2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中測試卷01新人教A版2024

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中測試卷01（人教A版2024）（本卷滿分150分，考試時間120分鐘）測試范圍：選擇性必修第一冊RJ-A（2024）第一章、其次章一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1．對于空間隨意一點和不共線的三點、、，有如下關(guān)系：，則()。A、四點、、、必共面B、四點、、、必共面C、四點、、、必共面D、五點、、、、必共面【答案】B【解析】由得：，可得四點、、、必共面，故選B。2．已知平面、的法向量分別為、且，則的值為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由已知得，即，則，故選A。3．若()，則直線被圓所截得的弦長為()。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵圓心到直線的距離，因此依據(jù)直角三角形的關(guān)系，弦長的一半就等于，∴弦長為，故選D。4．已知三條直線、和中沒有任何兩條平行，但它們不能構(gòu)成三角形的三邊，則實數(shù)的值為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由已知得三條直線必過同一個點，則聯(lián)立解得這兩條直線的交點為，代入可得，故選A。5．直線：(是不等于的整數(shù))與直線的交點恰好是整點(橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù))，那么滿意條件的直線有()。A、條B、條C、條D、多數(shù)條【答案】B【解析】聯(lián)立，∴，即，，∴或或或，∵，∴值有個，直線有七條，故選B。6．過點的直線與圓：交于、兩點，當(dāng)時，直線的斜率為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由題意得，則圓心到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時直線與圓相切，不合題意，舍去，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，則，解得，故選A。7．已知、兩點，則直線與空間直角坐標(biāo)系中的平面的交點坐標(biāo)為()。A、B、C、D、【答案】B【解析】設(shè)連線與平面的交點為，∵、、三點共線，則，則，則，解得，則，故選B。8．阿波羅尼斯(約公元前262-190年)證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)(且)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓。若平面內(nèi)兩定點、間的距離為，動點與、距離之比為，當(dāng)、、不共線時，面積的最大值是()。A、B、C、D、【答案】D【解析】如圖，以經(jīng)過、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建系，、，設(shè)，∵，∴，兩邊平方并整理得：，∴面積的最大值是，故選D。二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9．若平面內(nèi)兩條平行線：與：間的距離為，則實數(shù)()。A、B、C、D、【答案】BD【解析】∵，∴，解得或，時，符合，當(dāng)時，符合，故選BD。10．已知、、和為空間中的個單位向量，且，可能等于()。A、B、C、D、【答案】CD【解析】∵，而，∴，又∵、、、是單位向量，且，∴、、肯定不共線，∴，故選CD。11．給出下列命題，其中不正確的為()。A、若，則必有與重合，與重合，與為同一線段B、若，則是鈍角C、若，則與肯定共線D、非零向量、、滿意與，與，與都是共面對量，則、、必共面【答案】ABD【解析】對于A，考慮平行四邊形中，滿意，不滿意與重合，與重合，與為同一線段，故A錯，對于B，當(dāng)兩個非零向量、的夾角為時，滿意，但它們的夾角不是鈍角，故B錯，對于C，當(dāng)時，，則與肯定共線，故C對，對于D，考慮三棱柱，、、，滿意與，與，與都是共面對量，但、、不共面，故D錯，故選ABD。12．已知圓：，過點向圓作切線，切點為，再作斜率為的割線交圓于、兩點，則的面積為()。A、B、C、D、【答案】BD【解析】由題意知，過點作斜率為的割線，則直線的方程為，點到直線的距離為，則弦，過點作圓的切線，其中一條為軸，切點為軸，則點到直線的距離，∴的面積即為的面積，故，又另一條切線為，設(shè)直線的方程為，由題意得，且點到直線的距離，解得，則直線的方程為，與圓的方程聯(lián)立易得，點到直線的距離，故，綜上所述的面積為或，故選BD。三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知正方體中，，若，則，。（本小題每空2.5分）【答案】【解析】∵，∴，∴，。14．已知直線及直線截圓所得的弦長均為，則圓的面積是?！敬鸢浮俊窘馕觥俊咭阎膬蓷l直線平行且截圓所得的弦長均為，∴圓心到直線的距離為兩平行直線距離的一半，即，又直線截圓所得的弦長為，∴圓的半徑，∴圓的面積是。15．如圖所示，平行六面體中，，，，則線段的長度是?！敬鸢浮俊窘馕觥俊?，∴，∴。16．已知點是直線：()上的動點，過點作圓：的切線，為切點。若最小為時，圓：與圓外切，且與直線相切，則的值為?！敬鸢浮俊窘馕觥繄A的圓心為，半徑為，當(dāng)與垂直時，的值最小，此時點到直線的距離為，由勾股定理得，又，解得，圓的圓心為，半徑為，∵圓與圓外切，∴，∴，∵圓與直線相切，∴，解得。四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分10分）如圖所示，三棱柱中，、分別是、上的點，且，。設(shè)，，。(1)試用、、表示向量；(2)若，，，求的長。【解析】(1)2分；4分(2)6分，8分即，∴。10分18．（本小題滿分12分）過點作直線分別交、軸正半軸于、兩點。(1)當(dāng)面積最小時，求直線的方程。(2)當(dāng)取最小值時，求直線的方程?！窘馕觥吭O(shè)直線：(，)，∵直線經(jīng)過點，∴，2分(1)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，4分∴當(dāng)，時，最小，此時直線的方程為，即；6分(2)∵，，，∴，9分當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，10分∴當(dāng)取最小值時，直線的方程為。12分19．（本小題滿分12分）如圖所示，在中，，為邊上一點，且，，平面，且。(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值。【解析】(1)證明：∵，，∴，∴，∴，1分又平面，平面，∴，2分又∵平面，，∴平面，即平面，3分又平面，∴平面平面；4分(2)解：以、、所在射線分別為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，，則，，，，∴，，，6分設(shè)平面的一個法向量為，∴，∴，令，則，，∴，9分設(shè)與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為。12分20．（本小題滿分12分）已知平行四邊形的三個頂點的坐標(biāo)為、、。(1)在中，求邊中線所在直線方程；(2)求平行四邊形的頂點的坐標(biāo)及邊的長度；(3)求的面積。【解析】如圖建系，(1)設(shè)邊中點為，則點坐標(biāo)為，1分∴直線，∴直線的方程為：，3分即：，∴邊中線所在直線的方程為：；4分(2)設(shè)點的坐標(biāo)為，由已知得為線段的中點，有，解得，∴，6分又∵、，則；8分(3)由、得直線的方程為：，9分∴到直線的距離，∴。12分21．（本小題滿分12分）如圖1，在直角梯形中，，，，，是的中點，是與的交點。將沿折起到的位置，如圖2。(1)證明：平面；(2)若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值?！窘馕觥?1)證明：在圖1中，∵，，是的中點，，∴，即在圖2中，、，1分又，、平面，平面，3分又，∴平面；4分(2)解：由已知，平面平面，又由(1)知，、，∴為二面角的平面角，∴，5分如圖，以為原點，、、為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，∵，，∴、、、，∴，，，7分設(shè)平面的法向量，則，即，令，則、，則，9分設(shè)平面的法向量，則，即，令，則、，則，11分設(shè)平面與平面的夾角的平面角為，∴。12分22．（本小題滿分12分）如圖所示，直四棱柱的底面是菱形，，，，、、分別是、、的中點。(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值?！窘馕觥?1)由題可得，四邊形為菱形，且，連接，則，又∵為的中點，則，∴，即，2分又∵平面，平面，平面，則，，∴以為原點，、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，4分由為中點