四川省眉山市仁壽一中南校區(qū)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

PAGE16-四川省眉山市仁壽一中南校區(qū)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）考試時(shí)間共120分鐘，滿(mǎn)分150分一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)交集、補(bǔ)集的定義計(jì)算可得.【詳解】解：，，故選：【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.下列函數(shù)在上是增函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)一一分析即可推斷.【詳解】解：對(duì)于：在定義域上單調(diào)遞減，不符合題意；對(duì)于：函數(shù)在，上單調(diào)遞減，不符合題意；對(duì)于：，定義域?yàn)?，不符合題意；對(duì)于：，函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，滿(mǎn)意條件.故選：【點(diǎn)睛】本題考查常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性的判定，關(guān)鍵是駕馭常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．3.下列各組的兩個(gè)函數(shù)為相等函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】推斷函數(shù)相等，須要滿(mǎn)意定義域相同且解析式相同.【詳解】解：對(duì)于：函數(shù)的定義域?yàn)?，而函?shù)的定義域?yàn)?，定義域不相同，故不是相等函數(shù)；對(duì)于：函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)椋?，兩函?shù)的解析式不相同，故不是相等函數(shù)；對(duì)于：，兩函數(shù)的定義域都為，且解析式也相同，故是相等函數(shù).對(duì)于：函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)?，定義域不相同，故不是相等函數(shù)；故選：【點(diǎn)睛】本題考查相等函數(shù)的判定，關(guān)鍵從函數(shù)的定義域及函數(shù)解析式入手即可，屬于基礎(chǔ)題.4.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則（）A.16 B.4 C.8 D.2【答案】A【解析】【分析】首先求出函數(shù)解析式，再代入計(jì)算即可.【詳解】解：設(shè)冪函數(shù)的解析式為則，解得故選：【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，及函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.5.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可推斷.【詳解】解：，，即，故選：【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.0 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以故選：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】分析】依據(jù)函數(shù)解析式，列出訪函數(shù)有意義的不等式組，解得.【詳解】解：解得即故選：【點(diǎn)睛】本題考查求詳細(xì)函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.8.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】將函數(shù)解析式變形為，依據(jù)函數(shù)平移規(guī)則即可推斷.【詳解】解：函數(shù)是由函數(shù)向左移1個(gè)單位，向上移1個(gè)單位得到，故滿(mǎn)意條件的為故選：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，函數(shù)的平移變換，屬于基礎(chǔ)題.9.已知定義域?yàn)?－1，1)的奇函數(shù)又是減函數(shù)，且則a的取值范圍是（）A.(3，) B.(2，3) C.(2，4) D.(－2，3)【答案】B【解析】由條件得f(a－3)＜f(a2－9)，即∴a∈(2,3)故選B．10.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：可以求得，所以函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)．故選C．考點(diǎn)：零點(diǎn)存在性定理．11.某種計(jì)算機(jī)病毒是通過(guò)電子郵件進(jìn)行傳播的，下表是某公司前5天監(jiān)測(cè)到的數(shù)據(jù)：第天12345被感染的計(jì)算機(jī)數(shù)量（臺(tái)）10203981160則下列函數(shù)模型中，能較好地反映計(jì)算機(jī)在第天被感染的數(shù)量與之間的關(guān)系的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)選項(xiàng)中的函數(shù)，依次代入x值求出y的值，通過(guò)y的值與表格中所給出的y的值進(jìn)行比較，誤差越小則擬合度越高，誤差越大則擬合度越小，計(jì)算即可求解.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值分別為,對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值分別為,對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值分別為,對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值分別為,而表中所給的數(shù)據(jù)為，，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值分別為，通過(guò)比較，即可發(fā)覺(jué)選項(xiàng)D中y的值誤差最小，即能更好的反映與之間的關(guān)系.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了選擇合適函數(shù)模型來(lái)擬合實(shí)際問(wèn)題，屬于中檔題.12.函數(shù)的定義域?yàn)?若存在非零實(shí)數(shù)，使得對(duì)于隨意有且，則稱(chēng)為上的度低調(diào)函數(shù).已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，且為上的度低調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】試題分析：由題意得，對(duì)隨意都成立.當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象可知，要對(duì)隨意都成立，只需時(shí)成馬上可，即.選D.考點(diǎn)：1、新定義函數(shù)；2、肯定值不等式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，則______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)分段函數(shù)解析式，代入計(jì)算可得.【詳解】解：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.14.函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】令，則，首先求出內(nèi)函數(shù)的值域即外函數(shù)的定義域，再依據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：令，則因?yàn)樗?，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域，屬于基礎(chǔ)題.15.函數(shù)的遞增區(qū)間為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算可得.【詳解】解：則解得即函數(shù)的定義域?yàn)榱睿?，則因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；在定義域上單調(diào)遞減依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”可知函數(shù)在上單調(diào)遞增故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.16.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】將方程的解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)狀況，畫(huà)出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可得解.詳解】解：可畫(huà)函數(shù)圖象如下所示：因?yàn)殛P(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，從函數(shù)圖象可得時(shí)，函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.求下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）依據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算可得.（2）依據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及對(duì)數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】解：（1）原式（2）原式【點(diǎn)睛】本題考查分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，對(duì)數(shù)的運(yùn)算及對(duì)數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18.全集為，集合，集合．（1）求當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求出集合，再依據(jù)交集的定義計(jì)算可得；（2）由集合的包含關(guān)系，得到不等式即可得解.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，∴（2），，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算以及集合的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.19.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（2）若的最小值為，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）11（2）或【解析】【分析】（1）將函數(shù)配成頂點(diǎn)式，分析函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的最大值；（2）對(duì)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間的位置分類(lèi)探討，計(jì)算可得.【詳解】解：（1）時(shí)，，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．，∴．（2），對(duì)稱(chēng)軸為，函數(shù)圖象開(kāi)口向上，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，即，∴②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，即，無(wú)解③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，即，∴綜上，時(shí)，或．【點(diǎn)睛】本題考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，以及依據(jù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求參數(shù)的值，典型的動(dòng)軸定區(qū)間問(wèn)題，屬于中檔題.20.已知函數(shù)．（1）求的值；（2）推斷函數(shù)在上單調(diào)性，并用定義加以證明；（3）當(dāng)取什么值時(shí)，的圖像在軸上方？【答案】（1）3；（2）在為減函數(shù)，見(jiàn)解析；（3）或【解析】【分析】（1）代入解析式即可求解．（2）利用函數(shù)的單調(diào)性定義即可證明．（3）的圖像在軸上方，只需即可．【詳解】（1）=；（2）函數(shù)在為減函數(shù)．證明：在區(qū)間上隨意取兩個(gè)實(shí)數(shù)，不妨設(shè)，則，，即，所以函數(shù)在為減函數(shù)．（3）的圖像在軸上方只需解得或綜上所述：或【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)值、定義法證明函數(shù)的單調(diào)性、解分式不等式，屬于基礎(chǔ)題．21.某廠推出品牌為“玉兔”的新產(chǎn)品，生產(chǎn)“玉兔”的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一件“玉兔”須要增加投入100元，依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，總收益P（單位：元）與月產(chǎn)量x（單位：件）滿(mǎn)意（注：總收益=總成本+利潤(rùn)）（1）請(qǐng)將利潤(rùn)y（單位：元）表示成關(guān)于月產(chǎn)量x（單位：件）的函數(shù)；（2）當(dāng)月產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）；（2）月產(chǎn)量為300件時(shí)，最大利潤(rùn)為25000元【解析】【分析】（1）由題意可知總成本是，依據(jù)利潤(rùn)=總收益-總成本，列分段函數(shù)；（2）由（1）的分段函數(shù)，分別求每段函數(shù)的最大值，比較最大值就是最大利潤(rùn).【詳解】（1）依題意，總成本是元，所以，即（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)月產(chǎn)量為300件時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為25000元.綜上可知當(dāng)月產(chǎn)量為300件時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為25000元.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，意在考查抽象和概括實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題型.22.定義在上的函數(shù)，假如滿(mǎn)意：對(duì)隨意，存在常數(shù)，都有成立，則稱(chēng)函數(shù)是上的有界函數(shù)，其中稱(chēng)為函數(shù)的上界.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域，并推斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，函數(shù)在上的上界是，求的解析式.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）通過(guò)推斷函數(shù)的單調(diào)性，求出的值域，進(jìn)而可推斷在上是否為有界函數(shù)；（2）利用題中所給定義，列出不等式，換元，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，通過(guò)分參求構(gòu)造函數(shù)的最值，就可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）通