分式與分式方程壓軸題（5個(gè)類型50題）-【?？級狠S題】2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略（解析版）

第五章分式與分式方程壓軸題內(nèi)容導(dǎo)航一、分式類型一、分式性質(zhì)的應(yīng)用類型二、分式的運(yùn)算二、分式方程類型三、解分式方程類型四、分式方程無解和增根問題類型五、分式方程的應(yīng)用題一、分式類型一、分式性質(zhì)的應(yīng)用1．已知兩個(gè)分式：，；將這兩個(gè)分式進(jìn)行如下操作：第一次操作：將這兩個(gè)分式作和，結(jié)果記為；作差，結(jié)果記為；（即，）第二次操作：將，作和，結(jié)果記為：作差，結(jié)果記為；（即，）第三次操作：將，作和，結(jié)果記為；作差，結(jié)果記為；（即，）…（依此類推）將每一次操作的結(jié)果再作和，作差，繼續(xù)依次操作下去，通過實(shí)際操作，有以下結(jié)論：．①；②當(dāng)時(shí)，；③若，則；④在第n（n為正整數(shù)）次和第次操作的結(jié)果中：為定值：⑤在第2n（n為正整數(shù)）次操作的結(jié)果中：，；以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（

）個(gè)A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】通過計(jì)算確定第2n個(gè)式子的變化規(guī)律和第2n-1個(gè)式子的變化規(guī)律，然后確定一般形式，進(jìn)行判定即可．【詳解】解：，，，，，，，，……當(dāng)2n-1為奇數(shù)時(shí)（1除外），，，當(dāng)2n為偶數(shù)時(shí)，，，∵，故①正確；當(dāng)x=1時(shí)，M2+M4+M6+M8==30，故②錯(cuò)誤；，解得x=1或-2，故③錯(cuò)誤；當(dāng)n=2k-2時(shí)，=x，x不是定值，故④錯(cuò)誤；由規(guī)律知，⑤正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡以及探究式子的規(guī)律，解決問題的關(guān)鍵是確定式子的變化規(guī)律．2．已知，一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則一次函數(shù)的解析式是．【答案】/【分析】本題考查了分式的定義，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)．根據(jù)得到，，，求出．結(jié)合一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，即可求出一次函數(shù)解析式．【詳解】解：∵，∴，，，得，∵，∴．∵一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，∴，∴，∴一次函數(shù)的解析式為．故答案為：．3．已知都為正數(shù)，，，，，，，則．【答案】【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，分式求值，代數(shù)式求值．運(yùn)用整體的思想是解題的關(guān)鍵．將每個(gè)等式的左右兩邊相乘得，，解得，由，解得，同理可得，，，，，，然后代入求解即可．【詳解】解：將每個(gè)等式的左右兩邊相乘得，，即，∵都為正數(shù)，∴，∵，解得，同理可得，，，，，，∴，故答案為：．4．某知名服裝品牌在北碚共有、、三個(gè)實(shí)體店．由于疫情的影響，第一季度、、三店的營業(yè)額之比為，隨著疫情得到有效的控制和緩解，預(yù)計(jì)第二季度這三個(gè)店的總營業(yè)額會(huì)增加，其中店增加的營業(yè)額占總增加的營業(yè)額的，第二季度店的營業(yè)額占總營業(yè)額的，為了使店與店在第二季度的營業(yè)額之比為，則第二季度店增加的營業(yè)額與第二季度總營業(yè)額的比值為．【答案】【分析】設(shè)第一季度營業(yè)額為，第二季度營業(yè)額為，則總共增加的營業(yè)額為，店增加的營業(yè)額為，第二季度店的營業(yè)額為，則第一季度店的營業(yè)額為；店的營業(yè)額為；第二季度店與店的營業(yè)額之和為，若店與店在第二季度的營業(yè)額之比為，則第二季度店?duì)I業(yè)額為，店?duì)I業(yè)額為；第二季度店增加的營業(yè)額為，店增加的營業(yè)額為，依此可得，進(jìn)一步即可求解．【詳解】解：設(shè)第一季度營業(yè)額為，第二季度營業(yè)額為，則總共增加的營業(yè)額為，店增加的營業(yè)額為，第二季度店的營業(yè)額為，∵第一季度、、三店的營業(yè)額之比為，∴第一季度店的營業(yè)額為，店的營業(yè)額為，第二季度店與店的營業(yè)額之和為，若店與店在第二季度的營業(yè)額之比為，∴第二季度店?duì)I業(yè)額為，店?duì)I業(yè)額為，∵第二季度店增加的營業(yè)額為，店增加的營業(yè)額為，依題意得：，∴，∴第二季度店增加的營業(yè)額與第二季度總營業(yè)額的比值為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用類問題，列代數(shù)式，分式的基本性質(zhì)，求分式的值．理解題意，找到正確的等量關(guān)系是本題的關(guān)鍵．5．已知．即當(dāng)為于1的奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為大于1的偶數(shù)時(shí)，．計(jì)算的結(jié)果為．【答案】【分析】先找到規(guī)律的值每6個(gè)一循環(huán)，再求出，由，可得．【詳解】解：，，，，，，，…，∴的值每6個(gè)一循環(huán)，∵，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)數(shù)值的變化找出的值，每6個(gè)一循環(huán)是解題的關(guān)鍵．6．已知正整數(shù)x，y滿足，則符合條件的x，y的值有組．【答案】2【分析】根據(jù)x，y均為正整數(shù)，可知、，據(jù)此建立不等式并求解可知，結(jié)合，可確定可知符合條件的x的值，然后根據(jù)確定與之對應(yīng)的y的值，即可確定符合條件的x，y的值的組數(shù)．【詳解】解：∵x，y均為正整數(shù)，∴，，∴，∴，解得，結(jié)合，可知符合條件的x的值為：1、2、3、4、5、6、7、8、9，對應(yīng)的y的值為：9、、、、、、、、，∴符合條件的x、y的值為，，∴符合條件的x，y的值有2組．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值以及一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意建立不等式并求解是解題關(guān)鍵．7．下列結(jié)論：①在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（﹣1，5）在第四象限；②若÷有意義，則x的取值范圍是x≠3且x≠0；③若分式的值為0，則x的值為±3；④分式的值為整數(shù)，則整數(shù)x的值有6個(gè)；⑤若已知（x﹣2）x-5＝1，則整數(shù)x的值是3或1或﹣5，其中錯(cuò)誤的有．（填序號(hào)）【答案】①②③④⑤【分析】①根據(jù)象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷即可；②根據(jù)分母不為0，除式不為0，確定出所求即可；③根據(jù)分式值為0的條件：分母不為0，分子為0，判斷即可；④分式變形后，根據(jù)分式值為整數(shù)，確定出整數(shù)x的值，判斷即可；⑤根據(jù)底數(shù)為1或﹣1，指數(shù)為0三種情況判斷即可．【詳解】解：①在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（﹣1，5）在第二象限，符合題意；②若÷有意義，則x的取值范圍是x≠3且x≠0且x≠﹣5，符合題意；③若分式的值為0，則x的值為3，符合題意；④分式＝＝3+的值為整數(shù)，則整數(shù)x的值有2個(gè)，符合題意；⑤若已知＝1，則整數(shù)x的值為3或1或5，符合題意，則錯(cuò)誤的有①②③④⑤．故答案為：①②③④⑤．【點(diǎn)睛】本題考查分式的取值以及冪的性質(zhì)，掌握分式的基本性質(zhì)以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪是解決問題的關(guān)鍵，注意1的任何次方、任何一個(gè)不為0的數(shù)的零指數(shù)冪、-1的偶數(shù)次方都是1．8．閱讀理解：材料1：為了研究分式與其分母x的數(shù)量變化關(guān)系，小力制作了表格，并得到如下數(shù)據(jù)：…01234……無意義1…從表格數(shù)據(jù)觀察，當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值隨之減小，若無限增大，則無限接近于0；當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值也隨之減?。牧?：在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為真分式．如果分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為假分式．任何一個(gè)假分式都可以化為一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和．例如：根據(jù)上述材料完成下列問題：(1)當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值(增大或減小)；當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值（增大或減小）；(2)當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值無限接近一個(gè)數(shù)，請求出這個(gè)數(shù)；(3)當(dāng)時(shí)，直接寫出代數(shù)式值的取值范圍是．【答案】(1)減小，減小(2)當(dāng)時(shí)，無限接近于2(3)【分析】（1）根據(jù)的變化情況，判斷、值得變化情況即可；（2）根據(jù)材料由即可求解；（3）由，配合即可求解．【詳解】（1）解：∵當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值隨之減小，∴隨著的增大，的值隨之減?。弧弋?dāng)時(shí)，隨著的增大，的值也隨之減小，∴隨著的增大，的值隨之減小，故答案為：減??；減?。唬?）解：∵∵當(dāng)時(shí)，的值無限接近于0，∴當(dāng)時(shí)，無限接近于2；（3）解：，∵，∴，∴，∴，即∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查分式的性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)，理解題中的變量分離的方法是解題的關(guān)鍵．類型二、分式性質(zhì)的運(yùn)算9．一支部隊(duì)排成a米長隊(duì)行軍，在隊(duì)尾的戰(zhàn)士要與最前面的團(tuán)長聯(lián)系，他用t1分鐘追上了團(tuán)長、為了回到隊(duì)尾，他在追上團(tuán)長的地方等待了t2分鐘．如果他從最前頭跑步回到隊(duì)尾，那么他需要的時(shí)間是（）A．分鐘 B．分鐘C．分鐘 D．分鐘【答案】C【分析】根據(jù)題意得到隊(duì)伍的速度為，隊(duì)尾戰(zhàn)士的速度為，可以得到他從最前頭跑步回到隊(duì)尾，那么他需要的時(shí)間是，化簡即可求解【詳解】解：由題意得：分鐘．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)題意列分式計(jì)算，理解題意正確列出分式是解題關(guān)鍵．10．今年是脫貧攻堅(jiān)關(guān)鍵年，大學(xué)生小趙利用電商平臺(tái)幫助家鄉(xiāng)售賣當(dāng)?shù)赝撂禺a(chǎn)。今年10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三種土特產(chǎn)的銷售量之比為2：3：5，隨著“雙十一”的到來，預(yù)計(jì)11月份總銷售量會(huì)大幅增加，其中核桃增加的銷售量占三種特產(chǎn)總增加的銷售量的，且核桃的銷售量將達(dá)到11月份三種特產(chǎn)總銷售量的，為使葡萄干、哈密瓜11月份的銷售量之比為3：4，則11月份葡萄干還需增加的銷售量與11月份總銷售量之比是.【答案】【分析】設(shè)10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三種土特產(chǎn)的總銷售量為，11月份葡萄干、哈密瓜、核桃三種土特產(chǎn)的總銷售量為，先根據(jù)核桃增加的銷售量建立等式可求出，再根據(jù)“葡萄干、哈密瓜11月份的銷售量之比為”求出11月份葡萄干的銷售量，從而可得11月份葡萄干還需增加的銷售量，由此即可得．【詳解】設(shè)10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三種土特產(chǎn)的總銷售量為，11月份葡萄干、哈密瓜、核桃三種土特產(chǎn)的總銷售量為，則10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三種土特產(chǎn)的銷售量依次為，11月份三種特產(chǎn)總增加的銷售量為，11月份核桃增加的銷售量為，11月份核桃的銷售量為，因此有，整理得：，當(dāng)葡萄干、哈密瓜11月份的銷售量之比為時(shí)，11月份葡萄干的銷售量為，則11月份葡萄干還需增加的銷售量與11月份總銷售量之比是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式的應(yīng)用、分式的應(yīng)用，依據(jù)題意，正確求出11月份總銷售量與10月份總銷售量的關(guān)系是解題關(guān)鍵．11．6月18日晚，蘇寧易購發(fā)布618全程戰(zhàn)報(bào)：從6月1日到18日晚6點(diǎn)，蘇寧依托線上線下全場景優(yōu)勢，逆勢增長.經(jīng)調(diào)查，蘇寧易購線上有甲乙兩家在銷售華為A手機(jī)、華為B電腦和華為C耳機(jī).已知每部A手機(jī)的利潤率為40%，每臺(tái)B電腦的利潤率為60%，每副C耳機(jī)的利潤率為30%，甲商家售出的B電腦和C耳機(jī)的數(shù)量都是A手機(jī)的數(shù)量的一半，獲得的總利潤為50%，乙商家售出的A手機(jī)的數(shù)量是B電腦的數(shù)量的一半，售出的C耳機(jī)的數(shù)量是B電腦的數(shù)量的，則乙商家獲得的總利潤率是.【答案】56%【分析】設(shè)A手機(jī)的成本價(jià)為a，B電腦的成本價(jià)為b，C耳機(jī)的成本價(jià)為c，甲商家售出A手機(jī)2x部，則售出B電腦x臺(tái)，C耳機(jī)x副，乙商家售出A手機(jī)y部，則售出B電腦2y臺(tái)，C耳機(jī)副，根據(jù)甲商家的數(shù)據(jù)可得b=2a+2c，繼而根據(jù)利潤率公式列式計(jì)算乙商家的即可得.【詳解】設(shè)A手機(jī)的成本價(jià)為a，B電腦的成本價(jià)為b，C耳機(jī)的成本價(jià)為c，甲商家售出A手機(jī)2x部，則售出B電腦x臺(tái)，C耳機(jī)x副，乙商家售出A手機(jī)y部，則售出B電腦2y臺(tái)，C耳機(jī)副，由甲商家的總利潤為50%，則有40%?a?2x+60%?b?x+30%?c?x=50%(2xa+bx+cx)，整理得，b=2a+2c，則乙商家的總利潤率為：=====56%，故答案為56%.【點(diǎn)睛】本題考查了銷售問題——商品的利潤率，弄清題意，理清各量間的關(guān)系，掌握運(yùn)算技巧是解題的關(guān)鍵.12．設(shè)a、b、c是互不相等的實(shí)數(shù)，且，則．【答案】【分析】本題考查分式的化簡求值，由可得，同理可得，，由此三式相乘即可解答．【詳解】解：∵，∴，，，∴，，，∴，∴．故答案為：．13．對于一個(gè)兩位數(shù)，，記，將m的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和、十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的差分別作為的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字，新形成的兩位數(shù)叫做m的伴生和差數(shù)，把m放置于十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之間，就可以得到一個(gè)新的四位數(shù)M，最小的M為，若M能被7整除，則的最小值為.【答案】1001/0.5【分析】本題為新定義問題，考查了整式的加減，分?jǐn)?shù)加減的逆用等知識(shí)，根據(jù)題意用、寫出四位數(shù)的表達(dá)式，根據(jù)、的范圍，可得最小的，因?yàn)槟鼙?整除，所以可知和的取值，即得的最小值．【詳解】解：∵兩位數(shù)的十位數(shù)字是，個(gè)位數(shù)字是，兩位數(shù)的十位數(shù)字是，個(gè)位數(shù)字是，四位數(shù)，∴當(dāng)，時(shí)，最小，，∵能被7整除，，，時(shí)，，，時(shí)，，，時(shí)，，，時(shí)，，由題意得，，∴最小，即最小，，時(shí)，．故答案為：1101，14．若，求的值【答案】【分析】設(shè)，從而得x=3k，y=4k，z=5k；通過整式和分式的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】設(shè)，∴x=3k，y=4k，z=5k∴===．【點(diǎn)睛】本題考查了整式、分式運(yùn)算的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式、分式運(yùn)算的性質(zhì)，從而完成求解．15．將克糖放入水中，得到克糖水，此時(shí)糖水的濃度為．(1)再往杯中加入克糖，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水變甜了，用數(shù)學(xué)關(guān)系式可以表示為______；(2)請證明（1）中的數(shù)學(xué)關(guān)系式；(3)在中，三條邊的長度分別為，證明：．【答案】(1)(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)濃度公式代入以及變甜了判斷所得分式大小即可；（2）利用作差法，并化簡通過判斷結(jié)果的正負(fù)即可；（3）利用三角形的三邊關(guān)系得到，，，即，，，在通過本題糖水不等式變形求證即可．【詳解】（1）解：由題意得：加入克糖后糖水濃度為：，由糖水變甜可知：，故答案為：（2）解：利用作差法比較大?。海?，，∴，，即，∴，即．（3）解：在中，，，，且，∴，，．由糖水不等式得，，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的運(yùn)算及大小比較，理解不等式并能夠利用糖水不等式以及三角形三邊關(guān)系證明是解決本題的關(guān)鍵．16．設(shè)n為正整數(shù)，且，，…．(1)求證：；(2)若，求正整數(shù)a，b的值．【答案】(1)見解析(2)或或或【分析】本題考查分式的化簡，整數(shù)解．（1）運(yùn)用分式的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）由（1）可得：，，從而．設(shè)，，上式可變形為，即，根據(jù)a，b，s，t為正整數(shù)可知為正整數(shù)可得t的值，即可解答．【詳解】（1）（2）由（1）可得：，，∵∴，設(shè)，，則，即，故，由a，b為正整數(shù)可知s，t為正整數(shù)，則為整數(shù)，∴或或或，∴或或或，則或或或．17．觀察下列各式：，(1)從上面的算式及計(jì)算結(jié)果，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫下面的空格：________；(2)用數(shù)學(xué)的整體思想方法，設(shè)，分解因式：，；(3)已知，a、b、c、d都是正整數(shù)，且，化簡求的值．【答案】(1)；(2)；(3)，【分析】（1）根據(jù)所給的三個(gè)等式歸納規(guī)律解答即可；（2）利用得出的規(guī)律，運(yùn)用平方差公式進(jìn)行分解因式；（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律，當(dāng)m=2時(shí)，得出a，b，c，d的值，再進(jìn)行化簡求值．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，由所給的三個(gè)等式，可歸納出：；故答案為：；（2）解：由（1）可知，∴，設(shè)（），∴∵，∴；（3）解：由（2）可知，當(dāng)時(shí)，則，∵，∴，∵a、b、c、d都是正整數(shù)，且a＞b＞c＞d；∴a=17，b=5，c=3，d=1；∵，當(dāng)a=17，b=5，c=3，d=1；∴原式；【點(diǎn)睛】本題考查了用平方差公式進(jìn)行因式分解，分式的化簡，根據(jù)所給的等式歸納出規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．18．若三個(gè)非零實(shí)數(shù)、、滿足：若其中一個(gè)數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和，則稱這三個(gè)實(shí)數(shù)、構(gòu)成“青一三數(shù)組”，例如：因?yàn)?、、的倒?shù)能夠滿足，所以數(shù)組、、構(gòu)成“青一三數(shù)組”．(1)下列三組數(shù)構(gòu)成“青一三數(shù)組”的有________；（填序號(hào)）①1、2、3；②1、、；③、、．(2)若、、構(gòu)成“青一三數(shù)組”，求實(shí)數(shù)的值；(3)若非零實(shí)數(shù)、、構(gòu)成“青一三數(shù)組”，且滿足以下三個(gè)條件：①；②點(diǎn)到原點(diǎn)的距離記為；③不等式恒成立．求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)②③(2)或或；(3)無【分析】此題考查了新定義問題，二次根式及分式的運(yùn)算，分類討論思想是解決此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“青一三數(shù)組”的定義挨個(gè)求出倒數(shù)，再求其中一個(gè)數(shù)的倒數(shù)是否等于另外兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和，如果有一個(gè)滿足題意即為“青一三數(shù)組”；（2）倒數(shù)為，的倒數(shù)為，的倒數(shù)為，由、、構(gòu)成“青一三數(shù)組”，分三種情況進(jìn)行討論求解即可；（3）由，可得，再由點(diǎn)到原點(diǎn)的距離記為，可得，再求解即可．【詳解】（1）解：①，，，1、2、3不能構(gòu)成“青一三數(shù)組”；②，1、、能構(gòu)成“青一三數(shù)組”；③的倒數(shù)為，的倒數(shù)為，的倒數(shù)為，，、、能構(gòu)成“青一三數(shù)組”；三組數(shù)中構(gòu)成“青一三數(shù)組”的有②③，故答案為：②③；（2）解：倒數(shù)為，的倒數(shù)為，的倒數(shù)為，、、構(gòu)成“青一三數(shù)組”，①當(dāng)時(shí)，解得：；②當(dāng)時(shí)，解得：；③當(dāng)時(shí)，解得：；綜上可知，實(shí)數(shù)的值為或或；（3）解：，，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離記為，19．用數(shù)學(xué)的眼光觀察：同學(xué)們，在學(xué)習(xí)中，你會(huì)發(fā)現(xiàn)“”與“”有著緊密的聯(lián)系，請你認(rèn)真觀察等式：，．用數(shù)學(xué)的思維思考并解決如下問題：(1)填空：______；(2)計(jì)算：①若，求的值；②若，求的值；③已知，求的值．【答案】(1)4(2)①；②；③的值為【分析】本題主要考查了完全平方公式的變形求值，求一個(gè)數(shù)的平方根，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式．（1）根據(jù)題干提供的信息，利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）①先利用完全平方公式變形求出，然后求出的值即可；②先將兩邊都除以，得，然后求出，再求出結(jié)果即可；③分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：；故答案為：4．（2）解：①∵，∴．②將兩邊都除以，得．∴，∴．③當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則，得，∵，∴．∵，∴；∴，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則，得，∵，故舍去．綜上，的值為．20．閱讀下面材料并解決有關(guān)問題：（一）由于，所以，即，并且當(dāng)時(shí)，；對于兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，，由于所以，即，所以，并且當(dāng)時(shí)，；（二）分式和分?jǐn)?shù)有著很多的相似點(diǎn)，如類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，我們得到了分式的基本性質(zhì)．小學(xué)里，把分子比分母小的數(shù)叫做真分?jǐn)?shù)，類似的，我們把分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)的分式稱為真分式，反之，稱為假分式．對于任何一個(gè)假分式都可以化成整式與真分式的和的形式，如：；(1)在①、②、③、④這些分式中，屬于假分式的是________（填序號(hào)）；(2)已知：，求代數(shù)式的值；(3)當(dāng)為何值時(shí)，有最小值？并求出最小值．（寫出解答過程）【答案】(1)①②④(2)(3)時(shí)，有最小值，最小值為3【分析】本題為新定義問題，創(chuàng)新題，考查了分式的計(jì)算，二次根式的變形，完全平方公式的應(yīng)用等知識(shí)，理解題目中的相關(guān)材料，并根據(jù)題意靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)真分式、假分式的定義逐項(xiàng)判斷即可求解；（2）先根據(jù)，得到，進(jìn)而得到，即可得到，利用倒數(shù)的定義即可求出；（3）先求出，再將變形為根據(jù)（一）結(jié)論得到，即可求出當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最小值，最小值為3．【詳解】（1）解：①是假分式，符合題意；②是假分式，符合題意；③是真分式，不合題意；④是假分式，符合題意．故答案為：①②④．（2）解：∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：由題意，，∴．原式．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．∴原式的最小值為3．21．請根據(jù)閱讀材料利用整體思想解答下列問題：例1：分解因式；解：將“”看成一個(gè)整體，令；原式；例2：已知，求的值．解：；(1)根據(jù)材料，請你模仿例1嘗試對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解；(2)計(jì)算：．(3)①已知，求的值；②若，直接寫出的值．【答案】(1)(2)(3)1；5【分析】（1）將“”看成一個(gè)整體，模仿例1求解；（2）令，，將原式變形，即可求解；（3）將中的1用替代，即可求解；將代入將原式變形為，再將代入，進(jìn)一步將原式變形為，由此可解．【詳解】（1）解：令，；（2）解：令，，則原式，故答案為：；（3）解：，；，．【點(diǎn)睛】本題考查整體思想，因式分解，完全平方公式，整式的運(yùn)算，分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握整體思想，看懂例題．二、分式方程類型三、解分式方程22．若關(guān)于的不等式組無解，且關(guān)于的分式方程有正整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)的和為．【答案】【分析】本題考查了解不等式組和分式方程，先根據(jù)不等式組的解的情況得出的取值范圍，再根據(jù)分式方程的解為正整數(shù)解進(jìn)一步得出的值，即可得出答案．熟練掌握它們的解的情況是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，解不等式①得，，解不等式②得，，關(guān)于的不等式組無解，，解得，，方程可化為，方程兩邊同乘得，，解得，是正整數(shù)，，或或或，當(dāng)時(shí)，，分式方程無解，舍去，或或，滿足條件的所有整數(shù)的和為，故答案為：．23．若關(guān)于x的不等式組的解集為，且關(guān)于y的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)m的值的和是．【答案】【分析】先解一元一次不等式組，根據(jù)解集為得到m的取值范圍；再解分式方程，根據(jù)解是非負(fù)正數(shù)解且不是增根得到m的最終范圍，然后再確定在這個(gè)范圍內(nèi)能使y是整數(shù)的m的值，最后求和即可．【詳解】解：關(guān)于x的不等式組整理得到：，∵不等式組的解集為，∴；分式方程兩邊都乘以得：，即．∵y有非負(fù)解且，∴且，解得：且．∴且，∴整數(shù)m為：它們的和為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查解分式方程、解一元一次不等式組等知識(shí)，熟練掌握分式方程、一元一次不等式組的解法是解題的關(guān)鍵．24．若關(guān)于x的一元一次不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程的解是正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之積是．【答案】【分析】先解不等式組，確定的取值范圍，再把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，解得，由分式方程有正整數(shù)解，確定出的值，相乘即可得到答案．【詳解】解：，解不等式①得：解不等式②得：，則根據(jù)題意可知，不等式組的解集為：，關(guān)于的一元一次不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，則該不等式的整數(shù)解至少包含：，，，解得：，分式方程去分母得：，解得：，∵，∴，是正整數(shù)，且，∴或，或，滿足條件的整數(shù)的積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握解不等式組的步驟以及解分式方程的步驟是解題關(guān)鍵．25．若關(guān)于x的一元一次不等式組有且僅有4個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程的解是非負(fù)整數(shù)，則滿足條件的所有整數(shù)a的值之積為．【答案】【分析】不等式組變形后，根據(jù)有且僅有4個(gè)整數(shù)解確定出的范圍，再表示出分式方程的解，由分式方程有整數(shù)解，確定出滿足條件的值．【詳解】解：解不等式組，得，不等式組有且僅有4個(gè)整數(shù)解，，．解分式方程，得，為非負(fù)整數(shù)，∴為偶數(shù)，且，所有滿足條件的只有，2，4∴所有整數(shù)a的值之積．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，熟練掌握解分式方程和一元一次不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．26．若關(guān)于的不等式組有且僅有4個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是．【答案】4【分析】本題考查解不等式組和解分式方程，先解不等式組，解得取的整數(shù)，再解分式方程，根據(jù)分式方程的解，確定的取值范圍，最后綜合兩個(gè)的取值范圍，即可解題．【詳解】解：整理得，不等式組有且僅有4個(gè)整數(shù)解，，整理得，又，，，整理得，關(guān)于的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，有，解得，即，故，，整理得，且為2的倍數(shù)，為整數(shù)，綜上所述，可取，，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是，故答案為：4．27．關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為，關(guān)于y的分式方程有負(fù)整數(shù)解，試求出符合條件的所有整數(shù)m的值．【答案】或/或【分析】本題主要考查解一元一次不等式組、解分式方程等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握解一元一次不等式組和分式方程是解題的關(guān)鍵．先解關(guān)于x的一元一次不等式組的解集是,可得．再解關(guān)于y的分式方程可得，因?yàn)樵摲质椒匠逃蟹秦?fù)整數(shù)解，據(jù)此推斷出整數(shù)m的值即可．【詳解】解：由，得，∵關(guān)于x的一元一次不等式組的解集是,∴，分式方程，∴,∴，又∵關(guān)于y的分式方程有負(fù)整數(shù)解且m為整數(shù)，∴且，∴且，∴且，∵為負(fù)整數(shù)，∴符合條件的m的值為或．28．關(guān)于的分式方程的解為整數(shù)，且關(guān)于的不等式組有解且最多有六個(gè)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和為．【答案】【分析】本題考查了分式方程的解，一元一次不等式組的整數(shù)解，由分式方程得，由一元一次不等式組得，根據(jù)不等式組有解且最多有六個(gè)整數(shù)解，即可得到，再由為整數(shù)，即可得到的值，正確掌握解一元一次不等式組和解分式方程得方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，由得，∵不等式組有解且最多有六個(gè)整數(shù)解，∴，∵為整數(shù)，∴或或，又∵，∴，∴，∴或，∴所有滿足條件的整數(shù)的值之和，故答案為：．29．閱讀材料，下列關(guān)于的方程：的解為：，；

的解為：，；的解為：，；

的解為：，；根據(jù)這些材料解決下列問題：(1)方程的解是____________；(2)方程的解是____________；(3)解方程：．【答案】(1)，(2)，(3)，【分析】（1）根據(jù)所給材料的解題方法即可求解；（2）根據(jù)材料中方程的解法求解即可；（3）先將方程化為，再利用材料中的解法求解即可．【詳解】（1）解：方程的解為，故答案為：，（2）由方程可得或，解得，，故答案為：，（3）將方程變形為，可得或，解得，【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是將方程化為的形式求解．30．仔細(xì)觀察下面的變形規(guī)律：，，，……解答下面的問題：(1)總結(jié)規(guī)律：已知為正整數(shù)，請將和寫成上面式子的形式；(2)類比發(fā)現(xiàn)：計(jì)算與的結(jié)果；(3)知識(shí)遷移：解關(guān)于（為正整數(shù)）的分式方程：；(4)規(guī)律應(yīng)用：化簡．【答案】(1)；(2)；(3)(4)【分析】（1）根據(jù)題目中的規(guī)律，寫出結(jié)果即可；（2）利用解析（1）中得出的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可；（3）先化簡方程左邊的式子，然后解分式方程即可；（4）利用解析（1）中的規(guī)律進(jìn)行變形計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，，，……∴，；（2）解：；．（3）解：方程變?yōu)?，即：，去分母得：，解得：，檢驗(yàn)：因?yàn)闉檎麛?shù)，原方程分母不會(huì)為零；所以原方程的根式．（4）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的規(guī)律題，解分式方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出題目中的規(guī)律，注意解分式方程要進(jìn)行檢驗(yàn)．31．對于兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)m、n，分式的值為零，則或，又因?yàn)?，所以關(guān)于x的方程有兩個(gè)解，分別為，．應(yīng)用上面的結(jié)論解答下列問題：(1)方程有兩個(gè)解，分別為________，________；(2)關(guān)于x的方程的兩個(gè)解分別為，，若與互為倒數(shù)且，則________，________；(3)關(guān)于x的方程的兩個(gè)解分別為，（），求的值．【答案】(1)1，6(2)，2(3)【分析】（1）方程變形后，利用題中的結(jié)論確定出方程的解即可；（2）方程變形后，根據(jù)利用題中的結(jié)論，以及與互為倒數(shù)，確定出與的值即可；（3）方程變形后，根據(jù)利用題中的結(jié)論表示出為、，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：∵，，∴方程有兩個(gè)解，分別為，故答案為：1，6；（2）解：，方程變形得：由題中的結(jié)論得：有兩個(gè)解，分別為，2，∵與互為倒數(shù)，∴，故答案為：，2；（3）解：，方程整理得，得或可得，．∴．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的解，掌握分式的性質(zhì)，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．類型四、分式方程無解和增根問題32．若關(guān)于的分式方程無解，則的值為．【答案】10或或3【分析】分式方程無解的情況有兩種：（1）原方程存在增根；（2）原方程約去分母后，整式方程無解．【詳解】解：（1）為原方程的增根，此時(shí)有，即，解得；（2）為原方程的增根，此時(shí)有，即，解得．（3）方程兩邊都乘，得，化簡得：．當(dāng)時(shí)，整式方程無解．綜上所述，當(dāng)或或時(shí)，原方程無解．故答案為：10或或3．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的解，解答此類題目既要考慮分式方程有增根的情形，又要考慮整式方程無解的情形．33．若關(guān)于x的分式方程無解，則．【答案】2【分析】先去分母，將原方程化為整式方程，根據(jù)一元一次方程無解的條件看能否得出一類a值，再根據(jù)分式方程無解的條件看能否得出另外一類a值即可．【詳解】解：，去分母得：，整理得：，由于此方程未知數(shù)的系數(shù)是1不為0，故無論a取何值時(shí)，都有解，故此情形下無符合題意的a值；由分式方程無解即有增根，可得2x﹣4＝0，得x=2把x＝2代入，解得：a＝2，故此情形下符合題意的a值為2；綜上，若要關(guān)于x的分式方程無解，a的值為2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，熟練掌握分式方程及整式方程無解的條件是解題的關(guān)鍵．34．有下列說法：①不論k取何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式x2﹣ky2總能分解能兩個(gè)一次因式積的形式；②關(guān)于x的分式方程無解，則m＝1；③關(guān)于x、y的方程組，將此方程組的兩個(gè)方程左右兩邊分別對應(yīng)相加，得到一個(gè)新的方程，其中，當(dāng)a每取一個(gè)值時(shí)，就有一個(gè)方程，而這些方程有一個(gè)公共解，則這個(gè)公共解為，其中正確的是．（填序號(hào)）【答案】②③【分析】分別運(yùn)用因式分解的公式法、分式方程的解法及解二元一次方程組的方法，可作出判斷．【詳解】解：①當(dāng)k為負(fù)值時(shí)，多項(xiàng)式x2﹣ky2不能分解能兩個(gè)一次因式積的形式，故①不正確；②將關(guān)于x的分式方程兩邊同時(shí)乘以（x﹣2）得3﹣x﹣m＝x﹣2∴x＝，∵原分式方程無解，∴x＝2，∴＝2，解得m＝1，故②正確；③將所給方程組的兩個(gè)方程左右兩邊分別對應(yīng)相加，得（a﹣1）x+（a+2）y＝2a﹣5，（x+y）a+2y﹣x＝2a﹣5，∴，解得：則當(dāng)a每取一個(gè)值時(shí)，就有一個(gè)方程，而這些方程有一個(gè)公共解，則這個(gè)公共解為，故③正確．綜上，正確答案為：②③．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解、分式方程的解、二元一次方程組的解，解題關(guān)鍵是理解題意，遵循題意按照相應(yīng)的解題方法準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算．35．對于平面直角坐?系中的點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為（其中為常數(shù)，且），則稱點(diǎn)為點(diǎn)的“之立信點(diǎn)”．例如：的“2之立信點(diǎn)”為，即．(1)點(diǎn)的“3之立信點(diǎn)”的坐標(biāo)為________．(2)若點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)的“之立信點(diǎn)”為點(diǎn)，且為等腰直角三角形，求的值；(3)在（2）的條件下，若關(guān)于的分式方程無解，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)為點(diǎn)P的“之立信點(diǎn)”的定義計(jì)算；（2）根據(jù)x軸的正半軸上點(diǎn)的特征、點(diǎn)為點(diǎn)P的“之立信點(diǎn)”的定義計(jì)算；（3）根據(jù)分式方程的解法、分式方程無解的概念，分情況計(jì)算．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)的“3之立信點(diǎn)”的坐標(biāo)為，故答案為：；（2）∵點(diǎn)P在x軸的正半軸上，．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)P的“k之立信點(diǎn)”為點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，時(shí)，為等腰直角三角形，，，．故答案為：1；（3）當(dāng)時(shí)，去分母整理得：，∵原方程無解，∴①，即，②，即，則，；；綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的綜合題，等腰直角三角形的概念、分式方程的解法以及分式方程無解的判斷，掌握點(diǎn)為點(diǎn)P的“k之立信點(diǎn)”的定義、分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．36．已知，關(guān)于x的分式方程．(1)當(dāng)，時(shí)，求分式方程的解；(2)當(dāng)時(shí)，求b為何值時(shí)分式方程無解；(3)若，且a、b為正整數(shù)，當(dāng)分式方程的解為整數(shù)時(shí)，求b的值．【答案】(1)(2)(3)3、29、55、185【分析】（1）將a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；（2）把a(bǔ)的值代入分式方程，分式方程去分母后化為整式方程，分類討論b的值，使分式方程無解即可；（3）將a=3b代入方程，分式方程去分母化為整式方程，表示出整式方程的解，由解為整數(shù)和b為正整數(shù)確定b的取值．【詳解】（1）解：把a(bǔ)=2，b=1代入原分式方程中，得：，方程兩邊同時(shí)乘以，得：，解得：，檢驗(yàn)：把代入，∴原分式方程的解為：．（2）解：把a(bǔ)=1代入原分式方程中，得：，方程兩邊同時(shí)乘以，得：，去括號(hào)，得：，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得：，①當(dāng)時(shí)，即，原分式方程無解；②當(dāng)時(shí)，得，Ⅰ.時(shí)，原分式方程無解，即時(shí)，此時(shí)b不存在；Ⅱ.x=5時(shí)，原分式方程無解，即時(shí)，此時(shí)b=5；綜上所述，時(shí)，分式方程無解．（3）解：把a(bǔ)=3b代入分式方程中，得：，方程兩邊同時(shí)乘以，得：，，解得：，∵b為正整數(shù)，x為整數(shù)，∴10+b必為195的因數(shù)，10+b≥11，∵195=3×5×13，∴195的因數(shù)有1、3、5、13、15、39、65、195，∵1、3、5都小于11，∴10十b可以取13、15、39、65、195這五個(gè)數(shù)，對應(yīng)地，方程的解x=3、5、13、15、17，又x=5為分式方程的增根，故應(yīng)舍去，對應(yīng)地，b只可以取3、29、55、185，∴滿足條件的b可取3、29、55、185這四個(gè)數(shù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的計(jì)算，難度較大，涉及知識(shí)點(diǎn)較多．熟練掌握解分式方程的步驟是解決這三道小題的前提條件；其次，分式方程無解的兩種情況要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程無解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．總之，解分式方程的步驟要重點(diǎn)掌握．37．閱讀下列材料：在學(xué)習(xí)“分式方程及其解法”的過程中，老師提出一個(gè)問題：若關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，求的取值范圍．經(jīng)過獨(dú)立思考與分析后，小明和小聰開始交流解題思路，小明說：解這個(gè)關(guān)于的方程，得到方程的解為，由題目可得，所以，問題解決．小聰說：你考慮的不全面，還必須保證才行．(1)請回答：的說法是正確的，正確的理由是．完成下列問題：(2)已知關(guān)于的方程的解為非負(fù)數(shù)，求的取值范圍；(3)若關(guān)于的方程無解，求的值．【答案】(1)小聰，分式的分母不能為0；(2)且；(3)或．【分析】（1）根據(jù)分式有意義的條件：分母不能為0，即可知道小聰說得對；（2）首先按照解分式方程的步驟得到方程的解，再利用解是非負(fù)數(shù)即可求出的取值范圍；（3）按照解分式方程的步驟去分母得到整式方程，若分式方程無解，則得到增根或者整式方程無解，即可求出的范圍．【詳解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母為0∴小聰說得對，分式的分母不能為0．（2）解：原方程可化為去分母得：解得：∵解為非負(fù)數(shù)∴，即又∵∴，即∴且（3）解：去分母得：解得：∵原方程無解∴或者①當(dāng)時(shí)，得：②當(dāng)時(shí)，，得：綜上：當(dāng)或時(shí)原方程無解．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程以及根據(jù)分式方程的解確定參數(shù)范圍，重點(diǎn)要掌握解分式方程的步驟：去分母化成整式方程；再解整式方程；驗(yàn)根．理解當(dāng)分式方程無解時(shí)包含整式方程無解和有曾根兩種情況．38．增根是在分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過程中產(chǎn)生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是該分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根問題的解題步驟通常為：①去分母，化分式方程為整式方程；②將增根代入整式方程中，求出方程中字母系數(shù)的值．閱讀以上材料后，完成下列探究：探究1：m為何值時(shí)，方程有增根．探究2：m為何值時(shí)，方程的根是．探究3：任意寫出三個(gè)m的值，使對應(yīng)的方程的三個(gè)根中兩個(gè)根之和等于第三個(gè)根；探究4：你發(fā)現(xiàn)滿足“探究3”條件的的關(guān)系是______．【答案】探究1：-9；探究2：23；探究3：；探究4：【分析】解分式方程，根據(jù)方程有增根求得m的值即可，根據(jù)規(guī)律即可得出結(jié)論．第三問設(shè)方程的三根為且，再求得對應(yīng)的m．即可得出它們之間的關(guān)系．【詳解】解：探究1：方程兩邊都乘，得∵原方程有增根，∴最簡公分母，解得，當(dāng)時(shí)，，故m的值是．探究2：方程兩邊都乘，得∵原方程的根為，，探究3：由（1）（2）得，方程的三個(gè)對應(yīng)根為且，∴，=15-8b，探究4：，，整理得，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，分式方程的增根，熟練掌握解分式方程，準(zhǔn)確判定方程的增根是解題的關(guān)鍵．類型五、分式方程的應(yīng)用題39．現(xiàn)有若干防疫口罩，疫情防控人員計(jì)劃將這些口罩分為兩批，分別在兩周內(nèi)分發(fā)完畢．第一周將第一批口罩?jǐn)?shù)量按照1：3：4的比例分發(fā)給、、三個(gè)小區(qū)且全部分完．第二周先拿出第二批口罩?jǐn)?shù)量的20%分發(fā)給社區(qū)工作人員，再將剩余口罩的分發(fā)給小區(qū)，則小區(qū)兩周收到的口罩?jǐn)?shù)量與三個(gè)小區(qū)兩周收到的口罩?jǐn)?shù)量之和的比為2：9.若、小區(qū)兩周收到的口罩?jǐn)?shù)量之比為3：4，則小區(qū)第二周收到的口罩?jǐn)?shù)量與口罩總數(shù)量之比為（）A．8：41 B．9：43 C．8：43 D．9：41【答案】B【分析】先設(shè)出相應(yīng)的量，利用題意表示出它們的關(guān)系，再列式求解即可．【詳解】解：設(shè)第一批和第二批口罩?jǐn)?shù)量分別為a和b，小區(qū)第二周收到的口罩?jǐn)?shù)量為x，由題意可得如下信息：ABC三個(gè)小區(qū)口罩總量第一周第二周∵小區(qū)兩周收到的口罩?jǐn)?shù)量與三個(gè)小區(qū)兩周收到的口罩?jǐn)?shù)量之和的比為2：9，∴，∴，由、小區(qū)兩周收到的口罩?jǐn)?shù)量之比為3：4，∴、、三個(gè)小區(qū)兩周收到的口罩?jǐn)?shù)量之和的比為，∴即，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)其中的比例關(guān)系正確表示出第一周和第二周的A和B兩個(gè)小區(qū)的口罩?jǐn)?shù)量，以及求出a和b的數(shù)量關(guān)系，本題較為抽象，學(xué)生在審題上易出現(xiàn)困難．40．甲、乙、丙三名工人共承擔(dān)裝搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天時(shí)的對話信息如下：甲說：我的工作效率比乙的工作效率少乙說：我3小時(shí)完成的工作量與甲4小時(shí)完成工作量相等；丙說：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的；丁說：我沒參加此項(xiàng)工作，但我可以計(jì)算你們的工作效率．知道工程問題三者關(guān)系是：工作效率×工作時(shí)間＝工作總量．如果每小時(shí)只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的輪流順序至完成工作任務(wù)，共需（

）小時(shí)．A．20 B．21 C．19 D．19【答案】D【分析】設(shè)甲單獨(dú)完成任務(wù)需要小時(shí)，則甲的工作效率是，乙的工作效率是，根據(jù)乙提供的信息列出方程并解答；根據(jù)丙提供的信息得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的順序至完成工作任務(wù)所需的時(shí)間．【詳解】解：設(shè)甲單獨(dú)完成任務(wù)需要小時(shí)，則甲的工作效率是，乙的工作效率是，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根，且符合題意，甲的工作效率是，乙的工作效率是，∵丙的工作效率是乙的工作效率的，丙的工作效率是，∴一輪的工作量為：，∴輪后剩余的工作量為：，∴還需要甲工作1小時(shí)后，乙需要的工作量為：，∴乙還需要工作的時(shí)間為（小時(shí)），∴按照甲、乙、丙的輪流順序至完成工作任務(wù)，共需（小時(shí)）．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分析題意，找到合適的等量關(guān)系進(jìn)行求解．41．2月開學(xué)季來臨，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三種不同主題的開學(xué)大禮包．已知2月上旬A、B、C三種主題大禮包售價(jià)之比為，銷量之比為．開學(xué)后不久，根據(jù)市場需求，在2月下旬文具店老板對三種主題大禮包售價(jià)進(jìn)行了調(diào)整，其中B主題大禮包售價(jià)比2月上旬降低了，C主題大禮包在2月上旬售價(jià)的基礎(chǔ)上打八折，從而使得B、C兩種主題大禮包銷售額相較于2月上旬有所增加，A主題大禮包銷售額相較于2月上旬有所下降．若A主題大禮包減少的銷售額與B、C兩種主題大禮包增加的銷售額之比為，且A主題大禮包減少的銷售額占2月下旬三種主題大禮包總銷售額的，則2月下旬B、C兩種主題大禮包的銷量之比為．【答案】【分析】設(shè)2月上旬A、B、C三種主題大禮包售價(jià)為，銷量為，2月下旬A主題大禮包減少的銷售額與B、C兩種主題大禮包增加的銷售額分別為，根據(jù)“2月下旬A主題大禮包減少的銷售額占2月下旬三種主題大禮包總銷售額的”列出方程，然后分別求出2月下旬B、C兩種主題大禮包銷售額，進(jìn)而求出2月下旬B、C兩種主題大禮包銷售量，即可解答．【詳解】解：設(shè)2月上旬A、B、C三種主題大禮包售價(jià)為，銷量為，2月下旬A主題大禮包減少的銷售額與B、C兩種主題大禮包增加的銷售額分別為，根據(jù)題意，得，解得，∴2月下旬B、C兩種主題大禮包銷售額分別為，，∴2月下旬B、C兩種主題大禮包銷售之比為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程方程是應(yīng)用，讀懂題意，找出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．42．某水果店進(jìn)了一批蘋果、橘子、車?yán)遄?，這些水果剛好包裝成50個(gè)相同規(guī)格的水果禮盒出售（禮盒的售價(jià)即是三種水果的價(jià)格之和）．其中蘋果、橘子、車?yán)遄舆M(jìn)價(jià)之比為；蘋果、橘子、車?yán)遄邮蹆r(jià)分別比其進(jìn)價(jià)高；每個(gè)禮盒的蘋果、橘子、車?yán)遄拥臄?shù)量之比為．年前水果店一共賣出水果禮盒若干，剩下的禮盒在年后全部售完，由于存放較久，三種水果都降價(jià)．降價(jià)后的蘋果、橘子、車?yán)遄邮蹆r(jià)分別是進(jìn)價(jià)的、、．把剩下的禮盒按照降價(jià)后的方式全部售完后，年前禮盒裝銷售的蘋果的收入與年后降價(jià)后禮盒裝銷售的蘋果收入之比為；則這批水果最后的總利潤率為．【答案】【分析】設(shè)蘋果、橘子、車?yán)遄舆M(jìn)價(jià)分別為，然后分別表示出降價(jià)前和降價(jià)后蘋果、橘子、車?yán)遄拥氖蹆r(jià)，設(shè)每個(gè)禮盒中蘋果，橘子，車?yán)遄拥臄?shù)量分別為，年前銷售禮盒z個(gè)，則年后銷售禮盒個(gè)，根據(jù)年前禮盒裝銷售的蘋果的收入與年后降價(jià)后禮盒裝銷售的蘋果收入之比為，列出比例式求出，然后分別表示出總成本，年前利潤和年后利潤即可得到答案．【詳解】解：設(shè)蘋果、橘子、車?yán)遄舆M(jìn)價(jià)分別為，則降價(jià)前蘋果、橘子、車?yán)遄拥氖蹆r(jià)分別為，∴降價(jià)后，蘋果、橘子、車?yán)遄拥氖蹆r(jià)分別為，設(shè)每個(gè)禮盒中蘋果，橘子，車?yán)遄拥臄?shù)量分別為，年前銷售禮盒z個(gè)，則年后銷售禮盒個(gè)，∵年前禮盒裝銷售的蘋果的收入與年后降價(jià)后禮盒裝銷售的蘋果收入之比為；∴，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)：是方程的解，∴年前銷售禮盒40個(gè)，年后銷售禮盒10個(gè)，這批水果的總成本為，年前銷售利潤為，年后銷售利潤為，∴總利潤率，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，正確設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)已知條件求出年前和年后銷售禮盒的數(shù)量是解題的關(guān)鍵．43．已知甲、乙兩地相距24千米，小明從甲地勻速跑步到乙地用時(shí)3小時(shí)，小明出發(fā)0.5小時(shí)后，小聰沿相同的路線從甲地勻速騎自行車到甲乙兩地中點(diǎn)處的景區(qū)游玩1小時(shí)，然后按原來速度的一半騎行，結(jié)果與小明同時(shí)到達(dá)乙地．小明和小聰所走的路程S（千米）與時(shí)間t（小時(shí)）的函數(shù)圖象如圖所示．（1）小聰騎自行車的第一段路程速度是千米/小時(shí)．（2）在整個(gè)過程中，小明、小聰兩人之間的距離S隨t的增大而增大時(shí)，t的取值范圍是．【答案】，，【分析】（1）設(shè)小聰騎自行車的第一段路程速度是千米/小時(shí)，則第二段路程的速度為千米/小時(shí),根據(jù)題意建立分式方程解方程即可求解；（2）分析題意，結(jié)合函數(shù)圖象可知，從時(shí)，兩人的距離S隨t的增大而增大，當(dāng)?shù)谝淮蜗嘤龅叫÷斖Ｏ拢琒隨t的增大而增大，當(dāng)兩人再次相遇到小聰開始騎行第二段路程時(shí)，S隨t的增大而增大．【詳解】（1）設(shè)小聰騎自行車的第一段路程速度是千米/小時(shí)，則第二段路程的速度為千米/小時(shí),根據(jù)題意得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，故答案為：24第一段路程的速度為千米/小時(shí)（2）結(jié)合函數(shù)圖象可知，從時(shí)，兩人的距離S隨t的增大而增大，小明的速度為千米/小時(shí)當(dāng)?shù)谝淮蜗嘤鰰r(shí)，解得當(dāng)?shù)谝淮蜗嘤龅叫÷斖Ｏ?，此時(shí)，當(dāng)?shù)诙蜗嘤鰰r(shí)，解得小聰開始騎行第二段路程時(shí)的時(shí)間為，當(dāng)兩人再次相遇到小聰開始騎行第二段路程時(shí)，S隨t的增大而增大，此時(shí)．當(dāng)時(shí)，因?yàn)樾÷數(shù)乃俣却笥谛∶鞯乃俣?，則兩人的距離隨t的增大而減小，綜上所述，，，時(shí)，S隨t的增大而增大，故答案為：，，【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，函數(shù)圖象，從函數(shù)圖象獲取信息是解題的關(guān)鍵．44．如圖，“豐收1號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長為米的正方形去掉一個(gè)邊長為1米的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長為米的正方形，兩塊試驗(yàn)田的小麥都收獲了．

(1)①“豐收1號(hào)”單位面積產(chǎn)量為，“豐收2號(hào)”單位面積產(chǎn)量為（以上結(jié)果均用含的式子表示）；②通過計(jì)算可知，（填“1號(hào)”或“2號(hào)”）小麥單位面積產(chǎn)量高；(2)若高的單位面積產(chǎn)量比低的單位面積產(chǎn)量的多，求的值；(3)某農(nóng)戶試種“豐收1號(hào)”、“豐收2號(hào)”兩種小麥種子，兩種小麥試種的單位面積產(chǎn)量與實(shí)驗(yàn)田一致，“豐收1號(hào)”小麥種植面積為平方米（為整數(shù)），“豐收2號(hào)”小麥種植面積比“豐收1號(hào)”少55平方米，若兩種小麥種植后，收獲的產(chǎn)量相同，當(dāng)且為整數(shù)時(shí)，符合條件的值為（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)①；②2號(hào)(2)14(3)，，【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用．（1）①用“總產(chǎn)量÷面積”列式求得單位面積的產(chǎn)量；②根據(jù)，并利用不等式的性質(zhì)作出比較；（2）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程，從而可以求得的值；（3）根據(jù)題意列出方程，并結(jié)合，列不等式求解．理解分式的基本性質(zhì)，不等式的基本性質(zhì)，根據(jù)題意列出方程是解題關(guān)鍵．【詳解】（1）解：①由題意，“豐收號(hào)”小麥的試驗(yàn)田的面積為，∴“豐收號(hào)”單位面積產(chǎn)量為；由題意，“豐收號(hào)”單位面積為，∴“豐收號(hào)”單位面積產(chǎn)量為．故答案為：；．②∵，∴，，∴，∴，∴，即“豐收號(hào)”小麥的單位面積產(chǎn)量高．故答案為：號(hào)．（2）根據(jù)題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解且符合題意．∴的值是．（3）根據(jù)題意，得：，整理，可得：，∴，當(dāng)時(shí)，，解得：，又∵為正整數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴符合條件的的值為，，．故答案為：，，．45．2022年4月16日，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙成功著陸，任務(wù)取得圓滿成功．航模店看準(zhǔn)商機(jī)，同樣花費(fèi)320元，購進(jìn)“天宮”模型的數(shù)量比“神舟”模型多4個(gè)且每個(gè)“天宮”模型成本比每個(gè)“神舟”模型成本少．(1)“神舟”和“天宮”模型的成本各多少元？(2)該航模店計(jì)劃購買兩種模型共100個(gè)，且每個(gè)“神舟”模型的售價(jià)為35元，“天宮”模型的售價(jià)為25元．設(shè)購買“神舟”模型a個(gè)，售賣這兩種模型可獲得的利潤為w元，①求w與a的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出a的取值范圍）；②若購進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的一半，則購進(jìn)“神舟”模型多少個(gè)時(shí)，銷售這批模型可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？【答案】(1)“神舟”模型成本為每個(gè)20元，“天宮”模型成本為每個(gè)16元(2)①w與a的函數(shù)關(guān)系式為；②購進(jìn)“神舟”模型33個(gè)時(shí)，銷售這批模型可以獲得最大利潤，最大利潤為元【分析】（1）等量關(guān)系式：320元購進(jìn)“天宮”模型的數(shù)量元購進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量，據(jù)此列方程，檢驗(yàn)合理性，即可求解；（2）①總利潤“神舟”模型的利潤“天宮”模型的利潤，據(jù)此即可求解；②可求，再由一次函數(shù)的增減性，從而可求的最值．【詳解】（1）解：設(shè)“神舟”模型成本為每個(gè)x元，則“天宮”模型成本為每個(gè)(元)，根據(jù)題意得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，(元)，答：“神舟”模型成本為每個(gè)20元，“天宮”模型成本為每個(gè)16元；（2）解：①設(shè)購買“神舟”模型a個(gè)，則購買“天宮”模型個(gè)，則，與a的函數(shù)關(guān)系式為；②∵購進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量不超過“天官”模型數(shù)量的一半，，解得，，，當(dāng)時(shí)，（元）；答：購進(jìn)“神舟”模型33個(gè)時(shí)，銷售這批模型可以獲得最大利潤元．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，找出相應(yīng)的等量關(guān)系及不等關(guān)系，會(huì)根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．46．根據(jù)素材，完成任務(wù)．如何設(shè)計(jì)雪花模型材料采購方案？素材一學(xué)校組織同學(xué)參與甲、乙兩款雪花模型的制怍．每款雪花模型都需要用到長、短兩種管子材料．某同學(xué)用6根長管子、48根短管子制作了1個(gè)甲雪花模型與1個(gè)乙雪花模型，已知制作一個(gè)甲、乙款雪花模型需要的長、短管子數(shù)分別為1∶7與1∶9．素材二某商店的店內(nèi)廣告牌如右圖所示．5月，學(xué)?；ㄙM(fèi)320元向該商店購得的長管子數(shù)量比花200元購得的短管子數(shù)量少80根．

素材三6月，學(xué)校有活動(dòng)經(jīng)費(fèi)1280元，欲向該商店采購長、短管子各若干根全部用來制作甲、乙雪花模型（材料沒有剩余），且采購經(jīng)費(fèi)恰好用完．問題解決任務(wù)一分析雪花模型結(jié)構(gòu)求制作一個(gè)甲、乙款雪花模型分別需要長、短管子多少根？任務(wù)二確定采購費(fèi)用試求a的值并求出假如6月只制作一個(gè)甲款雪花模型的材料采購費(fèi)．任務(wù)三擬定采購方案求出所有滿足條件的采購方案，并指出哪種方案得到的雪花總數(shù)最多．【答案】任務(wù)一：制作一個(gè)甲款雪花模型需要長管子3根，則短管子21根，制作一個(gè)乙款雪花模型需要長管子3根，則短管子2根；任務(wù)二：；制作一個(gè)甲款雪花模型需要13元；任務(wù)三：購買258根長管子，2130根短管子；購買261根長管子，2125根短管子；購買264根長管子，2120根短管子；購買267根長管子，2115根短管子；當(dāng)購買267根長管子，2115根短管子時(shí)，制作的雪花模型最多【分析】任務(wù)一：設(shè)制作一個(gè)甲款雪花模型需要長管子x根，則短管子根，制作一個(gè)乙款雪花模型需要長管子y根，則短管子根，根據(jù)用6根長管子、48根短管子制作了1個(gè)甲雪花模型與1個(gè)乙雪花模型，列出方程組，解方程組即可；任務(wù)二：根據(jù)題意列出關(guān)于a的方程，解方程即可，根據(jù)6月份的優(yōu)惠方案求出制作一個(gè)甲款雪花模型需要的費(fèi)用即可；任務(wù)三：設(shè)學(xué)校中采購了m根長管子，n根短管子，根據(jù)總費(fèi)用1280元列出方程，得出，根據(jù)商店中長管子僅剩267根，短管子僅剩2130根，列出不等式組，求出，根據(jù)m必須能被3整除，得出，，264，267，從而得出購買方案，根據(jù)制作一個(gè)甲款雪花模型和制作一個(gè)乙款雪花模型，都需要3根長管子，得出長管子數(shù)越多制作的雪花模型越多，當(dāng)購買267根長管子，2115根短管子時(shí)，制作的雪花模型最多．【詳解】解：任務(wù)一：設(shè)制作一個(gè)甲款雪花模型需要長管子x根，則短管子根，制作一個(gè)乙款雪花模型需要長管子y根，則短管子根，根據(jù)題意得：，解得：，，，答：制作一個(gè)甲款雪花模型需要長管子3根，則短管子21根，制作一個(gè)乙款雪花模型需要長管子3根，則短管子2根；任務(wù)二：∵5月，學(xué)校花費(fèi)320元向該商店購得的長管子數(shù)量比花200元購得的短管子數(shù)量少80根，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根；∵制作一個(gè)甲款雪花模型需要長管子3根，則短管子21根，且6月1日起購買3根長管子贈(zèng)送一根短管子，∴制作一個(gè)甲款雪花模型需要的費(fèi)用為：（元）；任務(wù)三：設(shè)學(xué)校中采購了m根長管子，n根短管子，根據(jù)題意得：，解得：，∵商店中長管子僅剩267根，短管子僅剩2130根，∴，解得：，∵m必須能被3整除，∴，，264，267，當(dāng)時(shí)，，∵，∴能制作甲、乙兩款雪花模型共86個(gè)，需要的短管子最少為（根），最多為：（根），∵，∴此時(shí)短管子可以用完，∴可以購買258根長管子，2130根短管子；當(dāng)時(shí)，，∵，∴能制作甲、乙兩款雪花模型共87個(gè)，需要的短管子最少為（根），最多為：（根），∵，∴此時(shí)短管子可以用完，∴可以購買261根長管子，2125根短管子；當(dāng)時(shí)，，∵，∴能制作甲、乙兩款雪花模型共88個(gè)，需要的短管子最少為（根），最多為：（根），∵，∴此時(shí)短管子可以用完，∴購買264根長管子，2120根短管子；當(dāng)時(shí)，，∵，∴能制作甲、乙兩款雪花模型共89個(gè)，需要的短管子最少為（根），最多為：（根），∵，∴此時(shí)短管子可以用完，∴可以購買267根長管子，2115根短管子；∵制作一個(gè)甲款雪花模型和制作一個(gè)乙款雪花模型，都需要3根長管子，∴長管子數(shù)越多制作的雪花模型越多，∴當(dāng)購買267根長管子，2115根短管子時(shí)，制作的雪花模型最多．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組、分式方程和不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系和不等關(guān)系列出方程或不等式．47．為落實(shí)《健康中國行動(dòng)（）》等文件精神，某學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)一批足球和排球促進(jìn)校園體育活動(dòng)．據(jù)了解，某體育用品超市每個(gè)足球的價(jià)格比排球的價(jià)格多20元，用500元購買的足球數(shù)量和400元購買的排球數(shù)量相等．(1)求每個(gè)足球和排球的價(jià)格；(2)學(xué)校決定購買足球和排球共50個(gè)，且購買足球的數(shù)量不少于排球的數(shù)量，求本次購買最少花費(fèi)多少錢？(3)在（2）方案下，體育用品超市為支持學(xué)校體育活動(dòng)，對足球提供8折優(yōu)惠，排球提供7.5折優(yōu)惠．學(xué)校決定將節(jié)約下的資金全部用于再次購買足球和排球（此時(shí)按原價(jià)購買，可以只購買一種），求再次購買足球和排球的方案．【答案】(1)每個(gè)足球的價(jià)格為100元，每個(gè)排球的價(jià)格為80元(2)本次購買最少花費(fèi)4500元錢(3)學(xué)校再次購買足球和排球的方案有3個(gè)：①只購買10個(gè)足球；②購買6個(gè)足球，5個(gè)排球；③購買2個(gè)足球，10個(gè)排球【分析】（1）設(shè)每個(gè)足球的價(jià)格為x元，則每個(gè)排球的價(jià)格為元，由題意：用500元購買的足球數(shù)量和400元購買的排球數(shù)量相等，列出分式方程，解方程即可；（2）設(shè)學(xué)校決定購買足球a個(gè)，本次購買花費(fèi)y元，則購買排球個(gè)，求出，再由題意得，然后由一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）求出學(xué)校節(jié)約資金1000元，設(shè)學(xué)校再次購買足球m個(gè)，排球n個(gè)，再由題意：學(xué)校決定將節(jié)約下的資金全部用于再次購買足球和排球，列出二元一次方程，求出非負(fù)整數(shù)解，即可解決問題．【詳解】（1）解：設(shè)每個(gè)足球的價(jià)格為x元，則每個(gè)排球的價(jià)格為元，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，∴，答：每個(gè)足球的價(jià)格為100元，每個(gè)排球的價(jià)格為80元；（2）解：設(shè)學(xué)校決定購買足球a個(gè)，本次購買花費(fèi)y元，則購買排球個(gè)，則，解得：，由題意得：，∵，∴y隨a的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，y有最小值，答：本次購買最少花費(fèi)4500元錢；（3）解：在（2）方案下，學(xué)校購買足球和排球各25個(gè)，花費(fèi)4500元，∵體育用品超市為支持學(xué)校體育活動(dòng)，對足球提供8折優(yōu)惠，排球提供7.5折優(yōu)惠，∴學(xué)校節(jié)約資金：（元），設(shè)學(xué)校再次購買足球m個(gè)，排球n個(gè)，由題意得：，整理得：，∵m、n都是非負(fù)整數(shù)，∴或或，∴學(xué)校再次購買足球和排球的方案有3個(gè)：①只購買10個(gè)足球；②購買6個(gè)足球，5個(gè)排球；③購買2個(gè)足球，10個(gè)排球．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）正確求出一次函數(shù)關(guān)系式；（3）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．48．鄭州經(jīng)開區(qū)八大街某運(yùn)動(dòng)用品商店準(zhǔn)備購買足球、排球兩種商品，每個(gè)足球的進(jìn)價(jià)比排球多元，用元購進(jìn)足球和元購進(jìn)排球的數(shù)量相同．商品將每個(gè)足球售價(jià)定為元，每個(gè)排球售價(jià)定為元．(1)每個(gè)足球和排球的進(jìn)價(jià)分別是多少？(2)根據(jù)商店對運(yùn)動(dòng)用品市場調(diào)查，商店計(jì)劃用不超過元的資金購進(jìn)足球和排球共個(gè)，其中足球數(shù)量不低于排球數(shù)量的，該商店有幾種進(jìn)貨方案？(3)“六一”期間，該商店開展促銷活動(dòng)，決定對每個(gè)足球售價(jià)優(yōu)惠元，排球的售價(jià)不變．假定這個(gè)球在“六一”期間能夠全部賣完，在的條件下，請?jiān)O(shè)計(jì)出的不同取值范圍內(nèi)，銷售這個(gè)球獲得的總利潤最大的進(jìn)價(jià)方案．【答案】(1)每個(gè)足球的進(jìn)價(jià)分別是元，每個(gè)排球的進(jìn)價(jià)分別是元(2)該商店有種進(jìn)貨方案(3)當(dāng)時(shí)，購進(jìn)足球個(gè)，排球個(gè)獲得利潤最大；當(dāng)時(shí)，，，，，，獲得利潤一樣大；當(dāng)時(shí)，購進(jìn)足球個(gè)，排球個(gè)獲得利潤最大．【分析】（1）設(shè)排球每個(gè)進(jìn)價(jià)為x元，則足球每個(gè)進(jìn)價(jià)為（x+40）元，根據(jù)用4000元購進(jìn)足球和2400元購進(jìn)排球的數(shù)量相同列出方程，姐方程即可；（2）設(shè)商店購買足球a個(gè)，則購買排球（40-a）個(gè)，根據(jù)商店計(jì)劃用不超過3000元的資金購進(jìn)足球和排球共40個(gè)，其中足球數(shù)量不低于排球數(shù)量的，列不等式組，解不等式組即可；（3）根據(jù)總利潤=足球利潤+排球利潤列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值及此時(shí)進(jìn)貨方案．【詳解】（1）解：（1）設(shè)排球每個(gè)進(jìn)價(jià)為x元，則足球每個(gè)進(jìn)價(jià)為（x+40）元，根據(jù)題意得：，解得：x=60，經(jīng)檢驗(yàn)，x=60是原方程的解，∴x+40=60+40=100（元），答：每個(gè)足球的進(jìn)價(jià)分別是100元，每個(gè)排球的進(jìn)價(jià)分別是60元；（2）解：設(shè)商店購買足球個(gè)，則購買排球個(gè)，根據(jù)題意得：，解得：，是正整數(shù)，的取值為，，，，，，該商店有種進(jìn)貨方案；（3）解：設(shè)該商店售完個(gè)球所獲得的利潤為元，由題意得：，當(dāng)，即時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)購進(jìn)足球個(gè)，排球個(gè)；當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)的進(jìn)貨方案為：購進(jìn)足球個(gè)，排球個(gè)；購進(jìn)足球個(gè)，排球個(gè)；購進(jìn)足球個(gè)，排球個(gè)；購進(jìn)足球個(gè)，排球個(gè)；購進(jìn)足球個(gè)，排球個(gè)；購進(jìn)足球個(gè)，排球個(gè)．當(dāng)，即時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)購進(jìn)足球個(gè)，排球個(gè)．綜上，當(dāng)時(shí)，購進(jìn)足球個(gè)，排球個(gè)獲得利潤最大；當(dāng)時(shí)，，，，，，獲得利潤一樣大；當(dāng)時(shí)，購進(jìn)足球個(gè)，排球個(gè)獲得利潤最大．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程、一元一次不等式、一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程、不等式和函數(shù)關(guān)系式．49．我?？萍寂d趣小組利用機(jī)器人開展研究活動(dòng)，在相距150個(gè)單位長度的直線跑道AB上，機(jī)器人甲從端點(diǎn)A出發(fā)，勻速往返于端點(diǎn)A、B之間，機(jī)器人乙同時(shí)從端點(diǎn)B出發(fā)，以大于甲的速度勻速往返于端點(diǎn)B、A之間．他們到達(dá)端點(diǎn)后立即轉(zhuǎn)身折返，用時(shí)忽略不計(jì)，興趣小組成員探究這兩個(gè)機(jī)器人迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇”包括面對面相遇、在端點(diǎn)處相遇這兩種．(1)【觀察】①觀察圖1，若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為30個(gè)單位長度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個(gè)單位長度．②若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為35個(gè)單位長度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個(gè)單位長度．(2)【發(fā)現(xiàn)】設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長度，他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長度，興趣小組成員發(fā)現(xiàn)了y與x的函數(shù)關(guān)系，并畫出了部分函數(shù)圖像（線段OP，不包括點(diǎn)O，如圖2所示）①a＝；②分別求出各部分圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式，并在圖2中補(bǔ)全函數(shù)圖像．【答案】(1)①90；②105(2)①50；②；圖像見解析【分析】（1）①設(shè)此時(shí)相遇點(diǎn)距點(diǎn)A為m個(gè)單位，根據(jù)題意列方程即