北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)1.4.2　三角形的三條內(nèi)角平分線教案（含答案）

北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)1.4.2三角形的三條內(nèi)角平分線教案（含答案）授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間教材分析北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)1.4.2節(jié)“三角形的三條內(nèi)角平分線”是學(xué)生在掌握了角平分線的概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究三角形的內(nèi)角平分線。本節(jié)內(nèi)容通過探究三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，讓學(xué)生加深對(duì)三角形內(nèi)心的理解，為后續(xù)學(xué)習(xí)三角形內(nèi)心的應(yīng)用打下基礎(chǔ)。

本節(jié)課的內(nèi)容與學(xué)生的生活實(shí)際緊密相連，通過觀察和操作活動(dòng)，學(xué)生能夠理解和掌握三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，提高學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力。同時(shí)，通過小組合作交流，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)和團(tuán)隊(duì)精神。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)主要包括：邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、空間想象和幾何直觀。通過學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，學(xué)生能夠提高邏輯推理能力，通過觀察、操作和思考，形成對(duì)三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)的合理解釋。同時(shí)，學(xué)生在探索過程中能夠培養(yǎng)空間想象能力，能夠?qū)?shí)際問題抽象為三角形內(nèi)角平分線的模型，并運(yùn)用幾何直觀手段進(jìn)行分析和解決。此外，學(xué)生在小組合作交流中能夠提升團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力和溝通能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科的素養(yǎng)。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)及其應(yīng)用。

難點(diǎn)：1.理解并證明三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理；2.靈活運(yùn)用內(nèi)角平分線性質(zhì)解決實(shí)際問題。

解決辦法：

1.對(duì)于重點(diǎn)內(nèi)容，通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、操作和思考，讓學(xué)生在活動(dòng)中感知和認(rèn)識(shí)三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)。利用多媒體展示三角形內(nèi)角平分線的動(dòng)態(tài)過程，幫助學(xué)生形成直觀的認(rèn)識(shí)。在課堂上，教師可以設(shè)計(jì)一些具有代表性的例題，讓學(xué)生通過獨(dú)立思考或小組討論的方式，嘗試證明內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理。

2.對(duì)于難點(diǎn)內(nèi)容，首先，教師可以通過講解典型例題，引導(dǎo)學(xué)生掌握內(nèi)角平分線性質(zhì)的應(yīng)用。其次，鼓勵(lì)學(xué)生在課后進(jìn)行相關(guān)的練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)。此外，教師還可以組織學(xué)生進(jìn)行小組合作交流，分享各自在解決問題過程中的心得體會(huì)，相互學(xué)習(xí)，共同進(jìn)步。

在解決重點(diǎn)難點(diǎn)的過程中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生掌握解題的方法和技巧，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、空間想象和幾何直觀能力。同時(shí)，關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，因材施教，使每個(gè)學(xué)生都能在課堂上得到充分的鍛煉和發(fā)展。教學(xué)資源1.軟硬件資源：黑板、粉筆、直尺、圓規(guī)、三角板、多媒體投影儀、計(jì)算機(jī)。

2.課程平臺(tái)：北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)教材、教學(xué)課件、習(xí)題集。

3.信息化資源：三角形內(nèi)角平分線動(dòng)畫演示、相關(guān)教學(xué)視頻、在線習(xí)題庫。

4.教學(xué)手段：講解、示范、引導(dǎo)學(xué)生觀察、操作、思考、小組討論、練習(xí)、反饋。教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對(duì)“三角形內(nèi)角平分線”的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場(chǎng)提問：“你們知道什么是三角形內(nèi)角平分線嗎？它與我們的生活有什么關(guān)系？”

展示一些關(guān)于三角形內(nèi)角平分線的圖片或視頻片段，讓學(xué)生初步感受三角形內(nèi)角平分線的魅力或特點(diǎn)。

簡(jiǎn)短介紹三角形內(nèi)角平分線的定義和重要性，為接下來的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.三角形內(nèi)角平分線基礎(chǔ)知識(shí)講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解三角形內(nèi)角平分線的基本概念、性質(zhì)和作用。

過程：

講解三角形內(nèi)角平分線的定義，包括其作用和性質(zhì)。

詳細(xì)介紹三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)和作用，使用圖表或示意圖幫助學(xué)生理解。

3.三角形內(nèi)角平分線案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過具體案例，讓學(xué)生深入了解三角形內(nèi)角平分線的特性和重要性。

過程：

選擇幾個(gè)典型的三角形內(nèi)角平分線案例進(jìn)行分析。

詳細(xì)介紹每個(gè)案例的背景、特點(diǎn)和意義，讓學(xué)生全面了解三角形內(nèi)角平分線的多樣性或復(fù)雜性。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例對(duì)實(shí)際解題的影響，以及如何應(yīng)用三角形內(nèi)角平分線解決實(shí)際問題。

小組討論：讓學(xué)生分組討論三角形內(nèi)角平分線在未來解題中的發(fā)展或改進(jìn)方向，并提出創(chuàng)新性的想法或建議。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個(gè)與三角形內(nèi)角平分線相關(guān)的主題進(jìn)行深入討論。

小組內(nèi)討論該主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)以及可能的解決方案。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點(diǎn)評(píng)（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時(shí)加深全班對(duì)三角形內(nèi)角平分線的認(rèn)識(shí)和理解。

過程：

各組代表依次上臺(tái)展示討論成果，包括主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)及解決方案。

其他學(xué)生和教師對(duì)展示內(nèi)容進(jìn)行提問和點(diǎn)評(píng)，促進(jìn)互動(dòng)交流。

教師總結(jié)各組的亮點(diǎn)和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)三角形內(nèi)角平分線的重要性和意義。

過程：

簡(jiǎn)要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括三角形內(nèi)角平分線的定義、性質(zhì)、案例分析等。

強(qiáng)調(diào)三角形內(nèi)角平分線在解決三角形問題中的價(jià)值和作用，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步探索和應(yīng)用三角形內(nèi)角平分線。

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生撰寫一篇關(guān)于三角形內(nèi)角平分線的短文或報(bào)告，以鞏固學(xué)習(xí)效果。拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料：

《幾何原本》中關(guān)于三角形內(nèi)角平分線的論述

歐幾里得的《幾何原本》是數(shù)學(xué)史上的經(jīng)典之作，其中包含了關(guān)于三角形內(nèi)角平分線的論述。閱讀這部分內(nèi)容，可以幫助學(xué)生更深入地理解三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)和定理。

《三角形內(nèi)心的秘密》

這篇文章介紹了三角形內(nèi)心的性質(zhì)和應(yīng)用，通過閱讀，學(xué)生可以了解到三角形內(nèi)心的概念，以及如何利用內(nèi)心的性質(zhì)解決實(shí)際問題。

2.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究：

探究題目：三角形的內(nèi)心與內(nèi)角平分線的關(guān)系

讓學(xué)生通過查閱資料或自主思考，探究三角形的內(nèi)心與內(nèi)角平分線之間的關(guān)系，并撰寫一篇短文，總結(jié)自己的發(fā)現(xiàn)和理解。

課后練習(xí)：

選取一些與三角形內(nèi)角平分線相關(guān)的習(xí)題，讓學(xué)生在課后進(jìn)行自主練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)。

課題研究：三角形內(nèi)角平分線的應(yīng)用

鼓勵(lì)學(xué)生選擇一個(gè)與三角形內(nèi)角平分線相關(guān)的課題，進(jìn)行深入研究。學(xué)生可以通過查閱資料、實(shí)地觀察、動(dòng)手實(shí)踐等方式，探究課題的研究問題，并撰寫一份研究報(bào)告。課堂1.課堂評(píng)價(jià)：

本節(jié)課通過提問、觀察、測(cè)試等方式，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。在課堂上，教師會(huì)針對(duì)教學(xué)內(nèi)容提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考和回答，通過學(xué)生的回答情況了解學(xué)生對(duì)三角形內(nèi)角平分線的理解和掌握程度。同時(shí)，教師還會(huì)觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，如是否積極參與討論、是否能夠正確操作等，以此評(píng)估學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)。此外，教師還可以設(shè)計(jì)一些小測(cè)試，讓學(xué)生在課堂上完成，通過測(cè)試成績(jī)了解學(xué)生的掌握情況。

2.作業(yè)評(píng)價(jià)：

對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行認(rèn)真批改和點(diǎn)評(píng)，及時(shí)反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。在課后，教師會(huì)布置一些與三角形內(nèi)角平分線相關(guān)的作業(yè)，要求學(xué)生獨(dú)立完成。教師在批改作業(yè)時(shí)，不僅要關(guān)注學(xué)生的答案是否正確，還要關(guān)注學(xué)生的解題過程和方法，以及是否有創(chuàng)新性的思考。在點(diǎn)評(píng)作業(yè)時(shí)，教師會(huì)給出具體的反饋意見，指出學(xué)生的優(yōu)點(diǎn)和不足，鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)努力。同時(shí)，教師還可以選取一些典型的作業(yè)進(jìn)行展示和講解，以此促進(jìn)學(xué)生的理解和鞏固。

3.小組討論評(píng)價(jià)：

在小組討論環(huán)節(jié)，教師會(huì)觀察學(xué)生的參與程度和合作情況，評(píng)估學(xué)生在團(tuán)隊(duì)中的角色和貢獻(xiàn)。教師會(huì)根據(jù)學(xué)生的討論內(nèi)容、交流能力和團(tuán)隊(duì)合作精神進(jìn)行評(píng)價(jià)，并給予相應(yīng)的反饋和建議。

4.課后學(xué)習(xí)報(bào)告評(píng)價(jià)：

對(duì)于學(xué)生提交的課后學(xué)習(xí)報(bào)告，教師會(huì)認(rèn)真閱讀并進(jìn)行評(píng)價(jià)。教師會(huì)關(guān)注學(xué)生的研究問題、研究方法和結(jié)果，以及學(xué)生的思考和總結(jié)。在評(píng)價(jià)時(shí)，教師會(huì)給出具體的反饋意見，鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)保持良好的學(xué)習(xí)態(tài)度和研究精神。課后作業(yè)1.請(qǐng)用文字和圖形描述三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，并給出證明。

答案：三角形內(nèi)角平分線是從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，將頂點(diǎn)的內(nèi)角平分的線段。它具有以下性質(zhì)：

（1）三角形內(nèi)角平分線等于它所對(duì)的角的平分線；

（2）三角形內(nèi)角平分線等于它所對(duì)邊的中垂線；

（3）三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)是三角形的內(nèi)心，并且內(nèi)心到三角形各邊的距離相等。

證明：略。

2.如果三角形ABC的內(nèi)角平分線分別交BC、AC、AB于點(diǎn)D、E、F，請(qǐng)證明：BD*DE=CD*DF。

答案：證明如下：

由于AD是角BAG的平分線，BE是角CAG的平分線，所以∠BAE=∠CAE。

又因?yàn)椤螧AE+∠AEB=∠CAE+∠CEB=90°，所以∠AEB=∠CEB。

因此，三角形ABE和三角形ACE是等腰三角形，所以AE=BE=CE。

同理，可證：AF=CF。

所以，三角形ABF和三角形ACF也是等腰三角形，所以BF=AF，CF=AF。

因此，BD*DE=CD*DF。

3.在三角形ABC中，內(nèi)角平分線AD、BE相交于點(diǎn)O，若∠BAC=60°，求∠AOD的度數(shù)。

答案：由于AD是角BAG的平分線，BE是角CAG的平分線，所以∠BAE=∠CAE。

又因?yàn)椤螧AE+∠AEB=∠CAE+∠CEB=90°，所以∠AEB=∠CEB。

因此，三角形ABE和三角形ACE是等腰三角形，所以AE=BE=CE。

同理，可證：AF=CF。

所以，三角形ABF和三角形ACF也是等腰三角形，所以BF=AF，CF=AF。

因此，∠AOD=∠AOF=∠BAC/2=30°。

4.已知：在三角形ABC中，內(nèi)角平分線AD、BE相交于點(diǎn)O，且OD=OE。求證：∠BOD=∠EOD。

答案：證明如下：

由于AD是角BAG的平分線，BE是角CAG的平分線，所以∠BAE=∠CAE。

又因?yàn)椤螧AE+∠AEB=∠CAE+∠CEB=90°，所以∠AEB=∠CEB。

因此，三角形ABE和三角形ACE是等腰三角形，所以AE=BE=CE。

同理，可證：AF=CF。

所以，三角形ABF和三角形ACF也是等腰三角形，所以BF=AF，CF=AF。

因此，∠BOD=∠EOD。

5.在三角形ABC中，內(nèi)角平分線AD、BE相交于點(diǎn)O，若∠BAC=120°，求∠AOB的度數(shù)。

答案：由于AD是角BAG的平分線，BE是角CAG的平分線，所以∠BAE=∠CAE。

又因?yàn)椤螧AE+∠AEB=∠CAE+∠CEB=90°，所以∠AEB=∠CEB。

因此，三角形ABE和三角形ACE是等腰三角形，所以AE=BE=CE。

同理，可證：AF=CF。

所以，三角形ABF和三角形ACF也是等腰三角形，所以BF=AF，CF=AF。

因此，∠AOB=∠AOF=∠BAC/2=60°。板書設(shè)計(jì)1.三角形內(nèi)角平分線的定義和性質(zhì)

重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：三角形內(nèi)角平分線是從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，將頂點(diǎn)的內(nèi)角平分的線段。它具有以下性質(zhì)：

①三角形內(nèi)角平分線等于它所對(duì)的角的平分線；

②三角形內(nèi)角平分線等于它所對(duì)邊的中垂線；

③三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)是三角形的內(nèi)心，并且內(nèi)心到三角形各邊的距