2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十章概率10.2事件的相互獨立性課時素養(yǎng)檢測含解析新人教A版必修第二冊

PAGE課時素養(yǎng)檢測四十二事務(wù)的相互獨立性(30分鐘60分)一、選擇題(每小題4分,共24分)1.若A與B是相互獨立事務(wù),則下列結(jié)論中正確的是()A.A與B是對立事務(wù)B.A與B是互斥事務(wù)C.QUOTE與QUOTE不相互獨立D.A與QUOTE是相互獨立事務(wù)【解析】選D.相互獨立與互斥、對立沒有必定聯(lián)系.2.一個電路上裝有甲、乙兩根保險絲,甲熔斷的概率為0.85,乙熔斷的概率為0.74,甲、乙兩根保險絲熔斷與否相互獨立,則兩根保險絲都熔斷的概率為()A.1 B.0.629C.0 D.0.74或0.85【解析】選B.事務(wù)“兩根保險絲都熔斷”即事務(wù)“甲保險絲熔斷”“乙保險絲熔斷”同時發(fā)生,依題意得事務(wù)“兩根保險絲都熔斷”的概率為0.85×0.74=0.629.3.甲、乙兩名射手同時向一目標射擊,設(shè)事務(wù)A:“甲擊中目標”,事務(wù)B:“乙擊中目標”,則事務(wù)A與事務(wù)B()A.相互獨立但不互斥 B.互斥但不相互獨立C.相互獨立且互斥 D.既不相互獨立也不互斥【解析】選A.對同一目標射擊,甲、乙兩射手是否擊中目標是互不影響的,所以事務(wù)A與B相互獨立;對同一目標射擊,甲、乙兩射手可能同時擊中目標,也就是說事務(wù)A與B可能同時發(fā)生,所以事務(wù)A與B不是互斥事務(wù).4.甲、乙兩人同時報考某一所高校,甲被錄用的概率為0.6,乙被錄用的概率為0.7,兩人是否被錄用互不影響,則其中至少有一人被錄用的概率為()A.0.12 B.0.42 C.0.46 D.0.88【解析】選D.由題意知,甲、乙都不被錄用的概率為(1-0.6)×(1-0.7)=0.12,故至少有一人被錄用的概率為1-0.12=0.88.5.在某道路A,B,C三處設(shè)有交通燈,這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45秒,某輛車在這個道路上勻速行駛,則三處都不停車的概率為()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.由題意知每個交通燈開放綠燈的概率分別為QUOTE、QUOTE、QUOTE.所以所求概率P=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.【補償訓(xùn)練】假日期間,甲去黃山的概率是QUOTE,乙去黃山的概率是QUOTE,假定兩人的行動相互之間沒有影響,那么在假日期間甲、乙兩人至少有一人去黃山的概率是()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】選C.設(shè)甲、乙去黃山分別為事務(wù)A,B,則P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,所以甲、乙兩人至少有一人去黃山的概率是P=1-P(QUOTEQUOTE)=1-QUOTE×QUOTE=QUOTE.6.如圖所示,在兩個圓盤中,指針落在圓盤每個數(shù)所在區(qū)域的機會均等,那么兩個指針同時落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.“左邊圓盤指針落在奇數(shù)區(qū)域”記為事務(wù)A,則P(A)=QUOTE=QUOTE,“右邊圓盤指針落在奇數(shù)區(qū)域”記為事務(wù)B,則P(B)=QUOTE,事務(wù)A,B相互獨立,所以兩個指針同時落在奇數(shù)區(qū)域的概率為QUOTE×QUOTE=QUOTE.二、填空題(每小題4分,共8分)7.加工某一零件需經(jīng)過三道工序,設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為QUOTE,QUOTE,QUOTE,且各道工序互不影響,則加工出來的零件的次品率為________.

【解析】加工出來的零件的正品率是QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,因此加工出來的零件的次品率為1-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.甲、乙兩人投球命中率分別為QUOTE,QUOTE,則甲、乙兩人各投一次,恰好命中一次的概率為________.

【解析】事務(wù)“甲投球一次命中”記為A,“乙投球一次命中”記為B,“甲、乙兩人各投一次恰好命中一次”記為事務(wù)C,則C=AQUOTE∪QUOTEB且AQUOTE與QUOTEB互斥,P(C)=P(AQUOTE∪QUOTEB)=P(A)P(QUOTE)+P(QUOTE)P(B)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題14分,共28分)9.某班甲、乙、丙三名同學(xué)競選班委,甲當選的概率為QUOTE,乙當選的概率為QUOTE,丙當選的概率為QUOTE.(1)求恰有一名同學(xué)當選的概率;(2)求至多有兩人當選的概率.【解析】設(shè)甲、乙、丙當選的事務(wù)分別為A,B,C,則有P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(C)=QUOTE.(1)因為事務(wù)A,B,C相互獨立,所以恰有一名同學(xué)當選的概率為P(AQUOTEQUOTE)+P(QUOTEBQUOTE)+P(QUOTEQUOTEC)=P(A)·P(QUOTE)·P(QUOTE)+P(QUOTE)·P(B)·P(QUOTE)+P(QUOTE)·P(QUOTE)·P(C)=QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)至多有兩人當選的概率為1-P(ABC)=1-P(A)·P(B)·P(C)=1-QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.10.在社會主義新農(nóng)村建設(shè)中,某市確定在一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)投資農(nóng)產(chǎn)品加工、綠色蔬菜種植和水果種植三個項目,據(jù)預(yù)料,三個項目勝利的概率分別為QUOTE,QUOTE,QUOTE,且三個項目是否勝利相互獨立.(1)求恰有兩個項目勝利的概率;(2)求至少有一個項目勝利的概率.【解析】(1)只有農(nóng)產(chǎn)品加工和綠色蔬菜種植兩個項目勝利的概率為QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,只有農(nóng)產(chǎn)品加工和水果種植兩個項目勝利的概率為QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,只有綠色蔬菜種植和水果種植兩個項目勝利的概率為QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以恰有兩個項目勝利的概率為QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE.(2)三個項目全部失敗的概率為QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以至少有一個項目勝利的概率為1-QUOTE=QUOTE.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題4分,共16分)1.甲、乙兩隊進行排球決賽,現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍,乙隊須要再贏兩局才能得冠軍.若兩隊勝每局的概率相同,則甲隊獲得冠軍的概率為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.問題等價為兩類:第一類,第一局甲贏,其概率P1=QUOTE;其次類,需競賽2局,第一局甲負,其次局甲贏,其概率P2=QUOTE×QUOTE=QUOTE.故甲隊獲得冠軍的概率為P1+P2=QUOTE.2.拋擲一枚骰子一次,A表示事務(wù)“出現(xiàn)偶數(shù)點”,B表示事務(wù)“出現(xiàn)3點或6點”,則事務(wù)A與B的關(guān)系是()A.互斥事務(wù)B.相互獨立事務(wù)C.既互斥又相互獨立事務(wù)D.既不互斥又不獨立事務(wù)【解析】選B.A={2,4,6},B={3,6},A∩B={6},所以P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(AB)=QUOTE=QUOTE×QUOTE.所以A與B是相互獨立事務(wù).3.在荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳動時,均從一葉跳到另一葉),而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍,如圖所示.假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A葉上,則跳三次之后停在A葉上的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.青蛙跳三次要回到A只有兩條途徑:第一條:按A→B→C→A,P1=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.其次條,按A→C→B→A,P2=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以跳三次之后停在A葉上的概率為P=P1+P2=QUOTE+QUOTE=QUOTE.4.有一個電路,如圖所示,A,B,C,D,E,F為6個開關(guān),若其閉合的概率都是QUOTE,且每個開關(guān)閉合與否是相互獨立的,則燈亮的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.設(shè)事務(wù)T為開關(guān)A,B中至少有一個不閉合,事務(wù)R為開關(guān)E,F中至少有一個不閉合,則P(T)=P(R)=1-QUOTE×QUOTE=QUOTE.設(shè)事務(wù)M,N分別為開關(guān)C,D不閉合,則P(M)=P(N)=QUOTE.所以燈不亮的概率為QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以燈亮的概率為1-QUOTE=QUOTE.二、填空題(每小題4分,共16分)5.甲、乙、丙三位射擊手命中目標的概率分別為QUOTE,QUOTE,QUOTE,現(xiàn)在三人同時射擊,目標被擊中的概率等于______.

【解析】目標沒有被擊中的概率就是甲、乙、丙三位射手都沒有擊中的概率,為QUOTE=QUOTE.故目標被擊中的概率是1-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.某大街在甲、乙、丙三處設(shè)有紅綠燈,汽車在這三處因遇綠燈而通行的概率分別為QUOTE,QUOTE,QUOTE,則汽車在這三處因遇紅燈而停車一次的概率為________.

【解析】分別記汽車在甲、乙、丙三處通行為事務(wù)A,B,C,則P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(C)=QUOTE,停車一次為事務(wù)QUOTEBC+AQUOTEC+ABQUOTE發(fā)生,故概率為QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.臺風在危害人類的同時,也在愛護人類.臺風給人類送來了淡水資源,大大緩解了全球水荒,另外還使世界各地冷熱保持相對均衡.甲、乙、丙三顆衛(wèi)星同時監(jiān)測臺風,在同一時刻,甲、乙、丙三顆衛(wèi)星精確預(yù)報臺風的概率分別為0.8,0.7,0.9,各衛(wèi)星間相互獨立,則在同一時刻至少有兩顆預(yù)報精確的是________.

【解析】設(shè)甲、乙、丙預(yù)報精確依次記為事務(wù)A,B,C,不精確記為QUOTE,QUOTE,QUOTE,則P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P(QUOTE)=0.2,P(QUOTE)=0.3,P(QUOTE)=0.1,至少兩顆預(yù)報精確的事務(wù)有ABQUOTE,AQUOTEC,QUOTEBC,ABC,這四個事務(wù)兩兩互斥且獨立.所以至少兩顆預(yù)報精確的概率為P=P(ABQUOTE)+P(AQUOTEC)+P(QUOTEBC)+P(ABC)=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×.9=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902.答案:0.9028.本著健康、低碳的生活理念,租自行車騎游的人越來越多,某自行車租車點的收費標準是每車每次租車時間不超過兩小時免費,超過兩小時的部分每小時收費2元(不足1小時的部分按1小時計算),有甲、乙兩人相互獨立來該租車點租車騎游(各租一車一次).設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為QUOTE,QUOTE,兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別是QUOTE,QUOTE,兩人租車時間都不會超過四小時.則甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率為________.

【解析】由題意可知,甲、乙在三小時以上且不超過四個小時還車的概率分別為QUOTE,QUOTE,設(shè)甲、乙兩人所付的租車費用相同為事務(wù)A,則P(A)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率為QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(共38分)9.(12分)有三種產(chǎn)品,合格率分別是0.90,0.95和0.95,從中各抽取一件進行檢驗,求恰有一件不合格的概率.【解析】設(shè)從三種產(chǎn)品各抽取一件,抽到合格產(chǎn)品的事務(wù)分別為A,B和C.P(A)=0.90,P(B)=P(C)=0.95,則P(QUOTE)=0.10,P(QUOTE)=P(QUOTE)=0.05.因為事務(wù)A,B,C相互獨立,所以恰有一件不合格的概率為P(ABQUOTE)+P(AQUOTEC)+P(QUOTEBC)=P(A)P(B)P(QUOTE)+P(A)P(QUOTE)P(C)+P(QUOTE)P(B)P(C)=2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95≈0.176.故恰有一件不合格的概率約為0.176.10.(12分)在一個選拔項目中,每個選手都須要進行四輪考核,每輪設(shè)有一個問題,能正確回答者進入下一輪考核,否則被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪問題的概率分別為QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,且各輪問題能否正確回答互不影響.(1)求該選手進入第三輪才被淘汰的概率;(2)求該選手至多進入第三輪考核的概率.【解析】記事務(wù)Ai(i=1,2,3,4)表示“該選手能正確回答第i輪問題”,由已知得P(A1)=QUOTE,P(A2)=QUOTE,P(A3)=QUO