專題13 模型構(gòu)造專題：巧構(gòu)直角三角形與構(gòu)造斜邊上的中線解題壓軸題四種模型全攻略（解析版）

專題13模型構(gòu)造專題：巧構(gòu)直角三角形與構(gòu)造斜邊上的中線解題壓軸題四種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】 1【考點二不含特殊角的非直角三角形】 8【考點三結(jié)合斜邊上的中線解題】 14【考點四構(gòu)造斜邊上的中線解題】 18【典型例題】【考點一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】例題：（2023春·江西九江·八年級?？计谥校┤鐖D，A，B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地時需經(jīng)過C地沿折線行駛，開通隧道后，汽車直接沿直線行駛．已知，，，隧道開通后，汽車從A地到B地行駛的直線距離為多少千米?

【答案】汽車從A地到B地比原來少走千米【分析】過C作于D，在中，根據(jù)，，解直角三角形求出、的長度，然后在中，求出、的長度，用即可求解．【詳解】解：過C作于D，如圖所示：

在中，∵，，∴，，在中，∵，∴為等腰直角三角形，∴，，則．答：汽車從A地到B地比原來少走．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是作三角形的高建立直角三角形幷解直角三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，則的長為．

【答案】【分析】過點B作交的延長線于點E，設(shè)，求出，，則，解得，則，，利用勾股定理即可得到的長．【詳解】解：過點B作交的延長線于點E，

則，設(shè)，∵，∴，∴，∵，即，則，∵，∴，∴，則，即，∴，解得，則，∴，∴，故答案為：【點睛】此題考查了勾股定理、含角的直角三角形的性質(zhì)、一元一次方程、二次根式的混合運算等知識，熟練掌握勾股定理、含角的直角三角形的性質(zhì)、二次根式的混合運算是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇無錫·八年級校考階段練習）如圖，在四邊形中，，，，，，則的長為．

【答案】【分析】過點作，交于點，過點作，交于點，可證得四邊形為矩形，根據(jù)在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半，結(jié)合勾股定理，可求得，的長度．【詳解】如圖所示，過點作，交于點，過點作，交于點，則．∵，∴．∴．∴四邊形為矩形．∴，．∵∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．故答案為：10【點睛】本題主要考查矩形的判定及性質(zhì)、勾股定理，牢記矩形的判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知，點在上，，點在上，，則的長是．【答案】2或4/4或2【分析】過作于，依據(jù)，，可得，再由勾股定理可求得和的值，由點的位置分兩種情況進行討論，即可得到的長．【詳解】解：如圖所示，過作于，，，，，又，中，，當點在左側(cè)時，，當點在右側(cè)時，，綜上所述，的長為2或4，故答案為：2或4．

【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，畫出圖形并分情況討論是解決問題的關(guān)鍵．4．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，一條船上午8時從海島A出發(fā)，以15海里/時的速度向正北方向航行，上午10時到達海島B處，分別從A，B處望燈塔C，測得．(1)求海島B到燈塔C的距離；(2)若這條船到達海島B處后，繼續(xù)向正北方向航行，問還要經(jīng)過多長時間，小船與燈塔C的距離最短？【答案】(1)30海里(2)1小時【分析】（1）根據(jù)，可得等腰，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解答；（2）點作于點，的長度即為小船與燈塔的最短距離；然后求出的長度,最后求出時間即可解答．【詳解】（1）解：由題意得：（海里）．∵，∴．∴．∴（海里）．∴從海島B到燈塔C的距離為30海里．（2）解：如圖，過點C作于點P．∴根據(jù)垂線段最短，線段的長為小船與燈塔C的最短距離，．又∵，∴．在中，，∴（海里）．∴航行的時間為（時）．∴這條船到達海島B處后，繼續(xù)向正北方向航行，要經(jīng)過1小時，小船與燈塔C的距離最短．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、含30°的直角三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握在直角三角形中所對的直角邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．5．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，小明在游玩時想利用手中的無人機測量一山崖（垂直于地面）的高度，小明從點看向無人機的仰角為．從無人機處測得看山崖頂端的仰角為，測得看山崖底部處的俯角為，無人機與山崖的水平距離為50米．（圖中各點均在同一平面內(nèi)）．

(1)求山崖的高度（結(jié)果保留根號）；(2)若點距離地面2米，求小明到山崖的水平距離（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)米(2)135米【分析】（1）利用銳角三角函數(shù)求得和，根據(jù)，即可得到答案；（2）過點作于點，過點作于點，得矩形，進而求得，利用銳角三角函數(shù)求得，即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意可知：，，，在中，，，在中，，，米答：山崖的高度約為米；（2）解：如圖，過點作于點，過點作于點，得矩形，

則，，，在中，，，，米，答：小明到山崖的距離約為135米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當輔助線是解題的關(guān)鍵．【考點二不含特殊角的非直角三角形】例題：（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在每個邊長均為1的正方形網(wǎng)格中，點A、B、C均在網(wǎng)格的交點上，則．【答案】1【分析】取格點D，連接，根據(jù)勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根據(jù)，得到．【詳解】解：如圖所示，取格點D，連接，∵，，，，∴是直角三角形，，∵，∴．故答案：1．【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，銳角三角函數(shù)等，添加輔助線，熟練掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形，正切的定義，是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·廣東汕頭·校考三模）由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖形中，的頂點A、B、C都在格點上，則．

【答案】【分析】先根據(jù)勾股定理求出，，，可知，再過點B作，然后根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案．【詳解】根據(jù)勾股定理，得，，，∴．過點B作，交于點D，∴．在中，，∴．故答案為：．

【點睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023·北京·校聯(lián)考一模）如圖，的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，則的值為．【答案】【分析】取格點D，連接，根據(jù)勾股定理分別求出，，，即得出，說明為直角三角形，最后根據(jù)余弦的定義求解即可．【詳解】解：如圖，取格點D，連接．∴，，，∴，∴為直角三角形，∴．故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理及其逆定理，余弦的定義．正確的連接輔助線是解題關(guān)鍵．3．（2022春·浙江·九年級專題練習）在中，，，，求的長．【答案】【分析】過點作，交的延長線于點，由平角的定義可求解，通過解直角三角形可求解，的長，即可求解的長，再利用勾股定理可求解的長．【詳解】解：過點作，交的延長線于點，∴，∵，∴，∵，∴，，即，，∴，，∵，∴，∴，∴的長為．【點睛】本題考查解非直角三角形．作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，已知在中，，，．(1)求；(2)求．【答案】(1)1(2)【分析】（1）過點作于點，利用，求出，利用勾股定理求出，再利用求出，進而求出；（2）利用勾股定理求出即可．【詳解】（1）解：過點作于點，則，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：由（1）知，在中，．【點睛】本題考查解直角三角形．通過作高，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2022·湖南·統(tǒng)考中考真題）閱讀下列材料：在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．證明：如圖1，過點作于點，則：在中，CD=asinB在中，根據(jù)上面的材料解決下列問題：(1)如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知，，米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號．參考數(shù)據(jù)：，【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)表示AD后，即可建立關(guān)聯(lián)并求解；（2）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)分別求出AE和BC，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖2，過點作于點，在中，，在中，，，；（2）解：如圖3，過點作于點，，，，在中，又，即，，．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的前提．【考點三結(jié)合斜邊上的中線解題】例題：（2023秋·廣東廣州·九年級校考開學(xué)考試）如圖，在中，，，點D、E分別是邊的中點，點F是線段上的一點，連接，若，則線段的長為．

【答案】2【分析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，由此可解．【詳解】解：中，點D、E分別是邊的中點，是的中位線，，，點D是邊的中點，，，故答案為：2．【點睛】本題考查三角形中位線的性質(zhì)和直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊邊長的一半；直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，，D、E、F分別是邊的中點，連接．若，則的長為．

【答案】5【分析】先證明是的中位線，得到，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：∵E、F分別是邊的中點，∴是的中位線，∴，∵D是邊的中點，，∴，故答案為：5．【點睛】本題主要考查了三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，熟知直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形中位線等于第三邊長的一半是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·重慶沙坪壩·八年級重慶一中?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，點是邊上的中點，，分別以、邊為直徑向三角形外部作半圓，半圓的面積分別為和，則．（結(jié)果保留）

【答案】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，根據(jù)圖形得到，，根據(jù)勾股定理推出，即可求解．【詳解】由題意，得，，∵在中，，點是邊上的中點，，∴∵，∴，故答案為：【點睛】此題考查勾股定理的應(yīng)用，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，觀察圖形理解各部分圖形的面積的關(guān)系，利用勾股定理解決問題是解題的關(guān)鍵3．（2023春·河南漯河·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，點D，E分別是邊的中點，，垂足為點F，，則的長為．

【答案】【分析】由點D，E分別是邊的中點，，可得，，，，，由勾股定理得，，計算求解即可．【詳解】解：∵點D，E分別是邊的中點，，∴，，，∴，∴，由勾股定理得，，故答案為：．【點睛】本題考查了中位線，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，勾股定理等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．4．（2023春·安徽六安·八年級校考期末）如圖，，矩形的頂點B，C分別是兩邊上的動點，已知，，請完成下列探究：

（1）若點F是的中點，則；（2）點D，E之間距離的最大值是．【答案】5/【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解．（2）如圖所示，取的中點F，連接，利用勾股定理求出的長，再確定最大時的條件，即可求出答案．【詳解】解：（1）∵，即，點F是的中點，，∴，故答案為：5；（2）如圖所示，取的中點F，連接，∵四邊形是矩形，，∵F是的中點，∴，．

∵，∴當點，，三點共線時，有最大值，最大．故答案為：．【點睛】本題考查矩形性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，確定取得最值條件是求解本題的關(guān)鍵．【考點四構(gòu)造斜邊上的中線解題】例題：（2023春·湖南常德·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，是上的點，，，分別是，的中點，，求的長．

【答案】．【分析】連接，證明，可得是的中線，從而可得答案．【詳解】連接，

∵，為中點，∴，∴，在中，為中點，∴，∴．【點睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，熟記以上概念并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·陜西商洛·八年級校考期末）如圖，在正方形中，E，F(xiàn)分別是，的中點，，相交于點G，連接，求證：

(1)．(2)．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】（1）證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，由，得到，即，根據(jù)垂直的定義得到；（2）延長，交的延長線于H，根據(jù)線段中點的定義得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，由是斜邊的中線，得到，求得，根據(jù)余角的性質(zhì)得到．【詳解】（1）∵四邊形是正方形，∴，，∵E，F(xiàn)分別是，的中點，∴，，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．（2）延長，交的延長線于，

∵在正方形中，，∴，∵點E是的中點，∴，∵，，，∴，∴，∵在正方形中，，∴，∵∴，∴是斜邊的中線，，，，，．【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)等，綜合性很強，解題的關(guān)鍵是能夠綜合運用上述知識．2．（2023春·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，，平分，于點E，連接．

(1)求證：(2)求的值(3)求證：【答案】(1)見解析(2)1(3)見解析【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)及角平分線可得，進而可得，即可證得結(jié)論；（2）延長，交于點，易證，可得，即為的中點，再結(jié)合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求解；（3）過點作，則四邊形是平行四邊形，，