福建省漳州市龍海市程溪中學2024-2025學年高一數(shù)學上學期期中試題含解析

PAGE15-福建省漳州市龍海市程溪中學2024-2025學年高一數(shù)學上學期期中試題（含解析）一、選擇題：1.以下四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是A.f（x）=?，g（x）=x2–1 B.f（x）=，g（x）=x+1C.f（x）=，g（x）=（）2 D.f（x）=|x|，g（t）=【答案】D【解析】【分析】兩個函數(shù)表示同一函數(shù)要滿意：定義域相同、對應法則相同（滿意這兩點時當然值域也就相同了）．依次推斷兩個函數(shù)這些量是否相同即可.【詳解】兩個函數(shù)表示同一函數(shù)要滿意：定義域相同、對應法則相同（當然值域也相同）．f（x）=?=，g（x）=x2–1，定義域和對應法則均不同；B，f（x）==x+1，（x≠1），g（x）=x+1，定義域不同；C，f（x）==|x|（x∈R），g（x）=（）2=x（x≥0）定義域和對應法則均不同；D，f（x）=|x|，g（t）==|t|，定義域均為R相同，對應法則也相同，故選D．【點睛】這個題目考查了函數(shù)三要素，推斷函數(shù)是否為同一函數(shù)主要是看兩個函數(shù)的三要素是否形同；其中兩個函數(shù)的對應法則相同和定義域相同則兩個函數(shù)肯定是同一個函數(shù)，定義域相同和值域相同則兩個函數(shù)不肯定為同一函數(shù).2.若全集，則集合的真子集共有（）A.個 B.個 C.個 D.個【答案】A【解析】【分析】依據(jù)集合的補集推斷集合的個數(shù)，進而求得集合的真子集個數(shù)．【詳解】由題可知，集合有三個元素．所以的真子集個數(shù)為：個．選A【點睛】集合中子集的個數(shù)為，真子集的個數(shù)為-1，非空真子集的個數(shù)為-23.二次函數(shù)在區(qū)間上的值域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用配方法化簡函數(shù)解析式，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)在區(qū)間上的值域.【詳解】由于，函數(shù)的對稱軸為，開口向上，所以當時函數(shù)有最小值為，當時，函數(shù)有最大值為，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為.故選：C【點睛】本小題主要考查二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域的求法，屬于基礎題.4.在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先推斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，由,利用零點存在定理可得結果.【詳解】因為函數(shù)在上連續(xù)單調(diào)遞增，且,所以函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，故選C.【點睛】本題主要考查零點存在定理的應用，屬于簡潔題.應用零點存在定理解題時，要留意兩點：（1）函數(shù)是否為單調(diào)函數(shù)；（2）函數(shù)是否連續(xù).5.已知函數(shù)的定義域為,則的定義域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為函數(shù)的定義域為，所以，要使有意義，則，解得，故選B.6.若函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且在內(nèi)是減函數(shù)，又，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性畫出的草圖，由此求得的解集.【詳解】由于函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，其在上遞減，，所以函數(shù)在上遞減，且，而，由此畫出的圖像如下圖所示.不等等價于，也即是和對應的函數(shù)值異號，由圖像可知，原不等式的解集為.故選D.【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.7.方程的解的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【詳解】畫出函數(shù)圖象如下圖所示,由圖可知,解的個數(shù)為個.故選.8.已知函數(shù)的定義域是一切實數(shù)，則的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析題意可知，對于恒成立，所以求不等式恒成立問題即可【詳解】因為的定義域是一切實數(shù)，所以，對于恒成立當時，，恒成立當時，，解得綜上所述，答案選A【點睛】本題考查函數(shù)的定義域的求法，結合了二次函數(shù)恒成立問題進行考察，當二次函數(shù)函數(shù)值恒大于零或恒小于零時，肯定有判別式小于零．當然本題簡潔錯解，當時，不肯定是二次函數(shù)，簡潔錯解9.已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有三個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍為()A[－，1] B.[－，1)C.(－，0) D.(－，0]【答案】C【解析】試題分析：函數(shù)g（x）=f（x）-m有三個不同的零點，等價于函數(shù)y=f（x）與y=m的圖象有三個不同的交點，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：由二次函數(shù)的學問可知，當x=時，拋物線取最低點為-，函數(shù)y=m的圖象為水平的直線，由圖象可知當m∈（-，0）時，兩函數(shù)的圖象有三個不同的交點，即原函數(shù)有三個不同的零點考點：分段函數(shù)的應用10.函數(shù)圖像大致為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先推斷函數(shù)為偶函數(shù)解除；再依據(jù)當時，，解除得到答案.【詳解】，偶函數(shù)，解除；當時，，解除故選【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的識別，通過函數(shù)的奇偶性和特殊函數(shù)點可以解除選項快速得到答案.11.關于的不等式對隨意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別參數(shù)后，構造函數(shù)求出值域可得．【詳解】關于的不等式，參變分別得，令，，則對隨意恒成立等價于對隨意恒成立，，．故選．【點睛】本題考查了函數(shù)恒成立問題，屬中檔題．12.設函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，實數(shù)使得對于隨意都成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由條件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a對于x∈[0，1]恒成立，令g（x）＝x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可，分類探討，求最值即可求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】解：法一：由條件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a對于x∈[0，1]恒成立令g（x）＝x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可．g（x）＝x2+ax﹣a+1＝（x）2a+1．①當0，即a＞0時，g（x）min＝g（0）＝1﹣a＞0，∴a＜1，故0＜a＜1；②當01，即﹣2≤a≤0時，g（x）min＝g（）a+1＞0，∴﹣2﹣2a＜﹣2+2，故﹣2≤a≤0；③當1，即a＜﹣2時，g（x）min＝g（1）＝2＞0，滿意，故a＜﹣2．綜上的取值范圍，故選A.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的最小值，恒成立問題，分類探討的思想，屬于難題.二、填空題13.函數(shù)恒過定點__________．【答案】【解析】試題分析：定點．考點：函數(shù)的定點．14.若函數(shù)滿意，并且當時，，求當時，=.【答案】【解析】【分析】當時，，由可得解.【詳解】當時，時，.由，可得.故答案為.【點睛】本題主要考查了利用奇偶性求函數(shù)的解析式，屬于基礎題.15.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_________．【答案】【解析】【分析】先確定函數(shù)的定義域，再考慮內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性，利用復合函數(shù)的單調(diào)性即可得到結論．【詳解】由，可得或，所以函數(shù)的定義域為又在區(qū)間的單調(diào)遞減，單調(diào)遞減,

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,故答案為．【點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、復合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.復合函數(shù)的單調(diào)性的推斷可以綜合考查兩個函數(shù)的單調(diào)性，因此也是命題的熱點，推斷復合函數(shù)單調(diào)性要留意把握兩點：一是要同時考慮兩個函數(shù)的的定義域；二是同時考慮兩個函數(shù)的單調(diào)性，正確理解“同增異減”的含義（增增增，減減增，增減減，減增減）.16.已知滿意對隨意成立，那么的取值范圍是_______【答案】【解析】由對隨意成立可知，函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，所以：，解得答案為：.三、解答題17.計算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）依據(jù)分數(shù)指數(shù)冪運算法則，化簡，即可求解；（2）依據(jù)對數(shù)運算法則，化簡，即可求解.【詳解】（1）原式．（2）原式【點睛】本題考查：（1）分數(shù)指數(shù)冪運算（2）對數(shù)運算，屬于基礎題.18.已知集合A={x|x＜-1，或x＞2}，B={x|2p-1≤x≤p+3}．（1）若p=，求A∩B；（2）若A∩B=B，求實數(shù)p的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)依據(jù)集合的交集得到結果即可；（2）當A∩B=B時，可得B?A，分B為空集和不為空集兩種狀況即可.【詳解】（1）當時，B={x|0≤x≤}，∴A∩B={x|2＜x≤}；（2）當A∩B=B時，可得B?A；當時，令2p-1＞p+3，解得p＞4，滿意題意；當時，應滿意解得；即綜上，實數(shù)p的取值范圍．【點睛】與集合元素有關問題的思路：（1）確定集合的元素是什么，即確定這個集合是數(shù)集還是點集;（2）看這些元素滿意什么限制條件;（3）依據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合元素的個數(shù)，但要留意檢驗集合是否滿意元素的互異性．19.設，（1）在所給直角坐標系中畫出的圖象；（2）若，求的值；（3）若有三個根，求的范圍．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)分段函數(shù)定義，分段畫出函數(shù)圖象；（2）由（1）中圖像，代入函數(shù)值，求解自變量；（3）方程根的問題轉化成函數(shù)圖象與直線的交點問題，由（1）中圖像，結合函數(shù)取值，可求參數(shù)范圍.【詳解】（1）依據(jù)，畫出它的圖象，如圖：（2）結合圖象，由，可得，∴（負的舍去）．（3）∵方程有三個根，∴函數(shù)和直線有三個交點，視察函數(shù)的圖象，可知有三個交點時，實數(shù)的取值范圍為．∴的取值范圍為．【點睛】本題考查：（1）畫分段函數(shù)圖像（2）由函數(shù)值求自變量值（3）方程有解轉化成函數(shù)圖象與直線交點問題，本題比較基礎.20.求下列函數(shù)的解析式：（1）函數(shù)是一次函數(shù)，且，求；（2）已知，求．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）由題意，是一次函數(shù)，則設，代入復合函數(shù)解析式，令對應系數(shù)相等，即可求解參數(shù)值；（2）令代入，得，與原式構成方程組，運用加減消元法，消去，求解.【詳解】（1）設，則，∴，∴，解得，或，∴或．?（2）由，令代入得，∴由，解得．【點睛】本題考查求解析式兩種方法：（1）待定系數(shù)法（2）方程組法，屬于基礎題.21.近年來，中美貿(mào)易摩擦不斷.特殊是美國對我國華為的限制.盡管美國對華為極力封鎖，百般刁難，并不斷加大對各國的施壓，拉攏他們抵制華為5G，然而這并沒有讓華為卻步.華為在2024年不僅凈利潤創(chuàng)下記錄，海外增長同樣強勁.今年，我國華為某一企業(yè)為了進一步增加市場競爭力，安排在2024年利用新技術生產(chǎn)某款新手機.通過市場分析，生產(chǎn)此款手機全年需投入固定成本250萬，每生產(chǎn)（千部）手機，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，每部手機售價0.7萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的手機當年能全部銷售完.（）求出2024年的利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（千部）的函數(shù)關系式，（利潤=銷售額—成本）；2024年產(chǎn)量為多少（千部）時，企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2024年產(chǎn)量為100（千部）時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是9000萬元.【解析】【分析】（Ⅰ）依據(jù)銷售額減去成本（固定成本萬和成本）求出利潤函數(shù)即可.（Ⅱ）依據(jù)（Ⅰ）中的分段函數(shù)可求出何時取最大值及相應的最大值.【詳解】（Ⅰ）當時，；當時，，.（Ⅱ）若，，當時，萬元.若，，當且僅當時，即時，萬元.2024年產(chǎn)量為100（千部）時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是9000萬元.【點睛】解函數(shù)應用題時，留意依據(jù)實際意義構建目標函數(shù)，有時可依據(jù)題設給出的計算方法構建目標函數(shù).求函數(shù)的最值時，留意利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式.22.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，（1）確定函數(shù)的解析式；（2）用定義證明在上是增函數(shù)；（3）解關于的不等式．【答案】（1）（2）證明見