八年級數(shù)學下冊 分式方程及應用壓軸（解析版）

專題06分式方程及應用壓軸考點一：解分式方程考點二：已知分式方程的解，求字母參數(shù)的值考點三：分式方程的特殊解問題考點四：分式方程的無解（增根）問題考點五：分式方程的應用問題【考點一：解分式方程】【典例1】（2023春?萬源市校級期末）解方程：（1）1﹣＝（2）﹣＝．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）去分母得：x2﹣25﹣x﹣5＝x2﹣5x，解得：x＝，經(jīng)檢驗x＝是分式方程的解；（2）去分母得：3x+3﹣2x+2＝1，解得：x＝﹣4，經(jīng)檢驗x＝﹣4是分式方程的解．【變式1-1】（2023?青秀區(qū)校級模擬）解方程：+＝．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：去分母得：2（x+1）+2x＝5x，去括號得：2x+2+2x＝5x，解得：x＝2，經(jīng)檢驗x＝2是分式方程的解．【變式1-2】（2023秋?高郵市期末）解方程：（1）（2）﹣＝1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）去分母得：x﹣5＝2x﹣5，移項合并得：x＝0，經(jīng)檢驗x＝0是分式方程的解；（2）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，去括號得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，解得：x＝1，經(jīng)檢驗x＝1是增根，分式方程無解．【變式1-3】（2023秋?石河子校級期末）解方程：（1）；（2）．【答案】（1）x＝2；（2）無解．【解答】解：（1）去分母得：2x+1＝5x﹣5，解得：x＝2，經(jīng)檢驗x＝2是分式方程的解；（2）去分母得：16+x2﹣4＝x2+4x+4，解得：x＝2，經(jīng)檢驗x＝2是增根，分式方程無解．【變式1-4】（2023秋?鐵嶺縣期末）解方程：（1）（2）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）去分母得：15x﹣12+x﹣3＝6x+5，移項合并得：10x＝20，解得：x＝2，經(jīng)檢驗x＝2是分式方程的解；（2）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，去括號得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，移項合并得：2x＝2，解得：x＝1，經(jīng)檢驗x＝1是增根，分式方程無解．【考點二：已知分式方程的解，求字母參數(shù)的值】【典例2】（2023秋?綏中縣期末）已知關(guān)于x的方程的解是x＝1，則a的值為（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【答案】C【解答】解：∵關(guān)于x的方程的解是x＝1，∴＝，解得a＝﹣1，經(jīng)檢驗a＝﹣1是方程的解．故選：C．【變式2-1】（2023秋?常德期末）已知關(guān)于x的分式方程的解為x＝4，則a的值為（）A．4 B．3 C．0 D．﹣6【答案】D【解答】解：將x＝4代入方程，得：，解得a＝﹣6，故選：D．【變式2-2】（2023?武侯區(qū)校級模擬）已知x＝1是分式方程的解，則a的值為（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【答案】D【解答】解：把x＝1代入分式方程得：＝，去分母得：8a+12＝3a﹣3，解得：a＝﹣3，∵a﹣1＝﹣4≠0，∴a的值為﹣3．故選：D．【變式2-3】（2023秋?平輿縣期末）若分式方程的解為x＝2，則a的值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【答案】C【解答】解：∵分式方程的解為x＝2，∴＝，即＝1，解得a＝﹣1，經(jīng)檢驗a＝﹣1是方程的解，所以原方程的解為a＝﹣1，故選：C．【變式2-4】（2023秋?綿陽期末）已知x＝2是關(guān)于x的分式方程的解，則a＝．【答案】．【解答】解：把x＝2代入關(guān)于x的分式方程得：，，4a＝1，，檢驗：當時，2a≠0，∴是分式方程的解，故答案為：【考點三：分式方程的特殊解問題】【典例3】（2023秋?南陵縣期末）若關(guān)于x的分式方程的解是正數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m＜4且m≠3 B．m＜4 C．m≠3 D．m＞4且m≠3【答案】A【解答】解：方程兩邊同時乘以x﹣1得，1﹣m﹣（x﹣1）+2＝0，解得x＝4﹣m．∵x為正數(shù)，∴4﹣m＞0，解得m＜4．∵x≠1，∴4﹣m≠1，即m≠3．∴m的取值范圍是m＜4且m≠3．故選：A．【變式3-1】（2023秋?陵城區(qū)期末）若關(guān)于x的分式方程的解為非負數(shù)，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞1且a≠2 B．a(chǎn)＜1 C．a(chǎn)≥1且a≠2 D．a(chǎn)≤1且a≠﹣2【答案】C【解答】解：，方程兩邊同時乘2（x﹣2）得：2（x﹣a）＝x﹣2，2x﹣2a＝x﹣2，2x﹣x＝2a﹣2，x＝2a﹣2，∵關(guān)于x的分式方程的解為非負數(shù)，∴2a﹣2≥0，2a≥2，a≥1，∵分式的分母x﹣2≠0，∴x≠2，即2a﹣2≠2，解得：a≠2，∴a≥1且a≠2，故選：C．【變式3-2】（2023秋?重慶期末）若關(guān)于x的不等式組的解集為x≥3，且關(guān)于y的分式方程有非負數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為5．【答案】5．【解答】解：，解不等式①，得x≥3，解不等式②，得x＞a﹣2，∵原不等式組的解集為x≥3，∴a﹣2＜3，∴a＜5；解分式方程，得y＝，∵y＝1是原分式方程的增根，∴a≠4，∵≥0，∴a≥2；綜上，2≤a＜5，且a≠4，∴滿足條件的整數(shù)a為2或3，2+3＝5，故答案為：5．【考點四：分式方程的無解（增根）問題】【典例4】（2023秋?濱州期末）若關(guān)于x的分式方程＝1無解，則a的值為（）A．0 B．1 C．1或5 D．5【答案】B【解答】解：+＝1，方程兩邊同時乘以x﹣5得，2﹣（a+1）＝x﹣5，去括號得，2﹣a﹣1＝x﹣5，解得x＝6﹣a，∵原分式方程無解，∴x＝5，∴m＝1，故選：B．【變式4-1】（2023秋?安順期末）若關(guān)于x的分式方程無解，則k的取值是（）A．﹣3 B．﹣3或﹣5 C．1 D．1或﹣5【答案】B【解答】解：，去分母，得6x＝x+3﹣k（x﹣1），∴（5+k）x＝3+k，∵關(guān)于x的分式方程無解，∴分兩種情況：當5+k＝0時，k＝﹣5，當x（x﹣1）＝0時，x＝0或1，當x＝0時，0＝3+k，∴k＝﹣3，當x＝1時，5+k＝3+k，∴k不存在，故不符合題意，綜上所述：k的值為：﹣3或﹣5．故選：B．【變式4-2】（2023秋?涼州區(qū)期末）若分式方程無解，則k的值為（）A．±1 B．2 C．1或2 D．﹣1或2【答案】C【解答】解：，去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，2x﹣4+1﹣kx＝﹣1，2x﹣kx＝2，（2﹣k）x＝2，∵分式方程無解，∴x﹣2＝0，x＝2，2﹣k＝0，k＝2，當k＝1時，原方程為：，2（x﹣2）+1﹣x＝﹣1，2x﹣4+1﹣x+1＝0，x＝2，檢驗：當x＝2時，x﹣2＝0，∴k＝1時，原方程無解；綜上可知：分式方程無解時，k的值為1或2，故選：C．【變式4-3】（2023秋?江漢區(qū)期末）若關(guān)于x的分式方程﹣＝1無解，則m的值為﹣2或1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：去分母得：x2﹣mx﹣3x+3＝x2﹣x，解得：（2+m）x＝3，由分式方程無解，得到2+m＝0，即m＝﹣2或x＝＝1，即m＝1，綜上，m的值為﹣2或1．故答案為：﹣2或1【考點五：分式方程的應用問題】【典例5】（2023秋?信州區(qū)期末）某縣為了落實中央的“強基惠民工程”，計劃將某村的居民自來水管道進行改造．該工程若由甲隊單獨施工恰好在規(guī)定時間內(nèi)完成；若乙隊單獨施工，則完成工程所需天數(shù)是規(guī)定天數(shù)的3倍．如果由甲、乙隊先合做15天，那么余下的工程由甲隊單獨完成還需10天．（1）這項工程的規(guī)定時間是多少天？（2）已知甲隊每天的施工費用為6500元，乙隊每天的施工費用為3500元．為了縮短工期以減少對居民用水的影響，工程指揮部最終決定該工程由甲、乙隊合做來完成．則該工程施工費用是多少？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設這項工程的規(guī)定時間是x天，根據(jù)題意得：（+）×15+＝1．解得：x＝30．經(jīng)檢驗x＝30是原分式方程的解．答：這項工程的規(guī)定時間是30天．（2）該工程由甲、乙隊合做完成，所需時間為：1÷（+）＝22.5（天），則該工程施工費用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）．答：該工程的費用為225000元．【變式5-1】（2023秋?藁城區(qū)期末）甲、乙兩同學的家與學校的距離均為3000米．甲同學先步行600米，然后乘公交車去學校，乙同學騎自行車去學校．已知甲步行速度是乙騎自行車速度的，公交車的速度是乙騎自行車速度的2倍．甲、乙兩同學同時從家里出發(fā)去學校，結(jié)果甲同學比乙同學早到2分鐘．（1）求乙騎自行車的速度；（2）當甲到達學校時，乙同學離學校還有多遠？【答案】（1）300米/分鐘；（2）600米．【解答】解：（1）設乙騎自行車的速度為x米/分鐘，則甲步行速度是x米/分鐘，公交車的速度是2x米/分鐘，根據(jù)題意得+＝﹣2，解得：x＝300米/分鐘，經(jīng)檢驗x＝300是方程的根，答：乙騎自行車的速度為300米/分鐘；（2）∵300×2＝600米，答：當甲到達學校時，乙同學離學校還有600米．【變式5-2】（2023秋?商丘期末）某文具店老板第一次用1000元購進一批文具，很快銷售完畢；第二次購進時發(fā)現(xiàn)每件文具進價比第一次上漲了2.5元．老板用2500元購進了第二批文具，所購進文具的數(shù)量是第一次購進數(shù)量的2倍，同樣很快銷售完畢，兩批文具的售價為每件15元．（1）問第二次購進了多少件文具？（2）文具店老板第一次購進的文具有30元的損耗，第二次購進的文具有125元的損耗，問文具店老板在這兩筆生意中是盈利還是虧本？請說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設第一次購進x件文具，第二次就購進2x件文具，由題意得＝﹣2.5，解得：x＝100，經(jīng)檢驗，x＝100是原方程的解，且符合題意，則2x＝2×100＝200．答：第二次購進200件文具；（2）第一次購進100件文具，利潤為：（15﹣10）×100﹣30＝470（元）；第二次購進200件文具，利潤為：（15﹣12.5）×200﹣125＝375（元），兩筆生意是盈利：利潤為470+375＝845元．【變式5-3】（2023秋?恩施市期末）某單位為美化環(huán)境，計劃對面積為1200平方米的區(qū)域進行綠化，現(xiàn)安排甲、乙兩個工程隊來完成．已知甲隊每天能完成綠化的面積是乙隊每天能完成綠化的面積的1.5倍，并且在獨立完成面積為360平方米區(qū)域的綠化時，甲隊比乙隊少用3天．（1）甲、乙兩工程隊每天能綠化的面積分別是多少平方米？（2）若該單位每天需付給甲隊的綠化費用為700元，付給乙隊的費用為500元，要使這次的綠化總費用不超過14500元，至少安排甲隊工作多少天？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設乙工程隊每天能完成綠化的面積是x平方米，則甲工程隊每天能完成綠化的面積是1.5x平方米，依題意，得：﹣＝3，解得：x＝40，經(jīng)檢驗，x＝40是原方程的解，且符合題意，∴1.5x＝60．答：甲工程隊每天能完成綠化的面積是60平方米，乙工程隊每天能完成綠化的面積是40平方米．（2）設安排甲隊工作m天，則需安排乙隊工作天，依題意，得：700m+500×≤14500，解得：m≥10．所以m最小值是10．答：至少應安排甲隊工作10天．1．（2023秋?交口縣期末）解方程，去分母后正確的是（）A．3（x+1）＝1﹣x（x﹣1） B．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1） C．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x+1） D．3（x﹣1）＝1﹣x（x+1）【答案】B【解答】解：去分母得：3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）．故選：B．2．（2023秋?陽新縣期末）已知一艘輪船順水航行46千米和逆水航行34千米共用的時間，正好等于船在靜水中航行80千米所用的時間，并且水流的速度是2千米/小時，求設輪船在靜水中的速度為x千米/小時，是下列方程正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：設船在靜水中航行的速度為x千米/時（1分）則+＝故選：B．3．（2023秋?廣平縣期末）甲、乙兩人分別從相距目的地6km和10km的兩地同時出發(fā)，甲、乙的速度比是3：4，結(jié)果甲比乙提前20min到達目的地，設甲的速度為3xkm/h．依題意，下面所列方程正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：設甲的速度為3x千米/時，則乙的速度為4x千米/時．根據(jù)題意，得﹣＝．故選：D．4．（2023秋?秦皇島期末）已知關(guān)于x的分式方程的解是非負數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3【答案】C【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3＝x﹣1，解得：x＝m﹣2，由分式方程的解是非負數(shù)，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，解得：m≥2且m≠3，故選：C．5．（2023秋?冠縣期末）若解分式方程＝﹣3產(chǎn)生增根，則k的值為（）A．2 B．1 C．0 D．任何數(shù)【答案】B【解答】解：＝﹣3，去分母，得k＝x﹣k﹣3（x﹣2）．去括號，得k＝x﹣k﹣3x+6．移項，得﹣x+3x＝﹣k+6﹣k．合并同類項，得2x＝6﹣2k．x的系數(shù)化為1，得x＝3﹣k．∵分式方程＝﹣3產(chǎn)生增根，∴3﹣k＝2．∴k＝1．故選：B．6．（2023秋?宜春期末）現(xiàn)定義一種新的運算：，例如：，若關(guān)于x的方程x⊕（2x﹣m）＝3的解為非負數(shù)，則m的取值范圍為（）A．m≤8 B．m≤8且m≠7 C．m≥﹣2且m≠7 D．m≥﹣2【答案】B【解答】解：∵x⊕（2x﹣m）＝3，∴，解方程得：x＝8﹣m；由于方程有解，則8﹣m≠1，即m≠7；由題意得：8﹣m≥0，解得：m≤8；綜合起來，m的取值范圍為m≤8且m≠7；故選：B．7．（2023秋?蘭陵縣期末）對于兩個不相等的實數(shù)a，b，我們規(guī)定符號min{a，b}表示a，b中較小的值，如min{2，4}＝2，按照這個規(guī)定，方程min{，﹣}＝的解為（）A．﹣1或2 B．2 C．﹣1 D．無解【答案】D【解答】解：①當x＞0時，有＞﹣，∴min{，﹣}＝﹣，即﹣＝，解得x＝﹣1（不合題意舍去）；②當x＜0時，有＜﹣，∴min{，﹣}＝，即＝，解得x＝2（不合題意舍去）；綜上所述，方程min{，﹣}＝無解，故選：D．8．（2023秋?崆峒區(qū)期末）分式與互為相反數(shù)，則x的值為（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【答案】C【解答】解：由題意得，去分母3x+2（1﹣x）＝0，解得x＝﹣2．經(jīng)檢驗得x＝﹣2是原方程的解．故選：C．9．（2023秋?羅山縣期末）定義運算“※”：a※b＝，若5※x＝2，則x的值為（）A． B． C．10 D．或10【答案】D【解答】解：當5＞x時，∵5※x＝2，∴＝2，解得x＝．經(jīng)檢驗，x＝符合題意，是分式方程的解．當5＜x時，∵5※x＝2，∴＝2．解得x＝10．經(jīng)檢驗，x＝10符合題意，是分式方程的解．故選：D．10．（2023秋?開州區(qū)期末）若關(guān)于x的不等式組無解，且關(guān)于y的分式方程3﹣的解為正數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值的和為13．【答案】13．【解答】解：，由①得，x≥﹣1，由②得，x＜﹣a，∵不等式組無解，∴﹣a≤﹣1，即a≥1，3﹣，3（y﹣2）+a＝y(tǒng)，3y﹣6+a＝y(tǒng)，解得y＝3﹣a，∵分式方程的解為正數(shù)，∴3﹣a＞0且3﹣a≠2，解得a＜6且a≠2，∴a的取值為1≤a＜6且a≠2，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值的和為1+3+4+5＝13，故答案為：13．11．（2023秋?虹口區(qū)校級期末）若關(guān)于x的方程的解為負數(shù)，則a的取值范圍是a＜﹣13或﹣13＜a＜﹣10．【答案】a＜﹣13或﹣13＜a＜﹣10．【解答】解：+＝，去分母，得（x﹣1）（x+1）+（3﹣x）（x﹣3）＝3x+a，去括號、合并同類項，得3x＝a+10，等號兩邊同除以3，得x＝（x≠3，且x≠﹣1），∵x＝3或x＝﹣1是原分式方程的增根，∴a≠﹣1，且a≠﹣13，∵＜0，∴a＜﹣10，∴a＜﹣13或﹣13＜a＜﹣10，故答案為：a＜﹣13或﹣13＜a＜﹣10．12．（2022秋?寧遠縣期末）若關(guān)于x的方程＝+1無解，則a的值是3或1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：去分母，得：ax＝3+x﹣1，整理，得：（a﹣1）x＝2，當x＝1時，分式方程無解，則a﹣1＝2，解得：a＝3；當整式方程無解時，a＝1，故答案為：3或1．13.（2023秋?應城市期末）解下列分式方程．（1）；（2）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）原方程變形得：，方程兩邊同乘以最簡公分母（x﹣3）得：1＝2（x﹣3）﹣x，整理的：1＝2x﹣6﹣x，移項得：x＝7，檢驗：當x＝7時，x﹣3＝7﹣3＝4≠0，所以，x＝7，是原方程的根，（2）方程兩邊同乘以最簡公分母（x﹣1）（x+2）得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3，整理得：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，合并同類項得：x＝1，檢驗：當x＝1時，（x﹣1）（x+2）＝（1﹣1）（1+2）＝0，所以，x＝1是原方程的增根，所以，原分式方程無解．14．（2023秋?南寧期末）為提高快遞包裹分揀效率，物流公司引進了快遞自動分揀流水線．一條某型號的自動分揀流水線的工作效率是一名工人工作效率的4倍，用這條自動分揀