第一章直角三角形的邊角關(guān)系(基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)卷)-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊同步分層練習(xí)(基礎(chǔ)鞏固＋能力拓展北師大版)(原卷版+解析)

第一章直角三角形的邊角關(guān)系單元綜合檢測學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)卷一、選擇題1．（2021·蘭州市九年級期末）計(jì)算2cos30°的值為（）A．1 B． C． D．2．如圖，中，，則的面積是（）A． B．12 C．14 D．213．（2021·陜西西安市九年級模擬預(yù)測）銳角△ABC中，∠B＝45°，BC＝，則AC的長是（）A．1 B． C． D．第2題圖第3題圖第4題圖第5題圖4．（2021·江蘇揚(yáng)州中學(xué)九年級月考）如圖，在正方形網(wǎng)格中有△ABC，則sin∠ABC的值等于（）A． B． C． D．5．（2021·陜西西安市九年級模擬預(yù)測）如圖，正方形ABCD的邊長為6，AC為對角線，取AB中點(diǎn)E，DE與AC交于點(diǎn)F．則sin∠DFC＝（）A． B． C． D．6．（2021·重慶八中九年級月考）如圖，某大樓正前方有一棟小樓，小明從大樓頂端測得小樓頂端的俯角為度，從大樓底端測得小樓頂端的仰角為度，小樓底端到大樓前梯坎的底端有米，梯坎長65米，梯坎的坡度，則大樓的高度為（）（結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．第6題圖第7題圖7．（2021·湖南芙蓉九年級期中）在平面直角從標(biāo)系中，30°的直角三角尺直角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，雙曲線（x＞0），經(jīng)過點(diǎn)B，雙曲線（x＜0），經(jīng)過點(diǎn)C，則＝（）A．﹣3 B．3 C． D．8．（2021·山東青島市中考真題）如圖，在四邊形紙片中，，，．將紙片折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為．若，則的長為（）A．5 B． C． D．第8題圖第9題圖第10題圖9．（2021·貴陽市第十九中學(xué)九年級月考）如圖，中，，，的值為，則（）A． B． C． D．10．（2021·甘肅蘭州市中考真題）如圖，菱形的對角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，，，，，則（）A．4 B．3 C． D．2二、填空題11．（2021·江蘇灌云九年級期中）在中，若，滿足，則的度數(shù)是_______．12．（2021·福建省福州屏東中學(xué)九年級二模）如圖，點(diǎn)在第一象限，與軸所夾的銳角為，，則_____．第12題圖第14題圖13．在中，，且平分線的長為26，則______，______，___．14．（2021·哈爾濱市九年級月考）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AB＝15，AD＝7，則AC＝_____．15．（2021·成都嘉祥外國語學(xué)校九年級月考）如圖所示，CD、EF表示高度不同的兩座建筑物，已知CD高15米，小明站在A處，視線越過CD，能看到它后面的建筑物的頂端E，此時(shí)小明的視角∠FAE＝45°，為了能看到建筑物EF上點(diǎn)M的位置，小明沿直線FA由點(diǎn)A移動到點(diǎn)N的位置，此時(shí)小明的視角∠FNM＝30°，則小明由點(diǎn)A移動到點(diǎn)N的距離是___米．第15題圖第17題圖16．（2021·山東南區(qū)九年級期末）在△ABC中，AB＝5，BC＝8，AD是BC邊上的高，AD＝4，則tanC＝___．17．（2021·宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級二模）如圖，點(diǎn)在的正半軸上，且于點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則______．三、計(jì)算題18．（2021·濟(jì)寧市第十五中學(xué)九年級月考）求下列各式的值：（1）；（2）．19．（2021·濟(jì)寧市九年級月考）計(jì)算：（1）（2）四、解答題20．在中，，是邊上的中線，，求和．21．（2021·山東濟(jì)寧九年級月考）如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為A，B，C，測得∠CAB=30°，∠ABC=45°，AC=8千米，求A，B兩點(diǎn)間的距離．（結(jié)果保留根號）22．（2021·重慶巴蜀中學(xué)九年級開學(xué)考試）如圖，在矩形ABCD中，AD=10，tanAEB=，點(diǎn)E為BC上的一點(diǎn)，ED平分AEC，（1）求BE的值；（2）求sinEDC．23．（2021·杭州市九年級開學(xué)考試）如圖，，，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）已知，求的值．24．（2021·遼寧盤錦中考真題）如圖，小華遙控?zé)o人機(jī)從點(diǎn)A處飛行到對面大廈MN的頂端M，無人機(jī)飛行方向與水平方向的夾角為37°，小華在點(diǎn)A測得大廈底部N的俯角為31°，兩樓之間一棵樹EF的頂點(diǎn)E恰好在視線AN上，已知樹的高度為6米，且，樓AB，MN，樹EF均垂直于地面，問：無人機(jī)飛行的距離AM約是多少米？（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）25．（2021·四川仁壽九年級期末）如圖，矩形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，EM⊥AM交AD的延長線于點(diǎn)E．①求證：△ABM∽△EMA．②若AB＝4，BM＝3，求sinE的值．26．（2021·四川內(nèi)江市中考真題）在一次課外活動中，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹的高度．如圖所示，測得斜坡的坡度，坡底的長為8米，在處測得樹頂部的仰角為，在處測得樹頂部的仰角為，求樹高．（結(jié)果保留根號）27．（2021·廈門市九年級二模）如圖，在中，∠BAC＝90°，將繞直角頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，連接CE．（1）若旋轉(zhuǎn)角為60°，求∠ACB的度數(shù)；（2）若AB＝3，AC＝4，求sin∠DAC的值．28．（2021·珠海市九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM為△ABC的角平分線，將線段BM繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)使點(diǎn)M剛好落在AM的延長線上的點(diǎn)N處，此時(shí)作ND⊥BC于點(diǎn)D．（1）求證：∠ABN＝90°；（2）求證：CM＝BD；（3）若，AB＝10，求線段BN的長．第一章直角三角形的邊角關(guān)系單元綜合檢測學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)卷一、選擇題1．（2021·蘭州市九年級期末）計(jì)算2cos30°的值為（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【詳解】解:2cos30°,=2×,=．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．2．如圖，中，，則的面積是（）A． B．12 C．14 D．21【答案】A【分析】根據(jù)已知作出三角形的高線AD，進(jìn)而得出AD的長，即可得出三角形的面積．【詳解】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC，∵△ABC中，cosB=，sinC=，BC=5，

∴cosB==，

∴∠B=45°，∴AD=BD，∵sinC==，

∴

∴，

∴，∵，∴，

則△ABC的面積是：×AD×BC=×3×（3+4）=．

故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的知識，作出AD⊥BC，進(jìn)而得出相關(guān)線段的長度是解決問題的關(guān)鍵．3．（2021·陜西西安市九年級模擬預(yù)測）銳角△ABC中，∠B＝45°，BC＝，則AC的長可以是（）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】作CD⊥AB于D，先利用等腰直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)求出BD=CD=1，然后利用勾股定理進(jìn)行逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)是否滿足題意即可.【詳解】解：作CD⊥AB于D，如圖所示：∵∠B＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD＝，∠BCD＝45°，當(dāng)AC＝1時(shí)，點(diǎn)D與A重合，△ABC是直角三角形，選項(xiàng)A不符合題意；當(dāng)AC＝時(shí)，，則△ACD是等腰直角三角形，∠ACD＝45°，∴∠ACB＝90°，△ABC是直角三角形，選項(xiàng)B不符合題意；當(dāng)AC＝時(shí)，AC＜CD，∴∠ACD＞∠A，則△ABC是鈍角三角形，選項(xiàng)C不符合題意；當(dāng)AC＝時(shí)，∴∠ACD＜∠A，則△ABC是銳角三角形；選項(xiàng)D符合題意，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，三角形角與邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.4．（2021·江蘇揚(yáng)州中學(xué)九年級月考）如圖，在正方形網(wǎng)格中有△ABC，則sin∠ABC的值等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)求得的長，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷是，進(jìn)而根據(jù)正弦的定義求得sin∠ABC的值．【詳解】∵AB＝，BC＝，AC＝，∴AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°．∴sin∠ABC＝．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與勾股定理的逆定理，正弦的定義，求得為是解題的關(guān)鍵．5．（2021·陜西西安市九年級模擬預(yù)測）如圖，正方形ABCD的邊長為6，AC為對角線，取AB中點(diǎn)E，DE與AC交于點(diǎn)F．則sin∠DFC＝（）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接BD與AC交于點(diǎn)O，利用勾股定理求得DE，OD，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△AFE∽△CFD，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得DF，進(jìn)而可求．【詳解】解：連接BD與AC交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠EAD＝90°，AC⊥BD，OD＝，AB∥CD，AD＝AB＝CD＝6，∴∠DOF＝90°，∠EAF＝∠DCF，OD＝3，∵E為AB中點(diǎn)，∴AE＝AB＝＝3，由勾股定理得，DE＝，∵∠EAF＝∠DCF，∠AFE＝∠DFC，∴△AFE∽△CFD，∴，∴DF＝DE＝2，∴sin∠DFC＝，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形和找出相似三角形進(jìn)行求解．6．（2021·重慶八中九年級月考）如圖，某大樓正前方有一棟小樓，小明從大樓頂端測得小樓頂端的俯角為度，從大樓底端測得小樓頂端的仰角為度，小樓底端到大樓前梯坎的底端有米，梯坎長65米，梯坎的坡度，則大樓的高度為（）（結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長AB交DC于H，作EG⊥AB于G，設(shè)BH=x米，則CH=2.4x米，在Rt△BCH中，BC=65米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=25米，CH=60米，得出EG的長度，在Rt△GBE中，利用正切函數(shù)得出BG的長度，證明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=150米，即可得出大樓AB的高度．【詳解】解：如圖，延長AB交DC于H，作EG⊥AB于G，則四邊形GHDE為矩形，∴GH=DE，EG=DH，∵梯坎坡度i=1：2.4，∴BH：CH=1：2.4，設(shè)BH=x米，則CH=2.4x米，在Rt△BCH中，BC=65米，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=652，解得：x=25(負(fù)值已舍)，∴BH=25米，CH=60米，∴EG=DH=CH+CD=60+90=150（米），在Rt△GBE中，∠BEG=24°，∴BG=EG1500.45=67.5（米），在Rt△GAE中，∠EAG=90°-45°=45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG=EG=150（米），∴AB=AG+BG=150+67.5≈218（米）；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度、俯角問題；通過作輔助線運(yùn)用勾股定理求出BH，得出EG是解決問題的關(guān)鍵．7．（2021·湖南芙蓉九年級期中）在平面直角從標(biāo)系中，30°的直角三角尺直角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，雙曲線（x＞0），經(jīng)過點(diǎn)B，雙曲線（x＜0），經(jīng)過點(diǎn)C，則＝（）A．﹣3 B．3 C． D．【答案】A【分析】作AM⊥x軸于M，BN⊥x軸于N，由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到k1＝2S△AOM，k2＝﹣2S△BON，解直角三角形求得通過證得△AOM∽△OBN，得到進(jìn)而得到．【詳解】作AM⊥x軸于M，BN⊥x軸于N，∴S△AOM＝|k1|，S△BON＝|k2|，∵k1＞0，k2＜0，∴k1＝2S△AOM，k2＝﹣2S△BON，在Rt△AOB中，∠BAO＝30°，∴，∵∠AOM+∠BON＝90°＝∠AOM+∠OAM，∴∠OAM＝∠BON，∵∠AMO＝∠ONB＝90°，∴△AOM∽△OBN，∴，∴,故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，相似三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．8．（2021·山東青島市中考真題）如圖，在四邊形紙片中，，，．將紙片折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為．若，則的長為（）A．5 B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)A作于H，由折疊知識得：，再由銳角三角函數(shù)可得，然后根據(jù)，可證得四邊形AHFG是矩形，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)A作于H，由折疊知：BF=GF，∠BFE=∠GFE，，，在中，，，，，，，四邊形AHFG是矩形，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊變換，解直角三角形，矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．9．（2021·貴陽市第十九中學(xué)九年級月考）如圖，中，，，的值為，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，，可得,進(jìn)而可得，進(jìn)而可得，根據(jù)已知條件設(shè)，則，求得，即可求得答案．【詳解】，，，，，，，，，，設(shè)，則，，．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)兩邊成比例夾角相等證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．10．（2021·甘肅蘭州市中考真題）如圖，菱形的對角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，，，，，則（）A．4 B．3 C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)以及已知條件，可得是等邊三角形，可得，進(jìn)而根據(jù)，可得，進(jìn)而可得,根據(jù)，，，即可求得．【詳解】四邊形是菱形，,，，是等邊三角形，，，，，，，，即，，．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2021·江蘇灌云九年級期中）在中，若，滿足，則的度數(shù)是_______．【答案】75°【分析】根據(jù)絕對值的非負(fù)性，可得出cosA及sinB的值，從而得出∠A及∠B的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理可得出∠C的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴cosA=，sinB=，則∠A=60°，∠B=45°，故∠C=180°-∠A-∠B=75°．故答案為：75°．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是得出cosA及sinB的值，另外要求我們熟練掌握一些特殊角的三角函數(shù)值．12．（2021·福建省福州屏東中學(xué)九年級二模）如圖，點(diǎn)在第一象限，與軸所夾的銳角為，，則_____．【答案】【分析】利用三角函數(shù)的定義求m的值．【詳解】解：由三角函數(shù)的定義得：．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，利用定義得到關(guān)于m的方程是求解本題的關(guān)鍵．13．在中，，且平分線的長為26，則______，______，___．【答案】；；．【分析】根據(jù)三角函數(shù)值，可求∠A=30°，由，可求∠ABC=60°，由BD平分∠ABC，可得∠CBD=∠DBA=30°=∠A，利用等腰三角形判定可得AD=BD=26，利用三角函數(shù)可求CD=BD×sin30°=13，AC=AD+DC=39，利用三角函數(shù)，利用30°角直角三角形可求AB=2BC=即可．【詳解】解：∵∴∠A=30°，∵∴∠A+∠ABC=90°，∴∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBA=30°=∠A，∴AD=BD=26，∴CD=BD×sin30°=26×=13，∴AC=AD+DC=26+13=29，在Rt△CBD中，cos30°=，∴∴AB=2BC=∴，，．故答案為，，．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)值求角度，角平分線定義，等腰三角形判定，解直角三角形，掌握銳角三角函數(shù)值求角度，角平分線定義，等腰三角形判定，解直角三角形是解題關(guān)鍵．14．（2021·哈爾濱市九年級月考）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AB＝15，AD＝7，則AC＝_____．【答案】．【分析】如圖，過點(diǎn)B作BH∥AC，交AD的延長線于H，作BG⊥AH于G，設(shè)DG＝x，證明△ACD∽△HBD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定，進(jìn)而得出比例式求解即可得AC．【詳解】如圖，過點(diǎn)B作BH∥AC，交AD的延長線于H，作BG⊥AH于G，設(shè)DG＝x，∵AC∥BH，∴∠CAD＝∠H，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠H，∴AB＝BH＝15，∵BG⊥AH，∴AG＝GH＝7+x，∴DH＝7+2x，∵∠ADC＝∠BDH，∠CAD＝∠H，∴△ACD∽△HBD，∴，即，∴AC，∵∠CAD＝∠H，∴cos∠CAD＝cos∠H，∴，即，解得：x1＝﹣16（舍），x2＝5.5，∴AC．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，等腰三角形的性質(zhì)，添加輔助線，證明△ACD∽△HBD是解題的關(guān)鍵．15．（2021·成都嘉祥外國語學(xué)校九年級月考）如圖所示，CD、EF表示高度不同的兩座建筑物，已知CD高15米，小明站在A處，視線越過CD，能看到它后面的建筑物的頂端E，此時(shí)小明的視角∠FAE＝45°，為了能看到建筑物EF上點(diǎn)M的位置，小明沿直線FA由點(diǎn)A移動到點(diǎn)N的位置，此時(shí)小明的視角∠FNM＝30°，則小明由點(diǎn)A移動到點(diǎn)N的距離是___米．【答案】【分析】本題中，是直角三角形和的公共邊，因此可用求出和，然后再求．【詳解】解：直角三角形中，米，直角三角形中，米，因此，米，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用銳角三角函數(shù)解直角三角形，解題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．16．（2021·山東南區(qū)九年級期末）在△ABC中，AB＝5，BC＝8，AD是BC邊上的高，AD＝4，則tanC＝___．【答案】或【分析】根據(jù)勾股定理先求出BD的長，本題有兩種情況，若高AD在△ABC內(nèi)部，CD＝BC﹣BD，若高AD在△ABC外部，CD＝BC+BD，再根據(jù)三角函數(shù)的知識求出tanC的值．【詳解】解：如圖所示：BD3，若高AD在△ABC內(nèi)部，CD＝BC﹣BD＝5，∴tanC．若高AD在△ABC外部，CD＝BC+BD＝11，tanC．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想及三角函數(shù)的定義．17．（2021·宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級二模）如圖，點(diǎn)在的正半軸上，且于點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則______．【答案】【分析】過點(diǎn)B′作B′D⊥x軸于點(diǎn)D，根據(jù)BA⊥OB于點(diǎn)B及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出∠B′BD的度數(shù)，再由直角三角形的性質(zhì)得出BD及BB′的長，故可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B′作B′D⊥x軸于點(diǎn)D，∵BA⊥OB于點(diǎn)B，∴∠ABD＝90°．∵線段BA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到BB′的位置，∴∠ABB′＝60°，∴∠B′BD＝90°?60°＝30°．∵點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（1，1），∴OD＝B′D＝1，∴BB′＝2B′D＝2，BD＝∴，AB＝BB′＝2，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形變化?旋轉(zhuǎn)，根據(jù)題意作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)的定義得出A點(diǎn)坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵．三、計(jì)算題18．（2021·濟(jì)寧市第十五中學(xué)九年級月考）求下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用特殊角的三角函數(shù)計(jì)算即可；（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義完成即可．【詳解】（1）（2）【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)，零指數(shù)和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，牢記特殊角的三角函數(shù)值，掌握零指數(shù)和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪冪的意義是解答本題的關(guān)鍵．19．（2021·濟(jì)寧市九年級月考）計(jì)算：（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，即可得出計(jì)算結(jié)果；（2）根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪即可得出計(jì)算結(jié)果．【詳解】解：（1）原式＝＝＝；（2）原式＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)的混合運(yùn)算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的混合運(yùn)算等知識點(diǎn)，熟知相關(guān)運(yùn)算法則以及特殊角的三角函數(shù)值是解本題的關(guān)鍵．四、解答題20．在中，，是邊上的中線，，求和．【答案】.，，【分析】利用，是邊上的中線，先求解證明再利用勾股定理求解再由等角的三角函數(shù)值相等，從而可得答案.【詳解】解：如圖，，是邊上的中線，【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角的正弦，余弦，正切的定義是解題的關(guān)鍵.21．（2021·山東濟(jì)寧九年級月考）如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為A，B，C，測得∠CAB=30°，∠ABC=45°，AC=8千米，求A，B兩點(diǎn)間的距離．（結(jié)果保留根號）【答案】A、B兩點(diǎn)間的距離約為（4+4）千米．【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，在Rt△ACD中，通過解直角三角形可求出AD，CD的長，在Rt△BCD中，由∠BDC=90°，∠CBD=45°可得出BD=CD，再結(jié)合AB=AD+BD即可求出A、B兩點(diǎn)間的距離．【詳解】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，如圖所示．在Rt△ACD中，AC=8（千米），∠CAD=30°，∠CDA=90°，∴CD=AC?sin∠CAD=4（千米），AD=AC?cos∠CAD=4（千米）．在Rt△BCD中，CD=4（千米），∠BDC=90°，∠CBD=45°，∴∠BCD=45°，∴BD=CD=4（千米），∴AB=AD+BD=4+4（千米）．答：A、B兩點(diǎn)間的距離約為（4+4）千米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形以及等腰直角三角形，通過解直角三角形以及利用等腰直角三角形的性質(zhì)，找出AD，BD的長是解題的關(guān)鍵．22．（2021·重慶巴蜀中學(xué)九年級開學(xué)考試）如圖，在矩形ABCD中，AD=10，tanAEB=，點(diǎn)E為BC上的一點(diǎn)，ED平分AEC，（1）求BE的值；（2）求sinEDC．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，角平分線的定義，可得，進(jìn)而根據(jù)已知正切的值以及勾股定理即可求得;（2）由（1）可得的長，根據(jù)矩形的性質(zhì)，以及勾股定理和正弦的定義即可求得sinEDC．【詳解】（1）ED平分AEC，，四邊形是矩形，，，，，，tanAEB=，設(shè),則，，，，，（2）四邊形是矩形，，，，，，．．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等角對等邊，解直角三角形，掌握銳角三角函數(shù)的基本定義是解題的關(guān)鍵．23．（2021·杭州市九年級開學(xué)考試）如圖，，，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）已知，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)平行線性質(zhì)得∠ABC=∠BCD，即可求證△ABC∽△BCD；（2）設(shè)BC=k，則AC=2k，根據(jù)勾股定理可求得AB，再根據(jù)△ABC∽△BCD得對應(yīng)邊比值相等即可解題．【詳解】（1）∵，∴，又∵∴；（2）∵∴可設(shè)，則，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．24．（2021·遼寧盤錦中考真題）如圖，小華遙控?zé)o人機(jī)從點(diǎn)A處飛行到對面大廈MN的頂端M，無人機(jī)飛行方向與水平方向的夾角為37°，小華在點(diǎn)A測得大廈底部N的俯角為31°，兩樓之間一棵樹EF的頂點(diǎn)E恰好在視線AN上，已知樹的高度為6米，且，樓AB，MN，樹EF均垂直于地面，問：無人機(jī)飛行的距離AM約是多少米？（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】38米【分析】過作于，易證，得，則，再由銳角三角函數(shù)求出，然后在中，由銳角三角函數(shù)定義求出的長即可．【詳解】解：過作于，如圖所示：則，，，，由題意得：，，，，，，，，在中，，，在中，，，即無人機(jī)飛行的距離約是．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，相似三角形的應(yīng)用等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形，證明是解題的關(guān)鍵．25．（2021·四川仁壽九年級期末）如圖，矩形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，EM⊥AM交AD的延長線于點(diǎn)E．①求證：△ABM∽△EMA．②若AB＝4，BM＝3，求sinE的值．【答案】①見解析；②sinE＝【分析】①根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠B＝90°，AD∥BC，則∠EAM＝∠AMB，然后根據(jù)相似三角形的判定方法得到結(jié)論；

②利用△ABM∽△EMA得到∠E＝∠BAM，再利用勾股定理計(jì)算出AM，然后根據(jù)正弦的定義得到sin∠BAM＝，從而得到sinE的值．【詳解】①證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠EAM＝∠AMB，∵EM⊥AM，∴∠AME＝90°，∵∠B＝∠AME，∠AMB＝∠EAM，∴△ABM∽△EMA；②解：∵△ABM∽△EMA，∴∠E＝∠BAM，在Rt△ABM中，AM＝＝＝5，∴sin∠BAM＝，∴sinE＝．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵.26．（2021·四川內(nèi)江市中考真題）在一次課外活動中，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹的高度．如圖所示，測得斜坡的坡度，坡底的長為8米，在處測得樹頂部的仰角為，在處測得樹頂部的仰角為，求樹高．（結(jié)果保留根號）【答案】米．【分析】作BF⊥CD于點(diǎn)F，設(shè)DF=x米，在直角△DBF中利用三角函數(shù)用x表示出BF的長，在直角△DCE中表示出CE的長，然后根據(jù)BF-CE=AE即可列方程求得x的值，進(jìn)而求得CD的長．【詳解】解：作于點(diǎn)，設(shè)米，在中，，則（米，∵，且AE=8∴∴在直角中，米，在直角中，，米．，即．解得：，則米．答：的高度是米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，掌握仰角