2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9章平面解析幾何第4講雙曲線(xiàn)作業(yè)試題1含解析新人教版

PAGE第九章平面解析幾何第四講雙曲線(xiàn)練好題﹒考點(diǎn)自測(cè)1.[2016全國(guó)卷Ⅰ,5分]已知方程QUOTE-QUOTE=1表示雙曲線(xiàn),且該雙曲線(xiàn)兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是 ()A.(-1,3) B.(-1,QUOTE)C.(0,3) D.(0,QUOTE)2.[2024全國(guó)卷Ⅲ,5分]雙曲線(xiàn)C:QUOTE-QUOTE=1的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在C的一條漸近線(xiàn)上,O為坐標(biāo)原點(diǎn).若|PO|=|PF|,則△PFO的面積為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.2QUOTE D.3QUOTE3.[2024全國(guó)卷Ⅱ,5分]設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)x=a與雙曲線(xiàn)C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的兩條漸近線(xiàn)分別交于D,E兩點(diǎn).若△ODE的面積為8,則C的焦距的最小值為 ()A.4 B.8 C.16 D.324.[2024大同市調(diào)研測(cè)試]如圖9-4-1,雙曲線(xiàn)C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F2作線(xiàn)段F2P與C交于點(diǎn)Q,且Q為PF2的中點(diǎn).若等腰三角形PF1F2的底邊PF2的長(zhǎng)等于C的半焦距,則C的離心率為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE圖9-4-15.[2024天津,5分]已知雙曲線(xiàn)QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的離心率為2,過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn).設(shè)A,B到雙曲線(xiàn)的同一條漸近線(xiàn)的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線(xiàn)的方程為 ()A.QUOTE-QUOTE=1 B.QUOTE-QUOTE=1C.QUOTE-QUOTE=1 D.QUOTE-QUOTE=16.[多選題]以下關(guān)于雙曲線(xiàn)的命題說(shuō)法正確的是 ()A.若點(diǎn)(2,3)在焦距為4的雙曲線(xiàn)QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)上,則此雙曲線(xiàn)的離心率e=1B.若點(diǎn)F,B分別是雙曲線(xiàn)QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)和虛軸的一個(gè)端點(diǎn),則線(xiàn)段FB的中點(diǎn)在此雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上C.等軸雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)相互垂直,離心率等于QUOTED.若雙曲線(xiàn)QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)與QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的離心率分別是e1,e2,則QUOTE+QUOTE=1(稱(chēng)這兩條雙曲線(xiàn)互為共軛雙曲線(xiàn))7.[2024北京,5分]已知雙曲線(xiàn)C:QUOTE-QUOTE=1,則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為;C的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離是.

8.[2024全國(guó)卷Ⅰ,5分]已知F為雙曲線(xiàn)C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),A為C的右頂點(diǎn),B為C上的點(diǎn),且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3,則C的離心率為.

拓展變式1.(1)[2024廣東七校第一次聯(lián)考]P是雙曲線(xiàn)C:QUOTE-y2=1右支上一點(diǎn),直線(xiàn)l是雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn).P在l上的射影為Q,F1是雙曲線(xiàn)C的左焦點(diǎn),則|PF1|+|PQ|的最小值為 ()A.1 B.2+QUOTE C.4+QUOTE D.2QUOTE+1(2)[2024全國(guó)卷Ⅲ,5分]設(shè)雙曲線(xiàn)C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為QUOTE.P是C上一點(diǎn),且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面積為4,則a= ()A.1 B.2 C.4 D.82.[2017天津,5分]已知雙曲線(xiàn)QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為QUOTE.若經(jīng)過(guò)F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線(xiàn)平行于雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn),則雙曲線(xiàn)的方程為 ()A.QUOTE-QUOTE=1 B.QUOTE-QUOTE=1C.QUOTE-QUOTE=1 D.QUOTE-QUOTE=13.[2024成都三診]已知F1,F2是雙曲線(xiàn)QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)相交于點(diǎn)A,且QUOTE≤∠F1AF2≤QUOTE,則該雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是 ()A.[QUOTE,QUOTE] B.[QUOTE,3] C.[3,QUOTE] D.[QUOTE,3]答案第四講雙曲線(xiàn)1.A解法一因?yàn)殡p曲線(xiàn)QUOTE-QUOTE=1兩焦點(diǎn)之間的距離為4,則:①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),QUOTE解得QUOTE②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),QUOTE無(wú)解.綜上,-1<n<3.故選A.解法二取n=0,滿(mǎn)意題意,解除C,D;取n=2,滿(mǎn)意題意,解除B.選A.解法三不考慮雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)的位置,依據(jù)雙曲線(xiàn)的性質(zhì)可得QUOTE化簡(jiǎn)可得QUOTE則-1<n<3,故選A.2.A設(shè)點(diǎn)P在第一象限,依據(jù)題意可知c2=6,所以|OF|=QUOTE.又tan∠POF=QUOTE=QUOTE,所以等腰三角形PFO底邊OF上的高h(yuǎn)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以S△PFO=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.故選A.3.B由題意知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±QUOTEx.因?yàn)镈,E分別為直線(xiàn)x=a與雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)的交點(diǎn),所以不妨設(shè)D(a,b),E(a,-b),所以S△ODE=QUOTE×a×|DE|=QUOTE×a×2b=ab=8,所以c2=a2+b2≥2ab=16,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2QUOTE時(shí)等號(hào)成立.所以c≥4,所以2c≥8,所以C的焦距的最小值為8,故選B.4.C連接F1Q,由△PF1F2是以PF2為底邊的等腰三角形,且Q是PF2的中點(diǎn),知F1Q⊥PF2,又|PF2|=c,所以|QF2|=QUOTE,由雙曲線(xiàn)的定義可得|F1Q|=QUOTE+2a,依據(jù)F1Q⊥PF2和|F1F2|=2c得,(QUOTE)2+(QUOTE+2a)2=(2c)2,化簡(jiǎn)整理得7c2-4ac-8a2=0,方程兩邊同時(shí)除以a2得7e2-4e-8=0,又e>1,所以e=QUOTE,故選C.5.C解法一因?yàn)橹本€(xiàn)AB經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn),所以不妨取A(c,QUOTE),B(c,-QUOTE),取雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)為直線(xiàn)bx-ay=0,由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得d1=QUOTE=QUOTE,d2=QUOTE=QUOTE,因?yàn)閐1+d2=6,所以QUOTE+QUOTE=6,所以2b=6,得b=3.因?yàn)殡p曲線(xiàn)QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的離心率為2,即QUOTE=2,所以QUOTE=4,所以QUOTE=4,解得a2=3,所以雙曲線(xiàn)的方程為QUOTE-QUOTE=1,故選C.解法二由直線(xiàn)AB過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)且垂直于x軸,d1+d2=6,得雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為3,所以b=3.因?yàn)殡p曲線(xiàn)QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的離心率為2,所以QUOTE=2,所以QUOTE=4,所以QUOTE=4,解得a2=3,所以雙曲線(xiàn)的方程為QUOTE-QUOTE=1,故選C.6.CD對(duì)于A,雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為(-2,0),(2,0),2a=|QUOTE-QUOTE|=2,a=1,從而離心率e=2,所以A錯(cuò)誤;對(duì)于B,F(±c,0),B(0,±b),FB的中點(diǎn)坐標(biāo)(±QUOTE,±QUOTE)不滿(mǎn)意雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程y=±QUOTEx,所以B錯(cuò)誤;對(duì)于C,由等軸雙曲線(xiàn)的性質(zhì)可知C正確;對(duì)于D,由共軛雙曲線(xiàn)的性質(zhì)可知D正確.故選CD.7.(3,0)QUOTE雙曲線(xiàn)C:QUOTE-QUOTE=1中,c2=6+3=9,∴c=3,則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),C的漸近線(xiàn)方程為y=±QUOTEx,即x±QUOTEy=0,則C的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離d=QUOTE=QUOTE.8.2設(shè)B(c,yB),因?yàn)锽為雙曲線(xiàn)C:QUOTE-QUOTE=1上的點(diǎn),所以QUOTE-QUOTE=1,所以QUOTE=QUOTE.因?yàn)锳B的斜率為3,所以yB=QUOTE,QUOTE=3,所以b2=3ac-3a2,所以c2-a2=3ac-3a2,所以c2-3ac+2a2=0,解得c=a(舍去)或c=2a,所以C的離心率e=QUOTE=2.1.(1)D設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F2,因?yàn)閨PF1|-|PF2|=2QUOTE,所以|PF1|=2QUOTE+|PF2|,|PF1|+|PQ|=2QUOTE+|PF2|+|PQ|.當(dāng)且僅當(dāng)Q,P,F2三點(diǎn)共線(xiàn),且P在Q,F2之間時(shí),|PF2|+|PQ|最小,且最小值為點(diǎn)F2到直線(xiàn)l的距離.由題意可得直線(xiàn)l的方程為y=±QUOTEx,焦點(diǎn)F2(QUOTE,0),點(diǎn)F2到直線(xiàn)l的距離d=1,故|PQ|+|PF1|的最小值為2QUOTE+1,故選D.(2)A解法一設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,P為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn),則由雙曲線(xiàn)的定義得m-n=2a.由題意得QUOTE=QUOTEmn=4,且m2+n2=4c2,又e=QUOTE=QUOTE,所以a=1,故選A.解法二(結(jié)論解法)由題意及雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)三角形的結(jié)論(詳見(jiàn)主書(shū)P203【思維拓展】(4)),得QUOTE=QUOTE=4,得b2=4,又QUOTE=5,c2=b2+a2,所以a=1.2.B由e=QUOTE知,雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn),則其漸近線(xiàn)方程為y=±x,由P(0,4)知左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-4,0),所以c=4,則a2=b2=QUOTE=8.故選