,

則n=14.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角.關(guān)鍵是利用多邊形的內(nèi)角和為180°的

整數(shù)倍，求多邊形去掉的一個(gè)內(nèi)角度數(shù).

17.如圖，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=?

6

7

【分析】先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別得出N7=N1+N5,Z8=Z4+Z6,再

根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°即可求解.

【解答】解：?；N7=N1+N5,Z8=Z4+Z6,

.,.Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=Z2+Z3