廣東省2025屆高三久洵杯七月調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2025屆普通高中畢業(yè)生久洵杯七月調(diào)研測試數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分別求出每個集合，再利用交集的定義求解即可.【詳解】對于集合，，．對于集合，有，解得，，.故選：D．2.已知向量，，則“”是“與的夾角為鈍角”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的夾角余弦公式以及向量共線的條件求出“向量與向量的夾角為鈍角”的等價條件，再結(jié)合充分條件與必要條件的的定義即可得解.【詳解】由向量與向量的夾角為鈍角，得，且向量與向量不共線，所以，即，由有，解得，所以的取值范圍是．故“”是“與的夾角為鈍角”的充分不必要條件，故選：A．3.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)求出，求出，求出，求出.【詳解】由，有，，，.故選：B．4.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，結(jié)合兩角差的正弦公式求解即可.【詳解】由正弦定理得，即，或．若，結(jié)合，有，故舍去．．，，故選：D．5.記拋物線的焦點為，點在上，，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】由拋物線的定義即可求解.【詳解】過點作的垂線，垂足為，則，則，如圖所示.所以的最小值為.故選：B．6.記A，B為隨機事件，已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由全概率公式及并事件的概率公式求解．【詳解】記，由全概率公式有，代入數(shù)據(jù)有，解得，，故選：D．7.已知（，）的部分圖象如圖所示，點是與坐標(biāo)軸的交點，若是直角三角形，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由正弦函數(shù)性質(zhì)得三點坐標(biāo)，再由，結(jié)合有，建立方程即可求出，最后將代入函數(shù)解析式即可得解.【詳解】由正弦函數(shù)性質(zhì)有，，，由是直角三角形，可得，結(jié)合有，，，解得或（舍去），，，.故選：C.8.已知面積為的銳角三角形滿足，將以為軸旋轉(zhuǎn)至，且，則三棱錐體積的最大值為（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】取中點為D，過作，記，，可得，．根據(jù)三角形面積得，利用表示錐體體積，結(jié)合導(dǎo)數(shù)方法求函數(shù)的最大值.【詳解】取中點為D，則，．過作，垂足為．記，，則，．根據(jù)三角形面積得，要使三棱錐的體積最大，則最大．，．，其中，令，記，，令，或（舍），當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；，，，故選：A．【點睛】求解三棱錐的體積方法：公式法；等體積變換法.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.一組樣本數(shù)據(jù)為7，12，13，17，18，20，32，則（）A.該組數(shù)據(jù)極差為25B.該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為19C.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17D.若該組數(shù)據(jù)去掉一個數(shù)得到一組新數(shù)據(jù)，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能相等【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的極差、第百分位數(shù)和平均數(shù)的公式計算判斷各個選項；【詳解】對于A項，極差等于，故A正確；對于B項，，故分位數(shù)為20，B錯誤；對于C項，平均數(shù)等于；故C正確；對于D項，去掉17后，這兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)相等，故D項正確，故選：ACD．10.已知滿足，，記的前n項和為，的前n項和為，則下列說法中不一定正確的是（）A.是等差數(shù)列B.的通項公式為或C.若，則D.若，則為定值【答案】AB【解析】【分析】由題意得或．構(gòu)造數(shù)列1，1，，1，，1，，…，或中的所有項保持同樣的遞推關(guān)系判斷A，B；對于C滿足，累乘法求解通項公式和進(jìn)行判斷；若，有，，故．奇偶分類討論得到，為定值0，判斷D；【詳解】由，因式分解得，或．對于A，B項，構(gòu)造數(shù)列1，1，，1，，1，，…，則該數(shù)列滿足題意且A，B均錯誤，當(dāng)中的所有項保持同樣的遞推關(guān)系（即同為或），則A，B均正確，故A，B符合題意，對于C，注意到若存在使得，則，則對于C只能滿足，累乘得，，當(dāng)時也符合，，，故C正確，不符合題意；對于D，若，則，故，故．當(dāng)為奇數(shù)，，所以當(dāng)為偶數(shù)，，所以，奇偶分類討論有，注意到，則為定值0，故D正確，不符合題意；故選：AB．11.已知函數(shù)是偶函數(shù)，點，點，點在函數(shù)的圖象上，且，記邊上的高為h，則（）A. B.函數(shù)是減函數(shù)C.點B可能在以為直徑的圓上 D.h的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)判斷A，利用導(dǎo)數(shù)判斷B，利用圓的性質(zhì)判斷C，利用不等式的取等條件判斷D即可.【詳解】對于A選項，由是偶函數(shù)得到，則，解得，故A正確；對于B選項，，故，且恒成立，故得減函數(shù)，故B正確；對于C選項，由B知，即，由對稱性，可設(shè)，則．若點B在以為直徑的圓上，則有，帶入即，即．若，則，不滿足題意；若，，而，，故B不可能在以為直徑的圓上，故C錯誤；對于D選項，過點B作x軸的垂線交于點D，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取等），而，記，則，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臅r候取等，即時取等，所以兩個不等號能同時取等，故h的最大值為，故D正確．故答案選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)，解題關(guān)鍵是找到不等式取等條件，然后得到參數(shù)值，得到所要求的最值即可．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則__________．【答案】【解析】【分析】利用給定條件得到相位差，表示出，再求解即可.【詳解】由，可得，與的相位差為，故，，，故答案為：．13.寫出一個同時具有下列性質(zhì)的函數(shù)__________．a(chǎn)．是偶函數(shù)b．不存在對稱中心c．存在最小正周期，且最小正周期為2【答案】【解析】【分析】根據(jù)是偶函數(shù)，不存在對稱中心，存在最小正周期，且最小正周期為2寫出.【詳解】由題意可知，是偶函數(shù)，不存在對稱中心，存在最小正周期，且最小正周期為2，所以滿足題意.故答案為：.14.已知雙曲線（，）的左，右焦點為，，過的直線交C的右支于點（點A在點B上方），，過點作直線，交C于點E（點E在第二象限），若直線與直線的交點在直線上，則C的離心率為__________．【答案】【解析】【分析】利用給定條件分別求出邊長，利用余弦定理表示同角的三角函數(shù)，建立齊次方程求解離心率即可.【詳解】如圖記直線與直線的交點為P，且連接，則，由對稱性有過坐標(biāo)原點O且．由有，，又，，，，，，即，，在中，，在中，，解得，故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查求解析幾何，解題關(guān)鍵是利用給定條件求出各個三角形的邊長，然后利用余弦定理表示同一個角，得到所要求的離心率即可．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.投擲一枚硬幣n（，）次，正面向上與反面向上的概率均為0.5，記事件A為“n次拋擲中既有正面向上也有反面向上”，B為“n次拋擲中至多一次正面向上”．（1）若，求；（2）證明：事件A，B相互獨立的充要條件為．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由二項分布的概率公式直接計算即可；（2）分充分性、必要性兩方面進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】記X為n次投擲中硬幣正面朝上的次數(shù)，則，當(dāng)時，；【小問2詳解】，，．充分性：當(dāng)時，代入有，，此時，充分性成立；必要性：由有，記，，，等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立，時，單調(diào)遞增，必要性成立．綜上所述，事件A，B相互獨立的充要條件為．16.如圖，三棱柱中，側(cè)面是邊長為2的正方形，，．（1）證明：；（2）若二面角的余弦值為，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）側(cè)面是邊長為2的正方形得到和的關(guān)系，、和的長度，根據(jù)側(cè)面是平行四邊形得到和，在中，由余弦定理得，判斷的形狀，證明平面，證明；（2）取的中點，記為D，連接，．證明，，平面，求出二面角的平面角，證明平面，記二面角為，表示出與的關(guān)系，找到和的關(guān)系，求出，求出，證明，求出.【小問1詳解】側(cè)面是邊長為2的正方形，，，，側(cè)面是平行四邊形，，在中，由余弦定理有，解得，是直角三角形，，，，平面，平面，又平面，；【小問2詳解】取的中點，記為D，連接，，，，，，，，平面，平面，為二面角的平面角．又平面，，平面，記二面角為，則，，，．平面，，，，，的值為．17.已知函數(shù)，．（1）求的極值；（2）討論的單調(diào)性；（3）若存在兩個極值點，，討論和的大小關(guān)系．【答案】（1）極小值為，沒有極大值（2）答案見詳解（3）答案見詳解【解析】【分析】（1）對求導(dǎo)，令求得，的零點把定義域劃分為和判斷各個區(qū)間的單調(diào)性，從而判斷是極大值點還是極小值點，再求出對應(yīng)的極值即可；（2）對求導(dǎo)，并對的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行整理，整理成因式乘積的形式，然后根據(jù)不同的對的導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的影響進(jìn)行討論，從而得到的單調(diào)性；（3）由（2）可以得到，，結(jié)合，得到取不同范圍時的范圍，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷和的大小關(guān)系．【小問1詳解】，時，時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取到極小值，沒有極大值．【小問2詳解】情形一若，可得恒成立，且，時，，故在單調(diào)遞減；時，，故在單調(diào)遞增；情形二若，，則，在單調(diào)遞增；情形三若，令，解得或，又由（1）知當(dāng)時，可得，時，，故在單調(diào)遞減；和時，，故在和單調(diào)遞增．綜上所述，若，時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；若，，在單調(diào)遞增；若，時，單調(diào)遞減，和時，單調(diào)遞增．【小問3詳解】由（2）知，只能是，，由，則，解得且，又當(dāng)時，，，由在上單調(diào)遞減可知；當(dāng)時，，，由在上單調(diào)遞增可知．綜上所述，時，；時，．18.記橢圓的左，右頂點和左，右焦點分別為，，，，P是E上除左右頂點外一點，記P在E處的切線為l，作直線交l于點，作直線交l于點，記直線與的交點為Q．（1）求點Q的軌跡方程；（2）求；（3）求四邊形面積的最大值．附：橢圓在點處的切線為（P在橢圓上）．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）設(shè)點，聯(lián)立直線和的方程求出，則代入，可以得到點Q的軌跡方程.（2）運用兩點間距離公式得到，，，，求出；求出，求出結(jié)合初中幾何結(jié)論，求即可.（3）由（2）同理可求得，將四邊形轉(zhuǎn)化為，的面積之差，結(jié)合余弦定理和基本不等式求解即可.【小問1詳解】設(shè)點，則，則.由題知，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線和的方程有，設(shè)，則代入，得到,點Q的軌跡方程為．【小問2詳解】，同理可得，，，由對稱性，可設(shè)，時，則，；所以，此時；時，由對稱性可設(shè)，設(shè)l與x軸交于點M，則由初中幾何有，，代入有，此時．綜上所述，．【小問3詳解】由（2）同理可證明，記四邊形，，的面積分別為，，，則，由前面知，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等；在中，有，代入數(shù)據(jù)有，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等．綜上所述，四邊形面積的最大值為．【點睛】知識點點睛：本題綜合了軌跡方程，橢圓定義，對稱性，焦半徑，線段定值，三角形面積公式，余弦定理，基本不等式，同角三角函數(shù)關(guān)系，函數(shù)最值問題，綜合性較強，屬于難題19.對于一個非零整數(shù)和質(zhì)數(shù)p，我們稱n中含的p冪次為，定義為最大的非負(fù)整數(shù)k，使得存在非零整數(shù)m，有，例如，等等．且補充定義一個非零有理數(shù)的，如，，且規(guī)定．現(xiàn)在對于任意一個有理數(shù)，我們定義其的“p示數(shù)”為，其中，規(guī)定．記兩個有理數(shù)x，y的“p示數(shù)距離”為．（1）計算，，；（2）證明對于一個正整數(shù)，存在一列非整數(shù)的正有理數(shù)，……使；（3）給定質(zhì)數(shù)p，若一個無窮集合A中任意一數(shù)列，對于任意，，則我們稱集合A是“p一緊致的”．是否存在質(zhì)數(shù)p，使得整數(shù)集是“p一緊致的”？若存在，求出所有p；若不存在，請說明理由．【答案】（1），，（2）證明見解析（3）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)